04_Condensadores con dielectricos-HLC.pptx

Física II
Capacitancia y
Condensadores
Segunda unidad

Conductor eléctrico: es una material o sustancia en que
las cargas eléctricas pueden desplazarse a través de ellos.
Ejemplos de ellos son los metales (carbón, grafito, plata,
etc.), algunos fluidos (gases ionizados, soluciones alcalinas,
etc.)
Aislador eléctrico: Es un material o sustancia en que el
movimiento de las cargas es muy baja. Ejemplos de ellos
son: el vidrio, la madera seca, el cerámico, el plástico, el
papel, etc.
Conductores y aislantes

Condensadores eléctricos
Condensador (Capacitor)
 Definición: Es un dispositivo compuesto por dos conductores, de
cargas iguales “Q”, pero de signos opuestos, separados una
pequeña distancia, entre los cuales hay una diferencia de potencial
”Δv”, de tal manera que entre ellos se origina un campo eléctrico
que es prácticamente constante.
 Función: Este dispositivo permite almacenar carga eléctrica de
manera que posea energía potencial eléctrica.
 Aplicaciones:
 Flash de cámara
 Teclados computador
 Baterías
 Airbag
 Simbología:

Capacitancia o Capacidad (C)
 Introducción: Cada conductor (forma, tamaño o medio en el
cual se inserta) esta caracterizado por una constante que
denominaremos capacitancia o capacidad eléctrica.
 Definición: Es una magnitud escalar que esta definida como
la carga Q de cualquiera de los conductores, dividida por la
diferencia de potencial entre ellos:
V
Q
C


Donde:
C: Capacitancia
Q: Carga eléctrica
ΔV: Diferencia de potencial
 Nota: C es un valor constante, para un condensador dado. La
capacitancia es una medida de la capacidad del condensador
para almacenar carga eléctrica y energía potencial eléctrica.
V
Q
C 

Capacitancia o Capacidad (C)
 Unidades (S.I): La unidad es el faradio [F].
 Dependencia: La capacitancia dada en un dispositivo
depende de:
 La forma
 El tamaño
 El material que separa los conductores.
]
[
1
1
V
C
F 
V
Q
C 
Observación:
Q: no es la carga total del capacitor, la cual es
cero, sino de uno de los conductores.
V: no es el potencial de uno de los
condensadores, sino que es la ΔV entre ambos

a) Condensador de placas paralelas:
Llamados también condensadores planos.
Los conductores que forman el capacitor
están separados por el espacio vacio. En
este caso se considera que entre las placas
se genera un campo eléctrico constante
Ed
V 

Calculo de capacitancia:
 



0
d
l
d
E
V







0
)
0
cos(
d
Edx
V
Calculo de ΔV: Diferencia de potencial





0
d
dx
E
V

Condensador de placas paralelas
0



E
capacitancia de un
conductor de placas
paralelas
Ed
V 

Ed
Q
C 

d
A
C 0




d
Q
C

0
V
Q
C


Campo eléctrico de un plano
Calculo de la capacitancia:
d
Q
C
)
/
( 0






A
Q
si 
,

b) Condensador esférico:
Esta compuesto por dos cascarones
conductores esféricos concéntricos
separados por el vacío.
Consideremos 2 esferas conductoras:
• Una de radio R.
• Otra de radio infinito.






P
l
d
E
V








P
Edr
V )
0
cos(
P R
V Edr


    
R

R
Calculo del campo eléctrico: Nos damos una esfera Gaussiana con r>R



 0

Enc
S
Q
ds
E



0

Q
ES 

0
2
)
4
(


Q
r
E
0
2
4 
r
Q
E 
Reemplazando el campo eléctrico
en el potencial, nos queda: 




R
r
dr
Q
V 2
0
4

b) Condensador esférico:
capacitancia de un conductor
esférico aislado.
R
Q
Q
C
0
4


V
Q
C


Calculo de la capacitancia:
R

R



 

