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100412 45 trabajo_fase1 (1)
El documento presenta un trabajo colaborativo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. El objetivo general es resolver y analizar este tipo de ecuaciones. Se definen objetivos específicos como conocer la clasificación de las ecuaciones diferenciales, analizar las propiedades de las ecuaciones lineales y determinar si una ecuación es exacta. El documento desarrolla actividades para clasificar ecuaciones diferenciales, resolver ecuaciones por métodos como variables separables y hallar factores integrantes.
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- 1. ________________________________________________________________________________ ECUACIONES DIFERENCIALES TRABAJO COLABORATIVO1 GRUPO 100412_45 ELIZABETH CABALLERO CC. 1116992731 RAMIRO RIVEROS PEREZ CC.74082764 NELSON YESID MASMELA CC. DEYBER PINZON BERNAL CC. TUTOR RAMIRO PEÑA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CEAD YOPAL CASANARE ABRIL 2016
- 2. ________________________________________________________________________________ INTRODUCCION En el presentedocumento conoceremos y analizaremos conceptos básicos de una ecuación diferencial; descubriremos como conocer y diferenciar una ecuación de acuerdo a su tipo, orden y linealidad; veremos la importancia de conocer y manejar los distintos métodos para dar solución a las mismas. Pondremos a prueba nuestro conocimiento de derivadas e integración con el fin de poder determinar y hallar ecuaciones diferenciales de primer orden.
- 3. ________________________________________________________________________________ OBJETIVOS Objetivo general Resolvery analizar ecuaciones diferenciales de primer orden Objetivos específicos Conocer la clasificación de una ecuación diferencial Analizar las propiedades y características de una ecuación lineal Determinar si una ecuación diferencial es exacta
- 4. ________________________________________________________________________________ DESARROLLO ACTIVIDAD Temática 1:Introducción a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, justifique su respuesta. ECUACIÓN OBSERVACIONES: ORDEN DE ECUACIÓN, LINEAL O NO LINEAL Y JUSTIFICACIÓN ESTUDIANTE A. 𝑥2 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) − ( 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑦 = ( 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Ecuación de primer orden, lineal NELSON MASMELA B. 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + ( 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦3 = 𝑒 𝑥 + 1 Es una Ecuación de 1er orden, es una ecuación No lineal, ya que cumple con condición estar acompañado con funciones de x el único problema es que el coeficiente 𝑦 que acompaña a dy/dx no es un coeficiente que depende de x, por lo cual hace que la función sea una ecuación no lineal. ELIZABETH CABALLERO C. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦) Es una ecuación de 2do orden, es una ecuación Lineal, porque la variable dependiente es de 1er grado, los coeficientes son constantes y cumple con la condición que sus coeficientes solo dependen de x. ELIZABETH CABALLERO D. 𝑑2 𝑟 𝑑𝑢2 = √1 + ( 𝑑𝑟 𝑑𝑢 ) segundo orden, no lineal porque el diferencial esta elevado al cuadrado NELSON YESID MASMELA E. ( 𝑦2 − 1) 𝑑𝑥 + 6 𝑥𝑑𝑦 = 0 Esta ecuación lineal es ordinaria de primer orden, pues se deja a y como la variable dependiente y se divide por dx. RAMIRO RIVEROS
