Introducción a límites. Forma de analizar los límites desde las gráficas de las funciones matemáticas o a partir de tablas.

1. Límites_V1
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Escuela Normal Superior de Villavicencio
NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ____________________________________________________
ÁREA: CÁLCULO GRADO: UNDÉCIMO -__ FECHA: _______
DOCENTE: ARMANDO GONZÁLEZ PERÍODO: DOS GUÍA: 04
Introducción a límites
Ejemplo 1
Definamos una función 𝑓( 𝑥) =
𝑥−1
𝑥−1
.
Se puede simplificar, pues todo término dividido por su mismo término da 1. Pero de acuerdo la función esta no está
definida para cuando 𝑥 = 1.
𝑓( 𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥 − 1
𝑓(1) =
1 − 1
1 − 1
=
0
0
= ∞
Cualquier termino dividido entre
cero, incluyendo el cero, no está
definida (indeterminada).
Simplifiquemos la expresión
𝑓( 𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥 − 1
𝑓( 𝑥) = 1
Restricción
𝑥 ≠ 1
Vamos a graficarla
Se dibuja con un circulo en 𝑥 = 1, un hueco.
𝑓(1) 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
Qué pasa con la función cuando me acerco cada vez a 1, tanto por el lado izquierdo como por el lado izquierdo. Me
acerco tanto como más pueda, sin llegar a él.
lim
𝑥→1
𝑓( 𝑥) = 1

2. Límites_V1
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Ejemplo 2
𝑔( 𝑥) = {
𝑥2
, 𝑥 ≠ 2
1 , 𝑥 = 2
Se grafica con un hueco en 𝑥 = 2.
Se utiliza un punto en 𝑔(2) = 1.
lim
𝑥→2
𝑔( 𝑥) = 4
𝒙 𝒈(𝒙)
1.9 3.61
1.99 3.9601
1.999 3.99601
2.1 4.41
2.01 4.0401
2.0001 4.00004
Practica (límites a partir de tablas)
Para las tablas, que se muestra a continuación, contiene valores de 𝑔(𝑥) para valores de 𝑥 que se aproximan cada vez
más a un número dado. Determine
1.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→0
8 cos (𝑥 +
𝜋
2
)
𝑥2 − 𝑥
8
𝒙 𝒈( 𝒙)
0.1 8.87408
0.01 8.08067
0.001 8.00801
0 ?
−0.001 7.99201
−0.01 7.92066
−0.1 7.26061

3. Límites_V1
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2.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→3
𝑥2
+ 5𝑥 + 6
𝑥 + 3
𝒙 𝒈( 𝒙)
−3.1 −1.1000
−3.01 −1.0100
−3.001 −1.0010
−3 ?
−2.999 −0.9990
−2.99 −0.9900
−2.9 −0.9000
3.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 − 5)
𝑥 − 1
𝒙 𝒉( 𝒙)
1.1 4.79426
1.01 4.99792
1.001 4.99998
1 ?
0.999 4.99998
0.99 4.99792
0.9 4.79426
4.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→3
4𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 − 15)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 6)
𝒙 𝒈( 𝒙)
2.9 9.652734
2.99 9.996500
2.999 9.999965
3 ?
3.001 9.999965
3.01 9.996500
3.1 9.652734
5.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→1
3𝑥2
− 3
𝑥 − 1
𝒙 𝒇( 𝒙)
1.1 6.3000
1.01 6.0300
1.001 6.0030
1 ?
0.999 5.9970
0.99 5.9700
0.9 5.7000

4. Límites_V1
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6.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→0
cos (9𝑥 −
𝜋
2
)
3 cos (3𝑥 +
𝜋
2
)
𝒙 𝒈( 𝒙)
−0.1 −0.883557
−0.01 −0.998800
−0.001 −0.999988
0 ?
0.001 −0.999988
0.01 −0.998800
0.1 −0.883557
7.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→5
𝑥2
− 6𝑥 + 5
𝑥 − 5
𝒙 𝒉( 𝒙)
5.1 4.1000
5.01 4.0100
5.001 4.0010
5 ?
4.999 3.9990
4.99 3.9900
4.9 3.9000
8.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→−1
40𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑥
2
)
𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥 + 2𝜋)
𝒙 𝒈( 𝒙)
−1.1 −1.1000
−1.01 −1.0100
−1.001 −1.0010
−1 ?
−0.999 −0.9990
−0.99 −0.9900
−0.9 −0.9000
9.
A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de
lim
𝑥→0
8 cos (𝑥 +
𝜋
2
)
𝑥2 − 𝑥
𝒙 𝒈( 𝒙)
0.1 −2.5000
0.01 −2.9500
0.001 −2.9950
0 ?
−0.001 −3.0050
−0.01 −3.0500
−0.1 −3.5000

5. Límites_V1
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Límites a partir de gráficas
Práctica
10. 11.
lim
𝑥→5
𝑔( 𝑥) = lim
𝑥→0
𝑔( 𝑥) =
12. 13.
lim
𝑥→−1
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→−4
𝑓( 𝑥) =

6. Límites_V1
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14. 15.
lim
𝑥→−5
𝑔( 𝑥) = lim
𝑥→5
𝑔( 𝑥) =
16. 17.
lim
𝑥→−2
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→0
ℎ( 𝑥) =

7. Límites_V1
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18. 19.
lim
𝑥→−3
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→7
𝑔( 𝑥) =
20. 21.
lim
𝑥→−4
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→5
𝑔( 𝑥) =

8. Límites_V1
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Limites unilaterales práctica
22. 23.
lim
𝑥→−3−
ℎ( 𝑥) =
lim
𝑥→−3+
ℎ( 𝑥) =
ℎ(−3) =
lim
𝑥→6−
ℎ( 𝑥) =
lim
𝑥→6+
ℎ( 𝑥) =
ℎ(6) =
24. 25.
lim
𝑥→−1−
ℎ( 𝑥) =
lim
𝑥→−1+
ℎ( 𝑥) =
ℎ(−1) =
lim
𝑥→4−
ℎ( 𝑥) =
lim
𝑥→4+
ℎ( 𝑥) =
ℎ(4) =

9. Límites_V1
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26. 27.
lim
𝑥→3−
𝑓( 𝑥) =
lim
𝑥→3+
𝑓( 𝑥) =
𝑓(3) =
lim
𝑥→2−
𝑓( 𝑥) =
lim
𝑥→2+
𝑓( 𝑥) =
𝑓(2) =
28. 29.
lim
𝑥→1−
𝑔( 𝑥) =
lim
𝑥→1+
𝑔( 𝑥) =
𝑔(1) =
lim
𝑥→−3−
𝑔( 𝑥) =
lim
𝑥→−3+
𝑔( 𝑥) =
𝑔(−3) =

10. Límites_V1
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30. 31.
lim
𝑥→−4−
ℎ( 𝑥) =
lim
𝑥→−4+
ℎ( 𝑥) =
ℎ(−4)
=
lim
𝑥→−2−
ℎ( 𝑥) =
lim
𝑥→−2+
ℎ( 𝑥) =
ℎ(−2) =
32. 33.
lim
𝑥→6−
𝑔( 𝑥) =
lim
𝑥→6+
𝑔( 𝑥) =
𝑔(6) =
lim
𝑥→1−
ℎ( 𝑥) =
lim
𝑥→1+
ℎ( 𝑥) =
ℎ(1) =