R
r
dr
Q
V 2
0
4 R
Q
V
0
4


R
C 0
4


b) Condensador esférico de radio R:
• Si el cascaron interior de radio interior
ra y el cascaron exterior de radio
exterior rb con cargas de igual magnitud
pero de signo contrario, la capacitancia
esta dada por:
)
(
4 0
a
b
b
a
r
r
r
r
C




c) Condensador cilíndrico:
• Esta compuesto de un cilindro,
rodeado por un cascaron conductor
coaxial cilíndrico separados por el
vacío, ambos de longitud L.
• Si se tiene un conductor cilíndrico
largo (L) de radio ra rodeado por un
cascaron coaxial cilíndrico conductor
de radio rb, en el vacío y ambos tienen
cargas de igual magnitud pero signo
contrario.
 



a
b
l
d
E
V

 a
b
V Edr
   
a
b
V Edr
   

c) Condensador cilíndrico:
Cálculo del campo eléctrico:
Nos damos una esfera Gaussiana con a < r < b



 0

Enc
S
Q
ds
E



0

Q
ES 

0
)
2
(


Q
rL
E
0
2 
rL
Q
E 
Reemplazando el campo eléctrico
en el potencial, nos queda:



 
a
b
r
dr
L
Q
V
0
2 

)
/
ln(
2 0
a
b
L
C


 


 )
ln(
)
ln(
2 0
a
b
L
Q
V


capacitancia de
un conductor
cilíndrico
 



a
b
L
Q
Q
C
/
ln
2 0


V
Q
C


Cálculo de la capacitancia:
 
a
b
L
Q
V /
ln
2 0





Cuando se carga un condensador con una
batería, ésta realiza un trabajo al transportar
la carga eléctrica de una placa a otra. Este
trabajo que realiza la batería queda
almacenado en forma de energía potencial
en el condensador, y coincide con la energía
eléctrica almacenada en el condensador. La
energía almacenada se recupera cuando se
descarga el condensado
Energía en un capacitor
Vdq
dw 
Para mover una carga dq de un punto a otro
entre los que hay una diferencia de potencial ΔV
es, se requiere realizar trabajo y finalmente se
produce energía. El trabajo viene dado por

La energía potencial viene dada por:
Energía en un capacitor
 

 Vdq
dw
U
Si:
V
q
C 
 





 dq
c
q
U 

Q
qdq
C 0
1
Q
q
C 0
2
2
1
1







C
Q
U
2
2
1

]
[
2
J
QV
U  ]
[
2
2
J
CV
U 

Consideremos un condensador de placas paralelas entre las
cuales hay vacio. Sabemos que en este caso el campo eléctrico
y la capacidad del condensador es:
Energía del campo eléctrico
Con lo que la energía almacenada es:
0

ES
Q 

Ed
V 


Fijarse que S×d es el volumen del espacio comprendido
entre las placas del condensador.
Energía del campo eléctrico
v
E
U 0
2
2
1



Combinación de capacitores
Con el fin de obtener condensadores con capacidades mayores
o menores, que nos permitan almacenar mayor o menor
cantidad de carga se suelen agrupar éstos en conjuntos
llamados baterías de condensadores. Los más usados son la
combinación en serie y en paralelo.

Dos o más condensadores están en serie, cuando la placa positiva de
un condensador, se encuentra interactuando con la placa negativa del
otro y así sucesivamente. En otras palabras, una combinación de
condensadores esta en serie, cuando los condensadores están en la
misma línea del circuito, donde la magnitud de la carga es la
misma en todas las placas de los capacitores.
Se debe encontrar un capacitor
equivalente que desempeñe la misma
función que la combinación en serie
teniendo en cuenta que la diferencia
de potencial que entrega la fuente de
voltaje corresponde a la suma de la
diferencia de potencial de cada
capacitor.
Condensadores en serie
Si se tienen dos capacitores en serie:
 
2
1 V
V
V 





Condensadores en serie
n
eq C
C
C
C
1
.........
1
1
1
2
1




Capacidad equivalente (CEq):



n
i i
eq C
C 1
1
1



n
i
i
T V
V
1
n
T Q
Q
Q
Q 


 ....
2
1
Capacitancia
equivalente
Voltaje total (VT):
Carga total (QT):

Dos o más condensadores están en paralelo cuando están conectados
a una misma diferencia de potencial.
Se debe encontrar un capacitor
equivalente que desempeñe la
misma función que la combinación
en paralelo teniendo en cuenta que
la carga total corresponde a la suma
de la carga en cada capacitor
individual.  
2
1 Q
Q
Q 

Condensadores en paralelo
En otras palabras, una combinación de
condensadores esta en paralelo, cuando los
condensadores están en distinta línea de
circuito, donde la diferencia de potencial
es la misma en la fuente de voltaje y en
los capacitores.

