1) Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas dependiendo de los grados de los polinomios en el numerador y denominador. 2) Si el grado del numerador es menor que el del denominador, la función tiene asíntotas horizontales cuando x tiende al infinito. 3) Si los grados son iguales, la función también tiene asíntotas horizontales cuyo valor depende de los coeficientes de los términos de mayor grado.

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO
FACULTAD DE INGENIERIA
Calculo Diferencial
III Funciones racionales
Asíntotas
Las funciones racionales
𝑓(𝑥) =
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ 𝑎 𝑥 + 𝑎
𝑏 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑏 𝑥 + ⋯ 𝑏 𝑥 + 𝑏
Pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
Una función racional tiene asíntota vertical 𝑥 = 𝑎 si el límite cuando 𝑥 → 𝑎 no existe, el cociente tiende a
valores muy grandes (infinito) positivos o negativos
lim
→
[𝑓(𝑥)] ± ∞
Una función racional tiene asíntota horizontal si el límite al infinito existe
lim
→±
[𝑓(𝑥)] = 𝐿
Asíntotas horizontales
Cuando los valores de 𝑥 tienden a valores muy grandes positivos o muy grandes negativos (𝑥 → ±∞) los
términos sumados o restados al de mayor grado pueden despreciarse o eliminarse.
Por ejemplo para 𝑥 + 3 , suponiendo un valor grande de equis, 𝑥 = 1 000 000 000 000 ,
(1000 000 000 000) + 3, agregar (o restar) tres no es significativo para el resultado.
Sí el grado 𝑛 es par
lim
→±
[𝒙𝒏
± 𝒙𝒏 𝟏
± 𝒙𝒏 𝟐
± ⋯ ] = lim
→±
[𝑥 ] = ∞
Sí el grado 𝑛 es impar
lim
→
[𝒙𝒏
± 𝒙𝒏 𝟏
± 𝒙𝒏 𝟐
± ⋯ ] = lim
→
[𝑥 ] = −∞
lim
→
[𝒙𝒏
± 𝒙𝒏 𝟏
± 𝒙𝒏 𝟐
± ⋯ ] = lim
→
[𝑥 ] = ∞
Entonces

2. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝟏
𝒙𝒏 ± 𝒙𝒏 𝟏 ± 𝒙𝒏 𝟐 ± ⋯
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝟏
𝒙𝒏
= 𝟎
Incluso si se considera cualquier constante en el numerador, Definición
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
±𝒄
𝒙𝒏 ± 𝒙𝒏 𝟏 ± 𝒙𝒏 𝟐 ± ⋯
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
±𝒄
𝒙𝒏
= 𝟎
Cuando una función racional tiene asíntotas horizontales, significa que la función se estabiliza (no crece
ni decrece, prácticamente es constante) cuando equis tiende a valores muy grandes positivos o negativos.
El grado del numerador 𝑛 puedes ser menor, igual o mayor que el grado del denominador
𝑛
<
=
>
𝑚
Cuando 𝑥 → ±∞, dependiendo del grado de los polinomios (𝑛 y 𝑚) la división o cociente de los polinomios
se agrupa en alguno de los siguientes casos.
Caso 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝒂𝒏𝒙𝒏
+ ⋯ + 𝒂𝟎
𝒃𝒎𝒙𝒎 + ⋯ + 𝒃𝟎
= Asíntotas horizontales
1) 𝑛 < 𝑚 lim
→±
𝑎 𝑥
𝑏 𝑥
= lim
→±
𝑎
𝑏
1
𝑥
= 0 𝑦 = 0
2) 𝑛 = 𝑚 lim
→±
𝑎 𝑥
𝑏 𝑥
= lim
→±
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
𝑦 =
𝑎
𝑏
3) 𝑛 = 𝑚 + 1
𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎
𝑏 𝑥 + ⋯ + 𝑏
= (𝑑𝑥 + 𝑒) ±
residuo
𝑏 𝑥 + ⋯ + 𝑏
La función no tiene asíntota
horizontal es creciente o
decreciente pero es asíntota a la
recta 𝑑𝑥 + 𝑒 asíntota oblicua
4) 𝑛 > 𝑚 + 1 lim
→±
𝑎 𝑥
𝑏 𝑥
= lim
→±
𝑎
𝑏
𝑥 = ±∞
La función no tiene asíntota
horizontal, es creciente o
decreciente, nunca se estabiliza
Más adelante veremos cómo se grafican las funciones racionales, por el momento, se trata de
determinar si la función se estabiliza cuando 𝒙 → ±∞ , es decir, si tiene asíntotas horizontales
Ejemplo caso 1 (𝑛 < 𝑚), encontrar la asíntotas horizontal de la función:
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 + 3
𝑥 − 3𝑥
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝑥 + 2𝑥 + 3
𝑥 − 3𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝑥
𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
1
𝑥
= 𝟎

3. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝑥 + 2𝑥 + 3
𝑥 − 3𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝑥
𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
1
𝑥
= 𝟎
La asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha es 𝒚 = 𝟎
Ejemplo caso 2 (𝑛 = 𝑚), encontrar la asíntota horizontal de la función:
𝑓(𝑥) =
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10𝑥
2𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10
2
= 𝟓
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10𝑥
2𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10
2
= 𝟓
La asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha 𝒚 = 𝟓
Ejemplo caso 3 (𝑛 = 𝑚 + 1), encontrar la asíntota horizontal de la función:
𝑓(𝑥) =
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝑥
𝑥 − 2𝑥 + 1
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝑥
𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
[𝑥] = ±∞
La función NO se estabiliza, no tiene asíntota horizontal, pero:
𝑥 − 2𝑥 + 1
𝑥 − 2𝑥 + 1
= 𝒙 + 𝟐 +
3𝑥 − 2
𝑥 − 2𝑥 + 1
(Comprobar la división)
La función tiene una asíntota oblicua, es asíntota a la recta 𝒙 + 𝟐

4. Ejemplo caso 4 (𝑛 > 𝑚 + 1), encontrar la asíntota horizontal de la función:
𝑓(𝑥) =
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
lim
→±
10𝑥 + 2𝑥 + 31
2𝑥 − 7𝑥 + 4
= lim
→±
10𝑥
2𝑥
= lim
→±
[5𝑥 ] = +∞
La función NO se estabiliza, no tiene asíntotas horizontales