- 5. ________________________________________________________________________________ Temática 2: ecuacionesdiferenciales de primer orden A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables (Nelson Yesid Masmela) 𝑒−𝑦 + 𝑒−2𝑥−𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒−𝑦 + 𝑒−2𝑥 𝑒−𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒−𝑦(1 + 𝑒−2𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 + 𝑒−2𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑒−𝑦 𝑑𝑦 ∫( 𝑒−𝑥 + 𝑒−3𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦 Primera integral Segunda integral Tercera integral (por partes) 𝑣 = −𝑥 𝑑𝑣 = −𝑑𝑥 𝑢 = −3𝑥 𝑑𝑢 = −3𝑑𝑥 𝑢 = 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 𝑣 = 𝑒 𝑦 −∫ 𝑒 𝑣 𝑑𝑣 − 1 3 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑦𝑒 𝑦 − ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 −𝑒−𝑥 − 1 3 𝑒−3𝑥 + 𝑐 = 𝑦𝑒 𝑦 − 𝑒 𝑦 −𝑒−𝑥(1 + 𝑒−2𝑥) + 𝑐 = 𝑒 𝑦( 𝑦 − 1) 𝑦 = − (1 + 𝑒−2𝑥) + 𝑐 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 + 1
- 6. ________________________________________________________________________________ B. Determine sila ecuación dada es exacta, si lo es resuélvala (Elizabeth Caballero) (1 − lnx) dy = (1 + lnx + y x ) dx Es exacta si dM dy = dN dx M(−(1 + lnx + y x )) dx+ N(1 − lnx) dy = 0 dM dy = −1 − 𝑙𝑛𝑥 − y x dN dx = 1 − 𝑙𝑛𝑥 dM dy = −1 − 𝑙𝑛𝑥 − 0 x dN dx = 1 − 𝑙𝑛0 dM dy = −𝒍𝒏 dN dx = −𝒍𝒏 𝜕(1 − ln 𝑥) 𝜕𝑥 = − 1 𝑥 = 𝜕 (−1 − ln 𝑥 − 𝑦 𝑥 ) 𝜕𝑦 Es una ecuación exacta f(x, y) M(x, y)dx = (−1 − 𝑙𝑛𝑥 − y x ) 𝑑𝑥 A partir de la función integramos f−𝑥𝑑𝑥 +−𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 +− y x 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) f−𝑥−𝑙𝑛𝑥𝑥 − 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦) f𝑙𝑛𝑥 − 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦) Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y) 𝑁 = df dy (1 − lnx) = df dy 𝑙𝑛𝑥 + 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦) (1 − lnx) = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑔( 𝑦)´
- 7. ________________________________________________________________________________ Despejamos𝑔( 𝑦)´𝑔( 𝑥)´= 1 g(y)’ (1 − lnx) dy + 𝑙𝑛𝑥 g(y)’ 1d 𝑦 − lnx dy +𝑙𝑛𝑥 g(y)’ 𝑦 − lnxy + 𝑙𝑛𝑥 g(y)’ 𝑦 𝑹/ F= 𝑔( 𝑦) +g (y)’ = 𝒍 𝒏𝒙 − 𝒚 𝒍𝒏𝒙 + 𝒚 C. Resuelva la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante 6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 − 9𝑥2) 𝑑𝑦 = 0 𝜕(6𝑥𝑦) 𝜕𝑦 = 6𝑥 𝜕(4𝑦 − 9𝑥2) 𝜕𝑥 = 18𝑥 Las derivadas parciales no son iguales Procedemos a hallar el factor integrante 𝑀 𝑥 − 𝑁 𝑦 𝑀 𝑥𝑦 = 18𝑥 − 6𝑥 6𝑥𝑦 = 12𝑥 6𝑥𝑦 = 2 𝑦 𝜇 𝑥 = 𝑒 ∫ 2 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒2ln 𝑦 = 𝑒ln 𝑦2 = 𝑦2 𝑦2(6𝑥𝑦𝑑𝑥) + 𝑦2(4𝑦 − 9𝑥2) 𝑑𝑦 = 0 6𝑥𝑦3 𝑑𝑥 + (4𝑦3 − 9𝑥2 𝑦2) 𝑑𝑦 = 0 ∫6𝑥𝑦3 𝑑𝑥 = 3𝑥2 𝑦3 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 𝑦3 + ℎ( 𝑦) −9𝑥2 𝑦2 + ℎ′( 𝑥) = 4𝑦3 − 9𝑥2 𝑦2 ℎ′( 𝑥) = 4𝑦3
- 8. ________________________________________________________________________________ Integrando ℎ( 𝑥) =𝑦4 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 𝑦3 + 𝑦4 + 𝑐 E. Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial (Ramiro Riveros) ( 𝑥2 + 2𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − 𝑥𝑦 = 0 𝑦(−1) = 1 Respuesta Nombre estudiante que realiza el ejercicio: Ramiro Riveros Pérez PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZON O EXPLICACION Despejemos dy/dx para verificar si es homogénea: Se remplaza en la ecuación y=ay y x=ax Luego, la ecuación diferencial es homogénea; dividimos entrex2: Ahora: Se deriva con respecto a:
- 9. ________________________________________________________________________________ Se separa lasvariables: Integrando: Resolvemos: Se remplaza en la integral: Se reemplaza (**) en (*): ln|1 + 𝑧2| = 2 ln|𝑥| + 𝐶 → ln|1 + 𝑧2| = 𝑙𝑛|𝑥2| + 𝐶 𝑒ln |1+𝑧2| = 𝑒ln|𝑥2|+𝑐 → 1 + 𝑧2 = 𝑒𝑐𝑥2 1 + 𝑧2 = 𝐶𝑥2 Entonces: 𝑧 = 𝑦 𝑥 1 + ( 𝑦 𝑥 ) 2 = 𝑐𝑥2 𝑦2 𝑥2 = 𝑐𝑥2 − 1 𝑦2 = 𝑥2( 𝑐𝑥2 − 1) 𝑦 = ±𝑥√ 𝑐𝑥2 − 1 Reemplazamos y resolvemos: 1 = (1)√𝑐(1)2 − 1 1 = 𝑐 − 1 𝑐 = 2 Hallando el valor de la contaste 𝑦 = 𝑥√ 𝑐𝑥2 − 1 Ecuación diferencial.
