El siguiente documento se trata sobre las variables aleatorias en estadística.

1. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Curso de: Estadística II
Profesor: Marcos Mendoza
Ing. Lorenzo Cevallos Torres
20/5/2023 Profesor: Marcos Mendoza 1
Clase 1: Variables aleatorias discretas

2. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
VARIABLE ALEATORIA
 Se llama variable aleatoria a toda función que
asocia a cada elemento del espacio muestral Ω, un
número real.
 Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar
variables aleatorias, y las respectivas minúsculas
(x, y, ...) para designar valores concretos de las
mismas.

3. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Variable aleatoria Discreta
 Sea (Ω , L), el Espacio Muestral de un experimento
estadístico y sea X una función cuyo dominio es Ω, y
cuyo conjunto de llegada es R, donde R es el conjunto
de números reales; bajo estas condiciones, la función X
es una variable aleatoria.
 En definitiva, su representación como función es:
X: Ω R; lo cual significa que a cada w  W, la función
X le asigna uno y solo un número real.
En pocas palabras:
 Una variable aleatoria es una función que asocia un
número real con cada elemento del espacio muestral.
20/5/2023 Profesor: Marcos Mendoza 3

4. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
(…viene) Variable aleatoria
 Supongamos que un experimento consisten en lanzar
tres monedas y se observa la terna de lados que sale, el
conjunto de posibles resultados es
 Ω={ccc,ccs,csc,scc,css,scs,ssc,sss}
 Si definimos la variable aleatoria X igual al número de
monedas en las que sale “cara” en la parte superior. Los
valores que toma X son 0,1,2 y 3
Ω={ccc,ccs,csc,scc,css,scs,ssc,sss}
 P(X=0)=1/8 P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8 P(X=3)=1/8
20/5/2023 Profesor: Marcos Mendoza 4
3 2 2 2 1 1 1 0

5. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Soporte de una variable aleatoria
 El soporte S de una variable aleatoria es el conjunto de
valores reales que ocurren con probabilidad distinta de
cero.
 El soporte de la variable X igual al número de monedas
en las que sale “cara” en la parte superior del
lanzamiento de tres monedas sería Ω ={0,1,2,3}
 Una variable aleatoria es discreta si su soporte S es un
conjunto contable.
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6. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Función de distribución de probabilidades
 Con cada variable aleatoria discreta asociaremos una función
f(x)=P(X=x): R [0,1] a la que denominaremos Función de
Distribución de Probabilidades de X, función que debe cumplir las
siguientes condiciones:
Para la variable X igual al número de monedas en las que sale “cara” en
la parte superior del lanzamiento de tres monedas su distribución de
probabilidades sería:
20/5/2023 Profesor: Marcos Mendoza 6
  1
0 

 x
X
P
  1



S
x
x
X
P
 













x
de
resto
x
x
x
X
P
;
0
2
,
1
;
8
3
3
,
0
;
8
1

7. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Histograma de probabilidades
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 1 2 3
P(X=x)
X
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8. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
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el
Mejoramiento
I
EJERCICIOS

9. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
RESPUESTA

10. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Distribución Acumulada
 Una función de variable real F: R [0,1] es definida
como Distribución Acumulada de X, si y solo si:
F(x)=P(X  x) para todo valor x real, esté o no en el
soporte S de X.
 La distribución acumulada de X igual al número de
monedas en las que sale “cara” en la parte superior del
lanzamiento de tres monedas es:
20/5/2023 Profesor: Marcos Mendoza 10
 


















3
;
1
3
2
;
8
/
7
2
1
;
8
/
4
1
0
;
8
/
1
0
;
0
x
si
x
si
x
si
x
si
x
si
x
F

11. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Gráfica de la distribución acumulada
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4
F(x)
X
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12. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
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Mejoramiento
I
Ejercicios
1. Si un experimento consiste en lanzar un dado y se
define X: Número que sale en la cara superior del
dado. Determine la distribución de probabilidades
de X y la Distribución Acumulada.
2. Si un experimento consiste en lanzar dos dados y se
define X: La suma de los números que salen en las
caras superiores de dado. Determine la distribución
de probabilidades de X y la Distribución Acumulada.
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13. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Valores Esperados
 Sea X una variable aleatoria con distribución de
probabilidades P(X=x) y g(x) una función en términos
de x. El valor esperado de g(x) si existe, se define como:
 Propiedades:



20/5/2023 Profesor: Marcos Mendoza 13
 
     




s
x
x
X
P
x
g
x
g
E
  c
c
E 
 
   
 
x
g
cE
x
cg
E 
   
   
   
 
x
g
E
x
g
E
x
g
x
g
E 2
1
2
1 



14. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Media y varianza de una variable aleatoria
 La media de una variable aleatoria X con distribución
de probabilidades P(X=x) se define como:
 La varianza de una variable aleatoria X con
distribución de probabilidades P(X=x) se define como:
20/5/2023 Profesor: Marcos Mendoza 14
 
X
E


 
    2
2
2
2


 


 X
E
X
E

15. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Estadística
para
el
Mejoramiento
I
Ejercicios
1. Se tiene un grupo de 7 artículos de los cuales cuatro presentan
defectos. Se eligen al azar tres artículos de los 7 y se define la
variable aleatoria X:Número de artículos defectuosos en la
muestra, determine la distribución de probabilidades de X así
como su media y varianza.
2. Se tiene un sistema como se muestra en la figura, donde cada
componente trabaja de forma independiente con probabilidad
0,99 de funcionar; se define la variable aleatoria X: Número de
vías abiertas entre el punto A y el punto B. Determine la
distribución de probabilidades de X, su media y su varianza
20/5/2023 Profesor: Marcos Mendoza 15
B
A