Este documento presenta un índice de los capítulos de un libro sobre resistencia de materiales. El Capítulo I cubre el equilibrio estático y presenta varios problemas resueltos utilizando el método de cuerpos libres. El Capítulo II introduce los conceptos de esfuerzo, clases de esfuerzos, esfuerzos normales como tracción y compresión, y proporciona un ejemplo de cálculo de esfuerzo.
El presente Taller es de la materia de Mecánica del Medio Continuo, contiene los personajes y sus aportaciones hacia dicha rama. También señala su relación con la Ingeniería.
El presente Taller es de la materia de Mecánica del Medio Continuo, contiene los personajes y sus aportaciones hacia dicha rama. También señala su relación con la Ingeniería.
Ejercicios del 26 al 30 del capítulo 4 de ARMADURAS, del libro FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL- 2da EDICIÓN de los autores KENNETH M.LEET Y CHIA-MING UANG.
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos. El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ejercicios del 26 al 30 del capítulo 4 de ARMADURAS, del libro FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL- 2da EDICIÓN de los autores KENNETH M.LEET Y CHIA-MING UANG.
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos. El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Método de rigideces o desplazamientos, mediante este método el alumno podrá darse una idea clara y precisa de como se resuelven este tipo de problemas, ademas este método tiene las cualidades que arroja:
*desplazamientos
*reacciones
*elementos mecánicos(acciones internas en la estructura)
De esta manera lo hace un método muy completo para su estudio.
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
1. Resistencia de Materiales
INDICE
CAPITULO I.
EQUILIBRIO ESTATICO
PROBLEMAS
D.C.L
CAPÍTULO II
ESFUERZO Y DEFORMACIONES
ESFUERZO
CLASES DE ESFUERZOS
ESFUERZOS NORMALES
TRACCIÓN O COMPRESIÓN
ESFUERZOS DE FLEXIÓN
DIRECTOS O CIBALLADURA
ESFUERZO DE APLASTAMIENTO
FUERZAS EN CADA BARRA
DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES
ESFUERZOS DE COMPRESION Y/O TRACCION
RESISTENCIA DE MATERIAL
RESISTENCIA OBTENIDAS
ENSAYO DE TRACCIÓN PURA
ESFUERZO DE DISEÑO Y FACTOR DE SEGURIDAD
FACTOR DE SEGURIDAD (F.S)
ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
1
2. Resistencia de Materiales
DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES
TRAMO: AB
TRAMO: BC
TRAMO: CD
DIAGRAMA DE TRACCION
ESFUERZOS
FACTOR DE SEGURIDAD
CALCULO DE LAS DEFLEXIONES
CALCULO DE δ E
CALCULO DE X
EN LOS TRIANGULOS MEE’ Y MDD’
SISTEMAS HIPERESTATICOS
ESFUERZO EN BC : (COMPRESIÓN)
ESFUERZOS TERMICOS
ANALISIS PROPORCIONAL
TRANSMISION DE POTENCIA
MEDIANTE FAJAS
CINEMATICA
DINAMICA
RELACIÓN DE TENSIONES
TRANSMISION DE POTENCIA
MEDIANTE CADENA
TORQUE EN EL PIÑÓN MOTRIZ.
TORQUE POTENCIA
TORQUE EN EL EJE DEL LA CATALINA.
TORQUE EN EL PIÑÓN MOTRIZ
TORQUE – POTENCIA
TRANSMISIÓN DE POTENCIA
TORSIÓN
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
2
3. Resistencia de Materiales
ESFUERZO CORTANTE DE TRACCION
ANGULO DE TORSION
DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES
ESFUERZOS CORTANTE MAXIMO
ANGULO DE TORSION DE LA SECCION E RESPECTO A LA SECCION A.
ANGULO φE/A
FACTOR SEGURIDAD
CORTANDO LA BARRA
CASOS PARTICULARES
SECCION CIRCULAR
PROBLEMA
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTOS FLECTORES
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES
MOMENTOS FLECTORES
UBICACIÓN DE FN Ó FC
CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA I
BIBLIOGRAFÍA
S
D
F
D
F
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
3
4. Resistencia de Materiales
CAPITULO I.
EQUILIBRIO ESTATICO:
∑F=0
ó FR = 0
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
d=0
∑ Fz = 0
ΣM 0 x − x = 0
∑ F 0 = 0 ΣM 0 y − y = 0
ΣM z − z = 0
0
∑F=0
PROBLEMA N° 1
Calcular la reacción en A.
∑ Fx = 0
-Ax+10Kn = 0
A.
10 KN.
B
10Kn = Ax.
Sentido asumido es correcto.
D.C.L
A
B
10 KN.
Las fuerzas actúan en pares.
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
4
5. Resistencia de Materiales
PROBLEMA N° 2
Calcular la reacción en A y el momento de empotramiento.
20 KN.
Solución:
DoCol
A
B
20 KN.
MA
200 mm
A
Ay
∑ Fx = 0
B
200 mm
No se aplica, porque no hay fuerzas en “X”.
∑ Fy = 0
Ay – 20KN = 0
Ay = 20 KN.
A
∑ F0 = 0
M A –20Knx200 mm = 0
M A = 4000 KN.mm
PROBLEMA N° 3
Calcular las reacciones en A y C.
Solución:
5 KN.
2m
A
A y C son apoyos.
1m
B
C es apoyo mobil.
No existe momento de empotramiento
C
en los apoyos.
Do Col
∑ Fx = 0
2m
A
No se aplica
∑ Fy = 0
5 KN.
-Ay + 5KN-Cy = 0
1m
B
Ay
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
C
5 KN = A y + C y... (1)
Cy
5
6. Resistencia de Materiales
- 5 Kn.2m + Cy.3m = 0
A
∑M 0 = 0
Cy = 5KN . 2 m
3m
Cy = 3 1/3 KN = 3,3 KN
⇒
Ay + Cy = 5KN
Ay = 5KN – 3 1/3 KN = 1 2/3 KN
Ay = 1,6 KN.
PROBLEMA N° 4
Calcular las reacciones en A y C además calcular las fuerzas que actúan en
cada barra.
Solución: D.C.L de toda la estr.
Cy
C
600 mm
10 KN
A
B
Ay
10 KN
D
A
800 mm
B
D
1200 mm
800 mm
∑F x = 0
1200 mm
∑F y = 0
No se aplica.
Cy.800 mm – 10KNx2000 mm = 0
∑F y = 0
Cy = 10 KN 2000 mm
-Ay + Cy – 10KN = 0
Cy – Ay = 10 KN ... (1)
800 mm
Cy = 25 KN. Sentido asumido es correcto.
Cy = 25 KN.
En (1) 25 KN – Ay = 10 KN
15 KN = Ay.
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6
7. Resistencia de Materiales
25 KN
Do Col en C/barra
C
Barra BC
∑F y = 0
25 KN – By = 0
By = 25 KN
B
15 KN
By
Las fuerzas de acción y reacción
tienen la misma intensidad y
sentidos contrarios.
No se acumulan porque actúan en
puntos diferentes.
10 KN
D
A
PROBLEMA N° 5
Calcular las reacciones en A y D además las fuerzas que actúan en cada barra.
De toda la estructura D.C.L.
4 KN
Ay
500 mm
A
B
Ax
C
4 KN
800 mm
B
500 mm
C
A
53°
600
600 mm
D
53°
Dx
D
D
Dy
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
7
8. Resistencia de Materiales
La fuerza F es colineal con la barra DB.
Cuando una barra tiene solo fuerzas en los extremos, dichas fuerzas son
iguales de sentidos contrarios y COLINEALES con la barra.
