El documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales abordados en la sesión 6, incluyendo el método de factor integrante para resolver ecuaciones diferenciales no exactas, ejemplos de factores de integración, y la forma estándar de resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

1. MATEMÁTICA III
UNIVERSIDAD
RICARDO PALMA
CICLO: 2022-II
SEMANA 6

2. Al término de la sesión el estudiante:
❑ Determina la solución de las
Ecuaciones Diferenciales mediante
Factores de integración.
❑ Identifica las EDO de Bernoulli y de
Riccati.
❑ Resuelve Ecuaciones Diferenciales
lineales, y ejercicios diversos de
aplicación.
LOGRO DE LA SESIÓN

3. MOTIVACIÓN
¿CUÁNDO SE USA EL MÉTODO DE FACTOR INTEGRANTE?
Usamos el método de
Factor integrante
cuando la ecuación
diferencial es NO
EXACTA.
Al determinar el
factor integrante y
multiplicar a toda
la ecuación
diferencial
obtenemos una
ecuación diferencial
EXACTA, y se
resuelve con el
método estudiado en
las ecuaciones
diferenciales
exactas.

4. FACTORES DE INTEGRACIÓN
Las ecuaciones diferenciales: 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 que no son exactas pueden
ser transformadas en ecuaciones diferenciales exactas, para lo cual deben ser
multiplicadas por expresiones apropiadas 𝑢(𝑥, 𝑦) llamadas factores de integración.
FORMAS DE UN FACTOR DE INTEGRACIÓN
Para esto consideramos la ecuación diferencial no exacta:𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 y
sea 𝑢 = 𝑢 𝑥, 𝑦 , un factor de integración de esta ecuación. Entonces:
𝑢 𝑥, 𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 , es exacta.
Por lo tanto se cumple:
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝑀 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝑁
֜ 𝑀
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑢
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 𝑁
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑢
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑒. 𝑒. 𝑢
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑁
𝜕𝑢
𝜕𝑥
− 𝑀
𝜕𝑢
𝜕𝑦
… (𝐼)

5. Ahora consideramos los siguientes casos:
Si 𝑢 = 𝑢(𝑥) es una función solo de 𝑥
֜
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
˄
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 𝑒𝑛 𝐼 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑢
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑁
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑒. 𝑐.
𝑑𝑢
𝑢
=
1
𝑁
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑑𝑥 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛: 𝑓 𝑥 =
1
𝑁
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Integrando tenemos:
𝐿𝑛 𝑢 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ՜ 𝑢 = 𝑒‫׬‬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Por lo tanto, en éste caso el factor integrante será:
𝑢 = 𝑒‫׬‬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

6. Si 𝑢 = 𝑢(𝑦) , es una función solo de 𝑦.
֜
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
˄
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0
En (𝐼) y tenemos: 𝑢
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= −𝑀
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑒. 𝑒.
𝑑𝑢
𝑢
= −
1
𝑀
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑑𝑦 ; 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 ; 𝑐𝑜𝑛: 𝑔 𝑦 = −
1
𝑀
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Integrando tenemos:
𝐿𝑛 𝑢 = න 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 ՜ 𝑢 = 𝑒‫׬‬ 𝑔 𝑦 𝑑𝑦
Por lo tanto, en este caso el factor integrante será:
𝑢 = 𝑒‫׬‬ 𝑔 𝑦 𝑑𝑦

7. En algunos casos el factor integrante es considerado como el producto de las funciones
𝑓 𝑥 ˄ 𝑔(𝑦) ; es decir 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥)
֜
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑓′
𝑥 𝑔 𝑦 ˄
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑦)
𝑒𝑛 𝐼 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑦
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑁𝑓′
𝑥 𝑔 𝑦 − 𝑀𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑦)
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑦)
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑁 ∙
𝑓′
𝑥
𝑓 𝑥
− 𝑀 ∙
𝑔′
𝑦
𝑔 𝑦
Ahora en esta igualdad 𝑀 y 𝑁 son funciones conocidas entonces, a partir del primer
miembro definimos:
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑦
𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑦)

