ecuaciones diferenciales

1. ________________________________________________________________________________
ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO 1
GRUPO
100412_45
ELIZABETH CABALLERO
CC. 1116992731
RAMIRO RIVEROS PEREZ
CC.74082764
NELSON YESID MASMELA
CC.
DEYBER PINZON BERNAL
CC.
TUTOR
RAMIRO PEÑA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
CEAD YOPAL CASANARE
ABRIL 2016

2. ________________________________________________________________________________
INTRODUCCION
En el presente documento conoceremos y analizaremos conceptos básicos de una
ecuación diferencial; descubriremos como conocer y diferenciar una ecuación de
acuerdo a su tipo, orden y linealidad; veremos la importancia de conocer y
manejar los distintos métodos para dar solución a las mismas.
Pondremos a prueba nuestro conocimiento de derivadas e integración con el fin de
poder determinar y hallar ecuaciones diferenciales de primer orden.

3. ________________________________________________________________________________
OBJETIVOS
Objetivo general
 Resolver y analizar ecuaciones diferenciales de primer orden
Objetivos específicos
 Conocer la clasificación de una ecuación diferencial
 Analizar las propiedades y características de una ecuación lineal
 Determinar si una ecuación diferencial es exacta

4. ________________________________________________________________________________
DESARROLLO ACTIVIDAD
Temática 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la
ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, justifique su
respuesta.
ECUACIÓN
OBSERVACIONES: ORDEN DE
ECUACIÓN, LINEAL O NO
LINEAL Y JUSTIFICACIÓN
ESTUDIANTE
A. 𝑥2
𝑠𝑒𝑛( 𝑥) − ( 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑦 = ( 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑦
𝑑𝑥
Ecuación de primer orden, lineal NELSON MASMELA
B. 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ ( 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦3
= 𝑒 𝑥
+ 1 Es una Ecuación de 1er orden, es
una ecuación No lineal, ya que
cumple con condición estar
acompañado con funciones de x el
único problema es que el
coeficiente 𝑦 que acompaña a
dy/dx no es un coeficiente que
depende de x, por lo cual hace
que la función sea una ecuación
no lineal.
ELIZABETH
CABALLERO
C.
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦) Es una ecuación de 2do orden, es
una ecuación Lineal, porque la
variable dependiente es de 1er
grado, los coeficientes son
constantes y cumple con la
condición que sus coeficientes
solo dependen de x.
ELIZABETH
CABALLERO
D.
𝑑2 𝑟
𝑑𝑢2
= √1 + (
𝑑𝑟
𝑑𝑢
)
segundo orden, no lineal porque el
diferencial esta elevado al
cuadrado
NELSON YESID
MASMELA
E. ( 𝑦2
− 1) 𝑑𝑥 + 6 𝑥𝑑𝑦 = 0 Esta ecuación lineal es ordinaria
de primer orden, pues se deja a y
como la variable dependiente y se
divide por dx.
RAMIRO RIVEROS

5. ________________________________________________________________________________
Temática 2: ecuaciones diferenciales de primer orden
A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables
separables (Nelson Yesid Masmela)
𝑒−𝑦
+ 𝑒−2𝑥−𝑦
= 𝑒 𝑥
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑒−𝑦
+ 𝑒−2𝑥
𝑒−𝑦
= 𝑒 𝑥
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑒−𝑦(1 + 𝑒−2𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1 + 𝑒−2𝑥
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑦
𝑒−𝑦
𝑑𝑦
∫( 𝑒−𝑥
+ 𝑒−3𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑦𝑒 𝑦
𝑑𝑦
Primera integral Segunda integral Tercera integral (por
partes)
𝑣 = −𝑥
𝑑𝑣 = −𝑑𝑥
𝑢 = −3𝑥
𝑑𝑢 = −3𝑑𝑥
𝑢 = 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 𝑣 = 𝑒 𝑦
−∫ 𝑒 𝑣
𝑑𝑣 −
1
3
∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 = 𝑦𝑒 𝑦
− ∫ 𝑒 𝑦
𝑑𝑦
−𝑒−𝑥
−
1
3
𝑒−3𝑥
+ 𝑐 = 𝑦𝑒 𝑦
− 𝑒 𝑦
−𝑒−𝑥(1 + 𝑒−2𝑥) + 𝑐 = 𝑒 𝑦( 𝑦 − 1)
𝑦 = −
(1 + 𝑒−2𝑥) + 𝑐
𝑒 𝑥 𝑒 𝑦
+ 1