Condensadores en paralelo



n
i
i
eq C
C
1
n
T V
V
V
V 


 ....
2
1



n
i
i
T Q
Q
1
Capacitor
equivalente
n
eq C
C
C
C 


 .....
2
1
Capacidad equivalente (CEq):
Voltaje total (VT):
Carga total (QT):

De los circuitos mostrados, determinar la carga y diferencia de
potencial para cada capacitor
Ejemplos
6 V

Ejemplo
1. En la figura siguiente determinar la capacidad equivalente entre
a y b. Donde C1 =2 μF , C2 =1 μF y C3 =3 μF.
2. Si Δvab=12 V, determinar la carga y diferencia de potencial en
cada condensador.
Resolución:
i) Cálculo de C23:
𝐶23: 𝐶2||𝐶3 ⇒ 𝐶23 = 𝐶2 + 𝐶3
𝐶23 = 1 𝜇𝐹 + 3𝜇𝐹
𝐶23 = 4 𝜇𝐹
ii) Cálculo de Ceq:
𝐶𝑒𝑞: 𝐶23 ⟶ 𝐶1 ⇒ 𝐶𝑒𝑞 =
𝐶1 ∗ 𝐶23
𝐶1 + 𝐶23
=
(2) ∗ (4)
(2 + 4)
⇒ 𝑪𝒆𝒒 =
𝟒
𝟑
𝝁𝑭

𝑨
𝑽𝟎
𝑪𝟏 𝑪𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩
(a) La carga final de cada condensador
a.1.- Interruptor I en la posición (2): 𝑨
𝑽𝟎
𝑪𝟏 𝑪𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩
𝐶𝑒𝑞: 𝐶1 → 𝐶2 ⇒ 𝐶𝑒𝑞 =
(𝐶1)(𝐶2)
(𝐶1 + 𝐶2)=
(𝐶)(2𝐶)
(𝐶 + 2𝐶)
=
2𝐶2
3𝐶
𝑪𝒆𝒒 =
𝟐
𝟑
𝑪
⇒
𝑨
𝑽𝟎
𝑪𝒆𝒒
𝑰
𝑩
𝑸𝑻
𝑪𝒆𝒒 =
𝑸𝑻
𝑽𝟎
𝑸𝑻 = 𝑪𝒆𝒒𝑽𝟎
⇒
𝑸𝑻 =
𝟐
𝟑
𝑪𝑽𝟎
En el sistema de la Figura, los condensadores C1 y
C2 se cargan llevando el interruptor I a la posición
(2). Una vez cargados C1 y C2 , el interruptor se
lleva a la posición (1), y en tal caso calcule: (a) La
carga final de cada condensador; (b) la diferencia de
potencial entre los puntos A y B. C1 = C, C2 = 2C y
C3 = 3C,

𝑨
𝑽𝟎
𝑪𝒆𝒒
𝑰
𝑩
𝑸𝑻
⇐
𝑨
𝑽𝟎
𝑪𝟏 𝑪𝟐
𝑰
𝑩 𝐶𝑒𝑞: 𝐶1 → 𝐶2
Y en serie la carga eléctrica
es la misma para todos los
condensadores.
Luego: 𝑄1 = 𝑄𝑇 =
𝟐
𝟑
𝑪𝑽𝟎
y
𝑄2 = 𝑄𝑇 =
𝟐
𝟑
𝑪𝑽𝟎
𝟐
𝟑
𝑪𝑽𝟎
𝟐
𝟑
𝑪𝑽𝟎
a.2.- Interruptor I en la posición (1):
𝑨
𝑽𝟎
𝑪𝟏 𝑪𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩 La carga eléctrica que tienen C1 y C2 la deben
compartir con C3 y queda fuera la fuente de voltaje
V0.
Ahora obtendremos la nueva C’eq:
𝐶12: 𝐶1 → 𝐶2 ⇒ 𝑪𝟏𝟐 =
𝟐
𝟑
𝑪

