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TRANFORMACIÓN DE
DATUM GEODESICO
MARIAM RIVAS

DATUM GEODÉSICO
Con el propósito de obtener una información geodésica
acorde a las necesidades de la nación, se deben unir a la
infraestructura del marco de referencia un conjunto de
cantidades, ecuaciones y parámetros que sirven a su vez
para establecer valores numéricos que conocemos como
coordenadas (Latitud, Longitud y Altura).
DATUM
Conjunto de
datos (Latitud,
Longitud y Altura)
Elipsoide: modelo
matemático ideal de la forma
de la tierra (semieje mayor y
el achatamiento)
punto de origen claramente
establecido
parámetro para orientar el
elipsoide denominado
azimut
asocia

DATUM
GEODÉSICO
MAGNA-SIRGAS tiene asociado
un elipsoide llamado Global
Reference System 1980 (GRS80)
Equivalente al elipsoide World
Geodetic System 1984 (WGS84)
Aceptado internacionalmente
como Datum de Referencia
Global.

DATUM GEODÉSICO
Debido a que las coordenadas obtenidas en campo,
al tener asociados diferentes parámetros, heredan o
comparten el mismo marco de referencia que tienen
los satélites de la constelación Norteamericana
conocida como Sistema de Posicionamiento Global
(GPS - Global Positioning System) y en general hacen
que sean compatibles con las demás constelaciones
de posicionamiento actuales conocidas como el
Sistema Global de Navegación Satelital (GNSS -
Global Navigation Satellite Systems). Disponer de
esta forma la infraestructura geodésica del país nos
asegura obtener una gran precisión en la
localización o ubicación de cualquier punto sobre la
superficie terrestre.
¿Por qué decidieron adoptar esos parámetros en nuestro Datum
Nacional?

TIPOS DE DATUM
datum horizontal
El dato horizontal es el modelo utilizado para medir las
posiciones de la Tierra. Un punto específico de la Tierra
puede tener sustancialmente diferentes coordenadas, en
función de los datos usados para hacer la medición. Hay
cientos de planos de referencia horizontales locales de
todo el mundo, por lo general se hace referencia a algún
punto de referencia local conveniente
datum vertical
Un datum vertical se utiliza como punto de referencia
para las elevaciones de las superficies y características
de la Tierra, incluyendo terreno, batimetría, los niveles de
agua, y las estructuras hechas por el hombre. Datums
verticales son o bien: las mareas, con base en los niveles
del mar; gravimétrico, basado en un geoide; o geodésica,
basado en los mismos modelos de elipsoide de la Tierra
utilizado para el cálculo de puntos de referencia
horizontales.

TIPOS DE DATUM
En los dátum geodésicos, geocéntricos o globales, su centro de masas coincide con el origen del sistema
coordenado, mientras que en los geodésicos locales, también conocidos como dátum geodésicos
horizontales, no ocurre lo mismo, estos fueron obtenidos a partir de coordenadas geodésicas ( φ, λ) y
alturas ortométricas (H) determinadas por separado; mientras las primeras están referidas a un elipsoide,
las otras están asociadas al nivel medio del mar.

Datum Bogotá y Red Arenas
En las primeras décadas del siglo XX, se
realizó el posicionamiento geodésico a partir de
la observación astronómica en estaciones de
control, las cuales llegaron a ser 33 en el
territorio nacional, una vez definido el origen del
datum en el Observatorio Astronómico de
Bogotá, desde 1936 se estableció la red de
control geodésica horizontal, conocida como
Red ARENA.
utilizó los parámetros
del elipsoide
Internacional (Hayford
1924)
la red ARENA se realizaron
redes de primer, segundo y
tercer orden
ciudades de
Chiquinquirá-
Cartago-Bogotá
costa Atlántica entre
las ciudades de
Cartagena y Santa
Marta

Con las observaciones astronómicas y
las técnicas de mínimos cuadrados se
ajustaron estas redes. La técnica
utilizada fue la medición de ángulos de
las cadenas de triángulos y
cuadriláteros generalmente de doble
diagonal, cuyas estaciones siempre se
ubicaban en los puntos más altos de
las cordilleras

El datum Bogotá es horizontal, es decir, se calculó
por separado de las coordenadas curvilíneas y la
altura ortométrica, no es geocéntrico y al comparar
sus resultados con observaciones GPS (Global
Positioning System), se encontró que está
desplazado en su origen alrededor de 530 metros
con respecto al centro de masas del Datum GRS80,
que utiliza MAGNA.
Tiene errores de consistencia interna de la red y de
precisión asociados al tipo de expansión utilizado,
es decir, del centro del país a los extremos, lo que
redunda en bajos errores en sitios de la Sabana de
Bogotá y grandes errores en las estaciones más
lejanas al origen.