F
B
F
∑Fx = 0
-Ax + Dx = 0 ...(1)
∑Fy = 0
Ay + 4 KN – Dy = 0 ...(2)
A
∑M 0 = 0
-Dx.600 mm + 4 KN.1300 mm = 0
Dx = 4KN.1300 mm
600 mm
Dx = 8,67 KN.
En (1)
En el punto D
Dy
= tg 37°
Dx
D
Ax = Dx
Ax = 8,67 KN
Dy
)
Dy
= tg 37°
8,76KN
37°
Dx = 8,67 KN
Dy = (tg 37°)(8,67 KN)
Dy = 6,5 KN
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8
9. Resistencia de Materiales
En (2)
Ay + 4KN – 6,5 KN = 0
Ay = 2,5 KN.
2 DA FORMA:
Ay
4 KN
Ax
800 mm
B
A
C
ρ
D .480 mm – 4KN.1300 mm = 0
ρ
D = 4KN.1300 mm
600 mm
53°
4800 mm
ρ
D = 10,8 KN
Dx
D
D
500 mm
37° Dy
En el punto “D”
Σ Fx = 0
D
Ax – Dx = 0
Ax = Dx
Dy
)
37°
Dx
Σ Fy = 0
Ay + 4 KN – Dy = 0
Ay = 6,5 KN – 4 KN
Ay = 2,5 KN
Dy = 10,8 KN.Sen 37°
Dy = 6,5 KN
Dx = 10,8 KN.Cos 37°
Dx = 8,67 KN
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9
10. Resistencia de Materiales
DCL de cada barra.
4 KN
Ax
A
B
C
Acción y
Reacción
2,5 KN
PROBLEMA N° 1
Calcular las reacciones en los apoyos A y B haciendo el diagrama de cuerpo
libre de toda la estructura además calcular las fuerzas que actúan en cada
barra.
(1)
(2)
D
A
2 KN
400 mm
C
B
300 mm
600 mm
300 mm
C
B
D
A
400 mm
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200 mm
10
3 KN
11. Resistencia de Materiales
(4)
(3)
A
B
600 mm
30°
90°
C
10 KN
C
B
(
(
500 mm
800 mm
D
1,2 KN
(5)
A
300 mm
500 mm
B
C
400 mm
E
D
500 mm
30 KN
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11
12. Resistencia de Materiales
1) DESARROLLO:
D.C.L de la
2 KN
estructura
D
400 mm
C
RB
B
300 mm
600 mm
RA
A
B
ΣM 0 = 0
⇒ 2KNx 400 − R A .600 = 0
R A = 1,3 KN
Sentido asumido es correcto.
A
ΣM 0 = 0
⇒ 2KNx1000 − R B x 600 = 0
RB =
2 x1000
= 3,3KN
600
D.C.L DE C/ BARRA
2KN
D
3,33KN
3,33KN
3,33KN
C
1,33KN
B
A
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12
13. Resistencia de Materiales
2) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE TODA LA ESTRUCTURA:
A
A
300 mm
Ax
Ay
3KN
Bx 37°
(
B
D
C
B
By
400 mm
200 mm
B
ΣM 0 = 0
3 KN x 600 mm – Ax x 300 mm = 0
Ax = 3 KN x 600 mm = 6 KN
∴ Ay = 6 KN x Tg 37° =
Ay = 4,52 KN
300 mm
A
Por < de 37°
y tg. de 37° tenemos que
Ay = Ax tg 37°
Ay
37°(
Ax
ΣFy = 0
ΣFx = 0
Ay – By – 3 KN = 0
Ax – Bx = 0
By = -3 KN + Ay
Ay = Bx –
By = 1,52 KN
By = 6 KN
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13
14. Resistencia de Materiales
Fuerzas que actúan en c/barra.
A
C
3KN
4,52 KN
B
6KN
6KN
D
C
1,52 KN
3) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE TODA LA ESTRUCTURA.
By = Tg α
Bx
A
By = Tg α Bx
Tg α Bx – Ay = 1,2
1:0 - α - 37 – 53
(
37°
(90 - α)
C
A
B
90 - α
D
)α
) 37°
1,2KN
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14
15. Resistencia de Materiales
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1. En un cuerpo en equilibrio de reposo o de movimiento (v = constante)
Se cumplen:
∑Fx = 0
∑ F en cualquier dirección = 0
∑Fy = 0
solo para el equilibrio estático.
∑Fz = 0
(Respecto a cualquier punto)
∑F0 = 0
(preferentemente se toman los
puntos donde hay fuerzas desconocidas).
2. Cuando en un cuerpo o estructura actúan 3 fuerzas NO COLINEALES
dichas fuerzas forman un triángulo y además pasan por un mismo punto.
R
β
A
Q
α
β
C
r(
P
a
R
α
(
P
R
Q
=
=
sen α sen α sen β
C
α
P
También:
P R Q
= =
C a
b
b
Q
3. Equilibrio del nudo:
*
R
∑Fx = 0
∑M0 = 0
Q
β α
-R Sen β + Q Sen α = 0
C
*
∑Fy = 0
No se puede
aplicar.
-R Sen β + Q Sen α = 0
P
Por ejemplo nudo “C”.
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15
16. Resistencia de Materiales
4. Las fuerzas actúan en pares.
Q
P
Q=P
5. Si en una barra actúan fuerzas solo en ambos extremos dichas fuerzas son
colineales con la barra (actúan en el eje de la barra).
P
-P
NO SE ACEPTA EL SGT ESQUEMA
P
Aquí
la
girando
barra
estaría
en
sentido
antihorario.
-P
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16
17. Resistencia de Materiales
CAPÍTULO II
ESFUERZO Y DEFORMACIONES
ESFUERZO:
F
Unidades
Area = A
Lbs
= Psi.
Pu lg 2
0
Kg − f
cm 2
Fuerza
Esfuerzo =
Area
N
2
m
= 1 Pa
Sistema Ingles.
Sistema Métrico.
Sistema Internacional
MÚLTIPLOS:
CLASES DE ESFUERZOS
1 MPa = 106 Pa
1) Esfuerzos Normales
1 Gpa = 109 Pa
1 Gpa = 103 MPa
Al área.
1.1 Tracción o Compresión:
P
Equivalencias:
P
1 MPa = 145 Psi.
1 MPa = 1 N/mm 2
1 MPa =
10Kg − f
cm 2
σ
P
σ
Esfuerzo de Tracciòn
=
P
A
σ : Se lee sigma
σ : esfuerzo de tracción
P : Fuerza
A : Area de la sección transversal.
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17
18. Resistencia de Materiales
Ejemplo:
P = 5 KN
A = 200 mm 2
σ = 5000 N
σ = 25 N/ mm 2
σ = 25 MPa
200 mm 2
Significa que: En cada mm 2 actúa una fuerza de 25 N
Cuando es compresión:
P = 8 KN
P = 8 KN
A = 400 mm2
8 KN
σ = (-)
8000 N
2
400mm
σ = 8−)20 N/mm 2
= ( −) 20 MPa
Significa que: En cada mm 2 actúa una fuerza de 20 N.
1B Esfuerzos de flexión:
M
M
M = momento flector
Esfuerzo de tracción
Fibra
Neutra
Esfuerzo de compresión
M
6 de compresión ( - )
max
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18
19. Resistencia de Materiales
(2) Esfuerzos cortantes o tangenciales:
2.A Directos o Ciballadura.
P
P
P
δ = Se lee Tau
δ = Esfuerzo Cortante
V= P
Aquí
V
A
V = Coeficiente
A = Área
α = Coeficiente
4
=
para sección circular.
