Este documento presenta los contenidos y ejercicios de una unidad de matemáticas sobre operaciones básicas y razonamiento proporcional. La unidad incluye ejercicios de suma, resta, multiplicación, división, MCD, mcm y problemas con números enteros, así como ejercicios de razonamiento proporcional y problemas de planteo que involucran diferentes operaciones. El documento proporciona las soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados.

1. BASES MATEMATICAS
ESCUELA DE ADMINISTRACION Y COMERCIO
2008

2. UNIDAD I: Operatoria Básica
Contenidos: Números, MCD, mcm, Operatoria Básica y Resolución de Problemas
1. Resuelve los siguientes ejercicios:
1) 2 + 7 – 3 =
2) – 8 + 9 =
3) – 7 – 8 – 6 =
4) 7 : - 7 =
5) 78 - 4 =
6) – 8 – 2 4=
7) 56 -1:4=
8) – 2 – 3 – 56 – 41 =
9) 2 ( 5 – 9 ) : - 2 -1=
10) 12 : 4 -3+8=
11) 14 – 45 – 41 =
12) – ( 5 + 6 ) 4 – 41 : - 41 =
13) ( 4 – 8 ) ( 4 – 8 ) =
14) 74 + ( 45 : - 3 ) - 1 + 2 =
15) 3 – 56 : - 2 -4=
16) 0 : - 98 63 – 52 – 1 =
17) 23 – 23 - 1 : 23 – 23 =
18) – 14 – 5 ( 2 – 6 ) – 1 =
19) 21 ( 10 – 10 10 ) =
20) – 12 + 14 : ( 24 – 25 ) 2 =
21) 33 : - 33 0 + 140 – 140 =
2

3. 22) ( 52 – 53 ) ( 45 – 46 ) – 32 =
23) 21 + 12 – 4 ( 14 – 19 ) =
24) 7 + 8 + 9 + 10 =
25) – 7 – 8 – 9 – 10 =
26) 7 – 8 – 9 – 10 =
27) – 7 + 8 ( 4 – 53 ) =
28) 13 – 14 : - 2 -5+3=
29) ( 13 – 14 ) -2+5–3=
30) 25 : - 25 + 25 – 25 25 =
31) – 15 ( - 2 – 8 ) + 15 =
32) ( - 56 – 43 ) 2 + 25 – 25 - 1 =
33) 14 - 14 : 14 + 11 ( 1 – 1 ) =
34) 36 : - 6 - 6 + 78 – 5 ( 1 – 2 ) =
35) – 17 – 18 – 19 -1=
36) – 68 + 2 ( 4 – 5 ) 5 + 6 =
37) - 22 – 22 0 – 51 =
38) – ( 4 - 5 ) + 6 – 9 – 10 =
39) – 7 ( 58 : - 2 ) – 14 – 1 =
40) 9 – 9 9:-9–9+9=
41) 55 + 8 - 8 + 6 : - 6 =
42) 28 – 2 14 – 15 + 15 =
43) – 31 – 2 – 9 ( - 81 : - 9 ) =
44) – 86 + 86 ( 121 : - 11 ) =
45) 78 : - 1 ( 12 – 14 ) – 78 =
3

4. 2. Completa, en la línea, con lo que falta para que se cumpla la igualdad:
1) 2 x ___ = 18 2) 3 x ___ = 27 3) 3 x 7 = ___
4) ___ x 8 = 24 5) ___ x ___ = 21 6) 4 x ___ = 20
7) ___ x 7 = 28 8) ___ x 9 = ___ 8) 5 x 7 = ___
9) ___ x 9 = 45 10) 5 x ___ = 40 11) ___ x 3 = 15
12) 6 x 7 = ___ 13) 7 x ___ = 56 14) 7 x ___ = 70
15) ___ x 7 = 49 17) 8 x ___ = 24 18) 8 x ___ = 32
19) ___ x 7 = 56 20) ___ x ___ = 64 21) ___ x 9 = 72
22) 9 x 6 = ___ 23) ___ x 7 = 63 24) ___ x ___ = 81
25) 12 x 4 = ___ 26) 12 x 6 = ___ 27) ___ x 8 = 96
28) ___ x ___ = 144
3. Resuelve en tu cuaderno de matemática, los siguientes ejercicios:
1) 296 + 5342 + 756 + 9 = 2) 192 + 55564 + 56 = 3) 8686 - 64 + 354 =
4) 896 - 646 = 5) 456 x 64 = 6) 6469 x 56 =
7) 2465 : 5 = 8) 12800 : 25 = 9) 3 x 5 + 7 - 2 =
10) 25 : 5 + 3 x 7 = 11) 70 : 2 + 3 x 2 = 12) 3 x (4 + 8) =
13) (5 - 3) x (3 + 2) = 14) 5 + 3 x (3 + 2) =
4. Calcular las siguientes sumas de números enteros:
1) -41 + -4= 2) - 24 + 4= 3) -2 + -12= 4) -12 + -12=
5) 10 + -41= 6) -18 + -4= 7) 4 + -11= 8) -10 + 40=
9) -5 + 19 = 10) -21 + 18 = 11) -30 + 4 = 12) -15 + 10 =
5. Calcular las siguientes restas de números enteros:
1) -12 - -4= 2) -14 - 4= 3) -8 - -12=
4) -10 - 4= 5) 4 - -11= 6) -100 - -4=
7) 4 - -12= 8) -10 - -10= 9) 5 - 9 =
6. Hallar el MCD y mcm de:
a) 240 y 1100 b) 675 y 792 c) 32, 54 y 90
d) 98, 392 y 441 e) 60, 80 y 120 f) 96 y 270
g) 120, 60 y 100 h) 180, 276 y 444

5. 7. Operatorias Combinadas
Sol: 3/4
1)
Sol: 1/2
2)
Sol: 68/19
Sol: 251/36
Sol: 7/6
Sol: 32/3
Sol: 1
Sol: 3/2
Sol: 3
48:72= Sol: 2/3
Sol: 1/10
5

6. Sol: 1/5
Sol: 2/3
Sol: 1/4
Sol: 16/25
Sol: 2/15
Sol: 10/3
Sol: 0
Sol: 9/70
Sol: 49/150
Sol: 23/240
Sol: 251/1440
6

7. Sol: 1/10
Sol: 7/32
Sol: 15
Sol: 3/4
Sol: 3/5
Sol: 3/64
Sol: 64/75
Sol: 7/8
Sol: 7/10
Sol: -1/4
Sol: 3/2
7

8. Sol: -5/4
Sol: 11/6
Sol: 41/15
Sol: 5/4
Sol: -13/5
Sol: -4
Sol: -7
Sol: 1
Sol: -7
Sol: -7/2
8

9. Sol: 3/8
Sol: 15/2
Sol: 5/6
Sol: 3
Sol: 16
Sol: 1/4
Sol: 1
Sol: 2
Sol: 21/2
Sol: 8/35
Sol: -1
9

10. Sol: 2
Sol: 0
Sol: 5/8
Sol: 5/2
Sol: 27
Sol: 2/15
Sol: -1/16
Sol: 20
Sol: 3/4
Sol: 7/27
10

11. Sol: 8
Sol: -2
Sol: 1
Sol: 1
Sol: 1
Sol: 14/5
Sol: 3/8
Sol: 218/27
Sol: 25/36
Sol: 153/40
Sol: 377/90
11

12. Sol: 1/40000
Sol: 4025/36
Sol: 11/7
Sol: 22/9
Sol: 49/660
8. Problemas de Planteo
a) En un taller tienen que hacer piezas de metal con forma de rectángulo de 12 cm 2 de
superficie. El largo y el ancho deben ser números naturales. ¿Cuántas piezas distintas
(de qué medidas) se pueden hacer?
b) Se tienen 3 rollos de tela, de 22 m, 32 m y 44 m. para hacer vestidos. Queremos cortarlos
en trozos que tengan igual medida. ¿Cuál es la mayor longitud en que podemos
cortarlos?
c) Pablo y Javier van a visitar a su abuelita un determinado día. A partir de ese día, Pablo va
cada 18 días y Javier cada 30. ¿En cuántos días mas se vuelven a encontrar?
d) Por la avenida Prat pasa el microbús A cada 30 minutos y el microbús B cada 45 minutos.
Si a las 9:00 se juntan frente al Colegio, ¿a qué hora volverán a coincidir?
e) El dueño de una tienda compra diez cajas de refresco con doce botellas cada una y paga
$ 4.080 por cada caja. Si en la tienda vende cada botella de refresco a $ 510. ¿Cuánto
ganará al vender todas las botellas?
f) Otro dueño de tienda, compra 500 cajas de tomates de 10 Kg. cada caja en $ 3.060.000.
El transporte le cuesta $ 408.000 y durante el trayecto se echan a perder 800 Kg. de
tomates. ¿A cuanto debe vender el Kg. para ganar $ 900.000?
12