Datum WGS84 y la RED MAGNA
Con el desarrollo tecnológico de los sistemas de
posicionamiento satelital GNSS (Global Navigation
Satellite System), la definición de los Sistemas de
Referencia y los Marcos de Referencia
Marco Geocéntrico Nacional (MAGNA)
densificación nacional del Sistema de Referencia
Geocéntrico para las Américas (SIRGAS).

Vinculación del Datum BOGOTÁ a MAGNA-SIRGAS
DATUM BOGOTA MAGNA- SIRGAS
X 1744890.254 1744890.24
Y -6116370.847 -6116370.86
Z 507899.327 507899.216
ϕ = 04° 35’ 56,57” N ϕ = 04° 35’ 46,3215” N
λ = 74° 04’ 51,30” W λ = 74° 04’ 39,0285” W
h = 2 641,469 m
Δϕ = -10,25” (~ -307,5 m)
Δλ = -12,27” (~ -368,2 m)
DIFERENCIA

Comparación
ARENA-MAGNA
Comparación entre los Dátum
WGS84 y Bogotá
aparecen algunos elementos
conceptuales, que permiten
relacionar las Redes ARENA y
MAGNA, vigentes en el territorio
nacional, a partir de algunas
características que las diferencian, es
necesario definir un método
matemático que las permita
relacionarse, conocido como
transformación de las coordenadas.

DESVÍO DE LA VERTICAL
Las superficies de referencia elipsoide y geoide, son diferentes representaciones de la tierra; el elipsoide
corresponde a una abstracción matemática de un sistema de referencia, que se define a partir de los
parámetros geométricos, mientras que en el geoide se deben considerar parámetros físicos matemáticos.
para un punto T el desvió de la
vertical es un ángulo (θ) formado, por
los vectores normales al elipsoide y el
geoide, cuyas alturas asociadas son
respectivamente η altura elipsoidal y
H altura ortométrica. El desvió de la
vertical es una magnitud física que se
encuentra en función de la latitud y
longitud geodésica y astronómica.

TRANSFORMACIÓN DE DATUM
La conversión de coordenadas establece la
relación matemática entre diferentes tipos
de coordenadas referidas siempre al mismo
datum, mientras que, el cambio de las
coordenadas de un mismo punto referido a
datum diferentes, se obtiene a través de la
transformación de coordenadas
Dicha transformación puede hacerse
utilizando coordenadas cartesianas o
geográficas en dos o en tres dimensiones
Si bien existen diferentes métodos para el
cálculo y aplicación de parámetros de
transformación, la metodología
seleccionada por el IGAC se ha basado en
los siguientes criterios:
La transformación de coordenadas entre MAGNA-SIRGAS
y Datum BOGOTÁ debe considerar la variación generada
por las diferencias geométricas y de ubicación entre los
elipsoides de referencia (GRS80 y el Internacional) y las
causadas por las deformaciones implícitas en las redes
clásicas.
El modelo de transformación debe ser ampliamente usado,
de modo que esté incluido en las aplicaciones comerciales
que administran información georreferenciada (paquetes
SIG, cartografía digital, etc.).
La metodología de aplicación debe ser amigable, eficiente
en la transformación de conjuntos grandes de datos y
estándar para que todos los usuarios nacionales de la
información espacial obtengan resultados coherentes entre
sí

Transformación de Tres Parámetros
(ΔX, ΔY, ΔZ) parámetros de transformación
Si se posicionan puntos mediante Gps, obtenemos sus
coordenadas y elevación en Datum WGS84
Coordenadas Geodesicas= ɸw, λw, hw
Coordenadas Ortogonales = Xw, Yw, Zw
El Igac suministra coordenadas geodésicas en Datum
Bogotá, así que se pueden calcular las coordenadas
rectangulares cartesianas (Xb, Yb, Zb) mediante
conversión.