6. ________________________________________________________________________________
B. Determine si la ecuación dada es exacta, si lo es resuélvala (Elizabeth
Caballero)
(1 − lnx) dy = (1 + lnx +
y
x
) dx
Es exacta si
dM
dy
=
dN
dx
M(−(1 + lnx +
y
x
)) dx+ N(1 − lnx) dy = 0
dM
dy
= −1 − 𝑙𝑛𝑥 −
y
x
dN
dx
= 1 − 𝑙𝑛𝑥
dM
dy
= −1 − 𝑙𝑛𝑥 −
0
x
dN
dx
= 1 − 𝑙𝑛0
dM
dy
= −𝒍𝒏
dN
dx
= −𝒍𝒏
𝜕(1 − ln 𝑥)
𝜕𝑥
= −
1
𝑥
=
𝜕 (−1 − ln 𝑥 −
𝑦
𝑥
)
𝜕𝑦
Es una ecuación exacta
f(x, y) M(x, y)dx = (−1 − 𝑙𝑛𝑥 −
y
x
) 𝑑𝑥
A partir de la función integramos
f−𝑥𝑑𝑥 +−𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 +−
y
x
𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)
f−𝑥−𝑙𝑛𝑥𝑥 − 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦)
f𝑙𝑛𝑥 − 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦)

Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y)
𝑁 =
df
dy
(1 − lnx) =
df
dy
𝑙𝑛𝑥 + 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦)
(1 − lnx) = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑔( 𝑦)´

7. ________________________________________________________________________________
Despejamos𝑔( 𝑦)´𝑔( 𝑥)´ = 1
g(y)’ (1 − lnx) dy + 𝑙𝑛𝑥
g(y)’ 1d 𝑦 − lnx dy +𝑙𝑛𝑥
g(y)’  𝑦 − lnxy + 𝑙𝑛𝑥
g(y)’ 𝑦
𝑹/ F= 𝑔( 𝑦) +g (y)’
= 𝒍 𝒏𝒙 − 𝒚 𝒍𝒏𝒙 + 𝒚
C. Resuelva la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante
6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 − 9𝑥2) 𝑑𝑦 = 0
𝜕(6𝑥𝑦)
𝜕𝑦
= 6𝑥
𝜕(4𝑦 − 9𝑥2)
𝜕𝑥
= 18𝑥
Las derivadas parciales no son iguales
Procedemos a hallar el factor integrante
𝑀 𝑥 − 𝑁 𝑦
𝑀 𝑥𝑦
=
18𝑥 − 6𝑥
6𝑥𝑦
=
12𝑥
6𝑥𝑦
=
2
𝑦
𝜇 𝑥 = 𝑒
∫
2
𝑦
𝑑𝑦
= 𝑒2ln 𝑦
= 𝑒ln 𝑦2
= 𝑦2
𝑦2(6𝑥𝑦𝑑𝑥) + 𝑦2(4𝑦 − 9𝑥2) 𝑑𝑦 = 0
6𝑥𝑦3
𝑑𝑥 + (4𝑦3
− 9𝑥2
𝑦2) 𝑑𝑦 = 0
∫6𝑥𝑦3
𝑑𝑥 = 3𝑥2
𝑦3
𝑓( 𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
𝑦3
+ ℎ( 𝑦)
−9𝑥2
𝑦2
+ ℎ′( 𝑥) = 4𝑦3
− 9𝑥2
𝑦2
ℎ′( 𝑥) = 4𝑦3

8. ________________________________________________________________________________
Integrando
ℎ( 𝑥) = 𝑦4
𝑓( 𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
𝑦3
+ 𝑦4
+ 𝑐
E. Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial (Ramiro Riveros)
( 𝑥2
+ 2𝑦2)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
− 𝑥𝑦 = 0
𝑦(−1) = 1
Respuesta
Nombre estudiante que realiza el ejercicio: Ramiro Riveros Pérez
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
RAZON O EXPLICACION
Despejemos dy/dx para verificar si es
homogénea:
Se remplaza en la ecuación y=ay y
x=ax
Luego, la ecuación diferencial es
homogénea; dividimos entrex2:
Ahora:
Se deriva con respecto a:

9. ________________________________________________________________________________
Se separa las variables:
Integrando:
Resolvemos:
Se remplaza en la integral:
Se reemplaza (**) en (*):
ln|1 + 𝑧2| = 2 ln|𝑥| + 𝐶 → ln|1 + 𝑧2| = 𝑙𝑛|𝑥2| + 𝐶
𝑒ln |1+𝑧2| = 𝑒ln|𝑥2|+𝑐 → 1 + 𝑧2 = 𝑒𝑐𝑥2
1 + 𝑧2 = 𝐶𝑥2
Entonces:
𝑧 =
𝑦
𝑥
1 + (
𝑦
𝑥
)
2
= 𝑐𝑥2
𝑦2
𝑥2
= 𝑐𝑥2
− 1
𝑦2
= 𝑥2( 𝑐𝑥2
− 1)
𝑦 = ±𝑥√ 𝑐𝑥2 − 1
Reemplazamos y resolvemos:
1 = (1)√𝑐(1)2 − 1
1 = 𝑐 − 1
𝑐 = 2
Hallando el valor de la contaste
𝑦 = 𝑥√ 𝑐𝑥2 − 1 Ecuación diferencial.