𝑨 𝑪𝟏𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩 𝐶′𝑒𝑞: 𝐶12|| 𝐶3 ⇒ 𝐶′𝑒𝑞 = 𝐶12 + 𝐶3 =
2
3
𝐶 + 3𝐶
𝑪′𝒆𝒒 =
𝟏𝟏
𝟑
𝑪
𝑨 𝑪′𝒆𝒒 𝑩
𝑄𝑇 =
𝟐
𝟑
𝑪𝑽𝟎
𝑽′
Luego: 𝑪′𝒆𝒒 =
𝑸𝑻
𝑽′
⇒ 𝑉′ =
𝑄𝑇
𝐶′𝑒𝑞
=
2
3
𝐶𝑉0
11
3
𝐶
⇒ 𝑽′ =
𝟐
𝟏𝟏
𝑽𝟎
𝑨 𝑪′𝒆𝒒 𝑩
⇐
𝑨 𝑪𝟏𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩
Y en paralelo el voltaje es
el mismo para todos los
condensadores.
𝑽′ =
𝟐
𝟏𝟏
𝑽𝟎
𝑉′12 = 𝑉′ =
2
11
𝑉0
𝑉′3 = 𝑉′ =
2
11
𝑉0

𝑨 𝑪𝟏𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩
2
11
𝑉0
2
11
𝑉0
Como tenemos el voltaje en C12 y tenemos 𝑪𝟏𝟐 =
𝟐
𝟑
𝑪
podemos calcular la carga eléctrica en C12:
𝐶12 =
𝑄12
𝑉12
⇒ 𝑄12 = 𝐶12𝑉12=
2
3
𝐶 ∗ (
2
11
𝑉0)
𝑸𝟏𝟐 =
𝟒
𝟑𝟑
𝑪𝑽𝟎[𝑪]
𝑨 𝑪𝟏𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩
⇐
𝑨 𝑪𝟏 𝑪𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩
Como C12: C1 C2 y en serie
la carga eléctrica es la misma,
entonces:
𝑄1 = 𝑄12 =
4
33
𝐶𝑉0[𝐶]
4
33
𝐶𝑉0
𝑄2 = 𝑄12 =
4
33
𝐶𝑉0[𝐶]
4
33
𝐶𝑉0
𝑸𝟏𝟐

𝑄𝑇 =
2
3
𝐶𝑉0
𝑨 𝑪𝟏 𝑪𝟐
𝑪𝟑
𝑰
𝑩
4
33
𝐶𝑉0
4
33
𝐶𝑉0
Como la carga eléctrica total que hay en los tres
capacitores es:
Y los dos condensadores C1 y C2 están en paralelo
con el capacitor C3, y en paralelo las cargas
eléctricas se suman de cada capacitor, entonces:
𝑄𝑇 = 𝑄12 + 𝑄3
Tenemos la QT y Q12, entonces podemos calcular la carga eléctrica del
condensador C3:
𝑄𝑇 = 𝑄12 + 𝑄3 ⇒ 𝑄3 = 𝑄𝑇 − 𝑄12 =
2
3
𝐶𝑉0 −
4
33
𝐶𝑉0
𝑸𝟑 =
𝟔
𝟏𝟏
𝑪𝑽𝟎
Por lo tanto, la carga eléctrica final en cada uno de
los condensadores es:
𝑸𝟏 =
𝟒
𝟑𝟑
𝑪𝑽𝟎[𝑪] 𝑸𝟐 =
𝟒
𝟑𝟑
𝑪𝑽𝟎[𝑪] y 𝑸𝟑 =
𝟔
𝟏𝟏
𝑪𝑽𝟎

Condensadores con
dieléctricos

Dieléctricos
 El voltaje disminuye en un factor “k”.
 La capacidad aumenta en un factor “k”.
 La carga se mantiene constante.
factor k: constante
dieléctrica
Dieléctrico: es un material, no conductor, en que la carga no puede
moverse libremente, posee gran resistencia (no conductor o aislante);
ejemplo: vidrio, caucho, madera, plástico, etc.
Condensador con dieléctrico: Cuando entre las placas de un
capacitor se introduce un dieléctrico entonces:

Dieléctricos
C0: capacitancia del
capacitor sin
dieléctrico.
C:capacitancia del
capacitor con
dieléctrico
𝑲 =
𝑪
𝑪𝟎
⇒ 𝐶 = 𝐾𝐶0
Diferencia de
potencial con
dieléctrico
𝜟𝑽 =
𝜟𝑽𝟎
𝑲
V0: diferencia de potencial del
capacitor sin dieléctrico
V: diferencia de potencial capacitor
con dieléctrico.
𝑬 =
𝑬𝟎
𝑲
E0: campo eléctrico del
capacitor sin
dieléctrico.
E: campo eléctrico del
capacitor con
dieléctrico.

Condensador de placas paralelas con
dieléctrico
 Cuando un condensador de placas paralelas se llena con
un dieléctrico con constante “k” su capacitancia es: 𝑪 =
𝑲𝜺𝟎𝑨
𝒅
La capacidad de un condensador puede aumentar si:
 El área entre las placas aumenta
 La distancia entre las placas disminuye
 Llenando el espacio entre las placas con un dieléctrico que tenga una alta constante
dieléctrica
𝑲 =
𝜺
𝜺𝟎
Constante dieléctrica (k): Es el cuociente entre la
permitividad del material y la permitividad del vacio.

Los condensadores de la figura, cuyas capacidades sin dieléctrico
son C1 = C, C2 = 2C y C3 = 3C, se cargan a una diferencia de
potencial V0. Luego que los capacitores alcanzan su máxima carga,
el material dieléctrico de constante K = 2 se cambia a la forma que
muestra en la figura sin desconectar la batería V0. Determinar la
variación de carga que experimenta el condensador C2.

i) Análisis del circuito antes del cambio
El circuito “antes” tiene su equivalente, llamando C1’, C2’ y C3’ a las
capacidades de los condensadores respectivos con dieléctrico
i.1.- Cálculo de C1’
Como C1’ es el resultado de dos capacitores en paralelo: uno con
dieléctrico que ocupa la mitad del área y otro sin dieléctrico que ocupa
la otra mitad del área. Luego:
C1’
𝐶1
′
=
𝐾𝐶1
2
+
𝐶1
2
⇒ 𝐶1
′
=
𝐶1
2
(𝐾 + 1) C1’: capacitor con dieléctrico
Como K = 2, entonces: 𝐶1
′
=
𝐶1
2
(𝐾 + 1) =
𝐶
2
(2 + 1) ⇒ 𝑪𝟏
′
=
𝟑𝑪
𝟐

i.2.- Cálculo de C2’ (con dieléctrico)
C2’
Como C2’ es el resultado de dos capacitores en
serie: uno con dieléctrico que ocupa la mitad de
la distancia y el otro sin dieléctrico que ocupa la
otra mitad de la distancia. Luego:
𝐶2
′
=
(2𝐾𝐶2)(2𝐶2)
(2𝐾𝐶2 + 2𝐶2)
=
(2)(2)(2𝐶)(2)(2𝐶)
(2)(2)(2𝐶) + (2)(2𝐶)
=
32𝐶2
8𝐶 + 4𝐶
⇒ 𝑪𝟐
′
=
𝟖𝑪
𝟑
i.3.- Cálculo de C3’ (con dieléctrico)
Como el dieléctrico en C3’ está ocupando la totalidad del
espacio entre las placas, entonces:
𝐶3
′
= 𝐾𝐶3 = (2)(3𝐶) ⇒ 𝑪𝟑
′
= 𝟔𝑪

i.4.- Cálculo de Ceq’: C1’
C2’
C3’
Como C1’|| C2’ entonces:
 Cálculo de C12’:
𝐶12
′
= 𝐶1
′
+ 𝐶2′ =
3𝐶
2
+
8𝐶
3
⇒ 𝑪𝟏𝟐
′
=
𝟐𝟓𝑪
𝟔
Ceq: C12’ C3’ entonces:
𝐶𝑒𝑞 =
(𝐶′12)(𝐶′3)
(𝐶′12 + 𝐶′3)
=
(
25𝐶
6
)(6𝐶)
(
25𝐶
6
+ 6𝐶)
⇒ 𝑪′𝒆𝒒 =
𝟏𝟓𝟎𝑪
𝟔𝟏
𝑉0
𝐶′𝑒𝑞 𝑄𝑇
𝑉0
𝐶′12
𝐶′3

