1. INTERVALOS LIMITADOS
INTERVALOS LIMITADOS
Entre dos puntos de la recta numérica correspondientes a dos números reales diferentes, existen otros infinitos
números reales.
Esto hace que pensemos en subconjuntos de R que en adelante llamaremos INTERVALOS.
Un INTERVALO en la recta numérica podemos graficarlo así:
...-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5...
¿Cuántos números naturales existen entre –1 y + 4 Observa que los extremos a y b están resaltados con
incluyendo a éstos últimos?.................... puntos negros lo cual significa que se incluye a los
¿Cuántos números enteros existen entre –2 y + 5 extremos.
incluyendo a éstos últimos? .....................
Representación simbólica : x ∈ [a ; b]
Pero... ¿cuántos números reales existen entre –2 y + 5
incluyendo a éstos últimos? ... .......... Como conjunto: P = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
Estos infinitos números reales pertenecen a un
Ejemplo:
subconjunto de R llamado INTERVALO, cuyos
Representar el intervalo de números reales x
extremos son –2 y +4.
comprendido entre – 5 y +1 incluyendo a estos extremos.
Un INTERVALO puede o no incluir a los extremos;
Gráficamente:
como también, un INTERVALO puede incluir sólo a un
extremo; según esto podemos tener entonces diversos
tipos de intervalos que luego pasaremos a estudiar;
-5 0 +1
pero antes generalicemos la idea de INTERVALO:
Representación simbólica : x ∈ [ - 5 ; 1]
Un INTERVALO es un subconjunto de R, cuyos
Como conjunto: P = {x ∈ R / -5 ≤ x ≤ 1}
elementos x están comprendidos entre los
EXTREMOS a y b que también son números reales b. Si no incluimos a los extremos, el INTERVALO es
que pueden o no estar incluidos en el intervalo. ABIERTO.
Gráficamente:
TIPOS DE INTERVALOS
Puede ser limitados o ilimitados.
a x b
1. INTERVALOS LIMITADOS.
En este caso como los extremos a y b no pertenecen al
a. Si incluimos a los extremos el INTERVALO es intervalo, éstos se representan en la recta numérica
CERRADO. Gráficamente
por dos círculos pequeños.
a x b Representación simbólica : x ∈ ]a ; b[
donde x representa a cualquiera de los elementos
del intervalo. Como conjunto: P = {x ∈ R / a < x < b}

2. Ejemplo:
PROBLEMAS RESUELTOS
Representar el intervalo de números reales x
comprendido entre – 7 y – 2 sin incluir a estos 1. Dados los intervalos :
extremos.
A = [-7 ; 2 [ yB=[-5;7].
Gráficamente: Hallar a) A ∪ B b) A ∩ B
Solución:
-7 -2 0
Un intervalo es un conjunto. En este caso es
Representación simbólica: x ∈ ]- 7 ; - 2[ posible el cálculo de A ∪ B y A ∩ B
Como conjunto: P = {x ∈ R / – 7 < x < – 2 } recordando que un elemento de la UNIÓN
pertenece a A, o a B, o a ambos, y un elemento de
c. Si incluimos sólo a uno de los extremos, el
la INTERSECCIÓN pertenece a ambos conjuntos.
INTERVALO es SEMIABIERTO.
Graficando los intervalos dados en la recta numérica:
♦ Abierto por la izquierda, cerrado por la
derecha.-
-7 -5 0 2 7
Gráficamente:
Del gráfico se nota que:
a) A∪B = [-7 ; 7]
a x b
b) A ∩ B = [-5 ; 2 [
Aquí, sólo b pertenece al intervalo, no así el
extremo a. 2. Dados los intervalos :
A = ] -3 ; 12 ] y B = [ 5 ; 8[ . Hallar :
Representación simbólica : x∈]a;b] a) A - B b) B – A
Como conjunto: P = {x ∈ R / a < x ≤ b} Solución:
Recordemos que los elementos que pertenecen a la
♦ Abierto por la derecha, cerrado por la
diferencia A – B, pertenecen a A pero no
izquierda.-
pertenecen a B. Asimismo, los elementos que
Gráficamente:
pertenecen a B – A, pertenecen a B pero no
pertenecen a A.
a x b
En este caso, sólo a pertenece al intervalo, no Graficando los intervalos dados en la recta
así el extremo b. numérica:
Representación simbólica : x∈[a;b[
Como conjunto: P = {x ∈ R / a ≤ x < b} -3 0 5 8 12
Del gráfico se nota que:
a) A–B = ] -3 ; 5 [ ∪ [ 8 ; 12 ]
b) B–A = ∅