13. g) Tres amigos han reunido $ 650.000 y se han gastado en un viaje $ 327.500, ¿cuánto
dinero queda para cada uno después del viaje?
h) Una persona gana $162.500 a la semana y gasta el mes $ 245.000 en alimentación, $
39.500 en locomoción y $ 22.500 en otros gastos. ¿Cuánto ahorra en un mes?
i) Inventa un problema donde se usen las cuatro operaciones para resolverlo.
j) Leemos un libro de en 12 en 12 paginas y sobra 1, si lo leemos de 15 en 15 también
sobra 1. Calcula el, menor numero de paginas que puede tener dicho libro.
k) En la tierra se ve el cometa Halley cada 76 años y un satélite artificial cada 36 años. En
1986 un astrónomo los vio pasar juntos. Calcula en qué año volverán a verse juntos.
UNIDAD II: Razones y Proporciones
Razones
1. Juan tiene 24 años y la razón entre su edad y la de su hermano es 3:4. ¿Cuál es la edad
de su hermano?
2. La tercera parte de a es igual a la mitad de b. Si a + b = 15, ¿cuánto vale b?
3. La diferencia de dos números es 48 y su razón es 9:5. ¿Cuál es el número mayor?
4. Dos personas se reparten $ 25.000 en la razón 2:3. ¿Cuál es la diferencia entre lo que
recibe cada una de ellas?
5. Calcular x, tal que (5x + 5) : 5 = (6x + 4) : 7
6. Si A : B : C = 4 : 6 : 5 y A + B + C = 45. El valor de A + B - C es:
7. En un curso hay 36 alumnos, si 24 son hombres, la razón entre mujeres y hombres es:
8. En una fiesta hay 12 hombres y la razón entre mujeres y hombres es 2 : 3. ¿Cuántas
personas hay en la fiesta?
9. Tres kilos de papas cuestan x pesos y 6 kilos de papas cuestan (x + 30) pesos. El valor de
3 kilos de papas es:
10. Con $ 400 podemos comprar a kg. de dulce. ¿Cuántos kgs. podemos comprar con $
1.000?
11. La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 5 : 9. ¿Cuál es el menor de
ellos?
12. Cuatro pares de zapatos valen $ t. Entonces dos docenas de zapatos valen:
13. Si 3 ladrillos pesan 6 kilos, ¿cuánto pesan, en kilos, una decena de ladrillos?
14. Siete obreros cavan en dos horas una zanja de 10 m. ¿Cuántos metros cavarán, en el
mismo tiempo, 42 obreros?
13

14. 15. Con un jarro de jugo se alcanza a llenar 36 vasos, ¿cuántos de estos vasos se podrán
servir si sólo son llenados hasta 3/4 de su capacidad?
16. En pintar los 2/3 de una pared se ocupa 1/5 del tarro de pintura, ¿cuánta pintura se
ocupará en pintar toda la pared?
17. Las edades de Juan y Pedro están en la razón 1 : 3. Si Juan tiene 10 años, ¿cuántos
años suman sus edades?
18. ¿Cuánto cuestan 44 m2 de alfombra a $ 24.000 los 6 m2?
19. ¿Qué número debe sumarse a 7 y sustraerse de 3, para obtener dos números cuya razón
sea 3 : 1?
20. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3 : 8. Si su área es 600 cm2, entonces su
lado mayor mide:
21. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántas
líneas escribirá en la misma página a triple espacio?
22. Un cordel mide 2,4 metros. Se deben hacer dos nudos de modo que los tres segmentos
en que queda dividido sean entre sí como 3 : 4 : 5. ¿Cuál es la medida que debe tener el
segmento mayor?
23. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2 : 3. Si para llenarlo se
necesitan 15 litros, ¿cuál es la capacidad del estanque?
24. Para hacer un alambrado se necesitan 388 postes, colocados a 1,50 metros de distancia
uno del otro. ¿Cuántos postes se ocuparán si se ponen a 2 metros uno de otro?
25. En un corredor hay 12 hileras de baldosas de 0,20 cm. de lado ¿Cuántas corridas de
baldosas de 0,15 cm. por lado podrían colocarse?
26. Si dos ángulos interiores de un rombo están en razón 1 : 3, entonces la medida de un
ángulo agudo del rombo es:
27. En una granja hay patos y gallinas en razón 9 : 10, si en una fiesta se sacrifican 19
gallinas, la razón se invierte. ¿Cuántas gallinas había inicialmente?
28. Por cada $ 7 que recibe Juan, Pedro recibe $ 5. Si Juan recibe $ 70 más que Pedro.
¿Cuánto recibe Juan?
29. Un grifo que entrega 0,6 litros de agua por segundo, llenó un estanque en 21 horas.
¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que da 0,9 litros por segundo?
30. La suma de 6 enteros pares consecutivos es igual a 90. ¿En qué razón están los dos
números centrales?
14

15. 31. Los pesos de dos muebles están en la razón de a : b. La suma de los pesos de estos
muebles es a + b. ¿Cuál alternativa indicará siempre el peso de uno de ellos?
32. Si 3 : p = 11 : 17, entonces ¿qué parte es 3 de p?
33. Dado el conjunto D = {x / x es divisor positivo de 12} ¿Cuántas parejas de números que
estén en la razón 1 : 2, de este conjunto se pueden formar?
34. Una repisa con libros pesa 44 kg. Si el peso de la repisa está con el peso de los libros en
la razón 1 : 10, ¿cuántos kilos pesa la repisa?
35. La superficie de un rectángulo es x2. Si el ancho y el largo del rectángulo están en la
razón 1 : 4, entonces el ancho está representado por
36. Las edades de un hijo y un padre están en la razón 1 : 5. Hace 5 años las edades
estaban en la razón 1 : 9. ¿Qué edad tiene el hijo?
37. Si 1 : c = 5 : d, entonces el producto entre 0,5 y c es igual a:
38. Se sabe que p y q son números enteros positivos y que q/r = 1/p. Si q = 2 y r = 10q,
entonces 3p = ?
39. Los diámetros de dos círculo tangentes interiormente, están en la razón 1 : 2. ¿En qué
razón están las áreas de los círculos?
40. Con $p se compran 4 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos del mismo valor se pueden
comprar con $2pq?
Proporciones
1) Tres amigas organizan una microempresa. Deciden instalarse con una panadería y
vender, entre otros productos, pan integral. La experiencia casera les indica que un
kilogramo de harina les rinde 1,250 kg de pan. Además, por cada kg de harina,
necesitan 40 g de levadura y 50 g de manteca vegetal. Para cada día de la primera
semana, ellas piensan hacer 30 kg de pan. ¿Cuánta harina integral, levadura y
manteca necesitan para hacer el pan de la semana?
2) El cine-arte tiene un plan especial para sus socios: pagan una cuota anual de $5 000 y
el valor de la entrada es $1 500. Los que no son socios pagan $2000 por entrada.
Trazar el gráfico que describe la situación. ¿A quiénes les conviene ser socios de
cine-arte?
3) Se dispone de un cuadrado de 80 metros de perímetro. Señalar todos los rectángulos
que tienen un área equivalente a la del cuadrado y cuyos lados son números enteros.
4) Luisa mide 165 cm de estatura y, a determinada hora del día, tiene una sombra de
115 cm. A la misma hora su casa determina una sombra de 9 m y 30 cm. ¿Cuál es la
altura del edificio?
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16. 5) La milla inglesa y el Km se encuentran en una proporción de 5 a 8. Expresa en millas
la distancia que hay entre dos ciudades, sabiendo que distan unos 130 Km.
6) Para cocer arroz un cocinero utiliza siete partes de agua por dos de arroz. ¿Cuántas
tazas de agua han de echarse por 7 de arroz?
7) En un grupo de personas hay 5 hombres por cada tres mujeres. Si hay 120 mujeres,
¿cuántos hombres hay?
8) El charrán del ártico es una de las aves que hace la migración más larga, ya que
recorre 20169 Km en 12 días. ¿Cuánto recorrerá en 5 días si lleva siempre la misma
velocidad?
9) Un administrativo realiza 1470 pulsaciones de teclado en 7 minutos. ¿Cuántas veces
le da a la tecla en 100 seg?
10)Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan 3 huevos, 100 g de mantequilla (la
odio), 120 g de chocolate y 60 g de levadura. ¿Qué cantidades se necesitarán para
una de 8 raciones?
11)En 17 cajas iguales hay 1632 botones iguales, ¿cuántos habrá en 37?. ¿Cuántas
cajas se necesitarán para guardar 900 botones?
12)Eva compró siete bolígrafos iguales con 231 pesos. ¿Cuántos podría haber comprado
si hubiese tenido 550 pesos?
13)8 albañiles tardan en hacer una obra 15 días y medio, ¿cuánto tardarían 11 albañiles?
14)Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer durante 16
días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el
alimento que tiene?
15)Un ganadero posee forraje para alimentar a sus bueyes durante 14 semanas. Tras
vender 60 animales comprueba que le queda alimento para 20 semanas, ¿cuántos
bueyes le quedaron?
16)Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km/h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar
al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km/h?
17)Dos socios invierten en un negocio las cantidades respectivas tres y cinco millones y
medio. Si deciden repartir los 2460000 pesos de beneficio en forma directamente
proporcional a lo que invirtieron, ¿cuánto ha de corresponder a cada uno?
18)Los cinco propietarios de casas que residen en una plaza deciden arreglarla de
manera que el gasto de cada uno sea directamente proporcional a los metros de
fachada que ocupa su casa. Dos de ellos tienen una fachada de 12 m, otros dos de 17
m y el último de 24. ¿Cuánto han de pagar respectivamente si el coste de la obra es
de 3500000 pesos?
19)Una señora camina 5 horas diarias durante 4 días realizando una marcha de 68 Km.
¿Cuánto hubiese caminado si lo hiciese a igual ritmo que antes durante 7 horas
diarias y 5 días?
20)Si caminó 110 Km a razón de 6 horas y media al día, ¿cuántos días necesitó para
realizar el camino?
21)¿Cuánto costará la comida de 150 turistas durante 15 días, si la de 20 turistas durante
7 días cuesta 196000 pesos?
22)Si tenemos un presupuesto para comida de 2000000 de pesos y podemos alojar
turistas durante 10 días, ¿a cuantos turistas podremos alimentar?
23)María y Lucas se van a repartir una prima de 80.000 pesos de manera directamente
proporcional a sus sueldos que son de 198.000 y 16.400 pesos, respectivamente.
¿Cuánto corresponde a cada uno?
16