i.5.- Cálculo de QT:
Como se tiene Ceq y voltaje total Vo, se puede calcular la carga total QT :
𝐶′𝑒𝑞 =
𝑄′𝑇
𝑉0
⇒ 𝑄′𝑇 = 𝐶′𝑒𝑞 ∗ 𝑉0 = (
150𝐶
61
) ∗ 𝑉0 ⇒ 𝑸′𝑻 =
𝟏𝟓𝟎
𝟔𝟏
𝑪𝑽𝟎
i.6.- Cálculo de VC’12:
Como se tiene C’12 C’3 y en serie la carga es la misma, luego:
𝑉0
𝐶′12
𝐶′3
𝑄′𝑇 = 𝑄𝐶′12
= 𝑄𝐶′3 ⇒
Como se tiene C’12 y QC’12 se calcula VC’12:
𝑉𝐶′12
=
𝑄𝐶′12
𝐶′12
=
(
150
61
𝐶𝑉0)
(
25
6
𝐶)
=
900
1525
𝑉0 ⇒ 𝑽𝑪′𝟏𝟐
=
𝟑𝟔
𝟔𝟏
𝑽𝟎
𝑸𝑪′𝟏𝟐
=
𝟏𝟓𝟎
𝟔𝟏
𝑪𝑽𝟎

i.7.- Cálculo de VC’2:
Como C’12 es el resultado de C’1|| C’2 y en paralelo el voltaje es
el mismo, luego se tiene que:
𝑉𝐶′1
= 𝑉𝐶′2
= 𝑉𝐶´′12 ⇒ 𝑽𝑪′𝟐
=
𝟑𝟔
𝟔𝟏
𝑪
i.8.- Cálculo de QC’2:
Como se tiene VC’2 y C’2 entonces se puede calcular QC’2:
𝑸𝑪′𝟐
= 𝑪′𝟐𝑽𝑪′𝟐
=
𝟖
𝟑
𝑪 ∗ (
𝟑𝟔
𝟔𝟏
𝑽𝟎) 𝑸𝑪′𝟐
=
𝟗𝟔
𝟔𝟏
𝑪𝑽𝟎
⇒

ii) Análisis del circuito después del cambio
El circuito “después” tiene su equivalente, llamando C1’’, C2’’ y C3’’ a
las capacidades de los condensadores respectivos con dieléctrico
𝑪𝟏′′
𝑪𝟐′′
𝑪𝟑′′
 El capacitor C1’’ es la capacitancia con dieléctrico ocupando todo el espacio
entre las placas.
 El capacitor C3’’ es el equivalente a dos condensadores en serie. Uno
ocupando la mitad de la distancia entre las placas sin dieléctrico; y el otro
ocupando la otra mitad de la distancia, pero con dieléctrico
 El capacitor C2’’ es el equivalente a dos condensadores en paralelo. Uno con
dieléctrico ocupando la mitad del área de las placas, y el otro sin dieléctrico
ocupando también la mitad del área.

𝐶1
′′
= K𝐶1 ⇒
= (2)(𝐶) 𝑪𝟏
′′
= 𝟐𝐂
ii.1.- Cálculo de C1’’
 Como el dieléctrico ocupa todo el espacio entre las placas del capacitor, se
tiene que:
ii.2.- Cálculo de C2’’:
 Como el capacitor C2’’ es el equivalente a dos condensadores en paralelo. Uno
con dieléctrico ocupando la mitad del área de las placas, y el otro sin
dieléctrico ocupando también la mitad del área, se concluye que:
𝐶2
′′
= 𝐾
𝐶2
2
+
𝐶2
2
=
𝐶2
2
(𝐾 + 1) =
2𝐶
2
(2 + 1) ⇒ 𝑪𝟐
′′
= 𝟑𝐂