3
P
Esta zona
actúa el
δ máx
δ =α
←←
←←
← ←
←←
←←
=
δ=0
3
para sección rectangular.
2
ESFUERZO DE APLASTAMIENTO:
Es un esfuerzo de compresión en la zona de contacto de 2 elementos. Tomando
el perno de la figura anterior.
t1
P
d
P
t2
d
Galast =
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P
Area proyectada
19
20. Resistencia de Materiales
En la zona de contacto del
P
Gaplast =
d. t .
{
Area de un rectángulo.
Gaplast =
perno con la plancha superior.
P
d − t2
En la zona de contacto del
perno con la plancha inferior.
PROBLEMA N° 1
Calcular los esfuerzos de tracción Y/o compresión en las barras, los esfuerzos
cortantes directos en los pernos y los esfuerzos de aplastamiento en los pernos
y agujeros de la estructura.
100 mm
Pernos de 10 mm φ
Platinas de 80 x 10 mm
800 mm
60 mm
200 mm
2 platinas
12 KN
60 mm
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20
21. Resistencia de Materiales
Solución:
Calculo de Reacciones:
ρ
A
600 mm
Ay
53°
Ax
800 mm
200 mm
C Cx 53° (
Cy
B
ρ
C
D
12 KN
Trabajando con componentes:
ΣMy = 0
ΣM C = 0
0
12 KN.800 mm – Ax.800 mm = 0
Ay = Cy – 12 KN = 0
Ax = 12 KN
16 KN – 12 KN = Cy.
Ay = Ax Tg 53°
Cy = 4 KN
Ay = 12 KN.
4
.
3
Ay =) 16 KN
ΣFx = 0
-Ax + Cx = 0
Cx = Ax
Cx = 12 KN
2DA FORMA:
ρ
Calculo: de A
ΣM C = 0
0
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
21
22. Resistencia de Materiales
ρ
A
A
480 mm
53º (
C
600mm
200mm
12 KN
A.480 mm – 12KN.800 mm = 0
A = 12 KN.800 mm = 20 KN
480 m.
FUERZAS EN CADA BARRA:
20 KN
A
ρ
C = 12 2 + 4 2 = 12,6KN
B
20 KN
20 KN
C
12 KN
4 KN
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
B
D
12 KN
22
23. Resistencia de Materiales
GRAFICANTE
Escala: 6 mm = 2 KN
ρ
A
20 KN
37°
12 KN
ρ
F
12 ,8 KN
ρ
C
DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES:
20 KN
A
B
20 KN
C
12 KN
12 KN
B
C
B
C
(-) 12KN (Compresión)
(-)
C
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
23
24. Resistencia de Materiales
ESFUERZOS DE COMPRESION Y/O TRACCION
La sección más débil es aquella donde hay agujeros.
Para esfuerzos de tracción:
Se descuenta el área
del agujero
Donde K:
σ máx. =
K.fuerza
Area neta
Factor de concentración de esfuerzos cuando hay agujeros o
cambio de sección.
Para esfuerzos de compresión:
No se considera los
agujeros
σ máx. =
Fuerza
Area
BARRA AB
Sección A. Sección B (Son críticos los más débiles porque tienen agujeros).
σmax = (tracción)
80 mm
20 KN
10 mm
A
10 mm
σ max = K
Fuerza
A. neta
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
(tracción)
24
25. Resistencia de Materiales
Asumiendo K = 2
σ máx. = 2.
20000 N
=57,14 N / mm 2 = 57,14MPa.
2
(80 − 10)10mm
BARRA CBD:
Hay compresión:
σ máx. = (-)
1200 N
=(−)15 N / mm 2 (−)15MPa.
2
80 x10mm
PERNO A:
σ max = α
V
A
α = 4/3 para sección circular.
V = Fuerza cortante = 20 KN
A = área de la sección.
A = πr 2 = π. (5 mm) 2
σ max =
4 20000 N
.
3 π(5mm) 2
PERNO “A”
σ max =
Aquí hay
corte directo.
(una sección)
PERNO B:
σ máx. = qué en “A”
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
25
26. Resistencia de Materiales
PERNO D:
σ máx. = 4 12000 N
3 2 [π (5 mm) 2 ]
Dos secciones de corte
2 secciones:
Hay corte doble.
6 KN
6 KN
RESISTENCIA DE MATERIAL:
Las diferentes resistencias de los materiales se obtienen en los ENSAYOS
DE LABORATORIO.
Resistencia Obtenidas:
•
Límite de fluencia a la tracción
•
Límite de fluencia a la compresión S y C
•
Límite de rotura a la tracción
S u t = Su.
•
Límite de rotura a la compresión
Suc
•
Límite de fluencia al corte
Ssy
•
Límite de rotura al corte
Ssu
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
S y T = Sy.
26
27. Resistencia de Materiales
ENSAYO DE TRACCIÓN PURA
γ
Sut
Syt
Mat.
frágil
Para material
dúctil
Zona elast.
Zona plast.
ε
Elongación
σ = Esfuerzo;
F
σ=
A
δ
ε=
L
F = fuerza.
A = Área
ε = deformación unitaria
δ = estiramiento
L = Longitud original.
A
F
F
δ
L
ELONGACIÓN: Es el valor de “ε ” cuando la proveta llega a la rotura.
Para material dúctil como: Acero, Cobre, Zinc, Aluminio , etc.
ε>5 %
ε > 0,05
Para material frágil como: Fierro fundido.
ε≤5%
ε ≤ 0,05
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
27
28. Resistencia de Materiales
De los ensayos se ha obtenido:
Para material dúctil:
Syt = Syc = Sy
Sut = Suc = Su
Para material frágil:
Sy : No existe
Sut = Suc = Su
También en los ensayos de corte
Ssy = 0,6 Sy
ESFUERZO DE DISEÑO Y FACTOR DE SEGURIDAD
σ
Su
Sy
σd
E
σ d = esfuerzo de diseño
σ max = esfuerzo máximo
σ d = esfuerzo de trabajo
σ adm. = esfuerzo admisible ó permisible
σ d = σ máx = σ t = σ adm
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
28
29. Resistencia de Materiales
FACTOR DE SEGURIDAD: (F.s)
Para un material dúctil:
•
Respecto a la fluencia
F.S. =
Sy
σmax
•
Respecto a la rotura
F.S. =
Su
σmax
•
Cuando se trata de esfuerzos cortantes el factor de seguridad al corte es:
F.S. =
δ máx. = Cortante máx.
δ máx. = δadmisible =
δdiseño
Ssy
0,6Sy
=
σmax σmax
Para material frágil
Factor de seguridad para la tracción
F.s = Sut
σ máx.t
Factor de seguridad para la compresión
F.s = Suc
σ máx.c
Donde: σ máx. ⇒ Esfuerzo máx. de tracción.
σ máx. ⇒ Esfuerzo máx. de compresión.
1,5 < F.s < 4 a 6 ... 15
ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES:
σ
Su
Sy
Línea
recta
σ
β
E
E
Zona
elástica
En la zona elástica se cumple la Ley de Hooke que dice.
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
29
30. Resistencia de Materiales
El esfuerzo es directamente
proporcional (D.P) a la
deformación unitaria.
σ D.P. = ξ
También se escribe:
σα ξ
α = alfa
α : Significa directamente proporcional
La relación matemática es:
σ : esfuerzo
σ = Eξ
ξ : deformación interior.
E = Modulo de elasticidad ó Mod. de Young.