17. 24)Tres amigos rellenaron un kino. El primero puso 150 pesos, el segundo $230 y el
tercero $450. Si el boleto resultó premiado con 6.000.000, ¿cómo se repartirá el
premio de forma directamente proporcional a lo apostado?
25)En una carrera se reparten 55.000 pesos de premio entre los tres primeros, de manera
que cantidad recibida sea proporcional al puesto ocupado. ¿Cuánto corresponderá a
cada uno?
26)Se desean repartir 800.000 pesos entre tres ciclistas de un equipo que participa en
una contrareloj. Si se hace de forma inversamente proporcional a los tiempos
realizados: 24” el primero, 36” el segundo y 54” el tercero; ¿cuánto corresponderá a
cada uno?
27)Se desea repartir una bolsa de 100 caramelos entre 3 hermanos de manera
inversamente proporcional a sus edades, que son de 8, 9 y 13 años respectivamente.
¿A cuánto toca cada uno?
28)Para excavar se emplearon 3 máquinas iguales trabajando 160 h cada una. ¿Qué
tiempo se hubiera tardado si hubiesen trabajado 10 máquinas?
29)Diez excavadoras hacen un túnel de 5 m de ancho por 4 m de alto en 7 días.
¿Cuántos metros podrán hacer 7 excavadoras si el túnel tiene 6 m de ancho y 5 m de
alto en 7 días?
30)Para recorrer una distancia de 15.000 Km un pájaro tarda 20 días, volando 9 h diarias.
¿Cuántos días tardará en recorrer 2.000 Km si vuela durante 12 h diarias? ¿Cuántos
Km recorrerá si vuela 8 días durante 16 h diarias?
31)Para pavimentar una calle de 600 m de largo y 24 m de ancho se han utilizado 36000
adoquines. ¿Cuántos adoquines se necesitarían para otra calle de 500 m de largo y
30 m de ancho?
32)90 obreros necesitaron 80 días para construir una muralla de 120 m de longitud por 2
m de anchura. ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir 150 m de muralla de
3 m de grosor en un tiempo de 60 días?
33)Se mezclan 15 Hl de un tipo de vino de 300 pesos el litro con 20 Hl de otro tipo que
cuesta 350 pesos. ¿Cuál es el precio de la mezcla?
34)El precio de un espejo de 300 cm de largo y 240 de ancho es de 90.000 pesos. ¿Qué
anchura tendrá otro espejo del mismo material, de 360 cm de largo y que costó
126.000 pesos?
35)Un buey atado a un árbol con una cuerda de 6 m de longitud tarda 6 días y medio en
consumir la hierba que hay alrededor. ¿Cuánto tardaría si se alargase la cuerda 2 m?
36)La velocidad de la luz es constante. La luz tarda 8 minutos y 20 segundos en llegar del
Sol, que está a unos 150 millones de Km de nuestro planeta. Calcula los Km que
recorre la luz en un segundo.
Porcentajes
Es el número de partes que se tomaron de un entero que se dividió en 100 partes, y se
representa con el símbolo %.
1. Convierte o expresa en forma decimal y fraccionaria.
Fracción Decimal
17

18. a) 5.2% 52/1000 0.052
b) 62.8% 628/1000 0.628
c) 52.4% 524/1000 0.524
d) 0.4% 4/1000 0.004
2. Convierte a%
a) 0.82 =
b) 0.042 =
c) 0.0345 =
d) 1.25 =
3. Obtén el por ciento de las siguientes cantidades
a) 20% de 45 =
b) 4% de 125 =
c) 82% de 25000=
d) 15% de 3000000=
e) 30% de 50000 = 15000
4. Calcula el número original sabiendo el porcentaje.
a) 796 es 50% de…
b) 40 es 25% de…
c) 25000 es el 40% de…
d) 945 es el 30% de…
e) 8200 es 20% de…
5. Calcula el
a) 12% de descuento por un artículo que vale $5.400.
b) 35% de páginas leídas de un libro de 380 páginas
c) 15% de goles marcados por Zamorano de un total de 40 goles marcados por el goleador
del campeonato
d) 48% de alumnos varones en un colegio de 450 alumnos en total.
e) Si en una libreta de notas, de 56 notas, 32 están sobre la nota 5 y 20 sobre o igual a la
nota 4, ¿Qué porcentaje de las notas son deficientes?
6. Determina qué porcentaje es:
a) 35 alumnos de un colegio de 700 alumnos.
b) $2.540 de rebaja por una compra de $63.500
c) 357 manzanas podridas de un total de 1.500 manzanas.
d) 40 horas de trabajo semanal de una jornada de 48 horas.
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19. 7. Calcula cuál es:
a) el total de una deuda, sabiendo que el 8% de ella es $56.000
b) el precio de un artículo cuyo 12% es $3.600
c) la edad de un padre si el 24% de su edad equivale a la edad de su hija de 12 años.
d) el descuento del sueldo de un empleado si recibió $84.000 que equivale al 85%.
8. Juan tiene que pagar $ 90.000. Si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto tiene que pagar
todavía?
9. Un metro de tela me cuesta $ 1.500. ¿A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% de lo
que costó?
10. Pedro tenía $ 80.000. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto le
queda?
11. De los 125 alumnos de un colegio, el 36% son damas. ¿Cuántos son varones?
12. Una camisa me costó $ 10.500, con lo que gasté el 25% de mi dinero. ¿Cuánto dinero
tenía?
13. De las 240 fichas que tiene un niño, 48 son rojas. ¡Cuál es el porcentaje de fichas rojas?
14. ¿Qué porcentaje de rebaja se hace en una deuda de $ 4.500 que se reduce a $ 3.600.
15. Habiendo salido el 84% de los alumnos de un colegio, permanecen en el mismo 20
alumnos. ¿Cuántos alumnos salieron del colegio?
16. Tenía $ 350 y pagué $ 140 que debía. Lo que me queda, ¿qué porcentaje es de lo que
tenía?
17. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado $ 680 para ganar el 15% de la venta?
18. Compré 90 libros y vendí el 60% de ellos. ¿Cuántos libros me quedan?
19. Un hombre al morir dispone que sus ahorros consistente en 20.000 dólares, se reparta en
35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a su ahijado.
¿Cuántos dólares le correspondió a este último?
20. ¿Cuál es el 10% del 15% de 4.000?
21. El valor recíproco del 20% de x es:
22. ¿Cuánto minutos son el 35% de una hora?
23. Un cortador de pasto cobraba $ 20.000 por su trabajo. Ahora pedirá $ 24.000, ¿en qué
porcentaje aumentó su tarifa?
19

20. 24. Una persona gastó $ 14.400, lo que equivale al 25% de su dinero. ¿Cuánto dinero tenía?
25. Un artículo se sube de $ 1.500 a $ 1.800. ¿Cuál es el porcentaje de alza?
UNIDAD III: Potencias y Raíces
Potencias
1. Calcula el valor exacto de cada expresión:
a) 25 + 33 = b) 34 – 42 = c) (-3)2 – (-3)4 = d) (-8)3 – (-8)2 =
e) (0,2)2 – (0,5)2 = f) (-3)1 + (-2)2 + (-2)3 + (-2)4 – (-2)5 = g) 3·23 - (2-5)2 + 50 – (4+5·6)0
h) 30 + 3-1 – 3-2 + 3-3 = i) (0,1)-1 + (0,01)-1 + (0,001)-1 = j) 100 + 101 + 102 + 103 + 104 =
k) (0,5)2 – (0,2)2 + 2-2 + 3-1 = l) (-3)2 + 22 – 40 + 5·(3 – 5)0 =
ll) (0,25)-2 + (0,5)-3 – (0,333...)-2 = m) (0,00001)0 + (0,0001)2 =
2. Aplica las propiedades de las potencias con exponentes enteros para simplificar.
a) 53 · 54 = b) a7 · a4 · a8 = c) xa+3b · x5a-4b = d) an+2b3m-5· a5nb86m+10 =
e) xn+2m · (x3n-m + xn+m – 3x4n+2m) = f) 65x : 63x = g) x5a+7b-4c : x4a-4b+2c =
m) (3a4b2c3)2·(2a-2b5c)3= n) (4a-2b-1)-3·(3a-1b2)2 = ñ) (2x + 3y)-2 =
o) (2x-33y-2z-5)-1 =
3) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) a2x + 1 = a3x + 2 b) ax – 2 = a3x + 1 c) b2x – 5 = b d) a5x – 8 = 1
e) ax : a2 = a2x f) bx – 2 · b3x = b– x g) (b2) x = b3x + 2 h) 43x – 1 = (64)3
i) 33x = 2187 j) 25x – 7 = 512 k) –81 = (-3)3x – 5
Raíces
a a 1 1
I. Utilizando las propiedades: a·b a· b ; y , estima las raíces dadas;
b b b b
sabiendo que: (sin usar calculadora) 2 1,4142 ; 3 1,7321 ; 5 2,2361 y 7 2,6458
20