Transformación de Tres Parámetros
Los parámetros de transformación se
calcularían
ΔX= Xb-Xw
ΔY= Yb-Yw
ΔZ= Zb-Zw
Se recomienda ocupar varios vértices geodésicos de la
red nacional para obtener varios grupos de parámetros
que se puedan promediar o ajustar.
En el caso de las ondulaciones geoidales dependen del
elipsoide utilizado.
Internacional (Datum Bogotá) N= h (sobre elipsoide inter)- H
(sobre el nivel del mar)
WGS84= h (sobre WGS84)- H (sobre el nivel del mar)

Transformación de los Siete Parámetros
• Tres parámetros de traslación. Δx, Δy y Δz
• Tres parámetros de rotación con respecto a
los ejes Rx, Ry y Rz
• Un factor de escala λ
Dado que el factor de escala es el mismo en
todas las direcciones, se denomina
transformación de similitud o lineal conforme; los
ángulos (formas) se mantienen después de la
transformación, pero las extensiones y
posiciones de las líneas cambian

Transformación de los Siete Parámetros (Modelo de transformación
tridimensional de similitud)
Conocidas las coordenadas en datum Bogotá del punto T,
se define la transformación de datum a WGS84, a través
de la siguiente relación matricial
[XMAGNA, YMAGNA, ZMAGNA]T: Coordenadas geocéntricas del punto de
cálculo referidas (transformadas) a MAGNA-SIRGAS
[XBOGOTA, YBOGOTA, ZBOGOTA]T: Coordenadas geocéntricas del punto de
cálculo referidas al Datum BOGOTÁ
[ΔX, ΔY, ΔZ]T: Parámetros de translación
[Rx, Ry, Rz]T: Parámetros de rotación
λ: Factor de escala

Transformación de los Siete Parámetros (Modelo de transformación
tridimensional de similitud)
La altura elipsoidal [h] utilizada para la conversión de
coordenadas geográficas [ϕ, λ] a coordenadas
geocéntricas [X, Y, Z] sobre el Datum BOGOTÁ se
obtiene utilizando el modelo geoidal GEOCOL
h = H + N

REGIONES DE
TRANSFORMACIÓN
El país fue dividido en 8 regiones de
transformación de parámetros (Traslación, factor
de escala y rotación) según el índice de planchas
del IGAC.
Estas regiones son el resultado del análisis físico
matemático (modelo geoidal) de la superficie de
cada una de las zonas de estudio.
Una vez realizadas varias campañas de
adquisición de datos GPS y valores absolutos de
gravedad, se encontró que ésta era la manera
más exacta y precisa para obtener
transformaciones adecuadas entre los dos
dátum, dadas las características de la red
ARENA, en cuanto su: geometría, precisión,
época de toma de datos y valores absolutos de
gravedad.

Transformación de Molodensky – Badekas
En redes geodésicas pequeñas
en extensión con coordenadas
geocéntricas, se presenta una
correlación muy alta entre los
parámetros de rotación y
translación en el método de
Helmert (7 parámetros), por tal
razón, se acostumbra a calcular
los parámetros de
transformación en función de
las coordenadas del punto
central del área. Esta estrategia
se conoce como el método
Molodensky-Badekas
[XMAGNA, YMAGNA, ZMAGNA]T: Coordenadas geocéntricas del
punto de cálculo referidas (transformadas) a MAGNA-SIRGAS
[X0, Y0, Z0]T: Coordenadas geocéntricas del punto central
[XBOGOTA, YBOGOTA, ZBOGOTA]T: Coordenadas geocéntricas
del punto de cálculo referidas al Datum BOGOTÁ
λ : Factor de escala

Transformación de
Molodensky –
Badekas

Transformación de Molodensky
El método de Molodensky convierte directamente entre dos
sistemas de coordenadas geográficas sin convertir realmente
a un sistema XYZ. El método de Molodensky requiere tres
desplazamientos (dx, dy, dz) y las diferencias entre los
semiejes mayores (Δa) y los aplanamientos (Δf) de los dos
esferoides. El motor de proyección calcula automáticamente
las diferencias de esferoide según los datums implicados.
Conociendo los parámetros de transformación se puede
transformar las coordenadas geográficas en Datum WGS84
obtenidas mediante posicionamiento Gps, a Datum Bogotá,
elipsoide internacional, por este método se conocen dos
versiones denominadas las formulas clásicas y abreviadas.