8. Determinando luego las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑦) de la siguiente manera:
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
= 𝑘 𝑥 (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥)
֜
𝑑
𝑑𝑥
𝐿𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑘 𝑥 ՜ 𝑑𝐿𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑘 𝑥 𝑑𝑥
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐿𝑛𝑓 𝑥 = න 𝑘 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑓 𝑥 = 𝑒‫׬‬ 𝑘 𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑔(𝑦)

9. Resolver: 1) (1-𝑥2
𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥2
(y-x)dy = 0

10. Resolver: 2) (x𝑦2 + 𝑥2𝑦2 + 3)𝑑𝑥 + 𝑥2ydy = 0

11. Resolver: 3) y sen(xy) dx- (
cos(𝑥𝑦)
𝑦
− 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)) dy = 0

12. ECUACIONES DIFERNCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Una ecuación diferencial lineal de 1er orden en la variable dependiente “𝑦” es de la
forma: 𝑄0 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑄1 𝑥 𝑦 = 𝑄2(𝑥) ; donde: 𝑄0(𝑥), 𝑄1(𝑥) y 𝑄2(𝑥) ; son funciones
solo de 𝑥 ó son constantes, además 𝑄0(𝑥) ≠ 0 .
Ahora, dividimos por 𝑄0(𝑥) y tenemos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑄1(𝑥)
𝑄0(𝑥)
∙ 𝑦 =
𝑄2 𝑥
𝑄0 𝑥
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝑦′ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)
Expresión conocida como la forma estándar de la ecuación diferencial lineal de
primer orden.

13. (*) Si, en: 𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥); 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑄(𝑥) = 0 ֜ 𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 0 es llamada
ecuación diferencial homogénea (ELH) y resulta ser de variables separables con
solución: 𝑦 = 𝐴𝑒− ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
(*) Si 𝑄(𝑥) ≠ 0 ֜ 𝑦′
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 , es llamada ecuación diferencial lineal no
homogénea (ELNH) y podemos considerarla como una ecuación diferencial no exacta;
por lo tanto, necesitamos encontrar un factor de integración para esta ecuación
diferencial no exacta.
Esto es: sea 𝐼 una función solo de 𝑥 un factor de integración de la ecuación:
𝑃(𝑥)𝑦 − 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0
֜ 𝐼 𝑃(𝑥)𝑦 − 𝑄(𝑋) 𝑑𝑥 + 𝐼𝑑𝑦 = 0 … (∗)
Es una ecuación diferencial exacta: por lo tanto se cumple:
𝜕
𝜕𝑦
𝐼𝑃(𝑥)𝑦 − 𝑄(𝑥) =
𝜕𝐼
𝜕𝑥
𝑒. 𝑐. 𝐼. 𝑃(𝑋) =
𝑑𝐼
𝑑𝑥
֜
𝑑𝐼
𝐼
= 𝑃(𝑥) ∙ 𝑑𝑥
OBSERVACIÓN

14. Integrando se tiene: 𝐼 = 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
, factor de integración en (*)
𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 0
𝑒. 𝑒. 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦 + 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑃(𝑥)𝑦𝑑𝑥 = 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
∙ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥
ó 𝑑 𝑦 ∙ 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
= 𝑒‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
. 𝑄 𝑥 𝑑𝑥
Integrando tenemos:
𝑦 ∙ 𝑒‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
= න 𝑒𝑃 𝑥 𝑑𝑥
∙ 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
De donde tenemos:
𝑦 = 𝑒− ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
න 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
. 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐
Expresión que viene a ser la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea en
la variable dependiente "𝑦“.