21. 1) 9 2) 12 3) 16 4) 20 5) 27 6) 28 7) 36
8) 45 9) 48 10) 49 11) 50 12) 6 13) 15 14) 14
1
15) 42 16) 120 17) 0,5 18) 0,25 19) 20) 0,125 21) 0,2
3
5 2
22) 0,8 23) 24) 25) 1,5
16 3
II.- ¿Cuánto vale 12 75 con tres decimales? Sin calculadora, usando los valores dados
en (ejer. I)
III.- Calcula 75 · 21 con cuatro decimales. Compara con lo que da la calculadora.
12
IV.- ¿Cuánto vale ?
3
V.- ¿Es cierto que a b a b ? ¡Experimenta!
VI.- Don Juan, que es algo patriarcal, regala a su primogénito Sebastián un terreno agrícola
de 900 m por 1600 m. Cuando su hija Leonor reclama, le dice: “Bueno, te regalo también a ti
un terreno, de la misma área que a Sebastián, siempre que tú elijas las dimensiones, largo y
ancho, de modo que te cueste menos cerrarlo que a tu hermano el suyo”. Leonor piensa un
instante y elige las dimensiones óptimas, de modo que el costo del cierre sea el mínimo
posible. ¿Cuáles son las medidas que escogió Leonor?
VII.- Calcula las siguientes raíces de números positivos y negativos, sin calculadora.
64 729 1
1) 196 2) 3 216 3) 3 4) 3 5) 7
27 1000 128
512 1 1 64 3
6) 3 7) 5 8) 4 9) 6 10) 27
8 243 81 729
5 125 1
11) 32 12) 5
0,00032 13) 3 14) 3
0,064 15) 5
216 3125
VIII.- Aplica las propiedades de las raíces y potencias para reducir las expresiones, no
estimes:
1) 3· 5 2) 2a a m · 3b a 1 m
3) a · 5b 4) 5
3·5 27
21

22. 4 1 1 2
5) · 6) 2 2· 2 2 7) m2 n2 · 8) x y
3 2 m n
2 2 ax ax 3
9) 6 2x 1 10) x 2 x 2 11) 2 · 12) 2 5 5 3 1
3 2
2a 7 m 2
13) 3 a 3 x 1 · 2 a 1 3x
14) 7 · 15) 2 3 2
m 2a
IX.- Efectúa las siguientes operaciones:
2
6
5 2 7
1
4 3 7 7 6 1 3 5
1) 2 3 1 2)
5 4 12 8 2 5 4 2 2
· 1
3 3 15 3
3 3 3 2
3) 1· 1 2· 3 1 9 3 :3 27
3 3 5 3
4) 25 121 2 3 · 81 8· 16 · 64
X.- Expresa las siguientes potencias en forma de raíz y calcula la raíz (si se puede)
1
1 3
1 1 144 2
1) 121 2
2) 27 3 3) 0,125 3 4) 5) 81 4
169
1
3 2 2 3
0, 4 0,5
6) 32 7) 0,25 8) 2 4
9) a 5
10) x 3 4
XI.- Escribe las raíces en forma de potencias:
1) 169 2) 3
8 3) 3
0,064 4) 5
32 3 5) 7
4
5 1
6) 6
3x 4 7) 7
2x 4 8) n
bx 1
9) 4 10) m
ax 2
81
COMPLEMENTARIOS:
1) Calcula:
5 2
15 3
a) 2 100 1 27 256
22

23. 2 2 1
1 1 1 1
1 2 ·
5 1 2 2 2 10
2 · 1
2 3 2
4 9
b) 2
Resp.
2 1 5
1 : 1
5 3 1 6
· ·
1 36 5
1
4
2) Efectúa los siguientes productos; deja el resultado simplificado
2 2
a) 2 18 b) 3 2 2 3 c) 32 7· 32 7
m x n x 1 m 5x
d) n · 6m ·n e) 7 4 3 7 4 3 f) 3 2 11 6 2
2 3
23

24. Logaritmo
1. Determina el valor de x:
a) log 2 x 3
b) log 5 x 0
c) log 3 x 2
4
d) log 1 x 1
2
e) log 0,3 x 2
1
f) log 2 x
2
g) log p x 3
h) log x 27 3
i) log x 16 4
1
j) log x 2
4
1 1
k) log x
3 2
l) log 2 32 x
1
m) log 3 x
81
n) log 1 16 x
2
o) log 1 625 x
125
3
p) log 4 x
2
2
q) log x 4
5
5
r) log 1 x
64
6
s) log 0,01 0,1 x
1
t) log 1 x
4
128
24

25. 2. Desarrolla aplicando las propiedades de los logaritmos:
a) log (2ab)
3a
b) log
4
2a 2
c) log
3
d) log a 5 b 4
2
e) log
ab
f) log ab
x
g) log
2y
h) log 2a b
3a3 b
i) log
c
5a 2 b 4 c
j) log
2 xy
k) log(abc ) 3
a c 4
l) log( )
2
m) log 7ab3 5c 2
2ab
n) log
x2 y
o) log(a 2 b 2 )
3
a2
p) log
5
b3
3
a b
q) log 4
cd
4
r) log( x y4)
m n
s) log
2
a (b c )
t) log
d 2m
( a b) 2
u) log 3
5c
25

26. 3. Reduce a un solo logaritmo:
a) log a + log b
b) log x – log y
1 1
c) log x log y
2 2
d) log a – log x – log y
e) log p + log q – log r – log s
f) log 2 + log 3 + log 4
1 1 1
g) log a log b log c
3 2 2
3 5
h) log a log b
2 2
1
i) log a log b 2 log c
2
j) log (a + b) + log (a – b)
1 1 1
k) log x log y log z
2 3 4
l) log(a – b) – log 3
1
m) log a 4 log b (log c 2 log d )
5
p q
n) log a log b
n n
4. Si log 2 = 0,3; log 3 = 0,47; log 5 = 0,69 y log 7 = 0,84. Calcula:
a) log 4
b) log 6
c) log 27
d) log 14
e) log 2
f) log 3 15
2
g) log
3
h) log 3,5
2 1
i) 3 log 4 log
5 7
j) log 18 – log 16
26

27. UNIDAD III: Expresiones Algebraicas
Término Algebraico
Consta de: a) signo
b) coeficiente numérico
c) factor literal
Ejemplo:
-3a4 3 Factor literal
A4
Coeficiente numérico
Grado de un término
Es la suma de los exponentes del factor literal
Ejemplo:
En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)
En el término 4x2y3 tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes)
Grado de una Expresión
Es el grado mayor de sus distintos términos.
Ejemplo:
En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)
En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)
Expresión Algebraica
Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones
aritméticas.
De acuerdo al número de términos puede ser:
2 x2 y2
4
MONOMIO: tiene uno término Ej. 5 x yz ;
a b
5
BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 xy y ; p + q
TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x2 + 3x - 5
POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos Ej. Inventa uno
27

28. Términos Semejantes
Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden
sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor
literal.
Ejemplo:
El término 3x2y y el término 2x2y, son semejantes. (Tienen factor literal iguales) y al
sumarlo da 5x2y
EJERCICIOS: ahora te toca a ti demostrar lo que aprendiste
1) Define con tus palabras:
a) Coeficiente numérico b) Factor literal c) Término algebraico
2) En cada término algebraico, determina el coeficiente numérico, factor literal y el grado.
a) 3x2y b) m c) mc2 d) –vt e) 0,3ab5 f) 3 g) -
8x3y2z4
2 1 3 7a 2 3m 3 4 2
h) a i) x j) k) l) a b
3 2 3 4 4
3) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:
1
a) 7x2y + xy b) -3 + 4x – 7x2 c) -2xy d) vt + at 2 e) 7m2n –
2
6mn2
a b c
f) g) x2 + 8x + 5 h) 2(3x + 4y) i) 2x2(3x2 + 6y)
2
b 2 c3h 4
j)
4
4) Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica. Luego
clasifica según su número de términos, antes de reducir términos semejantes:
4m 5x + 3y
3a
4mn 7y – 2x
2a
5) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:
28

29. Evaluación de Expresiones
A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico.
Ejemplo:
Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:
3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b =
3 3 - 2 2 -5 3+4 2-6 3+3 2 =
9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14
29