10. ________________________________________________________________________________
Elizabeth Caballero
Ramiro Riveros
Nelson Masmela
Deyber Pinzon
EVALUACIÓN Y ANÁLISIS DE SOLUCIÓN PLANTEADA
Enunciado 1:
Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una
solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min.
La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del
tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que
entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la
concentración de sal en el tanque.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
𝑉(0) = 1000𝐿
𝐶 𝑒 = 𝐾𝑔 𝐿⁄ ( 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎)
𝑉𝐸 = 6𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ (𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎)
𝑉𝑠 = 6𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ (𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎)
𝑥(0) = 𝑂(𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑚𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒)
𝑄(𝑡) = 1 2⁄ 𝐾𝑔 𝐿⁄
𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑉
𝑑𝑐( 𝑡)
𝑑𝑡
Debido a que el volumen es constante el caudal de entrada y de salida es el mismo
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑄𝑒 𝑐 𝑒 = 6
𝐿
𝑚𝑖𝑛
× 1
𝑘𝑔
𝐿
= 6 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛
La salida de sal que sale por minuto seria
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑄𝑠 𝑐( 𝑡) = 6
𝐿
𝑚𝑖𝑛
𝑐( 𝑡) = 6 𝑐( 𝑡) 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛

11. ________________________________________________________________________________
La fórmula general para hallar la cantidad de soluto en un tiempo nos quedaría.
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑉𝐸 . 𝐶 𝑒 − 𝑉𝑠
𝑄(𝑡)
( 𝑉𝐸 − 𝑉𝑠) 𝑡 + 𝑉0
Reemplazamos los valores conocidos
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 6(1)−
6𝑄(𝑡)
(6 − 6) 𝑡 + 1000
Resolvemos
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 6 −
6𝑄(𝑡)
(0) 𝑡 + 1000
Quedaría la ecuación diferencial
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 6−
6𝑄(𝑡)
1000
Organizamos dejando a Q de un lado de la ecuación
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
6𝑄(𝑡)
1000
= 6
Simplificamos
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
3𝑄(𝑡)
500
= 6
Utilizamos método de factor integrante
𝑒
∫
1
500
𝑑𝑥
= 𝑒
∫
𝑡
500
Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante
𝑒
𝑡
500 (
𝑑𝑄
𝑑𝑡
) + 𝑒
𝑡
500 (
3𝑄
500
) = 𝑒
𝑡
500 (6)
Derivamos

12. ________________________________________________________________________________
𝑑
𝑑𝑡
(𝑒
𝑡
500 𝑄) = 6. 𝑒
𝑡
500
Integramos con respecto a t ambos lados
(𝑒
𝑡
500 𝑄) = ∫ 6. 𝑒
𝑡
500 𝑑𝑡
Resolvemos
(𝑒
𝑡
500 𝑄) = 6. 𝑒
𝑡
500 (500)+ 𝑐
Reescribimos
(𝑒
𝑡
500 𝑄) = 3000. 𝑒
𝑡
500 + 𝑐
Multiplicamos a ambos lados por 𝑒
−𝑡
500
𝑄( 𝑡) = 3000 + 𝑐. 𝑒
−𝑡
500
Reemplazamos los valores de 𝑄(0) 𝑌 𝑡(0)
𝑄( 𝑡) = 3000 + 𝑐. 𝑒
0
500
Hallamos el valor de c.
𝑄(0) = 3000 + 𝑐.1
0 = 3000 + 𝑐
𝑐 = −3000
Reemplazamos el valor de c en la ecuación.
𝑄( 𝑡) = 3000 − 3000(𝑒
−𝑡
500 )
Hallamos el valor de t despejando la ecuación y sustituyendo los valores de 𝑄(𝑡)