15. OTRA FORMA DE OBTENER LA SOLUCIÓN DE UNA ELNH
Como la ELH es decir: 𝑦′
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 0 tiene por solución a la función: 𝑦 = 𝐴𝑒− ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
; con
𝐴 cte.
Entonces: consideramos la constante 𝐴 como una función de 𝑥 i-e 𝐴(𝑥); luego;
supongamos que la solución de: 𝑦′
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) es de la forma:
𝑦 = 𝐴 𝑥 𝑒− ‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
… (𝛼)
por lo tanto esta función debe satisfacer a la ecuación diferencial,
i.e. como: 𝑦′
= 𝐴′
𝑥 𝑒‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
− 𝐴 𝑥 𝑃 𝑥 𝑒− ‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
en la ecuación: 𝑦′
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) ; y
tenemos:
𝐴′
𝑥 𝑒− ‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
− 𝐴 𝑥 𝑃 𝑥 𝑒− ‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
+ 𝐴 𝑥 𝑃 𝑥 𝑒− ‫׬‬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑄(𝑥)

16. La solución de la ELNH podemos expresarla en la forma:
𝑦 = 𝑐𝑒− ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
+ 𝑒− ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
න 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑄(𝑥)𝑑𝑥
𝑒. 𝑒. 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
OBSERVACIÓN
𝑦 = 𝑒− ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
න 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝐴 𝑥 = න 𝑒‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 𝑒𝑛 𝛼

17. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
Estas ecuaciones diferenciales son de la forma: 𝑦′
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦𝑛
, con 𝑛 ≠ 1 . Para
resolverlas primero los transformamos en una ecuación diferencial lineal de acuerdo a
la siguiente regla.
1. Multiplicamos la ecuación diferencial por: (1 − 𝑛)𝑦−𝑛
obteniendo:
1 − 𝑛 𝑦−𝑛
𝑦′
+ 1 − 𝑛 𝑃 𝑥 𝑦1−𝑛
= 1 − 𝑛 𝑄 𝑥
2. Hacemos la sustitución: 𝑧 = 𝑦1−𝑛
֜ 𝑧′
1 − 𝑛 𝑦′
𝑦−𝑛
reemplazamos en la ecuación
obtenida en (1) y temenos 𝑧′
+ 1 − 𝑛 𝑃 𝑥 𝑧 = 1 − 𝑛 𝑄 𝑥
3. La ecuación obtenida en (2) es lineal en z con solución:
𝑧 = 𝑒(𝑛−1) ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
(1 − 𝑛) න 𝑒(1−𝑛) ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
∙ 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
∴ 𝑦1−𝑛
= 𝑒(𝑛−1) ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
1 − 𝑛 න 𝑒(1−𝑛) ‫׬‬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
∙ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐
Función que viene a
ser la solución de la
ecuación diferencial de
Bernoulli.

18. Resolver:
2
1 1
'
y y y
x x
= −

19. ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICCATI
Estas ecuaciones diferenciales son de la forma:
𝑦′ = 𝑃(𝑥)𝑦 + 𝑄(𝑥)𝑦2 + 𝑅(𝑥)
La solución de estas ecuaciones diferenciales no es posible obtenerla por métodos
conocidos, sin embargo; si se conoce una solución particular: 𝑦 = 𝜑(𝑥) , podemos hallar
la solución de dicha ecuación; para esto hacemos: 𝑦 = 𝜑(𝑋) + 𝑧 ; donde 𝑧 es una
función por determinarse con ayuda de la ecuación diferencial dada.
𝑒. 𝑒. 𝑦 = 𝜑(𝑋) + 𝑧 ՜ 𝑦′
= 𝜑′(𝑥) + 𝑧′
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝜑′(𝑥) + 𝑧′
= 𝑃(𝑥) 𝜑(𝑥) + 𝑧 + 𝑄(𝑥)(𝜑 𝑥 + 𝑧)2
+𝑅(𝑥)
𝑅𝑒𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠: 𝜑′(𝑋) − 𝑃 𝑥 𝜑 𝑥 − 𝑄 𝑥 𝜑2
𝑥 − 𝑅(𝑥) + 𝑧′
= 𝑃(𝑥) + 2𝑄(𝑥)𝜑(𝑥) 𝑧 + 𝑄(𝑥) 𝑧2
Y como 𝜑(𝑥) es una solución, entonces tenemos:
𝑧′ − 𝑃 𝑥 + 2𝑄 𝑥 𝜑 𝑥 𝑧 = 𝑄(𝑥)𝑧2