30. Ahora tú: Si a = -2 ; b=4 ; c = -1 encuentra el valor de cada expresión
1. 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a = 2. 7ª - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a =
2 1
Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a = y b = , evaluemos la
3 2
expresión:
3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =
2 1 2 1 2 1
3 - 2 - 5 + 4 - 6 + 3 =
3 2 3 2 3 2
10 17 5
2- 1 - + 2 - 4 + = 2
3 6 6
Ahora te toca a ti:
1 1 2
Si a = ; b=; c= encuentra el valor de cada expresión
2 4 3
2
3. 2 a - 8 a + 10 a + 3 a - a +5a=
3
2 1
4. -1 a + 5 b - 3 c + 2 a - 4 c + 7 b =
3 2
4 1
5. -5 c + 3 b - (-4 a) + 4 c + (-5 b) - 0,6 c =
5 2
EJERCICIOS: pone en práctica lo anterior
1) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego
reemplaza en cada caso por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión.
a) 3ab – b + 2ab + 3b b) 3a2b – 8 a2b – 7a2b + 3a2b c) 2a2b –
3 2
a b–1
2
3 4 5 7 2 1 2 1
d) ab2 – b2a + 3ab2 e) a b a b f) b 2 b b b
2 5 4 10 7 5 14
2) Calcula el valor numérico de las siguientes E. A., considera para cada caso a = 2; b = 5; c
= -3; d = -1 y f = 0
a) 5a2 – 2bc – 3d b) 7a2c – 8d3 c) 2a2 – b3 – c3 – d5
c d a b
d) d4 – d3 – d2 + d – 1 e) 3(a – b) + 2(c – d) f)
2 7
3 2 1 7 a ( 2 a 3d ) f
g) a c b f h) b c i) a b c
4 5 2 8
30

31. 3) Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los
valores asignados para las variables respectivas.
at 2
a) d vi ·t ; si vi = 8 m/seg , t = 4 seg , a = 3 m/seg2 (d : distancia q’ recorre un
2
móvil)
b) Ep = m·g·h ; si m = 0,8 Hg., h = 15 m, g = 9,8 m/seg2 (Ep: energía potencial)
a2 3
c) A ; si a = 3,2 m (A: área de triángulo equilátero)
4
r1 ·r2
d) R ; si r1 = 4 ohm y r2 = 6 ohm (R: resistencia eléctrica total en paralelo)
r1 r2
q1 ·q 2 Nm 2
e) F K· ; si k = 9·109 ; q1 = q2 = 4c y r = 10 m (F: fuerza atracción entre dos
r2 c2
cargas)
4) Evalúa la expresión x2 + x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4,…, 40. ¿Qué
característica tienen los números que resultan?
Productos Notables
Binomio al cuadrado
El cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado
del segundo.
(a + b)² = a² + 2 ab + b²
Binomios Conjugados (Suma por su diferencia)
El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.
(a + b) (a – b) = a² - b²
Binomios con un término común
El cuadrado del primero más la suma o diferencia de los términos no comunes por el término
común más el producto de los no comunes.
31

32. (a + b) (a +c) = a² + (b +c) a + bc
Binomio al cubo
El cubo del primero más el triple producto del cuadrado del primero más el triple producto del
primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.
(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Productos Notables
(a + b)° = 1
(a + b)¹ = a + b
(a + b)² = a² + 2 ab + b = (a + b) (a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b) (a + b) (a + b)
Triangulo de Pascal
(a + b)° 1
(a + b)¹ 1 1
(a + b)² 1 2 1
(a + b)³ 1 3 3 1
(a + b)4 1 4 6 4 1
(a + b)5 1 5 10 10 5 1
(a + b)6 1 6 15 20 15 6 1
Desarrollar los siguientes productos notables
Cuadrado de Expresiones Algebraicas.
1) ( -4 a3 - 7 b4 )2 2) ( - 4 a5 + 11 b8 )2 3) ( 8 m5 p4 + 7 m6 p8 )2
4) ( 7 a5 b9 - 8 x3 y2 )2 5) ( - 7 x5 - 4 y6 )2 6) ( 7 a6 + 13 b6 )2
32

33. 7) (3/4 a3b4 + 5/6 a2b5 )2 8) ( 7/9 m4 + 3 p )2 9) ( 5/9 a-2 + 6/5 b-3 )2
Productos de Sumas Conjugadas
1) ( 15 x4 + 19 ) ( 15 x4 - 19 ) 2) ( - 8 a5 + 13 b7 ) ( - 8 a3 - 13 b7 )
3) ( 18 a4 + 25 ) ( 18 a4 - 25 ) 4) ( - 16 m8 + 23 ) ( - 16 m8 - 23 )
5) (5/9 x10 - 8/7 y4 ) ( 5/9 x10 + 8/7 y4 ) 6) ( - 7 a4 b5 - 16 ) ( - 7 a4 b3 + 16 )
7) ( 7/8 x5 + 17 y4 ) ( 7/8 x3 - 17 y4 ) 8) ( 11/4 a6 + 5/6 b8 ) ( 11/4 a6 + 5/6 b8 )
9) (3/4 a4 b5 + 2/7 a4 b5 ) ( 3/4 a4 b3 - 2/7 a4 b5 ) 10) ( 40 x2 y3 + 13 ) ( 40 x2 y3 -13 )
Producto de expresiones con una parte común (Idéntica).
1) ( - 11 x4 + 17 ) ( - 11 x4 + 20 )
2) (18 z6 - 28 ) ( 18 z6 + 35 )
3) (5/6 a4 -18) (5/6 a4 +32)
4) (13/8 x10 +22) (13/8 x10 -12)
5) (8 m9 - 15) ( 8 m9 - 1 8 )
6) (25 x11 + 12) ( 25 x11 - 19 )
7) (25 m14 + 18) ( 25 m14 - 17 )
8) (20 x10 - 16) ( 20 x10 - 12 )
9) ( 5/6 x5 - 24 ) ( 5/6 x5 + 2/3 )
10) ( 9/5 a40 - 7/8 ) ( 9/5 a40 + 13 )
Cubo de expresiones algebraicas, desarrolle los siguientes productos:
a) ( 8 a3 - 8 b4 )3
b) ( - 11 x6 y4 + 12 x3 y5 )3
c) ( 5 a4 b5 - 12 a2 b8 )3
33

34. d) ( 17 x8 y4 + 19 x6 y2 )3
e) ( 3/ 4 x4 - 7/ 5 y8 ) 3
f) ( 7/12 x8 y9 - 3/ 7 x2 y3 )3
g) ( - 4/ 3 a12 - 8/5 b10 )3
h) ( - 11/ 5 x14 - 2/ 3 x4 y9 )3
i) ( 4/ 7 a4 b4 - 11 a12 b14 )3
i) ( 2/9 m7 p9 + 11/ 13 m6 p8 )3
Resuelve los siguientes productos notables y diga su nombre correspondiente:
1) (x + 2)2 =
2) (x + 2)(x + 3) =
3) (x + 1)(x – 1) =
4) (x – 1)2 =
5) (n + 3)(n + 5) =
6) (m – 3)(m + 3) =
7) (a + b – 1)(a + b + 1) =
8) (1 + b)3 =
9) (a2 + 4)(a2 – 4) =
10) (3ab – 5x2)2 =
11) (ab + 3)(3 – ab) =
12) (1 – 4ax)2 =
13) (a2 + 8)(a2 – 7) =
14) (x + y + 1)(x – y – 1) =
15) (1 – a)(a + 1) =
16) (m – 8)(m + 12) =
34

35. 17) (x2 – 1)(x2 + 3) =
18) (x3 + 6)(x3 – 8) =
19) (5x3 + 6m4)2 =
20) (x4 – 2)(x4 + 5) =
Respuestas:
1) x2 + 4x + 4 2) x2 + 5x + 6 3) x2 – 1 4) x2 – 2x + 1 5) n2 + 8n + 15
6) m2 – 9 7) a2 + 2ab + b2 – 1 8) 1 + 3b + 3b2 + b3 9) a4 – 16
10) 9a2b2 – 30abx + 25x4 11) 9 – a2b2 12) 1 – 8ax + 16a2x2 13) a4 + a2 – 56
14) x2 – y2 – 2y – 1 15) 1 – a2 16) m2 + 4m – 96 17) x4 + 2x2 – 3
18) x6 – 2x3 – 48 19) 25x6 + 60x3m4 + 36m8 20) x8 + 3x4 – 10
Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:
a) 3b – 6x = b) 5x – 5 =
c) 20u2 – 55u = d) 16x – 12 =
e) 6x –12y + 18= f) 15x + 20y – 30=
g) 14c – 21d – 30= h) 152x2yz – 114xyz2=
2 2 2 3
i) 30m n + 75mn – 105mn = j) 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=
k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq = l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =
m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by= n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =
ñ) 10abx + 4ab x – 40aby – 16ab y = o) 4g2 + 2gh =
2 2 2 2 2 2
p) 25a – 30ab + 15ab2 = q) m2 – 64 =
2
r) 144y – 256 = s) 144 – 9x2=
6 4
v) 25x – 4y = w) ap + aq + bm + bn=
x) xy – x + 3z – 6 = y) x2 + xy + xz + yz=
z) 15 + 5x + 3b + xb = z’) ab + a – b – 1 =
1. Expresar como un producto:
a) x2 + 6x + 8= b) x2 – 16x + 63=
c) x2 + 10x – 56= d) x2 –13x – 48 =
e) y2 – 7y – 30= f) x2 – 14x + 48=
g) x2 – 5x – 84= h) x2 + 27x + 180=
i) x2 + 7x – 120= j) x2 –30x + 216=
2. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
35