13. ________________________________________________________________________________
1
2
= 3000 − 3000(𝑒
−𝑡
500 )
Ahora t es
𝑡 = −500 ln (
5999
6000
) ≈ 0,083
RAZON O EXPLICACION
Respuesta: Cuando t valga 0,083 min, entonces en el tanque habrá una
concentración de 1⁄2 Kg⁄L de sal.
De esta manera deducimos la ecuación diferencial
𝑑𝑐( 𝑡)
𝑑𝑡
=
6 − 6𝑐( 𝑡)
1000
𝑐′
= (1 − 𝑐)
3
500
1
1 − 𝑐
𝑑𝑐 =
3
500
𝑑𝑡
∫
1
1 − 𝑐
𝑑𝑐 = ∫
3
500
𝑑𝑡
−ln(1 − 𝑐) =
3
500
𝑡 + 𝑘
𝑒− ln(1−𝑐)
= 𝑒
(
3
500
𝑡+𝑘)
1 − 𝑐 = 𝑒
3
500
𝑡
𝑒 𝑘
𝑐 = 𝑘′
𝑒
−
3
500
𝑡
− 1
𝑐( 𝑡) = 1 − 𝑘′
𝑒
−
3
500
𝑡
𝑘′
= 0

14. ________________________________________________________________________________
Porque 𝑐(0) = 0
Entonces
𝑐( 𝑡) = 1 − 𝑒
−−
3
500
𝑡
Como 𝑐( 𝑡) =
1
2
1
2
= 1 − 𝑒
−−
3
500
𝑡
𝑒
−
3
500
𝑡
=
1
2
−
3
500
𝑡 = ln
1
2
𝑡 = −
500
3
ln
1
2
𝑡 = 115,52 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Enunciado 2:
Un objeto de masa 3 Kg se libera desde el reposo a 500 m sobre el piso y se le
permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional
es constante, con 𝑔=9,81 𝑚𝑠2 y que la fuerza debida a la resistencia del aire es
proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad 𝑏=3 𝑁𝑠𝑚.
Determinar el momento en el que el objeto golpeará el suelo.
Solución a evaluar:
Datos:
M=3kg
Reposo= 500 m
g=9,81 m/s2
b=3 Ns/m

15. ________________________________________________________________________________
Al realizar el diagrama de fuerzas, nos damos cuenta que hay dos fuerzas
actuando sobre el objeto. Una fuerza constante debida al empuje hacia abajo de la
gravedad y una fuerza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la
velocidad del objeto, actuando en forma opuesta al movimiento del objeto. Por lo
tanto, el movimiento del objeto se realizará a lo largo de un eje vertical.
Elegimos como origen el punto desde donde el objeto fue lanzado inicialmente.
Definimos (𝑡) la distancia que ha caído el objeto hasta el instante 𝑡.
Las fuerzas que actúan sobre el objeto a lo largo de este eje son:
El peso, 𝐹1=𝑊=𝑚𝑔 donde 𝑔 es la aceleración de la gravedad.
Fuerza debida a la resistencia del aire,
𝐹2=−𝑏 (𝑡) con 𝑏>0
De esta manera, la fuerza neta 𝐹 que actúa sobre el sistema es
𝑭=𝒎𝒈+𝒃𝒗(𝒕)
Aplicando la segunda ley de Newton tenemos:
Al resolver la ecuación anterior por el método de variables separables, podemos
colegir que
Como

16. ________________________________________________________________________________
(0)=𝑣0 , que es una de las condiciones iniciales del problema (cuando el tiempo es
cero el objeto tiene una velocidad inicial), el valor de la constante 𝑘 se halla
reemplazando en la ecuación anterior 𝑡=0 ; 𝑣=𝑣0
De donde
Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 se deduce que la ecuación de la
velocidad
Como hemos considerado que 𝑥0=0 cuando 𝑡=0, determinamos la ecuación del
movimiento integrando (𝑡), respecto al tiempo.
Reemplazando por los valores iniciales 𝑥=0 𝑠𝑖𝑡=0
De donde
Reemplazando la ecuación 4 en la ecuación 3 tenemos
De donde la ecuación del movimiento es
Utilizando este modelo con 𝑣0=0, 𝑚=3, 𝑏=3 𝑦𝑔=9,81 y reemplazando en la
ecuación de movimiento, obtenemos