20. Si 𝑢 es una solución de la ecuación de Riccati; entonces la
sustitución: 𝑦 = 𝑢 +
1
𝑧
lo transforma en una ecuación diferencial
lineal en 𝑧.
Ecuación diferencial de Bernoulli en 𝑧 con 𝑛 = 2; por lo tanto su solución será:
𝑧−1 = 𝑒‫׬‬ − 𝑃(𝑥)+2𝑄(𝑥)𝜑(𝑥) 𝑑𝑥
− න 𝑒− ‫׬‬ − 𝑃 𝑥 +2𝑄 𝑥 𝜑 𝑥 𝑑𝑥
∙ 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
OBSERVACIÓN

21. Resolver:
2
2
1 1
' 1
y y y
x x
= + −

33. MOTIVACIÓN
¿PARA QUÉ ESTUDIAREMOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR?
Diversas situaciones de
la vida cotidiana son
resueltas gracias a las
ecuaciones
diferenciales de orden
superior, utilizados en
muchos campos del
conocimiento
científico, en especial
las ingenierías.
Por ejemplo:

34. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Una ecuación diferencial lineal de orden n en la variable dependiente y, con variable
independiente; x es toda ecuación que puede ser expresada en la forma:
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
( )
1
(
1
)
1
(
1
)
(
0 x
b
y
x
a
y
x
a
y
x
a
y
x
a n
n
n
n
=
+
+
+
+ −
−
… (*)
Donde : 0
)
(
0 
x
a y los n
i
x
ai ,...,
2
,
1
)
( =
 así como b(x) son funciones solo de
x o constantes y continuas en algún intervalo [a, b] donde existe la solución de ésta ecuación
diferencial; estas ecuaciones también pueden ser expresadas en la forma:
)
(
)
(
0
)
,...,
,
,
,
( )
(
x
b
y
L
ó
y
y
y
y
x
F n
=
=



OBSERVACION: Si en la ecuación 𝐿 𝑦 = 𝑏 𝑥 , se tiene que 𝑏 𝑥 = 0,
Entonces 𝐿 𝑦 = 0 es llamada ecuación diferencial lineal
homogénea de orden “n” (ELH) y, si 𝑏(𝑥) ≠ 0,
Entonces 𝐿 𝑦 = 𝑏(𝑥) es llamada ecuación diferencial lineal no
homogénea de orden “n” (ELNH).

35. TEOREMA:
Si 𝑦1 e 𝑦2, son soluciones de la ecuación lineal homogénea. Entonces cualquier
combinación lineal de estas funciones también es solución de la ELH.
COROLARIO:
Si 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3,…, 𝑦𝑛 son n soluciones de la ELH y existen constantes 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3,…, 𝑐𝑛.
Entonces: 𝑦 = 𝑐1𝑦1 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑦𝑛, es también solución de la ELH.
TEOREMA:
Si la ELH con coeficientes reales tiene solución compleja: y = u + i v , entonces la
parte real u y su parte imaginaria v son por separado soluciones de la ELH.

36. INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES
Definición:
Sean 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓
𝑛 funciones definidas en algún intervalo 𝑎, 𝑏 .
Se dice que estas funciones son linealmente independientes si existen escalares 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 tal
que:
𝑎1𝑓1 + 𝑎2𝑓2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑓
𝑛 = 0 ֜ 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0
Si alguna constante 𝛼𝑖 es no cero, diremos que las funciones son linealmente dependientes.
Ejemplo:
Determinar si los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes o
linealmente dependientes.
1) 𝑒𝑥
, 𝑒−𝑥
, 𝑒2𝑥
2) 𝑥, 𝑥𝐿𝑛𝑥, 𝑥2

37. EL WRONSKIANO
Sean f1, f2,…,fn , n funciones reales, cada una de las cuales con derivadas hasta del orden
n-1 en el intervalo indicado.
El determinante: W( f1 ,f2,…,fn) =
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
...
.
.
.
.........
.........
.
.
−
−
−



n
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
f
f
f
f
Es llamado WRONSKIANO de estas “n” funciones.
El Wronskiano de las funciones f1, f2,…,fn; también es obtenido y definido como el determinante del
sistema.
1 1 2 2 ... 0
n n
f f f
  
+ + + =
0
...
2
2
1
1 =

+
+

+
 n
n f
f
f 


( 1) ( 1) ( 1)
1 1 2 2 ... 0
n n n
n n
f f f
  
− − −
+ + + =
.
.

38. Y, sabemos que este sistema tiene solución única la trivial solo si el determinante del
sistema es no cero es decir W( f1 ,f2,…,fn) ≠ 0.
Por lo tanto; n funciones son l.i si su wronskiano es diferente de cero (pero esta
condición no es suficiente) y; si su wronskiano es cero las funciones son linealmente
dependientes.
TEOREMA: Sean 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3,…, 𝑦𝑛 n soluciones de la ecuación lineal homogénea (ELH) de orden n
en un cierto intervalo I. Entonces , el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y
solo si se cumple: W(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3,…, 𝑦𝑛) ≠ 0; para todo x en I.
DEFINICION.- llamamos CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES en un intervalo I a
todo conjunto 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3,…, 𝑦𝑛 , de n soluciones linealmente independientes de la ecuación
deferencial lineal homogénea de orden n en el intervalo I .
OBSERVACION.- Al conjunto fundamental de soluciones también se le llama Sistema de soluciones.

39. SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES (ELH)
Estas ecuaciones diferenciales son de la forma:
)
(
...
0
... )
1
(
1
)
1
(
1
)
(
0 
=
+
+
+
+ −
−
y
a
y
a
y
a
y
a n
n
n
n
Donde los ai para todo i = 0,1,…,n ; son constantes; a0 0
La particularidad de estas ecuaciones es que todas sus soluciones son funciones
exponenciales o se construyen a partir de funciones exponenciales.
≠

40. ECUACION AUXILIAR
Supongamos que una solución de la ELH es de la forma y = emx ; entonces sustituimos
esta función y sus derivadas en (*) y tenemos.
0
... 1
1
1
0 =
+
+
+
+ −
− mx
n
mx
n
mx
n
mx
n
e
a
me
a
e
m
a
e
m
a
Esto es:
0
)
...
( 1
1
1
0 =
+
+
+
+ −
−
n
n
n
n
mx
a
m
a
m
a
m
a
e
Y como emx ≠ 0 para todo x en los reales; entonces la única manera de que esta función
exponencial pueda satisfacer la ecuación diferencial, es eligiendo m de modo que sea una raíz de
la ecuación
0
... 1
1
1
0 =
+
+
+
+ −
−
n
n
n
n
a
m
a
m
a
m
a
Esta ecuación es llamada ECUACIÓN AUXILIAR Ó CARACTERÍSTICA de la ecuación
diferencial (*).