36. a) x2 + 10x + ......... b) y2 –18y + ...........
c) m2 – ......... + 36n2 d) p2 + ............ + 64p2
e) ......... + 42x + 49 f) .......... – 390y + 225
g) 289z2 + 340 z + ........... h) 64x2 – 80xy + ............
3. Expresar como un cuadrado de binomio:
a) g2 + 2gh + h2 = b) 225 – 30b + b2 =
c) x2 + 2xy + y2 = d) p2 – 2pq + q2 =
e) a2 – 2a + 1 = f) m2 – 6m + 9=
g) 9x2 –12xy + 4y2 = h) 36n2 + 84pn + 49p2 =
4. Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que
48 a 25a 2 b 96 m 3 n 2 3( a b)
a) b) = c) d)
72 ab 75ab 2 32 m 4 n 3 5( a b)
corresponda:
4y2 4y 1 x2 6x 8 x2 4x 12 64 u2
m) n) = ñ) o)
6x 3 x2 7x 12 x2 8x 12 u2 13 40
u
4a 4b 3x 6 y x2 xy 8x 7 y
e) f) = g) h)
5a 5b 5x 10 y xy y2 64 x 2 49 y 2
a2 9 m2 n2 y2 y 12 x2 5x 6
t) v) w) x)
3(a 3) 2n 2m y2 2y 15 x2 8x 15
24x 18y x2 16 9x2 30x 25 x2 25
i) j) = k) l)
44x 33y x2 8x 16 6x 10 x2 x 20
(a b)2 c2 1 64c6 x2 7x 10 x2 x 2
p) q) r) s)
a2 (b c)2 1 4c2 x2 25 x2 3x 2
b a 1 x+y x y
1+ x-y x y
a b a-1
y) z) z' )
1 1 1 x+y x 2 y
1
b a a 1 x x y
36

37. UNIDAD IV: Ecuaciones
1. Determinar la solución de las siguientes ecuaciones:
1. 5 + 6x = 2
2. 4b + 1 = -18
3. 18c - 3 = 0
4. 5 - 2d = 9
5. - 3f + 1 = 4
6. - 2 - 5g = 0
7. 13 - h = 13
8. 5j - 9 = 3j + 5
9. 2k + 7 = 12 - 3k
10. 10 - 4x = 7 - 6x
11. 5m - 3,2 = 2m + 2,8
12. 5n - 2n + 12 = 35 - 4n - 9
13. 3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ - 11
14. 48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p
15. q - 3 + 6q - 9 + 12q - 15 = q
16. 6r + 12r - 9 - 8r + 10 + r = 0
17. 5s + (4 - s) = 9 - (s - 6)
18. (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t)
19. 3 - (8v-5) + (6-7v) - 1 = 7 - (v-1) + (4v+4)
20. (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3)
21. -(4x-6+5x) + (9-5x+3-2x) = 7x - (1 - 6x)
22. 12y = 3(3y - 5)
23. 3z - 1 = 2(z - 1)
24. 2(b + 2) - 5(2b - 3) = 3
25. 7 - 6(c - 1) + 3(3 - 4c) = 7 + (7c - 4)
26. 4-2(d + 7)-(3d + 5)=2d+(4d-9+3d)-(d - 3)
27. 8(6f - 14)-7(12 - 5f)+(23f + 2)-(2f + 65) = 0
28. 21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g - 12
29. 40h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h )] = 3-(8h - 12)
30. 3[2 - (3j - 6)] + 4[6j - (1 - 2j)] = 4 - 5j
31. 2 - {k - [6k - (1 - 2k)]} = 100
32. 3[2x - (5x + 2)] + 1 = 3x - 9(x -3)
33. 2 - {2m + [2m - (2 - 2m)]} = 2
34. 34 - 52(12n - 34) + 235 = 32 + 101(35n - 1)
35. 2 - (3ñ + 4)-(5ñ - 6 )-(7ñ - 8)-(9ñ - 10) = 11
37

38. 36. 2[7p - 2(p - 1)] + 3(4p + 7) = 5 - (p - 1)
37. 8{2 - [q + 2(q - 3)] + 1} = 3 - (8 - 3q)
38. 2 - 3(r - 7) - 7r = 4(r - 2) + 8
39. 33,7 - (1,5s + 2,3) = 3,4s - (0,4 - 5,7s)
40. (t - 3)² - (t - 2)² = 5
41. (2v - 4)² + 6v - 3 = 4v² - (3v - 1)
42. (w + 3)² + 4 = (w - 2)² + 5w - 2
43. (3x - 3)² - (2x - 7) = (3x - 5)(3x + 5)
44. 2 - (y + 1)² = 5 - 3[y - (5y + 9)] - y²
45. 6z - 1 + 2z + 5z - 9 - 234 = 999
46. 2{x - [x - (x - 1)]} + (x + 2) = 256
47. (x - 7)² - (1 + x)² = 2(3x - 4)
48. 6x - (2x - 1)(2x + 1) = 2 - (3 + 2x)²
49. 7 - [8x - 3(x + 3)] = 5x - (4 - 2x)
50. 1 - a = 1
51. b/5 = 1/2
52. 2.c/7 = 3/4
2. Ecuaciones enteras de primer grado
1) 6(2x – 5) + 2 = 20
2) 5(3x – 1) + 3 = 13
3) 9(7x – 2) – 10 = 36
4) 12 + 3(2x – 5) = 9
5) 25 – 5(4 + 3x) = 15
6) 2 = 7(5x – 9) – 5
7) 4(7x – 12) = 8
8) (10x – 1)·5 = 30
9) 3x(x – 2) = 3x2 – 12
10) 7x(2x – 5) = 14x2 – 105
11) 2x(8 – 6x) = 80 – 12x2
12) 5(x + 3) + 2(x – 9) = 4
13) 8(x – 1) + 3(x + 4) = 48
14) 4(3x – 5) – 7(4x + 9) = 13
15) 13(x + 4) = 40 – 2(x – 7)
38

39. 16) 6(x + 1) – 9(x – 5) = 3(4x + 2)
17) 3(4x – 3) – 4(3x + 8) = 7(x – 6)
18) 5(7x – 8) = 3(x + 8) – 4(6x – 7)
19) (x + 2)(x – 5) = (x – 8)(x + 3)
20) (x – 9)(x + 4) = (x – 6)(x – 1)
21) (8x + 2)(x – 5) = (4x – 3)(2x + 3)
22) (x + 2)(x + 1) = (x – 2)(x – 1)
23) (6x + 3)(3x – 5) = (9x – 4)(2x – 7) + 7
24) 4(x – 1)(x + 3) = (x – 7)(4x + 2)
25) 6(x + 2)(2x – 3) = 4(3x – 1)(x + 1)
26) (4x – 3)(4x + 3) + 2x(3 – 8x) = 7x – 2
27) 12x(2 – 3x) – (5 + 6x) = 11 + 12x
28) 33x + (8x + 3)(8x – 3) = 16x(2 + 4x) + 8
29) (12x + 7)(12x – 7) = (12x – 9)2 + 86
30) (20x + 15)(15 – 20x) = 25 – (20x – 10)2
31) (8 + 6x)2 + (8x + 6)2 = (10x + 10)2 + 8
32) (9x – 3)2 + (12x – 4)2 = (15x – 10)2
33) [3 + (x + 2)]2 = x2 + 5
34) [(x – 1) – (x + 1)]2 = x – 3
35) (x – 5)3 + 1 = (x + 4)(x – 4)(x – 15)
36) (x – 1)3 = (x + 2)3 – 9(x2 – 1)
Respuestas:
64 2 7
1) 4 2) 1 3) 4) 2 5) 6) 2 7) 2 8) 9) 2 10) 3 11) 5
63 3 10
2 1 23
12) 1 13) 4 14) -6 15) 16) 3 17) 18) 19) -7 20) 21
15 7 14
1 1
21) 22) 0 23) 1 24) 25) -16 26) -7 27) 3 28) 17 29) 1
44 17
3 1
30) 31) -1 32) 33) -2 34) 7 35) 4 36) -2
4 2
3. Ecuaciones fraccionarias de primer grado
39

40. 1 1
1) x x 5
2 3
1 1 5
2) x x 3
3 2 6
3 5
3) x 2 x 1
4 6
x x 2x
4) 6 3
2 4 5
5 x 3 7 2 2
5) x x x
6 18 4 12 9 3
3 4 3 3
6) x 2 x 1 x
8 5 10 2
4x 5 8x 3 5 3x 3 5x 3
7)
8 6 3 2 4
x 3 x 4 1 x 1 2x 1
8)
4 9 2 4 9
3x 5 2x 1 x 3 5x 1
9) 1
2 3 4 8
3x 8 x 1 7 x 4 x 8x 5
10)
5 4 3 3 10
7 8 9 1 31 7 x
11)
2x 3x 4x 3 6x
11 3
12) 2
x x
5 3 3
13)
x 2 x
1 1 1 1 13
14) 0
8x 9x 12x 24x 72
3 5 8 1 1 11
15)
4x 14 7x x 4 14 x
3 5
16) 1,25
0,8x 1,6 x
5 7 16
17)
0,6 x 3 1,5x
40