Formulas clásicas Formulas abreviadas
Elipsoide viejo= elipsoide donde se inicia la transformación
Elipsoide nuevo= hacia donde se va a transformar

ɸ,λ, h= coordenadas geográficas referidas al elipsoide viejo
H= distancia entre el punto y el elipsoide medida a lo largo de la normal N+H
N= Ondulación geoidal
H= distancia entre el punto y el geoide, elevación sobre el nivel medio del mar.
a= semieje mayor elipsoide viejo
b= semieje menor elipsoide viejo
b/a= 1-f
f = achatamiento elipsoide viejo
e= primera excentricidad
e2= 2f-f²
Rn=radio de curvatura en el primer vertical
Rm= radio de curvatura en el meridiano
ΔX, ΔY, ΔZ= parámetros de transformación
Δa, Δf= diferencia entre los parámetros del nuevo elipsoide menos el viejo

Transformación bidimensional afín
Como se mencionó anteriormente, el método de
transformación de similitud (Helmert o
Molodenky-Badekas) se preocupa por
transformar una figura de un marco de referencia
a otro, sin alterar su forma. Sin embargo, dadas
las características de las redes clásicas, muchas
veces es conveniente complementar la
transformación, de modo tal que la forma del
objeto o red transformada sea refinada mediante
un modelo matemático suplementario que
minimice las distorsiones existentes y que mejore
la precisión de las coordenadas resultantes. Esta
metodología es de especial utilidad en cartografía
urbana y mapas catastrales, tanto en formato
análogo como en digital.

En este sentido, con el propósito de refinar la migración a MAGNA-SIRGAS de la información referida al
Datum BOGOTÁ, una vez se ha aplicado el modelo de similitud (Helmert o Molodenky-Badekas), se
adelanta una transformación afín de seis parámetros, calculada con coordenadas planas (Gauss-Krüger o
cartesianas). El modelo matemático correspondiente equivale a:
[N’,E’]: Coordenadas planas (Gauss-Krüger o cartesianas) calculadas con la latitud (ϕ)
y longitud (λ) transformadas al utilizar los parámetros Molodenky-Badekas
[N, E]: Coordenadas planas (Gauss-Krüger o cartesianas) refinadas.

De esta forma, los parámetros calculados (a, b, c, d, e y f)
permiten conocer las traslaciones, rotaciones y cambios
en el factor de escala sobre los ejes N, E mediante:
La transformación afín se calcula para áreas pequeñas,
como por ejemplo ciudades o municipios; por tal razón,
existen tantos conjuntos de parámetros como zonas
individuales de análisis.

Transformación bidimensional a partir de coordenadas elipsoidales
En caso dado de que el conjunto de datos
que se desea transformar no cuente con la
componente vertical (altura elipsoidal o
sobre el nivel medio del mar), no será
posible determinar las coordenadas
rectangulares tridimensionales y las
formulaciones de Helmert o Molodenky-
Badekas no serán aplicable. Como
alternativa, se presenta una
transformación bidimiensional a partir de
coordenadas elipsoidales, la cual ofrece
precisiones similiares y, al igual que éstas,
deberá ser refinada mediante la
transformación bidimensional afín

Transformación bidimensional a partir de coordenadas elipsoidales
• δϕF, δλF: Parámetros de transformación del datum BOGOTÁ a MAGNA-SIRGAS (tabla 6.3). Estos
valores han sido calculados por el IGAC utilizando los mismos puntos con los que se han estimado los
parámetros del modelo Molodensky-Badekas.
• δϕ, δλ: Cambios en latitud y longitud del punto de cálculo al ser transformado del Datum BOGOTÁ a
MAGNA-SIRGAS.
• ϕF, λF: Coordenadas del punto datum (Observatorio Astronómico de Bogotá) en Datum BOGOTÁ.
• ϕ, λ: Coordenadas en Datum BOGOTÁ del punto que se desea transformar.
• dhF: Diferencia de las alturas elipsoidales del punto datum (Observatorio Astronómico de Bogotá) sobre
MAGNA SIRGAS y el Datum BOGOTÁ. Dado que estas alturas se asumen idénticas, dhF = 0.
• da: Diferencia entre el semieje mayor del elipsoide asociado a MAGNA-SIRGAS (GRS80), menos el del
elipsoide asociado al Datum BOGOTÁ (Internacional).
• df: Diferencia entre el aplanamiento del elipsoide asociado a MAGNA-SIRGAS (GRS80), menos el del
elipsoide asociado al Datum BOGOTÁ.
• a: Semieje mayor del elipsoide del datum geocéntrico, es decir MAGNA-SIRGAS
(GRS80)