E = 200 GPa ó 200 x 10 3 MPa para aceros
yes = 110 GPa ó 110.10 3 MPa para cobre.
Siendo:
σ=
P
δ
= E.
A
L
δ=
PxL
ExA
A = Area de sección
P
Fatiga = P
L
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
δ = Estiramiento ó
deformación.
δ
30
31. Resistencia de Materiales
PROBLEMA N° 1
Calcular la deformación que se produce en la barra de acero.
12 KN
12 KN
2 cm φ
δ
300 mm
Solución:
δ=
(12000 N )(300mm )
PL
=
N
EA
2
3
π(10mm )
200.10
2
mm
(
)
δ = 0,0573mm
PROBLEMA N° 2
Calcular la deformación total de la barra
Cobre 20 mm φ
Acero 10 mm φ
C
D
B
A
80 KN
50 KN
70 KN
200 mm
100 mm 150 mm
Problema: Calcular la deformación que se produce en la barra.
12 KN
300 mm
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
12 KN
2 cm φ
δ
31
32. Resistencia de Materiales
Sol:
δ=
PL
(12000 N )(300mm )
=
N
EA
2
3
π.(10mm )
200 x10
2
mm
(
)
δ = 0,0573 m.m.
Prob.: Calcular la deformación total de la barra.
Cobre 20 mm φ
Acero 10 mm φ
C
B
A
D
70 KN
200 mm
80 KN
100 mm
50 KN
150 mm
Solución: D.C.L. de la barra y reacción en A.
Ax
A
80 KN
B
C
D
50 KN
10 KN
∑F x ⇒ Ax = 40KN
Deformación de la barra
δAD = δAB + δBC + δCD
δ AD =
PAB .L AB PBC .L BC PCD .L CD
+
+
E AB A AB E BC A BC E CD A CD
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
................ (1)
................ (2)
32
33. Resistencia de Materiales
DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES
40 KN
A
B
70 KN 80 KN
C
50 KN
D
TRAMO: AB.
40 KN
40 KN (sale de la sección
A
es función)
P AB = 40 KN
TRAMO: BC.
70 KN
30 KN
40 KN
(entrar a la sección
es compresión)
P AB = 30 KN
TRAMO: CD.
40 KN
50 KN
70 KN
80 KN
40 KN
(saliendo de la
sección
es tracción)
P CD = 50 KN
50 KN
+
+
C
A
D
B
80 KN
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
33
34. Resistencia de Materiales
Reemplazando en (2)
(40.103 N )(200mm) + (− 30.103 N.)(100mm) + (50.103 N )(150mm)
δ AD =
3 N
2
2
3 N
2
2
3 N
2
2
200.10
(π.5 mm ) 10.10
(π.10 mm ) 110.10
(π.10 mm )
2
2
2
mm
mm
mm
δ AD = 0,6395 mm
•
Chequeo: Si la barra está dentro del rango elástico del material.
DIAGRAMA DE TRACCION
δ
En la zona elástica se cumple la
Ley
Su
Rotura de Hoocke.
Sy
σ = E. ξ
Y por lo tanto la fórmula de la
Zona
elástica
Zona
plástica
“PELEA”
δ =
P.L.
EA
Luego: Si el esfuerzo σ que actúa en sección es igual o mayor que el límite de
fluencia Sy la fórmula de la pelea NO SE CUMPLE.
Osea todos los cálculos de deformaciones no valen.
En el tránsito AB (acero).
Esfuerzo σ AB =
F
4000 N
=
A π.5 2.mm 2
σ AB = 509,29 MPa.
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
34
35. Resistencia de Materiales
Si el acero es corriente o estructural Sy = 250 MPa; los cálculos hechos no
valen.
509,29MPa > 250 MPa.
Luego el acero de esta barra debe tener Sy >> 509,29 MPa.
En el tramo co Cobrexx
σ CD =
5000 N
= 159,15MPa.
π.10 2 mm 2
Para los cálculos sean válidos el cobre debe tener Sy > 159,159 MPa.
Nota: El Sy del cobre es como 190 MPa.
PROBLEMA N° 3
Calcular los esfuerzos de tracción de compresión en las barras verticales. Así
como las deflexiones de los puntos B,D,E,. La barra BDE es rígida (No se
deforma). Para esfuerzos de tracción. Considerar K = Z.
A
A
Agujeros
φ 20mm
600 mm
100 mm
Cobre 10 mm
E = 110 Gpa
Sy = 190 MPa
100 mm
aluminio
400 mm
B
Sy = 240 MPa
10 mm espesor
E = 70GPa
E
D
30 KN
200 mm
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
400 mm
35
36. Resistencia de Materiales
D.C.L. De toda la estructura.
Cy
Ay
Cy = Dy
Ay = By
By
Dy
B
Dy
D
E
By
30 KN
200 mm
400 mm
EN LA BARRA BDE
Hay 2 incógnitas: By, Dy
Necesito 2 ecuaciones de la ESTÁTICA.
B
∑ M 0 = 0 ........ (1)
30 KN x 600 mm – Dy x 200 mm = 0
Dy = 90 KN
∑My = 0 ....... (2)
By – 90 KN + 30 KN = 0
By = 60 KN
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
36
37. Resistencia de Materiales
ESFUERZOS:
BARRA AB:
σ AB
60.10 3 N
= (-)
100.10mm 2
σ AB = (-) 60 MPa < Sy = 190 MPa.
BARRA CD:
σ CD = (-) 2
90 000 N
10(100 − 20)mm 2
σ CD = 225 MPa < 240 Ma = Sy
EN LA SIGUIENTE GRÁFICA
SIENDO EN AMBAS BARRAS σ < Sy
SE CUMPLE LA FORMULA DE LA PELEA
σ
Su
Aluminio = 240 MPa
Cobre
= 190 MPa.
Acero
= 400 MPa.
Sy
225 MPa
Aluminio
FACTOR DE SEGURIDAD: 60 MPa
Cobre
BARRA AB:
FsAB =
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
E
Sy 190
=
= 3,17
σ AB 60
37
38. Resistencia de Materiales
Barra CD:
Fs.CD =
Sy
240
=
= 1,07
σ CD 225
La barra CD está más cerca de una posible falla por fluencia.
CALCULO DE LAS DEFLEXIONES:
B’
X
D
δB
M
E
δD
D’
δE
200 mm
400 mm
E’
Se asume que los desplazamientos de los puntos B,D,E, son verticales.
“DEFLEXIÓN ES EQUIVALENTE A DESPLAZAMIENTO”.
DEFLEXION DEL PUNTO B
= Desplazamiento del punto B
= δB
= Deformación de la barra
AB = δ AB
∴ δB = δ AB
SIENDO LA PELEA
δ=
PL
EA
400 mm
B
B’
60 KN
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38
39. Resistencia de Materiales
δB = δ AB =
PAB xL CD
(60000 N )(600mm)
⇒ δ CD =
N
E CD xA CD
3
2
70 x10
100 x10mm
mm 2
(
)
δ CD = 0,7714mm
CALCULO DE δE :
CALCULO DE X
Tg θ =
δB
δ
= D
200 − x X
0,2182 0,7714
=
200 − x
x
154,28 – 0,7714x = 0,2182X
X = 155,9 mm
EN LOS TRIANGULOS MEE’ Y MDD’
Tg θ =
σD
σE
=
x
400 + x
σE
0,7714
=
155,9
400 + 155,9
OJO:
σx = desplazamiento de x
σyx = deformación de barra yx.
