Conjunto de reglas que permiten
asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y, ...
• Permiten asignar un error al resultado final.
• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas
directas.
• Planificación del experimento.
Este documento trata sobre técnicas para la propagación de errores en física experimental. Explica cómo calcular el error en sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones de una o más variables a partir de los errores de las medidas originales. También presenta una fórmula general para estimar el error cuando las medidas son independientes y aleatorias.
El documento presenta los conceptos básicos sobre la presentación de resultados de mediciones, incluyendo la expresión del valor medido, su error absoluto y relativo. Explica que el resultado debe expresarse con su incertidumbre y cómo tratar los errores cuando el resultado proviene de una fórmula con varias variables.
El documento presenta los conceptos básicos sobre la presentación de resultados de mediciones e incertidumbres. Explica que el resultado de una medición es una cantidad aproximada con un error asociado dado por la incertidumbre. Además, detalla cómo calcular y expresar correctamente los errores absolutos y relativos de una medición simple o el resultado de una fórmula con varias variables.
Este documento trata sobre los diferentes tipos de errores numéricos que pueden ocurrir al realizar cálculos con números, incluyendo errores en los datos de entrada, errores de truncamiento al discretizar expresiones continuas, y errores de redondeo al representar números reales con precisión finita en una computadora. También explica cómo se propagan los errores a través de operaciones y cómo afectan la precisión de los resultados.
El documento presenta instrucciones para completar un entregable de cálculo vectorial, incluyendo resolver casos específicos, citar referencias y usar ecuaciones. Luego, presenta una sección teórica con preguntas sobre funciones diferenciables y extremos locales vs absolutos. Finalmente, una sección práctica con problemas sobre límites, ecuación de Laplace y regla de la cadena.
Este documento presenta los temas y ejercicios de cálculo que serán cubiertos en el curso de matemáticas para el primer año de la carrera de Ingeniería Ambiental. Los temas incluyen límites, derivadas, derivadas especiales y de orden superior. El documento contiene tres ejercicios resueltos sobre límites aplicando la definición formal.
Este documento presenta un resumen de los métodos para calcular máximos y mínimos de una función, incluyendo el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada. Luego, resuelve un problema de virulencia bacteriana que implica encontrar los instantes de máxima y mínima virulencia, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Finalmente, grafica la función dada.
Este documento trata sobre técnicas para la propagación de errores en física experimental. Explica cómo calcular el error en sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones de una o más variables a partir de los errores de las medidas originales. También presenta una fórmula general para estimar el error cuando las medidas son independientes y aleatorias.
El documento presenta los conceptos básicos sobre la presentación de resultados de mediciones, incluyendo la expresión del valor medido, su error absoluto y relativo. Explica que el resultado debe expresarse con su incertidumbre y cómo tratar los errores cuando el resultado proviene de una fórmula con varias variables.
El documento presenta los conceptos básicos sobre la presentación de resultados de mediciones e incertidumbres. Explica que el resultado de una medición es una cantidad aproximada con un error asociado dado por la incertidumbre. Además, detalla cómo calcular y expresar correctamente los errores absolutos y relativos de una medición simple o el resultado de una fórmula con varias variables.
Este documento trata sobre los diferentes tipos de errores numéricos que pueden ocurrir al realizar cálculos con números, incluyendo errores en los datos de entrada, errores de truncamiento al discretizar expresiones continuas, y errores de redondeo al representar números reales con precisión finita en una computadora. También explica cómo se propagan los errores a través de operaciones y cómo afectan la precisión de los resultados.
El documento presenta instrucciones para completar un entregable de cálculo vectorial, incluyendo resolver casos específicos, citar referencias y usar ecuaciones. Luego, presenta una sección teórica con preguntas sobre funciones diferenciables y extremos locales vs absolutos. Finalmente, una sección práctica con problemas sobre límites, ecuación de Laplace y regla de la cadena.
Este documento presenta los temas y ejercicios de cálculo que serán cubiertos en el curso de matemáticas para el primer año de la carrera de Ingeniería Ambiental. Los temas incluyen límites, derivadas, derivadas especiales y de orden superior. El documento contiene tres ejercicios resueltos sobre límites aplicando la definición formal.
Este documento presenta un resumen de los métodos para calcular máximos y mínimos de una función, incluyendo el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada. Luego, resuelve un problema de virulencia bacteriana que implica encontrar los instantes de máxima y mínima virulencia, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Finalmente, grafica la función dada.
Este documento presenta una introducción al cálculo de límites y derivadas. Explica la definición intuitiva y formal de límites, incluyendo límites laterales y en un punto. También cubre propiedades de límites, resolución de indeterminaciones, continuidad y cálculo de derivadas usando definiciones, reglas y funciones básicas.