41. 1º) Si todas las raíces m1, m2, …,mn de la ecuación auxiliar son reales diferentes, entonces un
sistema de soluciones de la ecuación lineal homogénea será:
x
m
x
m
x
m n
e
e
e ,...,
, 2
1
Por lo tanto, la solución general de (*) será :
x
m
n
x
m
x
m n
e
c
e
c
e
c
y +
+
+
= ...
2
1
2
1
2º) Si algunas de las raíces reales de la ecuación auxiliar se repiten, supongamos que la raíz m se
repite k veces, es decir tenemos: m1 = m 2= … = mK = m, y las n-k raíces restantes reales diferentes.
Entonces, el sistema fundamental de soluciones será de la forma:
x
m
x
m
x
m
k
mx
x
m
x
m n
k
e
e
e
x
e
x
xe
e ,...,
,
,...,
,
, 1
1
2 +
−
Por lo tanto la solución general de la ecuación (*) será:
1
1
1 2 1 2
... ...
k k n
m x m x m x
mx mx k mx
k k n
y c e c xe c x e c e c e c e
+
−
+
= + + + + + + +
Ahora esta ecuación polinómica es de grado n , entonces tiene n raíces que pueden ser:
reales diferentes, reales que se repiten y/o complejos, por lo tanto consideramos los
siguientes casos.

42. 3º) Si algunas raíces de la ecuación auxiliar son complejos. Supongamos que los números
complejos:

 i

Son raíces de la ecuación auxiliar ó característica, entonces parte de la solución general
correspondientes a estas raíces , las deduciremos de la siguiente manera:
x
i
x
x
i
x
x
i
x
i
e
e
k
e
e
k
e
k
e
k 






 −
−
+
+
=
+ 2
1
)
(
2
)
(
1
   
)
(
)
cos(
)
(
)
cos( 2
1 x
isen
x
e
k
x
isen
x
e
k x
x



 

−
+
+
=
     
)
(
)
(
)
cos(
)
cos( 2
1
2
1 x
sen
k
x
sen
k
i
x
k
x
k
e x





−
+
+
=
( ) ( )
 
)
(
)
cos( 2
1
2 x
sen
k
k
i
x
k
k
e x



−
+
+
=
 
)
(
)
cos( 2
1 x
sen
c
x
c
e x



+
=
Donde: c1 = k1 + k2 , c2 = i (k1 – k2)

43. Re : 1) 4 3 0
solver y y y
  
+ + =

44. (4) (3) (2) (1)
2) 6 7 6 8 0
y y y y y
− + + − =

45. (4) (3) (2) (1)
3) 2 6 2 5 0
y y y y y
− + − + =

46. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
(ELNH)
Estas ecuaciones diferenciales son de la forma:
)
(
... )
1
(
1
)
1
(
1
)
(
0 x
b
y
a
y
a
y
a
y
a n
n
n
n
=
+
+
+
+ −
− Donde los ai para todo i = 0, 1, 2, … ,n;
son constantes reales.
Para determinar la solución general de éstas ecuaciones diferenciales primero calculamos la
solución de la correspondiente ecuación diferencial lineal homogénea a la cual lo llamamos
Solución Complementaria y lo denotamos por yc ; luego buscamos una solución particular
denotado por yp , siendo la solución general de esta ecuación la suma de esta dos soluciones, es
decir: y = yc + yp
Entonces, el problema se reduce a tener que calcular una solución particular yp de la ecuación
diferencial lineal no homogénea, para lo cual existen varios métodos, siendo algunos de ellos:
*) Método de los Coeficientes Indeterminados
*) Método de Variación de Parámetro
*) Método de los Operadores Diferencial
*) Método de las series Infinitas
Estudiaremos por separado
cada uno de estos métodos
mencionados.

47. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Este método nos indica que: La forma que tendrá la solución particular yp de la ELNH depende
directamente de la forma que tenga la función b(x) en la ecuación diferencial:
)
(
...
)
( )
1
(
1
)
1
(
1
)
(
0 x
b
y
a
y
a
y
a
y
a
y
L n
n
n
n
=
+
+
+
+
= −
−
Por lo que consideramos los siguientes casos:
1º ) Si b(x) = Pn(x) es un polinomio de grado n .
Entonces:
a) Si cero no es raíz de la ecuación auxiliar Pn(m) = 0. , la solución particular será de la forma:
yp (x) = Pn(x) polinomio de grado n y coeficientes indeterminados.
b) Si cero es raíz de multiplicidad “s “ de la ecuación auxiliar Pn(m) = 0
entonces la solución particular será de la forma: yp (x) = xs Pn(x) con Pn(x) como en el caso anterior.