Las coordenadas del punto de cálculo en MAGNA-SIRGAS (ϕ', λ') están dadas por

EJERCICIO
Transformación del Datum BOGOTA a MAGNA-SIRGAS de un conjunto de datos extraídos de cartografía
digital utilizando el modelo Molodensky- Badekas y su refinación mediante una transformación bidimensional
afín.
De diferentes planchas a escala 1:2000 de la ciudad de Bogotá se han extraído ciertos detalles cartográficos,
cuyas coordenadas deben ser transformadas a MAGNA-SIRGAS. El sistema de referencia es el Datum
BOGOTÁ y la proyección es la cartesiana con origen Bogotá- BOGOTÁ: ϕo = 4° 41’ N, λo = 74° 9’ N,7
No = 109 320,965 m, Eo = 92 334,879 m y plano de proyección a una altura de 2550,0 m
Transformación de datum utilizando el modelo Molodensky- Badekas y
su refinación mediante una transformación bidimensional afín.

EJERCICIO
1. Información extraída
de la cartografía
(Sistema de referencia:
Datum BOGOTÁ
2. Conversión de
coordenadas cartesianas
[N, E] a elipsoidales [φ, λ]
3. Conversión de
coordenadas elipsoidales
[φ, λ] a coordenadas
rectangulares
tridimensionales [X, Y, Z]
4. Aplicación de los
parámetros de transformación
siguiendo el modelo de
Molodensky- Badekas
5. Conversión de coordenadas
rectangulares tridimensionales
[X, Y, Z] a elipsoidales [φ, λ]
utilizando los parámetros del
elipsoide GRS80
6. Conversión de coordenadas
elipsoidales [φ, λ] a planas
cartesianas [N, E]
7. Refinamiento de las
coordenadas planas [N, E]
transformadas mediante la
utilización del modelo
bidimensional afín

EJERCICIO
Pasos 1-2 y 3
Dado que no se conoce la componente vertical (altura) de los puntos a transformar, se ha asumido
como altura elipsoidal para todos los puntos un valor promedio de 2550 m.

EJERCICIO
Paso 4. Aplicación de los parámetros de transformación siguiendo el modelo de Molodensky- Badekas
[XMAGNA, YMAGNA, ZMAGNA]𝑇 : Coordenadas geocéntricas del punto de cálculo referidas
(transformadas) a MAGNA-SIRGAS
[X0, Y0, Z0]T: Coordenadas geocéntricas del punto central
[XBOGOTA, YBOGOTA, ZBOGOTA]T: Coordenadas geocéntricas del punto de cálculo referidas al
Datum BOGOTÁ
λ : Factor de escala

EJERCICIO
Dado que los puntos están ubicados en Bogotá, la zona de transformación regional corresponde con la VIII, es
decir que los parámetros de transformación

EJERCICIO
Xo 1738580.767
Yo -6120500.388
Zo 491473.3064
ΔX 302.529
ΔY 317.979
ΔZ -319.08
Rx 1.36157E-05
Ry -2.17446E-06
Rz -1.36242E-05
X 1741705.883
Y -6118318.013
Z 497334.582
Formula Excel
(1+2+(3*mmult(4,(5-1))
1
2 1+λ= 0.9999978
3
5
1 -1.3624180E-05 2.1744560E-06
1.3624180E-05 1 1.3615660E-05
-2.1744560E-06 -1.3615660E-05 1
4

EJERCICIO
Paso 5. Conversión de coordenadas rectangulares tridimensionales [X, Y, Z] a elipsoidales [φ, λ] utilizando
los parámetros del elipsoide GRS80

EJERCICIO
Paso 6. Conversión de coordenadas elipsoidales [φ, λ] a planas cartesianas [N, E]

EJERCICIO
Paso 7. Refinamiento de las coordenadas planas [N, E] transformadas mediante la utilización del modelo
bidimensional afín
Considerando que los parámetros de transformación regionales proporcionados por el IGAC pueden no ofrecer la
suficiente precisión requerida por datos espaciales representados a escalas grandes (1:500 ... 1:5000), en algunas
ocasiones los productores y usuarios de esta información deberán calcular los parámetros de la transformación
bidimensional afín de refinamiento a partir de sus propios datos

EJERCICIO
Paso 7. Refinamiento de las coordenadas planas [N, E] transformadas mediante la utilización del modelo
bidimensional afín

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