41. 7
18) 2
x 3
3 5
19) 0
x 2 2
2 3
20)
x 1 x 1
3x 2 6x
21) 0
3x 1 6x 1
13 11
22) 0
2x 3 x 3
x 4 2x 5
23) 0
x 3 2x
Respuestas:
20 1 17
1) 6 2) 3 3) 12 4) 20 5) 5 6) 7) 8) -5 9) 5 10)
29 8 23
5 4 1 13 16
11) 12) 4 13) 14) 2 15) -1 16) 17) 1 18) 19)
2 3 2 2 5
2 5
20) -5 21) 22) 8 23)
15 3
4. Ecuaciones literales de primer grado
1) x + ax = b
2) ax + bx = c
3) ax + bx = cx + 1
4) x + ab = ac
5) x + bx + ax = 1
6) px + qx + x = 1
7) a(x – a) = 4(x – 4)
8) m2x – 3 = m + 9x
41

42. 9) b2x – 2 = b + 4x
10) mx + 9 = m2 – 3x
11) 6(x – 6) = 1 + (x – m)·m
12) a(x + b) = a2 + b2 + b(x – a)
13) (x + a)3 + (x – a)3 = 2x3 + 12a3x
14) 3a + x – (-a – 4x2) = (2x – a)2 + a(15x – a)
15) (x + a)2 – (x – a)2 = (a + b)2
42

43. Respuestas:
1 1 1
1) 2) 3) 4) ac – ab 5) 6)
1 1 1
2
1 1 37
7) a + 4 8) 9) 10) m – 3 11) 12) a – b 13) 0
3 2 6
2
4
14) 15)
11 1 4
5. Problemas de planteo de ecuaciones de primer grado
a) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55.
¿Cuál es el número?
b) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?
c) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es
el número?
d) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
e) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste
es 147. Hallar el número.
f) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son
los números?
g) m. ¿Cuánto mide cada lado?
h) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida
del lado del cuadrado.
i) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble
de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?
j) Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad
3
de la novia era de la edad de la novia. ¿Qué edad tienen actualmente?
4
k) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si
las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.
l) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su
hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?
m) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá
sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo. Un padre tiene 52 años y su hijo
16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?
n) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $
16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta
el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada material?
43

44. o) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $
14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero
tiene cada uno?
p) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una
tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la
pintaran entre las tres?
q) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
r) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.
s) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
t) La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números.
u) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que
la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
v) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor
aumentada en 100.
w) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la
mayor.
x) Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple
del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.
y) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del
peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?
z) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el
menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.
aa) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la
segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12.
8
bb) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción y
13
40
simultáneamente restarse del numerador y del denominador de para que las
51
fracciones resultantes sean equivalentes?
cc) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ángulo recto.
Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del
ángulo formado mide 12 cm.
dd) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente
respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia
Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos”
¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?
ee)Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119.
¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas?
ff) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, niños. La
recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños
asistieron a la función?
gg) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler,
publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20
personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y
cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se
pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son?
44

45. hh) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los precios
respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la
falda.
ii) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió
a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas
ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela
más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una
ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más,
si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?
45

46. UNIDAD IV: Sistemas de ecuaciones lineales
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
2x y 5
1)
3y 2x 7
2x 3y 23
2)
5 x 6 y 17
3y 7x 9
3)
5x 2 y 23
6 x 8 y 20
4)
5 y 3x 8
3y 2x 8
5)
5x 2 y 2
y 2x 1
6)
3y 4x 7
2 y 3x 2
7)
6 y 5x 78
7 y 5 x 18
8)
3 x 6 y 30
46

47. 2. Problemas de planteo en sistemas de ecuaciones
1. Encuentra dos números cuya suma sea igual a 30, y el doble del primero, más el
segundo sea igual al doble de este último.
2. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de las
edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en la
actualidad?
3. Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos, de modo que uno sea el doble del
otro más 3', ¿cuál es la medida de cada uno?
4. Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 más que al menor.
¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
5. Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los
resultados están en la razón 3 : 2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es 5 : 2.
6. El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm más que la
altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
7. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro,
resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros había originalmente en cada
estante?
8. Para pagar una cuenta de $3.900, un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares,
recibiendo $75 de vuelto. Otro extranjero paga su cuenta de $4.330, con 15 libras
esterlinas y 9 dólares, recibiendo $25 de vuelto. ¿A qué cambio, en pesos, se han
cotizado las libras esterlinas y los dólares?
9. Encuentra las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltan dos años para
tener cinco veces la edad actual del menor y que si el mayor tuviera seis años menos
tendrían la misma edad.
10. La suma de dos números es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5,
se obtienen dos números tales que el primero es el doble que el segundo. ¿Cuáles son
los números?
11. El valor de una fracción es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se aumenta
el denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. ¿Cuál es la fracción?
12. Encuentra dos números tales que su suma sea 42 y su diferencia 6.
13. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de $10
y de $50 tiene?
14. Las ciudades A y B están separadas por 180 km. Simultáneamente sale un auto de
cada ciudad en el mismo sentido. El que sale de B lo hace con una velocidad de 60 km[h
y el que sale de A, a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo el auto que sale de A alcanza
al que sale de B, y cuántos kilómetros ha recorrido cada uno?
15. Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el doble que
la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.
16. En un número la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si a ese
número le restamos 27 se obtiene otro número que resulta de invertir el orden de sus dos
cifras. ¿Cuál es el número?
17. Descomponer 895 en dos partes, de modo que al dividir la mayor por la menor se
obtenga 6 de cuociente y 6 de resto.
18. La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta de
invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?
47

48. 19. La edad de Eliana es 1/5 de la edad de Miguel y hace 5 años, la edad de Eliana era 1/10
de la edad de Miguel. Determinar sus edades actuales.
20. Dos números están en la razón 5:5. Si el primero se aumenta en 12 y el segundo se
disminuye en 3, quedan en razón de 9:4. ¡Cuáles son los números?
21. La edad de Adolfo es 15 años menos que el doble de la edad de Teresa y la séptima
parte de la edad de Adolfo es 20 años menos que la edad de Teresa. Calcula ambas
edades.
22. Hace 4 años la edad de Ximena era 8 veces la edad de Matías. En cuatro años más la
edad de Ximena será 4 veces la de Matías. ¿Cuál es la edad de cada uno?
23. El largo de una piscina rectangular es 3 veces su ancho. Si su perímetro es de 32 m.,
¿cuáles son sus dimensiones?
24. Divide el número 19 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea igual a 3/5 de la mayor.
25. Encuentra una fracción que si se disminuye su numerador en 4 unidades y se aumenta
su denominador en 5, es equivalente a 1. Pero si se disminuye sólo el denominador en 7,
será equivalente
26. La suma de dos números es 13, si el mayor se divide por el menor se obtiene por
cuociente 2 y por resto 1. Encuentra ambos números.
27. La edad de un hijo es 1/4 de la edad de su padre. En 7 años más la edad del hijo será
4/9 la del padre. Encuentra las edades actuales de ambos.
28. Un niño tiene 2 años menos que el cuádruplo de la edad de su perro. Si la diferencia
entre sus edades es 4 años. Encuentra la edad de ambos.
29. Si el numerador de una fracción se aumenta en 3 y su denominador se disminuye en 1,
se obtiene 5/2, pero si solamente se aumenta su numerador en 2, ésta equivale a 4/3.
Determina la fracción.
30. Encuentra dos números enteros consecutivos, sabiendo que la cuarta parte y la quinta
parte del primero y la suma de la tercera parte y la séptima parte del segundo son
también números consecutivos
48

49. Ecuaciones de Segundo Grado
I. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones:
1. x 2 100
2. x 2 225 0
3. x 2 1225
4. x 2 50
5. x 2 3c 2 0
6. x 2 10 71
7. x 2 23 167
8. 6x 2 27 5x 2 73
9. 7 x 2 252
10. 2 x 2 35 1315 3x 2
11. x 2 a 2 25b 2 10ab
4 2 9 2
12. x 2 m mn n
9 16
13. x (2 x 3) 3(5 x ) 83
14. ( 2 x 5)( 2 x 5) 11
15. (7 x ) 2 (7 x ) 2 130
16. (3x 5)(4 x 3) (5x 3)(2z 9) 80x 20
17. (2x 3)(3x 4) ( x 13)( x 4) 40
18. (3x 4)(4 x 3) (2 x 7)(3x 2) 214
2 2
19. 8(2 x ) 2(8 x )
2
2x 8
20. 2
3
x2 6 x2 4
21. 5
2 4
5x 3 7 x
22.
x x 2
x x
23. 1
x 2 x 2
x 2 x 2 40
24. 2
x 2 x 2 x 4
x2 5x 11 5
25.
x2 7 x 83 7
1 x 4
26.
x 4 3
3
27. 5x 2 9 19 2
x 1
28. x 4 x 4
x 4
49

