apuntes

1. Bloques Funcionales de Sistemas Fluídicos
En sistemas de flujo de fluidos existen tres bloques funcionales, los
cuales se pueden considerar equivalentes de la resistencia, la
inductancia y la capacitancia.
Para estos sistemas la entrada, el equivalente de la corriente
eléctrica, es la razón de flujo volumétrico q, y la salida, el
equivalente de la diferencia de potencial eléctrico, es la diferencia
de presiones, (p1 – p2).
Los sistemas fluídicos se pueden considerar en dos categorías: los
hidráulicos son aquellos en los que el fluido es un líquido que se
considera incompresible y los neumáticos son los que su fluido es
un gas que puede ser compresible y presenta cambios de densidad.

2. La resistencia hidráulica es la resistencia a fluir que
se presenta como resultado de un flujo de líquido a
través de válvulas o cambios de diámetro de las
tuberías.
La relación entre la razón de flujo volumétrico q del
líquido a través de un elemento resistivo y la
resultante diferencia de presiones (p1 – p2) es
p1 – p2 = Rq

3. donde R es una constante llamada resistencia hidráulica. A mayor
resistencia hidráulica mayor es la diferencia de presiones para dar
una razón de flujo.
Capacitancia hidráulica es el término que se emplea para describir el
almacenamiento de energía con el líquido, donde ésta se almacena en
forma de energía potencial.
La altura de líquido en un contenedor, que se denomina carga de
presión, es una forma de dicho almacenamiento.

4. Para esta capacitancia, la tasa de cambio del volumen V en el
contenedor, es decir, dV/dt , es igual a la diferencia entre la razón de
flujo q1 a la que el fluido entra en el contenedor, y la razón de flujo q2
a la que deja el contenedor.
q1 – q2 =
𝒅𝑽
𝒅𝒕
Pero V = Ah, donde A es el área de la sección transversal del
contenedor y h la altura del fluido en él.
q1 – q2 =
𝒅(𝑨𝒉)
𝒅𝒕
A
𝒅𝒉
𝒅𝒕
Pero la diferencia de presiones entre la entrada y la salida es p
p = h  g
donde  es la densidad del líquido y g la aceleración debida a la
gravedad
q1 – q2 = A
𝒅(
𝒑
𝒈
)
𝒅𝒕
=
𝑨
𝒈
𝒅𝒑
𝒅𝒕

5. Así, si se considera que el líquido es incompresible, es decir, su
densidad no cambia con la presión. La capacitancia hidráulica C se
define como
C =
𝑨
𝒈
De este modo
q1 – q2 = C
𝒅𝒑
𝒅𝒕
Al integrar esta ecuación se obtiene
p =
𝟏
𝑪
𝒒𝟏 − 𝒒𝟐 𝒅𝒕
La inertancia (inercia) hidráulica es el equivalente a la inductancia en
sistemas eléctricos o a un resorte en sistemas mecánico. Para
acelerar un fluido y así incrementar su velocidad se requiere una
fuerza. Considere un bloque de líquido de masa m. La fuerza neta que
actúa sobre el líquido es

6. donde (p1 – p2) es la diferencia de presiones y A es el área de la
sección transversal. La fuerza neta propicia que la masa se acelere
con una aceleración a.
(p1 – p2) A = m a
Pero a es la tasa de cambio de la velocidad dv/dt.
(p1 – p2) A = m
𝒅𝒗
𝒅𝒕

7. Pero la masa del líquido considerado tiene un volumen AL, donde L
es la longitud del bloque de líquido o la distancia entre los dos
puntos en el líquido donde se miden las presiones p1 y p2.
Si el líquido tiene una densidad p, entonces m = AL.
(p1 – p2) A = AL
𝒅𝒗
𝒅𝒕
Pero la razón de flujo volumétrico q = Av, por lo tanto
(p1 – p2) A = L
𝒅𝒒
𝒅𝒕
(p1 – p2) = I
𝒅𝒒
𝒅𝒕
donde la inertancia hidráulica I se define
I =
𝑳
𝑨
Con sistemas neumáticos los tres bloques funcionales son, al igual
que en sistemas hidráulicos, resistencia, capacitancia e inertancia.
Sin embargo, los gases difieren de los líquidos en que los primeros
son comprensibles.

8. es decir, un cambio en la presión causa un cambio en el volumen
y, por lo tanto, en la densidad. La resistencia neumática R se
define en términos de la razón de flujo másico m y la diferencia de
presiones (p1 – p2).
p1 – p2 = R m
La capacitancia neumática C se debe a la compresibilidad del gas,
de manera muy parecida a la compresión de un resorte al
almacenar energía.
Si hay una razón de flujo másico m1 que entra al contenedor de
volumen V y la razón de flujo másico m2 que sale de éste,
entonces la razón a la cual está cambiando la masa en el
contenedor es
Tasa de cambio de la masa en el contenedor = m1 – m2.
Si el gas en el contenedor tiene una densidad p, entonces la tasa
de cambio de la masa en el contenedor es

9. Tasa de cambio de la masa en el contenedor =
𝒅( 𝑽 )
𝒅𝒕
Pero tanto p como V pueden variar con el tiempo. Por lo tanto
Tasa de cambio de la masa en el contenedor =
𝒅𝑽
𝒅𝒕
+
𝑽𝒅
𝒅𝒕
Puesto que (dV/dt) = (dV/dp)(dp/dt) y para un gas ideal pV = m RT, en
consecuencia p = (m/V) RT = pRT y así dp/dt = (1/RT)(dp/dt),
Tasa de cambio de la masa en el contenedor = 
𝒅𝑽
𝒅𝒑
𝒅𝒑
𝒅𝒕
+
𝑽
𝑹𝑻
𝒅𝒑
𝒅𝒕
donde R es la constante de los gases y T, la temperatura, la cual se
supone constante en la escala Kelvin.
m1 – m2 = ( 
𝒅𝑽
𝒅𝒑
+
𝑽
𝑹𝑻
)
𝒅𝒑
𝒅𝒕
La capacitancia neumática por el cambio en el volumen del contenedor
C1
C1 = 
𝒅𝑽
𝒅𝒑

10. y la capacitancia neumática debida a la compresibilidad el gas C2
C2 =
𝑽
𝑹𝑻
Por lo tanto
P1 – P2 =
𝟏
𝑪𝟏+𝑪𝟐
𝒎𝟏 − 𝒎𝟐 𝒅𝒕
La inertancia (inercia) neumática se debe a la caída de presión
necesaria para acelerar un bloque de gas. De acuerdo con la segunda
ley de Newton.
Fuerza neta =
𝒅(𝒎𝒗)
𝒅𝒕
Puesto que la fuerza es provista por la diferencia de presiones (p1 –
p2), entonces si A es el área de la sección transversal del bloque de
gas que se acelera.
( P1 – P2 ) A =
𝒅(𝒎𝒗)
𝒅𝒕
Pero m, la masa del gas que se acelera, es LA, donde  es la
densidad del gas y L la longitud del bloque de gas que se acelera. Pero
la razón de flujo volumétrico q = Av, donde v es la velocidad.

11. mv = LA(q/A) = Lq
Y así
( P1 – P2 ) A = L
𝒅( 𝒒 )
𝒅𝒕
Pero m = q de este modo
P1 – P2 =
𝑳
𝑨
𝒅𝒎
𝒅𝒕
P1 – P2 = I
𝒅𝒎
𝒅𝒕
Siendo la inertancia neumática
I =
𝑳
𝑨

12. BLOQUES FUNCIONALES ANALOGOS FLUIDICOS Y ELECTRICOS