48. 

= 

)
(
)
(
)
2 x
P
e
x
b
Si x
o
: ) ( ) 0 :
Entonces a Si no es raiz de P m la solución partcular sera
 =
. ( ) ( ) det min
x
n n
p
y e P x donde P x es un polinomio de coeficientes por er arse

=
:
0
)
(
) sera
particular
solución
la
m
P
de
s
dad
multiplici
de
raiz
es
Si
b n =

. ( ) ( ) det min
s x
n n
p
y x e P x donde P x es un polinomio de coeficientes por er arse

=
)
(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
)
3 x
sen
x
Q
x
x
P
x
b
Si r
n
o

+
=
:
;
0
)
(
) sera
y
m
P
de
raices
son
no
i
complejos
números
los
Si
a
Entonces p
=
 
 
arse
er
por
k
grados
de
polinomios
x
Q
x
P
r
n
máx
k
donde
x
sen
x
Q
x
x
P
y k
k
k
k
p
min
det
)
(
)
(
;
,
)
(
)
(
)
cos(
)
(
. =
+
= 

:
;
0
)
(
)
sera
y
m
P
de
s
dad
multiplici
de
raices
son
i
complejos
números
los
Si
b
p
=
 
 
arse
er
por
k
grados
de
polinomios
x
Q
x
P
r
n
máx
k
donde
x
sen
x
Q
x
x
P
x
y k
k
k
k
s
p
min
det
)
(
)
(
;
,
)]
(
)
(
)
cos(
)
(
[. =
+
= 


49.  
)
(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
)
4 x
sen
x
Q
x
x
P
e
x
b
Si r
n
x
o



+
=
:
;
0
)
(
) sera
y
m
P
de
raices
son
no
i
complejos
números
los
Si
a
Entonces p
=
 

:
;
0
)
(
)
sera
y
m
P
de
s
dad
multiplici
de
raices
son
i
complejos
números
los
Si
b
p
=
 

 
[. ( ) cos( ) ( ) ( )] , ; ( ) ( )
det min
x
k k
p k k
y e P x x Q x sen x donde k máx n r P x Q x
polinomios de grados k por er arse

 
= + =
 
arse
er
por
k
grados
de
polinomios
x
Q
x
P
r
n
máx
k
donde
x
sen
x
Q
x
x
P
e
x
y k
k
k
k
x
s
p
min
det
)
(
)
(
;
,
)]
(
)
(
)
cos(
)
(
[. =
+
= 



50. C I E R R E
¿Qué aprendimos en la presente sesión?
¿Cuántos casos tenemos para determinar el factor integrante?
¿Para qué determinamos el wronskiano de dos ó más funciones?

52. MISIÓN
La Facultad de Ingeniería es una unidad académica de la Universidad
Ricardo Palma, dedicada a la formación de profesionales de ingeniería,
líderes, emprendedores, innovadores y competitivos globalmente, con
base: científica, técnica, humanista y comprometido con la
responsabilidad social y ambiental con proyección al estudio,
investigación y propuesta de soluciones a los problemas técnicos -
económicos y sociales del país.
VISIÓN
Al año 2021 la Universidad Ricardo Palma será una de las primeras
universidades con reconocimiento de la excelencia de sus egresados por
empleadores y la propia sociedad. Promotora del desarrollo integral de la
persona y del país. Plana docente conformada por maestros y doctores
expertos en la enseñanza universitaria y con publicaciones indizadas y
otras expresiones de creación cultural.
Reconocimiento internacional plasmado en la movilidad de sus docentes,
egresados y estudiantes y con la doble titulación a través de convenios
con universidades extranjeras en relación a sus carreras profesionales
identificada con su compromiso por el desarrollo social y económico
sostenido del país.
FACULDAD DE INGENIERÍA