50. 8
29. x 3 5x 25
x 3
30. 10 x 10 x 2
31. 2 5 x 9 3x 41 3x
32. 5 x 25 3x 2 5 x
2
33. x 3x 0
2
34. 6x 42x 0
2
35. x ax 0
36. ( x 2)( x 3) 6
37. ( x 2)( x 5) 9 x 10
38. (2 x 6)(2 x 6) (2 x 9)(3x 4)
39. (8x 3)( 2 x 5) (3x 5)(3x 5) 22 x 10
2
40. ( x 3) 8x 9 0
2 2
41. ( x 4) ( x 3) ( x 5) 2
42. ( x 13) 2 ( x 12) 2 ( x 5) 2
54
43. 3x 18
2x 3
4 3 7
44.
x 3 x 3 3
45. x 9 1 x 4
46. 1 4x 1 4x 4 x
2
47. x 18x 80 0
48. x 2 4 x 96 0
49. x 2 17 x 52 0
50. x 2 7 x 12 0
51. 4 x 2 5x 6 0
52. 6 x 2 5x 1 0
53. 3x 2 10x 25 0
54. 7 x 2 16x 9 0
55. x 2 4ax 12a 2 0
56. x 2 5ax 6a 2 0
57. abx 2 (a 2 b 2 ) x 2ab 0
2 2
58. a (x a ) b( x b)
15
59. x 8
x
x 18
60. 5 0
3 x
x 8 x 1
61.
x 2 2 x 10
x x 1 13
62.
x 1 x 6
50

51. 4
3 x
63. 2
x 1 2
64. x 7 x 1
65. 4 x x 3 1
7 3x 2x
66. 8
5 x 3 x
67. 5x 1 3x 8x 1
x a x b
68. 2
x b x a
x 2 3
69.
x 1 x 1 x2 1
x 1 x 5 13
70. 2 2
x 5x 6 x 6 x 18 x 2
II. Determina la ecuación cuadrática de raíces:
1. -3 y -5
2. 8 y -8
3. 9 y 7
4. 0 y 12
3
5. 5 y
4
3
6. 6 y
4
1 5
7. y
4 6
a b a b
8. y
2 4
9. 2 y 5 2
10. 3 3 2 y 3 3 2
51

52. III. Resuelve:
1. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – kx + 4 = 0, para que las dos raíces sean
iguales.
2. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x 2 – (k+2)x + 3k = 0, para que el producto de las
raíces sea 24?
3. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 4x2 – 5x + 4k – (6+k) = 0, para que una de las
raíces sea cero?
4. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 7x2 – 9x + k = 0, para que las raíces sean
recíprocas una de la otra?
5. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 2x2 + kx + 5 = 0, para que una de las raíces sea 1?
6. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x 2 – (k-2)x – (k+6) = 0, para que la suma de las
raíces sea 2?
7. ¿Para qué valor de m, la ecuación mx2 - 6x + 5 = 0, tiene sus raíces reales?
8. Determinar k en la ecuación x2 + kx + 12 = 0, de modo que una de las soluciones sea el
triple de la otra?
V. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83
2) (2x + 5)(2x – 5) = 11
3) (7 + x)2 + (7 – x)2 = 130
4) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40
5) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214
6) 8(2 – x)2 = 2(8 – x)2
x2 6 x2 4
7) 5
2 4
5x 3 7 x
8)
x x 2
9) x2 – 3x = 0
10) 6x2 + 42x = 0
11) x2 + ax = 0
12) (x – 2)(x – 3) = 6
13) (x – 2)(x + 5) = 9x + 10
14) (2x + 6)(2x – 6) = (2x + 9)(3x – 4)
15) (x + 3)2 – 8x – 9 = 0
52

53. 16) (x + 4)2 + (x – 3)2 = (x + 5)2
17) (x + 13)2 = (x + 12)2 + (x – 5)2
54
18) 3x 18
2x 3
4 3 7
19)
x 3 x 3 3
2
20) x – 18x + 80 = 0
21) x2 – 4x – 96 = 0
22) x2 – 17x + 52 = 0
23) x2 – 7x – 120 = 0
24) 4x2 + 5x – 6 = 0
25) 6x2 + 5x – 1 = 0
26) 3x2 – 10x – 25 = 0
27) 7x2 – 16x + 9 = 0
15
28) x 8
x
x 18
29) 5 0
3 x
x 8 x 1
30)
x 2 2 x 10
x x 1 13
31)
x 1 x 6
4
3 x
32) 2
x 1 2
33) x2 + 4ax – 12a2 = 0
34) x2 – 5ax + 6a2 = 0
7 3x 2x
35) 8
5 x 3 x
53

54. Respuestas:
1) 7 y -7 2) 3 y -3 3) 4 y -4 4) 4 y -4 5) 6 y -6 6) 4 y -4 7) 6 y -6
19
8) 1 y -1 9) 0 y 3 10) 0 y -7 11) 0 y –a 12) 0 y 5 13) 0 y 6 14) 0 y
2
9 3
15) 0 y 2 16) 0 y 8 17) 0 y 12 18) 0 y 19) 0 y 20) 10 y 8
2 7
3 1 5
21) 12 y -8 22) 4 y 13 23) -8 y 15 24) -2 y 25) -1 y 26) 5 y
4 6 3
9
27) 1 y 28) 5 y 3 29) -6 y -9 30) 13 y -6 31) -3 y 2 32) 3 y 5
7
11
33) 2a y -6a 34) 9 y
3
Inecuaciones de primer grado
a) ( x - 2 )2 (x + 2) ( x - 2) + 8 R. ]- ,0[
b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 R. ] - , 7/2 [
c) 3 - ( x - 6) 4x - 5 R. [ 14/5 , + [
d) 3x - 5 - x - 6 < 1 R. ] - , 21/8 [
4 12
e) 1 - x - 5 < 9 + x R. ] -67/10 , + [
9
f) x + 6 - x + 6 x . R. [ 120/11 , + [
3 15
g) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada
expresión represente un número real.
i) x 5 2 x2 1
ii) iii)
x 6 x 1
R. [ -5 , + [ R. ] - 6 , + [ R. [ - 1 , 1 [ ] 1, + [
1) Inecuaciones de segundo grado
a) x2 16 R. IR - ] -4 , 4[
b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [
c) 36 > ( x - 1) 2 R. ] - 5 , 7 [
54

55. d) (x + 5)2 ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 R. IR - ] 0 , 8 [
e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ]-2,6[
f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - 3
g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 R.
h) 2x2 + 25 x ( x + 10 ) R. 5
i) 1 - 2x (x + 5)2 - 2(x + 1) R. IR
j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [
k) x ( x + 1) 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [
l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - 2
m) ( x - 2)2 0 R. IR
n) ( x - 2)2 < 0 R.
o) ( x - 2)2 0 R. 2
2) Inecuaciones fraccionarias
x R. IR - [ 0 , 1 ]
a) 0
x 1
x 6 R. IR - [ -6 , 3 ]
b) 0
3 x
x R. [ 5 , 10 ]
c) 2 0
x 5
2x 1 R. ] - , -5 [
d) 2
x 5
x 1 R. ] -11 , -5 [
e) 2
x 5
1 R. ] - ,3[
f) 0
x 3
x 1 R. IR - [ -1 , 1 [
g) 0
x 1
1 R. ] - 1/2 , 0 [
h) 2
x
x x R. ] - , -1 [ [ 0. 5[
i)
x 3 x 1
x2 2 R. IR - [ - 2/3 , 3 ]
j) x
x 3
x2 R. IR - ]-3/2 , 3 ]
k) x 1
x 3
x2 4 R. ] - 6, -2 ] [2,+ [
l) 0
x 6
( x 1)( x 7) R. ] -3, -1 [ ]1,6[ ]7,+ [
m) 0
( x 1)( x 6)( x 3)
55

56. 4 R. IR - ] -2 , 2 [
n) 1
x2
x2 1 R. ] - ,5[
ñ) 0
x 5
1 R. ] -2 , -1/3 ] ] 0, + [
o) 3 ( x 3) 2(1 )
x
5 R. ] - , -1 [ ] 0. 5 [
p) x 4
x
15 R. ] 0 , 3 [ [5 , + [
q) x 8
x
x2 1 R. ] 0 , + [
r) 1
x
1 R. ] - , -3 [ ] 0 , 1/5 [
s) 3 3 5( x 1)
x
x R. ] - , - 1[ ]0,1[
t) 2 0
x 1
84 R. ] -12 , -7 [ ]0,+ [
u) x 20 1
x
25 R. ] - ,0[
v) x 10
x
9 R. ] 0 , + [ -3
w) 2 x x 6
x
1 1 R. ] -1 /2 , 0 [ ]2,+ [
x) x 2
2 x
56

57. Bibliografía
Algebra, Décima quinta edición —1997, Dr. Aurelio Baldor
Aritmética, Décima tercera edición —1997, Dr. Aurelio Baldor
Geometría, Décima tercera edición —1997, Dr. Aurelio Baldor
Ejercicios PSU Matemática, Primera edición —2004, Danny Perich C.
Matemática Hoy 7_ Básico, Primera edición —199, Ana Maria Panesi P. y Carmen Gloria
Bascuñan B.
Matemática PSU, Primera edici´on —2007, Marcelo Rodríguez Aguilera
PSU parte Matemática, volúmenes 1 y 2, Primera edición —2006, Juan Luis Yarmuch y
Leonardo Medel
Recopilado por Rodrigo Miranda Cabrera y Carolina Bocaz Vergara
57