- 10. ________________________________________________________________________________ Elizabeth Caballero Ramiro Riveros NelsonMasmela Deyber Pinzon EVALUACIÓN Y ANÁLISIS DE SOLUCIÓN PLANTEADA Enunciado 1: Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA 𝑉(0) = 1000𝐿 𝐶 𝑒 = 𝐾𝑔 𝐿⁄ ( 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎) 𝑉𝐸 = 6𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ (𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎) 𝑉𝑠 = 6𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ (𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎) 𝑥(0) = 𝑂(𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑚𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒) 𝑄(𝑡) = 1 2⁄ 𝐾𝑔 𝐿⁄ 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑉 𝑑𝑐( 𝑡) 𝑑𝑡 Debido a que el volumen es constante el caudal de entrada y de salida es el mismo 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑄𝑒 𝑐 𝑒 = 6 𝐿 𝑚𝑖𝑛 × 1 𝑘𝑔 𝐿 = 6 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛 La salida de sal que sale por minuto seria 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑄𝑠 𝑐( 𝑡) = 6 𝐿 𝑚𝑖𝑛 𝑐( 𝑡) = 6 𝑐( 𝑡) 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛
- 11. ________________________________________________________________________________ La fórmula generalpara hallar la cantidad de soluto en un tiempo nos quedaría. 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝑉𝐸 . 𝐶 𝑒 − 𝑉𝑠 𝑄(𝑡) ( 𝑉𝐸 − 𝑉𝑠) 𝑡 + 𝑉0 Reemplazamos los valores conocidos 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 6(1)− 6𝑄(𝑡) (6 − 6) 𝑡 + 1000 Resolvemos 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 6 − 6𝑄(𝑡) (0) 𝑡 + 1000 Quedaría la ecuación diferencial 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 6− 6𝑄(𝑡) 1000 Organizamos dejando a Q de un lado de la ecuación 𝑑𝑄 𝑑𝑡 + 6𝑄(𝑡) 1000 = 6 Simplificamos 𝑑𝑄 𝑑𝑡 + 3𝑄(𝑡) 500 = 6 Utilizamos método de factor integrante 𝑒 ∫ 1 500 𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ 𝑡 500 Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante 𝑒 𝑡 500 ( 𝑑𝑄 𝑑𝑡 ) + 𝑒 𝑡 500 ( 3𝑄 500 ) = 𝑒 𝑡 500 (6) Derivamos
- 12. ________________________________________________________________________________ 𝑑 𝑑𝑡 (𝑒 𝑡 500 𝑄) =6. 𝑒 𝑡 500 Integramos con respecto a t ambos lados (𝑒 𝑡 500 𝑄) = ∫ 6. 𝑒 𝑡 500 𝑑𝑡 Resolvemos (𝑒 𝑡 500 𝑄) = 6. 𝑒 𝑡 500 (500)+ 𝑐 Reescribimos (𝑒 𝑡 500 𝑄) = 3000. 𝑒 𝑡 500 + 𝑐 Multiplicamos a ambos lados por 𝑒 −𝑡 500 𝑄( 𝑡) = 3000 + 𝑐. 𝑒 −𝑡 500 Reemplazamos los valores de 𝑄(0) 𝑌 𝑡(0) 𝑄( 𝑡) = 3000 + 𝑐. 𝑒 0 500 Hallamos el valor de c. 𝑄(0) = 3000 + 𝑐.1 0 = 3000 + 𝑐 𝑐 = −3000 Reemplazamos el valor de c en la ecuación. 𝑄( 𝑡) = 3000 − 3000(𝑒 −𝑡 500 ) Hallamos el valor de t despejando la ecuación y sustituyendo los valores de 𝑄(𝑡)
- 13. ________________________________________________________________________________ 1 2 = 3000 −3000(𝑒 −𝑡 500 ) Ahora t es 𝑡 = −500 ln ( 5999 6000 ) ≈ 0,083 RAZON O EXPLICACION Respuesta: Cuando t valga 0,083 min, entonces en el tanque habrá una concentración de 1⁄2 Kg⁄L de sal. De esta manera deducimos la ecuación diferencial 𝑑𝑐( 𝑡) 𝑑𝑡 = 6 − 6𝑐( 𝑡) 1000 𝑐′ = (1 − 𝑐) 3 500 1 1 − 𝑐 𝑑𝑐 = 3 500 𝑑𝑡 ∫ 1 1 − 𝑐 𝑑𝑐 = ∫ 3 500 𝑑𝑡 −ln(1 − 𝑐) = 3 500 𝑡 + 𝑘 𝑒− ln(1−𝑐) = 𝑒 ( 3 500 𝑡+𝑘) 1 − 𝑐 = 𝑒 3 500 𝑡 𝑒 𝑘 𝑐 = 𝑘′ 𝑒 − 3 500 𝑡 − 1 𝑐( 𝑡) = 1 − 𝑘′ 𝑒 − 3 500 𝑡 𝑘′ = 0