3. DESAFIO
DESAFIO
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
A) Dados los siguientes intervalos efectuar las
A. Completa el siguiente cuadro, graficando en la operaciones indicadas.
recta numérica cada intervalo dado:
A =[–3,2] ; B= ]–4;1[
C =]–5;–2] ; D = ] 3, 5[
Representación simbólica E =]0;2] ; F=[–1;4[
Intervalo como conjunto
del intervalo
1) A∪B 11) A∪F
x ∈ [ - 15 ; 3 ] {x ∈ R / - 15 ≤ x ≤ 3 } 2) A∩B 12) F–E
3) A–B 13) (E ∩ C) – A
{x ∈ R / - 8 < x ≤ 7} 4) B–A 14) (B ∩ D) – C
5) A∪C 15) (A ∩ E) – (A ∩ C)
6) A∩C 16) (B – A) ∪ (A – B)
x∈]5;9[
7) A–C 17) B ∆ A
8) C–A 18) (E–F)∆D
{x ∈ R / - 2 ≤ x ≤ 4}
9) A∪D 19) (A ∩ D) – ( C ∆ B )
10) A∩D 20) [ (A – B) ∪ C ] ∆
x∈[–4;0[
D
{x ∈ R / - 8 ≤ x < – 3 }
B) Desarrolla cada uno de los problemas propuestos:
x ∈ [ – 12 ; – 3 ]
1. En la siguiente recta numérica se representan dos
intervalos A y B. Encontrar el intervalo A ∩
{x ∈ R / 3 < x < 7 }
B.
A
x∈]–3;1[ B
{x ∈ R / – 5 < x ≤ – 1 }
-2 2 6
B. Dados los siguientes intervalos efectuar las a) { 2 } b) [– 2 , 2 ] c) ] –2 ; 2 [
operaciones indicadas: d) [ -2 ; 6 [ e) ∅
A = ] -7 ; 4 ] B=]2;8[ 2. Del problema anterior calcular A ∪ B
C=[-1;6 [ D=[–3;7]
a) { 2 } b) [ – 2 , 2 ] c) ] – 2 ; 6 ]
d) [ -2 ; 6 [ e) ∅
(1) A ∪B (2) B – A (3) (A – C) ∩ D 3. Del problema uno calcular A – B
a) { - 2 } b) [ – 2 , 6 ] c) ] –2 ; 6 [
(4) A ∩B (5) B ∪ C (6) (C – A ) ∪B d) [ 2 ; 6 [ e) ∅
4. ¿Cuántos números enteros existen en el intervalo
(7) A ∩ D (8) C ∪ D (9) (A – C) – B ]-7; 7[
a) 5 b) 7 c) 14
(10) A – D (11) B ∩ D (12) B ∪ ( C ∩ A) d) 13 e) N.A.
5. Sabiendo que : A = [ – 7 , 11 ] B=[–2,8[
(13) D – A (14) B – D (15) ( A ∆ B) – C y C = ] – 3 , 12 [ Hallar (A – C) ∩ (B – A )
6. Representa los siguientes intervalos como
(16) A – B (17) C ∆ D (18) (A ∪ D) ∩ C conjuntos:

4. a) x∈[–7,0 ]
b) x∈]–3,1] E. En la siguientes rectas numéricas se representan
c) x ∈ ] – 14 , + 14 [ dos intervalos A y B. Encontrar los siguientes
d) x∈]–5,4 [ intervalos en cada uno de ellos:
e) x ∈ ] – 10 , – 9 [
f) x∈[+3 ;+5 [ a) A ∩ B b) A ∪ B c) A – B
g) x ∈ [ – 1 ; 12 [
h) x ∈ ] 0 , 11 [ d) A ∆ B e) B – A
7. Si “ n “ no es mayor que 10 y “ n” no es menor que 15. A
4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es
B
verdadera?
a) n = 10 b) n = 5 c) n > 5 +5
–3 0 +2
d) n < 10 e) 4 < n < 10
16.
8. Si x ∈ [ – 2 ; 3 [ ; y ∈ [–1;4[ A
B
a) ¿Cuál es el máximo valor de x + y?
b) ¿Cuál es el mínimo valor de x + y?
–9 –4 +1 +7
c) ¿Cuál es el máximo valor de x – y ?
d) ¿Cuál es el mínimo valor de x – y ?
17. A
9. Si x ∈ [ – 3 ; 4 ] ; y ∈ [–2;6] B
a) ¿Cuál es el máximo valor de x . y?
–5 –1 +3 +6
b) ¿Cuál es el mínimo valor de x . y?
F. Completa el siguiente cuadro, graficando en la
C. En los problemas del 10 al 14, escribir el intervalo recta numérica cada intervalo dado:
correspondiente a la figura propuesta
D. Representación simbólica
Intervalo como conjunto
del intervalo
10.
x∈]–5;2]
–5 –4 –3 – 2 1-1
– –0 +1 +2 +3 +4
{x ∈ R / – 1 < x ≤ 4}
11.
x ∈ [ 3 ; 11 ]
–5 –4 –3 – 2 1 -1 – 0
– +1 +2 +3 +4
{x ∈ R / 0 ≤ x < 7}
12. x ∈ [– 3 ; 0 [
–5 –4 –3 – 2–1-1 –0 +1 +2 +3 +4 {x ∈ R / – 5 < x < – 1}
x∈]–4;3[
13.
{x ∈ R / 2 ≤ x < 8}
–5 –4 –3 – 2 1 -1 – 0
– +1 +2 +3 +4
x∈[–7;–2 ]
{x ∈ R / – 7 ≤ x ≤ – 3 }
14.
–5 –4 –3 – 2 –1-1 –0 +1 +2 +3 +4

5. 18. Elabore un mapa conceptual de acuerdo al tema
tratado.

6. 18. Elabore un mapa conceptual de acuerdo al tema
tratado.