 El capacitor C3’’ es el equivalente a dos condensadores en serie. Uno
ocupando la mitad de la distancia entre las placas sin dieléctrico; y el otro
ocupando la otra mitad de la distancia, pero con dieléctrico, se tiene que:
𝐶3′′ =
(2𝐶3)(2𝐾𝐶3)
(2𝐶3 + 2𝐾𝐶3)
=
(2)(3𝐶)(2)(2)(3𝐶)
(2)(3𝐶) + (2)(2)(3𝐶)
𝑪𝟑′′ = 𝟒𝑪
⇒
𝑪𝟑′′
𝑪𝟏𝟐′′ 𝑽𝟎
 Como C’’1 está en paralelo con C’2, entonces:
𝐶′′12 = 𝐶′′1 + 𝐶′′2 ⇒
= (2𝐶) + (3𝐶) 𝑪′′𝟏𝟐 = 𝟓𝑪

ii.5.- Cálculo de Ceq’’:
𝑪𝟑′′
𝑪𝟏𝟐′′ 𝑽𝟎
 Como C’’12 está en serie con C’’3, entonces:
𝐶𝑒𝑞
′′ =
(𝐶′′12)(𝐶′′3)
(𝐶′′12 + 𝐶′′3)
=
(5𝐶)(4𝐶)
(5𝐶 + 4𝐶)
𝑪𝒆𝒒
′′ =
𝟐𝟎
𝟗
𝑪
ii.6.- Cálculo de QT’’:
𝐶𝑒𝑞
′′ =
𝑄′′𝑇
𝑉0
⇒ 𝑄′′𝑇 = 𝐶′′𝑒𝑞 ∗ 𝑉0 = (
20
9
𝐶) ∗ 𝑉0 ⇒ 𝑸′′𝑻 =
𝟐𝟎
𝟗
𝑪𝑽𝟎
ii.7.- Cálculo de VC12’’:
 Como C’’12 está en serie con C’’3, y en serie la carga eléctrica es la misma
para cada capacitor, entonces:
𝑄′′𝑇 = 𝑄𝐶′′12
= 𝑄𝐶′′3 ⇒
⇒
𝑸𝑪′′𝟏𝟐
=
𝟐𝟎
𝟗
𝑪𝑽𝟎

 Como se tiene C’’12 y QC’’12 se puede calcular VC’’12:
𝑉𝐶´´12
=
𝑄𝐶′′12
𝐶′´12
=
20
9
𝐶𝑉0
5𝐶
⇒ 𝑽𝑪′′𝟏𝟐
=
𝟒
𝟗
𝑽𝟎
ii.8.- Cálculo de VC2’’:
 Como se tiene C’’12 es el resultado de 𝐶′′1||𝐶′′2 y en condensadores en
paralelo el voltaje es el mismo en cada condensador, entonces:
𝑉𝐶´´1
= 𝑉𝐶′′2
= 𝑉𝐶′′12 ⇒ 𝑽𝑪′′𝟐
=
𝟒
𝟗
𝑽𝟎
ii.9.- Cálculo de la QC2’’:
 Como se tiene VC’’12 y C’’2, entonces se puede calcular QC’’2:
𝑄𝐶′′2 = 𝐶′′2 ∗ 𝑉𝐶′′
2
= 3𝐶 ∗ (
4
9
𝑉0) ⇒ 𝑸𝑪′′𝟐
=
𝟒
𝟑
𝑪𝑽𝟎

ii.10.- Cálculo de la variación de la carga en C2:
Δ𝑄𝐶2
= 𝑄𝐶′
2
(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠) − 𝑄𝐶′′
2
(𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠)
Δ𝑄𝐶2
= (
96
61
𝐶𝑉0) − (
4
3
𝐶𝑉0)
⇒ 𝜟𝑸𝑪𝟐
= (
𝟒𝟒
𝟏𝟖𝟑
)𝑪𝑽𝟎 [𝐂]