- 14. ________________________________________________________________________________ Porque 𝑐(0) =0 Entonces 𝑐( 𝑡) = 1 − 𝑒 −− 3 500 𝑡 Como 𝑐( 𝑡) = 1 2 1 2 = 1 − 𝑒 −− 3 500 𝑡 𝑒 − 3 500 𝑡 = 1 2 − 3 500 𝑡 = ln 1 2 𝑡 = − 500 3 ln 1 2 𝑡 = 115,52 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Enunciado 2: Un objeto de masa 3 Kg se libera desde el reposo a 500 m sobre el piso y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante, con 𝑔=9,81 𝑚𝑠2 y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad 𝑏=3 𝑁𝑠𝑚. Determinar el momento en el que el objeto golpeará el suelo. Solución a evaluar: Datos: M=3kg Reposo= 500 m g=9,81 m/s2 b=3 Ns/m
- 15. ________________________________________________________________________________ Al realizar eldiagrama de fuerzas, nos damos cuenta que hay dos fuerzas actuando sobre el objeto. Una fuerza constante debida al empuje hacia abajo de la gravedad y una fuerza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad del objeto, actuando en forma opuesta al movimiento del objeto. Por lo tanto, el movimiento del objeto se realizará a lo largo de un eje vertical. Elegimos como origen el punto desde donde el objeto fue lanzado inicialmente. Definimos (𝑡) la distancia que ha caído el objeto hasta el instante 𝑡. Las fuerzas que actúan sobre el objeto a lo largo de este eje son: El peso, 𝐹1=𝑊=𝑚𝑔 donde 𝑔 es la aceleración de la gravedad. Fuerza debida a la resistencia del aire, 𝐹2=−𝑏 (𝑡) con 𝑏>0 De esta manera, la fuerza neta 𝐹 que actúa sobre el sistema es 𝑭=𝒎𝒈+𝒃𝒗(𝒕) Aplicando la segunda ley de Newton tenemos: Al resolver la ecuación anterior por el método de variables separables, podemos colegir que Como
- 16. ________________________________________________________________________________ (0)=𝑣0 , quees una de las condiciones iniciales del problema (cuando el tiempo es cero el objeto tiene una velocidad inicial), el valor de la constante 𝑘 se halla reemplazando en la ecuación anterior 𝑡=0 ; 𝑣=𝑣0 De donde Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 se deduce que la ecuación de la velocidad Como hemos considerado que 𝑥0=0 cuando 𝑡=0, determinamos la ecuación del movimiento integrando (𝑡), respecto al tiempo. Reemplazando por los valores iniciales 𝑥=0 𝑠𝑖𝑡=0 De donde Reemplazando la ecuación 4 en la ecuación 3 tenemos De donde la ecuación del movimiento es Utilizando este modelo con 𝑣0=0, 𝑚=3, 𝑏=3 𝑦𝑔=9,81 y reemplazando en la ecuación de movimiento, obtenemos