∴ δE = 2,75 mm
SISTEMAS HIPERESTATICOS:
Ecuaciones de la estática (∑F x = 0; ∑F y = 0; ∑M 0 = 0) no son suficientes para
resolver el problema y se deben plantear las ecuaciones de desplazamientos:
PROBLEMA N° 1
Calcular
los esfuerzos en las barra verticales (K = 2), los factores de
seguridad y los desplazamientos de los puntos B, D y F.
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
39
40. Resistencia de Materiales
400 mm
300 mm
D
20 KN
500 mm
F
E
B
600 mm
400 mm
Barra rígida
Cobre 80 x 20 mm
Sy = 190 MPa
C
A
Agujeros 20 mmφ
Acero
100 x10 mm
Sy = 400 MPamm
SOLUCION:
D. C. L. De cada barra:
Ey
B
E
D
F
Fijo
By
20 KN
Dy
By
Dy
D
B
C
Fijo
Cy = Dy
A
Fijo
Ay = By
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40
41. Resistencia de Materiales
EN LA BARRA B D E F
Hay 3 incógnitas By; Dy, Ey
Se puede plantear.
∑F y = 0
2 ecuaciones
∑M 0 = 0
1 ecuación de desplazamiento.
En la barra B D E F
Hay 3 incógnitas: By; Dy; Ey S
___________________________
By + Dy – Ey + 20 KN = 0
.......... (1)
By + 700 + Dy 300 – 20 KN x 500 = 0
7 By + 3 Dy = 100 KN
B’
δB
φ
E
fijo
R
δF
D
Pi
Tgθ =
B
700
=
δB
δD
=
700 300
0
300
⇒ 3
3
B
AB
=7
D
=7
CD
Usando la pelea
3
B y x 600m
3
3 N
x10 x10m 2
200 x10
m2
P L
PAB .L AB
= 7 CD CD
E AB xA AB
E CD A CD
D y x 400mm
= 7
3 N
x 60 x 20m 2
110 x10
m2
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41
42. Resistencia de Materiales
9 x 10 -6 By = 1,6 x 10 -5 Dy
By =
1,6 x10 −5
Dy
9 x10 −6
By = 1,78 Dy
PROBLEMA N°
Calcular las reacciones en A y C
Acero 100 x 20 mm
A
B
300 mm
40 KN
C
100mm
Solución:
D.C.L.
Ax
B 40 KN
A
Cx C
∑F x = 0 Ax + Cx – 40 KN = 0
Ax + Cx = 40 KN
Análisis:
.............. (1)
Existe una ecuación y 2 incógnitas.
Luego es un problema estáticamente
Indeterminado ó Hiperestático.
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42
43. Resistencia de Materiales
Se necesita una ecuación de desplazamiento la cual puede ser la siguiente:
“La deformación de la barra es CERO”.
δ AC = 0
δ AB + δ BC = 0
Usando la pelea en cada tramo.
P xL
PAB xL AB
+ BC BC
E AB xA AB E BC xA BC
.......... (2)
Para las fuerzas P AB y P BC necesitamos el diagrama de cargas axiales.
Ax
B Bx40 KN
A
Ax
A
Cx C
P AB
Ax
B
A
40 KN PBC
Ax
(+)
A
B
C
(-)
Ax – 40000 N
En tramo AB :
σ AB = A X
Reemplazamos todos los valores en la ecuación (2)
En Tramo BC:
P BC = A X – 40
KN
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43
44. Resistencia de Materiales
A x .300mm
(Ax − 40000)(100mm) = 0
+
N
N
3
2
100.20mm 2 200.10 3
200.10
100.20mm
2
mm
mm 2
(
)
(
)
Ax.300 mm = (-) (Ax – 40000) 100 mm
3Ax = 40 000 – Ax
4 Ax = 40 000
Ax = 10000 Sentido asumido correcto.
Cx = 30000 N.
COMPROBAMOS SI USTED CUMPLE LA PELEA
Esfuerzo en AB: (Tracción)
σ AB =
K.PAB
Area Neta
σ AB =
2.10000 N
= 11,1MPa << Sy = 250MPa
(100 − 10)20mm 2
ESFUERZO EN BC : (Compresión)
σ Bc = PBC
A. Neta
σ BC =
30000 N
=15MPa << Sy = 250MPa.
100 x 20mm 2
El elemento esta dentro del rango elástico.
∴ Se cumple la pelea.
OBSERVACIONES:
1 ra La ecuación (2) se puede simplificar
Siendo: E AB = E BC ; A AB = A BC
La ecuación (2)
P .L
PAB .L AB
+ BC BC = 0
E AB .A AB E BC .A BC
P AB -L AB + P BC . LBC = 0
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44
45. Resistencia de Materiales
2 da El punto B se desplaza?
Si se desplaza
Calculamos su desplazamiento.
δ B = δ A + δ AB
{
0
δ B = δ AB
δB =
La fórmula de la pelea
P AB .L AB
E AB .A AB
δ B = (10 000N) 300 mm
200.10 3 N. 100.20 mm 2
mm 2
δ B = 0,0075 mm
Nota: Cual es la deformación de BC
δ BC = - δ AB = (-) 0,0075 mm
Se contrae
Fijo
Fijo
B
A
... B’
C
LAB
Problema: En el problema anterior calcular el desplazamiento del punto M y
Q
10 KN
A
.M
B 40 KN ,Q30 KN C
180 mm 120 mm 60 mm 40 mm
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45
46. Resistencia de Materiales
Prob:
En el problema anterior calcular el desplazamiento del punto M y Q
Q
B
A
C
40 KN
.M
180 mm
Q
30 KN
60 mm
300 mm
180mm
Solución:
δM = δ A + δ AM .
{
0
δM = δ AM .
δM = (10000N) (180mm)
200 x10 3 N/m 2 (100 x 20 mm)
También: δM = δ B .
180m
=
300m
* δa = δ A + δ AQ .
{
0
P AB = 10000 N
P BQ = (-) 30000 N
δQ = δ AB = δ AB + δ BQ
ESFUERZOS TERMICOS
Conecderemosxx una barra libre, la cual calentamos un ∆TºC.
L
.
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∆L
46
47. Resistencia de Materiales
La dilatación limelnxx esta dado por
L = Longitud original de la barra.
∆T = cambio de temperatura
α = Coeficiente de dilatación lineal.
= 12.10 -6 1/ºC (Acero)
= 18.10 -6 1/ºC (Cobre)
De La Formula (1)
∆L
= α.∆.T
L.
ε T = α. ∆ .T
Donde E T =
...............(2)
∆L
es la deformación unitaria térmica
L
AHORA SI LA BARRA NO ESTA LIBRE
P
L
∆L
Aparece una fuerza P que impide que la barra se deforme “∆L” es equivalente
decir que la fuerza produce la deformación “∆L” y por la PELEA.
∆L = δ =
PL
EA
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47
48. Resistencia de Materiales
∆L
P
=
L
E.A.
ET =
P
E.A.
Por la ecuación (2)
α.∆T =
P
E.A.
E.α.∆T =
P
A
Pero
P
= σ es el esfuerzo anual
A
∴
σ = E. α . ∆ T
........... (3)
Esta es la fórmula del esfuerzos térmico
donde:
E = Módulo de elasticidad del material.
ANALISIS PROPORCIONAL
σ D.P. E
σ D.P. α
σ D.P. ∆ T
Prob: Si es barra de acero
∆ T = 80°C
Sol:
σ = 200 x 10 3
N
1
x 12.10 -6
.80°C
2
°C
mm
σ = 192 N / mm 2
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192 N/mm 2 < Sy = 250 MPa.
48
49. Resistencia de Materiales
Prob: Si la barra de cobre ∆ T = 100°C
Sol:
σ = E. α . ∆ T.