17. ________________________________________________________________________________
Entonces
Como el objeto se libera a 500 m sobre el piso, podemos determinar el momento
en que el objeto golpea el suelo haciendo (𝑡)=500, y despejando 𝑡. Así,
escribimos
O lo que es lo mismo
Como esta última ecuación no se puede resolver de manera explícita en términos
de 𝑡. Podría tratar de aproximarse 𝑡 mediante el método de aproximación de
Newton, pero en este caso, no es necesario. Como 𝑒−𝑡 será muy pequeño para 𝑡
cercano a 51,97 (𝑒−51,97≈10−22) simplemente ignoramos el término 𝑒−𝑡 y
obtenemos como aproximación 𝑡=49,968 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝐹𝑇 = 𝐹1 − 𝐹2
𝐹𝑇 = 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡)la formulael rozamientoesnegativoyaque escontraía a la fuerzade
gravedad.
𝑚. 𝑎 = 𝑚𝑔− 𝑏 𝑣(𝑡)
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡)el diferencial
𝑑𝑥
𝑑𝑡
estamal expresadoporque laaceleraciónnodebe seren
funciónde ladistanciasinode la velocidad.
1
𝑚
( 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
) =
1
𝑚
( 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡))
𝑑𝑣 = ( 𝑔 − (𝑏 𝑣(𝑡))/𝑚) 𝑑𝑡
𝑑𝑣/ ( 𝑔 −
𝑏 𝑣
𝑚
) = 𝑑𝑡
Integramos
∫
1
( 𝑔−
𝑏 𝑣
𝑚
)
. 𝑑𝑣 →
1
𝑔
∫
1
(1−
𝑏 𝑣
𝑚.𝑔
)
. 𝑑𝑣
𝑢 = 1 − (
𝑏
𝑚𝑔
𝑣)

18. ________________________________________________________________________________
𝑑𝑢 =
𝑏
𝑚𝑔
𝑑𝑣
−
𝑚𝑔
𝑏
∫
1
𝑢
. 𝑑𝑢 = 𝑔 ∫ 𝑑𝑡 → ln (1 −
𝑏
𝑚𝑔
𝑣)= (
−𝑏
𝑚
) 𝑡 + 𝑘 →
−b
𝑚
𝑡 + 𝑘
1 −
𝑏
𝑚𝑔
v = k 𝑒
−𝑏
𝑚
𝑡
→ 𝑣 =
𝑚𝑔
𝑏
− 𝑘
𝑚𝑔
𝑏
𝑒
−𝑏
𝑚
𝑡
𝑣0 =
𝑚𝑔
𝑏
− 𝑘
𝑚𝑔
𝑏
= ,
Despejamos k
k = 1 −
𝑏
𝑚𝑔
𝑣𝑜
𝑣 =
𝑚𝑔
𝑏
− 𝑘
𝑚𝑔
𝑏
𝑒
−𝑏
𝑚
𝑡
X(t)= ∫ 𝑣. 𝑑𝑡 = ∫
𝑚𝑔
𝑏
𝑑𝑡 −
𝑚𝑔
𝑏
𝑑𝑡 ∫ 𝑒
−𝑏
𝑚
𝑡
𝑑𝑡
𝑥 =
𝑚𝑔
𝑏
𝑡 −
𝑚2
𝑏2
𝑔 𝑒
−𝑏
𝑚
𝑡
𝑥 =
𝑚𝑔
𝑏
𝑡 −
𝑚2
𝑏2
𝑔 𝑒
−𝑏
𝑚
𝑡
𝑥 = 9.8𝑡 + 9.8 𝑒−𝑡
500
9.8
= 𝑡 + 𝑒−𝑡
51.02 = 𝑡 + 𝑒−𝑡
El objeto golpeara el piso en 51.02 segundos

19. ________________________________________________________________________________
CONCLUSIONES
Con el desarrollo del presente trabajo, estamos en condiciones de identificar el
método o caso que se debe utilizar para dar la solución general a una ecuación
diferencial de primero orden.
En la resolución del presente trabajo nos apropiamos de los conceptos básicos y
terminologías de las ecuaciones diferenciales de primer orden, aplicando
diferentes casos en la resolución de los problemas analizando propiedades y
características de una ecuación lineal.
Las ecuaciones diferenciales nos permiten solucionar ejercicios planteados en
todos los estudios de ingeniería y otras áreas.
Se reconocieron los diferentes casos de solución de las ED de primer orden.
Se plantearon métodos situación y solución a ED de primer orden.

20. ________________________________________________________________________________
BIBLIOGRAFIA
1. MANUAL EDITOR DE ECUACIONES, Microsoft Word, Universidad
tecnológica de Chile, INACAP SEDE VIRTUAL, www.inacap.cl.
2. García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial
Patria. 2-30. Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11
017467
3. Alonso, A., Álvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales
ordinarias: ejercicios y problemas resueltos.
Delta Publicaciones. 1-4. Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923.
4. Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción.
Colombia: Ecoe Ediciones. 1-18. Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=105
84022