Asociación de condensadores
1
K
2
K
2
A
2
A
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 =
𝐾1𝜖0(
𝐴
2
)
𝑑
+
𝐾2𝜖0(
𝐴
2
)
𝑑
=
𝐾1𝜖0𝐴
2𝑑
+
𝐾2𝜖0𝐴
2𝑑
𝐶𝑒𝑞 =
𝐾1
2
(
𝜖0𝐴
𝑑
) +
𝐾2
2
(
𝜖0𝐴
𝑑
) =
𝐾1
2
𝐶0 +
𝐾2
2
𝐶0
𝑪𝒆𝒒 =
𝑪𝟎
𝟐
(𝑲𝟏 + 𝑲𝟐)
Hallar la Ceq

1
K
2
K
2
d
2
d
Hallar la Ceq
𝐶𝑒𝑞 =
𝐶1𝐶2
𝐶1 + 𝐶2
=
(
𝐾1𝜖0𝐴
𝑑
2
)(
𝐾2𝜖0𝐴
𝑑
2
)
(
𝐾1𝜖0𝐴
𝑑
2
) + (
𝐾2𝜖0𝐴
𝑑
2
)
=
(
2𝐾1𝜖0𝐴
𝑑
)(
2𝐾2𝜖0𝐴
𝑑
)
(
2𝐾1𝜖0𝐴
𝑑
) + (
2𝐾2𝜖0𝐴
𝑑
)
=
4𝐾1𝐾2(𝜖0𝐴)2
𝑑2
2𝜖0𝐴(𝐾1 + 𝐾2)
𝑑
⇒ 𝑪𝒆𝒒 = (𝟐
𝑲𝟏𝑲𝟐
𝑲𝟏 + 𝑲𝟐
)𝑪𝟎

1
K
Asociación de condensadores
2
A
K
2
A
Hallar la Ceq
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 =
𝐾𝜖0(
𝐴
2
)
𝑑
+
𝜖0(
𝐴
2
)
𝑑
=
𝐾1𝜖0𝐴
2𝑑
+
𝜖0𝐴
2𝑑
𝐶𝑒𝑞 =
𝜖0𝐴
𝑑
(𝐾1 + 1)
2
𝑪𝒆𝒒 =
(𝑲𝟏 + 𝟏)
𝟐
𝑪𝟎

1
K
2
K
2
d
2
d
𝑪𝟑
𝑨
𝟐
𝑨
𝟐
𝑨
𝟐
𝑪𝟏 → 𝑪𝟐 ⇒ 𝐶12 =
𝐶1𝐶2
𝐶1 + 𝐶2
=
(
𝐾1𝜖0
𝐴
2
𝑑
2
)(
𝐾2𝜖0
𝐴
2
𝑑
2
)
(
𝐾1𝜖0
𝐴
2
𝑑
2
) + (
𝐾2𝜖0
𝐴
2
𝑑
2
)
=
(
𝐾1𝜖0𝐴
𝑑
)(
𝐾2𝜖0𝐴
𝑑
)
𝜖0𝐴
𝑑
[𝐾1 + 𝐾2]
=
𝜖0𝐴
𝑑
(
𝐾1𝐾2
𝐾1 + 𝐾2
) 𝑪𝟏𝟐 = 𝑪𝟎 (
𝑲𝟏𝑲𝟐
𝑲𝟏 + 𝑲𝟐
)
𝐶12 =
𝐾1𝐾2
(𝜖0𝐴)2
𝑑2
𝜖0𝐴
𝑑
[𝐾1 + 𝐾2]
𝒅

Ahora el circuito queda de la siguiente
manera:
𝑪𝒆𝒒: 𝑪𝟏𝟐||𝑪𝟑 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶12 + 𝐶3 =
𝜖0𝐴
𝑑
(
𝐾1𝐾2
𝐾1 + 𝐾2
) +
𝐾3𝜖0
𝐴
2
𝑑
𝑪𝟑
𝑨
𝟐
𝑪𝟏𝟐
d
𝐶𝑒𝑞 =
𝜖0𝐴
𝑑
(
𝐾1𝐾2
𝐾1 + 𝐾2
) +
𝜖0𝐴
2𝑑
=
𝜖0𝐴
𝑑
[
𝐾1𝐾2
𝐾1 + 𝐾2
+
𝐾3
2
] 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟎 [
𝑲𝟏𝑲𝟐
𝑲𝟏 + 𝑲𝟐
+
𝑲𝟑
𝟐
]
𝑪𝒆𝒒

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