σ = 110.103 N/mm 2 . 18.10 -6
1
= 100°C
°C
σ = 198 MPa
TRANSMISION DE POTENCIA
1. MEDIANTE FAJAS:
Motor
Máquina
Polea
Motriz
Polea
Conductora
A
Flujo de P otenci a
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49
50. Resistencia de Materiales
V
V
r
V
Qm
QC
n1
n2
r
V
r
V
C
CINEMATICA
η 1 = RPM de la polea motriz.
η 2 = RPM de la polea conducida
η1> η2
•
Relación de Transmisión
R relación =
•
η1
η2
R relación ≥ 1
Velocidad tangencial
V=
πdn 1 πDn 2
=
6000 6000
D 0 D : en (m.m)
V : en (m/seg)
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50
51. Resistencia de Materiales
La velocidad tangencial es la misma en las dos poleas:
De la relación anterior se deduce:
dn 1 = Dn 1
⇒
n1 D
=
n2 d
Luego la relación de transmisión es:
DINAMICA: Las fuerzas que actúan en cada polea.
F1
F2
γ
n1
γ
n1
γ
Polea motriz
F1
•
Polea
conducida
F2
Torque o momento torson en la polea motriz.
Por equilibrio dinámico el torque que produce el motor es igual al
torque de oposición que producen las fuerzas F 1 y F 2 .
Torque motriz = Tm = F 1 .
Tm = (F 1 -F 2 )
d
2
d
d
-F 2 .
2
2
................ (2)
RELACIÓN DE TENSIONES
F1
= e fgm / sen(α / 2 )
F2
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................ (3)
51
52. Resistencia de Materiales
f = Coef. De fricción.
0m = Angulo de abrazamiento en la polea motriz
θm = π . 2γ
D−d
γ = sen-1
2C
C = Distancia entre centros.
α = 180° para faja plana.
α = 38° - 42° para faja en V.
α
Relación entre torque y potencia:
Tm =
9550000.(Pot. en kw)
n1
...........(4)
Tm = Torque en la polea motriz en (N.mm)
n 1 = RPM de la polea motriz.
* Esta se cumple para las transmisiones ya sea con fajas, endemas,
engranajes, etc.
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52
53. Resistencia de Materiales
TRANSMISION DE POTENCIA:
2. Mediante cadena:
MOTOR
MAQUINA
Flujo de Potencia
CATALINA
CONDUCIDA
PIÑON MOTRIZ
D
n1 d
n2
C
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53
54. Resistencia de Materiales
CINEMATICA
Relación de Transmisión
Z 1 = # dentes del piñón.
n
D Z
R = 1 = = 2 ≥1
n2
Dinámica: d Z1
Z 2 = # dientes de la catalinas.
F
F
n1
n2
Polea motriz
Torque en el piñón motriz.
Tm = F.
d
2
................ (4)
Torque potencia:
La misma forma (4)
Tm =
950000(Pot. en kw)
n1
Torque en el eje del piñón motriz.
Torque en el eje del la catalina.
Tc =
950000(Pot. en kw)
n2
Torque en el eje del piñón motriz.
La potencia es en si la misma que en el piñón, la diferencia son las
pérdidas.
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54
55. Resistencia de Materiales
MOTOR
MAQUINA
Flujo de Potencia
Flujo de Potencia
Engranaje
conducido
d
n2
n1
D
CINEMATICA
R=
n1 D Z 2
= .
≥1
n 2 d Z1
DINAMICA
Fa = Ft.tg Ψ
Ft
Ft
Fr =
Fa
n1
Fr
Ft
.Tgφ
Cosψ
n2
Fa
Ft = Fuerza tangencial
Fr.
Fa = Fuerza axial
Fr = Fuerza radial
Motriz
Conducido
Ψ = ángulo de la Hélice
φ = ángulo de la presión.
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55
56. Resistencia de Materiales
Torque en el piñón motriz
Tm = Ft.
d
2
Ft: Es la única produce potencia.
Torque – potencia
La misma forma (4)
Tm =
950000(Pot. en kw)
n1
Torque en el eje del piñón motriz.
Torque en el eje del engranaje conducido.
TC =
950000(Pot. en kw)
n2
Torque en el eje del piñón motriz.
La potencia es casi la misma que en el piñón; la diferencia son las
pérdidas.
Nota: Para dientes rectos Ψ = 0° ⇒ Fa = 0
TRANSMISIÓN DE POTENCIA
Mediante engranajes cónicos
Piñón
Motriz
MOTOR
Engranaj
e cónico.
MAQUINA
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56
57. Resistencia de Materiales
CINEMATICA
R=
n1
D Z2
=
.
≥1
n 2 d 2 Z1
DINAMICA
F r1
Fr = Ft. tgφ.cos β
Fa = Ft. tgφ.sen β
F r1
F t1
φ = Ángulo de presión.
β = Semi angulo del cono.
F a2
F r2
Ft 1 = Ft 2
Fr 1 = Fxx 2
Fr 1 = Fr 2
Torsión: La suma cilíndrica está sometida a un citado de tensión pura.
MT = Metodo Torsor o
Torque.
d
L
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57
58. Resistencia de Materiales
ESFUERZO CORTANTE DE TRACCION
B
δmáx
δF
F
r
δmáx
MT
R
C
A
E
δmáx
δmáx
D
δmáx
δmax = Esfuerzo cortante máximo debido a la tracción.
δmax = Es tangente a la circunferencia exterior de la barra.
Es igual en todos los puntos de la periferie.
En el punto F el esfuerzo cortante es menor y es proporcional al radio.
δF δ máx
=
r
R
r
δF = .δ máx
R
El δ máx se calcula mediante la siguiente. Fórmula, para barras cilíndricas
macizas.
δ máx =
16MT
πd 3
La fórmula general en:
δ máx =
M T .C
J
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58
59. Resistencia de Materiales
C=
d
2
J = Momento polar de inercia
J=
MT.
δmax =
πd 4
para bara cilíndrica maciza.
32
d
2
δ máx =
πd 4
32
16M T
πd 3
PARA BARRA CILÍNDRICA HUECA.
δ máx
d0
di
δ máx
C=
d0
2
J=
π
do 4 − di 4
32
(
)
do
2
δ máx =
4
π / 32 do − di 4
δ máx =
16M T .do
(
π do 4 − di 4
)
MT.
(
)
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59
60. Resistencia de Materiales
CUANDO HAY CHAVETERO SE PRODUCE CONCENTRACION DE
ESFUERZOS:
δ máx
di
En este caso el cortante máximo es:
16 .M T
δ max =
3
πd
Donde K = factor de concentración
de esfuerzos.
= 1,2 a 3.
PARA EJE HUECO:
δ max
16 . M T . do
=K
4
− d
π Cdo
4
ANGULO DE TORSION:
B
φ B’
A’
φ
A
L
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60
61. Resistencia de Materiales
El ángulo de torsión:
φ=
M T .L
G.J
L = Longitud de la barra
G = Modulo de elasticidad transversal = 80 GPa
para el acero.