- 17. ________________________________________________________________________________ Entonces Como el objetose libera a 500 m sobre el piso, podemos determinar el momento en que el objeto golpea el suelo haciendo (𝑡)=500, y despejando 𝑡. Así, escribimos O lo que es lo mismo Como esta última ecuación no se puede resolver de manera explícita en términos de 𝑡. Podría tratar de aproximarse 𝑡 mediante el método de aproximación de Newton, pero en este caso, no es necesario. Como 𝑒−𝑡 será muy pequeño para 𝑡 cercano a 51,97 (𝑒−51,97≈10−22) simplemente ignoramos el término 𝑒−𝑡 y obtenemos como aproximación 𝑡=49,968 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝐹𝑇 = 𝐹1 − 𝐹2 𝐹𝑇 = 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡)la formulael rozamientoesnegativoyaque escontraía a la fuerzade gravedad. 𝑚. 𝑎 = 𝑚𝑔− 𝑏 𝑣(𝑡) 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡)el diferencial 𝑑𝑥 𝑑𝑡 estamal expresadoporque laaceleraciónnodebe seren funciónde ladistanciasinode la velocidad. 1 𝑚 ( 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ) = 1 𝑚 ( 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡)) 𝑑𝑣 = ( 𝑔 − (𝑏 𝑣(𝑡))/𝑚) 𝑑𝑡 𝑑𝑣/ ( 𝑔 − 𝑏 𝑣 𝑚 ) = 𝑑𝑡 Integramos ∫ 1 ( 𝑔− 𝑏 𝑣 𝑚 ) . 𝑑𝑣 → 1 𝑔 ∫ 1 (1− 𝑏 𝑣 𝑚.𝑔 ) . 𝑑𝑣 𝑢 = 1 − ( 𝑏 𝑚𝑔 𝑣)
- 18. ________________________________________________________________________________ 𝑑𝑢 = 𝑏 𝑚𝑔 𝑑𝑣 − 𝑚𝑔 𝑏 ∫ 1 𝑢 . 𝑑𝑢= 𝑔 ∫ 𝑑𝑡 → ln (1 − 𝑏 𝑚𝑔 𝑣)= ( −𝑏 𝑚 ) 𝑡 + 𝑘 → −b 𝑚 𝑡 + 𝑘 1 − 𝑏 𝑚𝑔 v = k 𝑒 −𝑏 𝑚 𝑡 → 𝑣 = 𝑚𝑔 𝑏 − 𝑘 𝑚𝑔 𝑏 𝑒 −𝑏 𝑚 𝑡 𝑣0 = 𝑚𝑔 𝑏 − 𝑘 𝑚𝑔 𝑏 = , Despejamos k k = 1 − 𝑏 𝑚𝑔 𝑣𝑜 𝑣 = 𝑚𝑔 𝑏 − 𝑘 𝑚𝑔 𝑏 𝑒 −𝑏 𝑚 𝑡 X(t)= ∫ 𝑣. 𝑑𝑡 = ∫ 𝑚𝑔 𝑏 𝑑𝑡 − 𝑚𝑔 𝑏 𝑑𝑡 ∫ 𝑒 −𝑏 𝑚 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 = 𝑚𝑔 𝑏 𝑡 − 𝑚2 𝑏2 𝑔 𝑒 −𝑏 𝑚 𝑡 𝑥 = 𝑚𝑔 𝑏 𝑡 − 𝑚2 𝑏2 𝑔 𝑒 −𝑏 𝑚 𝑡 𝑥 = 9.8𝑡 + 9.8 𝑒−𝑡 500 9.8 = 𝑡 + 𝑒−𝑡 51.02 = 𝑡 + 𝑒−𝑡 El objeto golpeara el piso en 51.02 segundos
- 19. ________________________________________________________________________________ CONCLUSIONES Con el desarrollodel presente trabajo, estamos en condiciones de identificar el método o caso que se debe utilizar para dar la solución general a una ecuación diferencial de primero orden. En la resolución del presente trabajo nos apropiamos de los conceptos básicos y terminologías de las ecuaciones diferenciales de primer orden, aplicando diferentes casos en la resolución de los problemas analizando propiedades y características de una ecuación lineal. Las ecuaciones diferenciales nos permiten solucionar ejercicios planteados en todos los estudios de ingeniería y otras áreas. Se reconocieron los diferentes casos de solución de las ED de primer orden. Se plantearon métodos situación y solución a ED de primer orden.
- 20. ________________________________________________________________________________ BIBLIOGRAFIA 1. MANUAL EDITORDE ECUACIONES, Microsoft Word, Universidad tecnológica de Chile, INACAP SEDE VIRTUAL, www.inacap.cl. 2. García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. 2-30. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11 017467 3. Alonso, A., Álvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales ordinarias: ejercicios y problemas resueltos. Delta Publicaciones. 1-4. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923. 4. Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. 1-18. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=105 84022