J=
πd 4
32
ó
π
)(d 4 – di 4 )
32
CUANDO EL TORQUE ES DIFERENTE EN VARIOS TRAMOS DE UN
EJE
φAE = φAB + φBC + φCD + φDE
φAE =
MTAB .L AB MTBC .L BC MTCD .L CD MTDE .L DE
+
+
+
G AB .J AB
G BC .J BC
G CD .J CD
G DE .J DE
DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES:
1er Caso:
MT = 10 KN
MT = 10 KN
DIAGRAMA DE
TORQUE
MT = 10 KNx m
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
61
62. Resistencia de Materiales
Si el eje gira a velocidad angular constante (W = constante) esta en equilibrio
y entonces se cumple que
Σ torques = 0
+ 10 KN.m –10KN,m = 0
2do Caso:
30 KN.m
8 KN.m 12 KN.m
A
B
∑ torques = 0
10 KN.m
30 – 8 – 12 – 10 = 0
C
D
30 KN.m
8 KN.m
∑ torques = 0
30-8-12-10 =0
-12 KN.m
10 KN.m
-10 KN.m
A
B
D
C
3er Caso:
20 KN.m
18 KN.m
A
A
B
B
45 KN.m
C
7 KN.m
D
D
C
45 KN.m
20 KN.m
18 KN.m
38 KN.m
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
62
63. Resistencia de Materiales
DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES:
PROB. PROPUESTO
Construir el diagrama de torque en cada caso:
20 KN.m
25 KN.m
A
B
C
MT = 67
D
20 KN.m
E
47
12
25
12 KN.m
35
10
67
10 KN.
20
20
20
(2)
30 KN.m
45 KN.m 10 KN.m
A
B
C
11 KN.m
60 KN.m
D
E
MT
F
15
54
10
5
15
54
54
6
30 KN.
30
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
6
63
64. Resistencia de Materiales
(3)
Ma
2Ma
A
B
7 Ma
C
3Ma
D
MT’ = Ma
E
4Ma
3Ma
Ma
4Ma
Ma
Ma
Ma
2 Ma
3 Ma
Problema: Construir el diagrama de momentos torsores del eje AE.
Calcular los esfuerzos cortantes máximos en cada tramo, considere que los
engranajes están enchavetados (K = 2). Así mismo calcule el ángulo de torsión
φ o/a (de la sección E respecto a la sección A)
Piñón 80 mmφ
120 mm φ
Maquina
N°
2
Consume
8 KW.
MOTOR
180 ROM
20 KW
30 mm φ
Engranaje
240 mm φ
Maquina
N°
1
Consume
12 KW.
80 mm
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64
65. Resistencia de Materiales
ESFUERZOS CORTANTE MAXIMO
δmax =
δ max D. P. T
3
δ max I. P. d
K16T
πd 3
Para acero:
Sy = 250 MPa.
SSy = 0,6 Sy
Fs =
SSy
σmax
=
150
= 8,46
17,73
δ máx
δ máx
δ máx
En A y C se presentan los cortantes máximos porque hay mayor torque y
concentración de esfuerzos por chavetero.
δmax =
216 x111416,67 Nmm
3,1416 x (40mm) 3
δmax = 17,73MPa.
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65
66. Resistencia de Materiales
ANGULO DE TORSION DE LA SECCION E RESPECTO A LA SECCION A.
φ
φ
φ
=
E/A
E/A
= φA + φ
+φ
+φ
+φ
{
1 B / A 2 4 C /3
44
4 B 1 D / 4 2 4 E /3
4C
4A
=0
φ
φ
C/ A
E/C
=φ
C/ A
+φ
E/C
T .L
T .L
= CA CA + EC EC
E/A G
.J
G .J
CA CA
EC EC
1114167 x 220mm
N π.(40)m 4
80x10 3
.
32
mm 2
= 0,002038 x
+
71625x 230mm
N
80x10
mm 2
3
π.(40 )m
.
32
4
= 0,002038 Rad.
180
π
= 0,117°
Problema:
Para el eje AE se pide:
1. Diagrama de momentos torsores
2. Esfuerzo de seguridad Si Sy = 250 MPa SSsy = 0’,6 Sy.
3. Angulo de torsión φ E / A G = 806 Pa.
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66
67. Resistencia de Materiales
ENGRANAJE
250 mm φ
MOTOR
1200 RPM
30 KW
38 mm φ
18 mm
C
D
40 mm φ
B
D
50 mm φ
A
A
36 mm φ
40 mm φ
30 mm φ
E
20 mm
80 mm
3
120 mm
4
90 mm
80 mm
80 mm
Salen
8 KW
.2
Salen
12 KW
Solución:
Torques en los puntos
1, 2, 3, 4.
T1
1
A
M
B
C
30 KW
conducido
N
D P.
E
3
4
Motriz
8 KW
2
T3
T2
RPMeje =
12 KW
Motriz
10 KW
Motriz
T4
1200 x100mm
= 480RPM
250mm
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67
68. Resistencia de Materiales
T1 =
9550000(Pot en Kw)
m
T1 =
9550000x20kw
=
1200
159166,67 Nmm
T2 =
9550000x6kw
=
1200
47750 Nmm
T3 =
9550000x5kw
=
1200
39791,67 Nmm
T4 =
9550000x9kw
=
1200
71625 Nmm
111416.67Nm
71625Nm
CHAVETA
Prob.
Construir el DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES de eje AE; calcular
el esfuerzo cortante máximo y la deformación angular de la sección E,
respecto a la sección A.
Asumir K= 2; a = 806 Pa.
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68
69. Resistencia de Materiales
Piñón Helicolor
120 mmφ
Salen 9KW
Motor
20Kw
1800RPM
x
x
100
x
120
x
150
Salen
6KW
Salen JKW
Solución:
RPM del eje AE:
1800RPMx
120m
= 120RPM
180mm
TORQUES QUE ACTUAN EN LOS PUNTOS 1, 2, 3, 4.
T1
Conducido
9Kw
200
KW
Motriz
X
X
A
B
C
Motriz
E
X
X
2
D
3
Motriz
T 2 6 KW
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SKN T 3
69
70. Resistencia de Materiales
ANGULO φE/A
φE/A = φA + φM/A + φB/M + φC/B + φN/C + φD/N + φR/D + φE/P
=0
159166,67 x18mm
80x10 3 x
+
32
(30) 2
18958,33 x 50
3
80x10 x
32
+
(40)
80x10 3 x
32
80x10
3
32
(40)
+
159166,67 x 120mm
(38) 4
18958,33 x 60
+
4
159166,67 x 62mm
+
4
80x10 3 x
18958,33 x 20
80x10
3
32
(30)
32
(40) 4
+
18958,33 x 40mm
80x10 3 x
32
(40) 4
=
4
PROBLEMA PROPUESTO:
En la siguiente transmisión:
1) Continuar el diagrama de momentos torsores ó torques.
2) Calcular el esfuerzo cortante máximo (K = 2)
3) Calcular el factor de seguridad respecto al corte si el material del eje es
acero con Sy ) 320 MPa.
φE/A ; φC/A ; φD/B ;
T1 =
9550000 x 30 kw
=
480
596875 Nmm
T2 =
9550000 x 12 kw
=
480
238750 Nmm
T3 =
9550000 x 5 kw
=
480
159166,67 Nmm
T4 =
9550000 x 10 kw
=
480
198958,33 Nmm
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70
71. Resistencia de Materiales
T3= 159166,67 Nmm
A
T1 = T21 = 358125 Nmm
B
M
C
T4 = 198958,33 Nmm
D
E
159166,67 Nmm
(+)
358125 Nmm
.C
A
.N
.P
M
(-)
-198958,33 Nmm
E
CORTANTE MAX:
Puntos críticos donde hay chaveta:
Mayor torque y menor φ:
δmax A =
δmax E =
K.16T 2 x16 x159166,67 Nmm
=
= 60,04MPa.
πd 3
π(30mm) 3
2 x16 x198958,33Nmm
π(36 )
3
= 43,44MPa.
FACTOR SEGURIDAD:
En (A). Fs =
Ssy
0,6250
=
= 2,49
δmax 60,04
SOLUCION:
MF
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MF
71
72. Resistencia de Materiales
La barra deformada es:
M
MF
Punto de Corte
CORTANDO LA BARRA:
Tracción
σ max.
MF
Fibra Neutra
C1
Comprensión
C2
σ max.
σmax.+ = Esfuerzo máximo de tracción.
σmax.C = Esfuerzo máximo de compresión.
Fibra Neutra: Fn No existe esfuerzo
Fibra Centroidal: Fc
FC y FN COINCIDEN
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72
73. Resistencia de Materiales
PARA SECCIONES SIMETRICAS: C 1 = C 2
Como por ejemplo:
C=
FN
d
2
C=
FN
l
C
C
C=
l
FN
l
2
C=
l
C
C
ESTO NO OCURRE EN SECCIONES ASIMETRICAS COMO
C1
C1
C2
C2
FN
CALCULO DEL ESFUERZO MAXIMO DE FLEXION:
σ max.
t.
C1
FN
C2
σ max.
C.
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l
2
73
l
2
74. Resistencia de Materiales
ESFUERZO MAXIMO DE TRACCION
ESFUERZO MAXIMO DE COMPRESIÓN
M .C
σmax.t = K F 1
I
M .C
σmax.C = F 2
I
Siendo:
Fs = Momento flector en la sección en la sección que se calcula.
K = Factor de concentración de esfuerzos.
I = Momento de inercia de la sección.
CASOS PARTICULARES:
SECCION CIRCULAR
C1 =
d
2
C2 =
d
d
2
d
MF.
2
σ máx .t = K
4
π.d / 64
32M F
σ máx .t = K
3
π.d
32M F
σ máx .C =
3
π.d
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74
75. Resistencia de Materiales
PARA SECCION RECTANGULAR:
C=
l
2
C=
l
2
FN
l
b
I=
bL3
12
b es paralela a FN
Lxxx es perpendicular a la FN
M .L / 2
σ máx .t = K F 3
b L / 12
6M
σ máx .t = K 2F
bL
6M
σ máx .C = 2F
bL
PROBLEMA:
Calcular:
i) Los esfuerzos máximos de tracción y compresión debido a la flexión. (K = 2).
ii) El factor de seguridad si la viga es de acero con Sy ) 250 MPa.
1200 mm
10KN
200 mm
A
B
20 mm
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75
76. Resistencia de Materiales
Solución:
X
10KN
MX
10KN
M x = 10 KN.Xmm
M x = 10 X KN mm
Mx = 10.103x Nmm
Mx = 10 4 x
Nmm
Es función lineal y su gráfico es una recta.
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
Cuando X = 0
Mx = M B = 0
Cuando X = 1200
Mx = M A = 10 4 .1200 Nmm
M A = 12.10 6 Nmm
A
B
Momentos Flectores
12.106 Nmm = M F max.
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76
77. Resistencia de Materiales
La sección A es crítica porque en ella actúa el máx momento flector aquí se
calcula σmax.t
∧
σmax.C
M F máx = 12.10 6 Nmm
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTOS FLETORES
Problema: Construir el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores de
la viga mostrada.
10KN
8KN
Apoyo
C
Móvil
D
A
B
800mm
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1200mm
1000m
77
79. Resistencia de Materiales
Hay dos posibilidades: aplicando: ∑ Fy = 0:
∑M
B
0
=0
Usando: ∑ Fy = 0
Ay – 10KN – 8KN + 8 KN = 0
⇒ Ay = 10 KN
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES
10KN
8KN
C
D
A
B
8KN
VAC
X
MAC
10KN
10KN
c
V CD
M CD
A
x
10KN
10KN
c
8KN
D
V DB
A
M DB
10KN
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X
79
80. Resistencia de Materiales
TRAMO AC:
0 ≤ X ≤ 800
Vac = Fuerzas cortante en la sección ubicada a una distancia x del punto A.
(+)
(-)
No depende de X
VAC = 10 KN
Es constante es decir es igual en todas las secciones del tramo AC.
TRAMO CD:
800 ≤ x ≤ 2000
V CD = 10 KN – 10KN = 0
Es constante porque no depende de x.
TRAMO DB:
V CD = 0
V CB = 10 KN – 10 K 0 8KN
VCB = (-) 8KN
Es constante porque no depende de x.
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES:
10KN
(+)
A
VCD =0
C
D
B
(-)
(-)8KN
8000KNmm
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
8000KNmm
80
81. Resistencia de Materiales
MOMENTOS FLECTORES:
TRAMO AC:
0 ≤ x ≤ 800
Mirando hacia la izquierda de la sección:
+
-
M AC = 10KN.x.mm
MAC = 10x KNmm
Si X = 0
MA = 0
M AC =
Línea Recta
Es función lineal de x
: X = 800
M AC = M C
M C = 10 KN.800 mm
MC = 8000 KN mm
TRAMO CD:
800 ≤ x ≤ 2000
M CD = 10 KN . x mm + 10 KN (x – 800) mm
M CD = 10 x – 10 x + 800 KN mm
MCD = 8000 KN mm
TRAMO DB:
Es constante o sea no es función de x
2000 ≤ x ≤ 3000
M DB = 10x – 10 (x – 800)-8(x-2000)
M DB = 8000 – 8x + 16000
Prof. Ing. Martínez Del Castillo
MDB = 24000 – 8x
KN mm
81
82. Resistencia de Materiales
X = 2000
MDB = MD
X = 3000
MDB = MB
= 24000 – 8x2000 = 8000 KN mm
= 24000 – 8x3000 = 0 KN mm
Prob:
En el problema anterior calcular:
1) Los esfuerzos máximos de flexión (tracción); (compresión).
2) El factor de seguridad sabiendo que el material es acero estructural con Sy
= 250 MPa.
Solución: 1) Esfuerzos máximos de flexión:
σmax = ?
Comprensión
Tracción
σmax =
M F .C
I
M F (máximo) = 8000 KN mm
= 8 x 10 6 Nmmm
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82
83. Resistencia de Materiales
100nm
Comprensión σmax.c
20mm
A2
C1
Y2
Fibra neutra
200mm
Y
Fibra lentroidal
Y1
C2
A1
UBICACIÓN DE FN ó FC
∑ Ai y1
y=
∑ Ai
y=
Ai y1 + A 2 y 2
A1 + A 2
(20.200mm )(100mm) + (100x20mm )(210mm) ⇒
2
y=
2
(20x 200 + 100x 20)mm 2
⇒
C 1 = 220 – 136,67 mm
y = 136,67mm
C 1 = 83,33
C 1 = 83,33
C2 = y
CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA I
Para un rectángulo I =
6L3
12
FN
FN
Ln
Ln
b
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83
84. Resistencia de Materiales
Para secciones compuestas de varios rectángulos:
bi h 3
i
I = ∑
+ Ai d i2
12
d i = distancia del centro de gravedad del área Ai al centro de gravedad de la
sección compuesta.
Pero el área A 1
d 1 = 136,67 – 100
d1 = 36,67 mm
Pero el área A 2
d 2 = 210 – 136,67
d2 = 73,33 mm
20x200 3 mm 4
2
2 2
I=
+ 20x200mm 36,67 m
12
(
Nota: Fs –Z
)(
100x20 3 mm 4
2
2
2
+
+ 100x20m 73,33 mm
121
)
(
)(
)
Siempre se toma el |σmáx| t ó C. el valor numérico que sea
mayor.
⇒ Fs =
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250
.
| σ máx t ó C |
84