Este documento presenta la solución de varios problemas de ecuaciones diferenciales. El primer problema involucra resolver una ecuación diferencial de primer orden para encontrar la función y(x). El segundo problema implica resolver una ecuación diferencial de primer orden no homogénea para determinar otra función y(x). El tercer problema requiere resolver una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea para hallar la función y(x).
Este documento presenta la lista de integrantes de un curso de Probabilidad y Estadística dictado por el matemático Jorge Arroba en la Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas de la Universidad Central del Ecuador durante el año 2021-2022. El curso SI3-001 está compuesto por 6 estudiantes: Allauca Edwin, Caluguillin Andres, Inguillay Ariel, Martínez Fernando, Monteros Xavier y Pulupa Ximena.
1. El documento presenta métodos de estimación como mínimos cuadrados ordinarios y máxima verosimilitud. También cubre métodos de docimia de hipótesis paramétricas como t de Student, F de Fisher y chi cuadrada. 2. Explica en detalle el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar los parámetros de una recta de regresión. 3. Señala que algunos modelos no lineales como exponencial y potencial pueden linealizarse usando transformaciones logarítmicas.
Este documento describe conceptos relacionados con distribuciones de probabilidad binomial y Poisson. Explica las fórmulas para calcular la probabilidad de éxitos en una distribución binomial y la varianza en distribuciones binomiales y de Poisson. Además, presenta ejemplos numéricos de cálculos de probabilidades para estas distribuciones.
El documento explica conceptos matemáticos relacionados con la derivada de funciones, incluyendo la recta tangente y normal a una curva, el ángulo de intersección entre dos curvas, y proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
La distribución binomial negativa describe el número de fracasos necesarios para obtener un número determinado de éxitos. Tiene como características que la probabilidad de no ocurrencia es cero, depende del número de éxitos considerados, y concluye cuando se obtengan dichos éxitos. Existen tres formas típicas de trabajar con ella: valores fijos, función de distribución acumulada fija, y función de distribución acumulada que tiende al infinito. Se provee un ejemplo para ilustrar su aplicación.
Este documento presenta 3 ejercicios de análisis numérico resueltos. El primero calcula errores absolutos y relativos al aproximar valores. El segundo usa el método de punto fijo para encontrar una raíz pero no converge. El tercero aplica el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de una ecuación no lineal hasta que el error absoluto sea menor a 0.01.
La distribución de Poisson describe procesos aleatorios donde los eventos ocurren con baja probabilidad en intervalos de tiempo, área o volumen. Se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurran k eventos dados los parámetros λ y n. La media y varianza de una distribución de Poisson son iguales a λ.
Analisis de datos experimentales y graficosDarwin Mendoza
- Determinar un modelo matemático que relacione un fenómeno físico a partir de los datos experimentales obtenidos, desarrollando la capacidad de análisis y critica, el razonamiento científico, habilidades en el manejo instrumental e introducir al estudiante en el trabajo de investigación.
Este documento resume conceptos clave de matemáticas para negocios como análisis marginal, elasticidad de la demanda y derivadas de funciones trascendentes. Explica cómo calcular el costo y el ingreso marginal, y los tipos de elasticidad de la demanda. También cubre cómo derivar funciones exponenciales, logarítmicas y logaritmos neperianos usando las reglas de derivación y cadena. Finalmente, resuelve un problema aplicando estos conceptos.
Este documento explica el concepto de antiderivada o integral indefinida. Una antiderivada de una función f es cualquier función F cuya derivada sea f. El símbolo ∫ denota la operación de antiderivación. El documento también presenta varios teoremas relacionados con el cálculo de antiderivadas de funciones como polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logaritmos.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con variables aleatorias. En el primer problema se define una variable aleatoria para la suma de dos dados y se calcula su función de distribución de probabilidad. En el segundo problema se define una variable aleatoria de Rayleigh y se calcula su función de distribución. El tercer problema calcula la probabilidad de que la resistencia total de dos resistencias en serie sea mayor a un valor.
Este documento presenta cuatro ejercicios de análisis numérico para ser resueltos y enviados antes del 25 de noviembre de 2014. El primer ejercicio pide aproximar una integral mediante la regla del punto medio. El segundo estima el error al aproximar otra integral usando el método del trapecio. El tercero encuentra el número de particiones n necesario para que el método de Simpson alcance una precisión dada. El cuarto evalúa una integral mediante la cuadratura de Gauss para n=2 y compara el resultado con el exacto
1) La programación cuadrática minimiza funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. 2) Se presentan ejemplos de cómo reconocer ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. 3) Se explica el algoritmo de ramificación y acotamiento para obtener soluciones enteras de problemas de programación cuadrática mediante la división del espacio de soluciones y el establecimiento de límites.
El documento resume diferentes técnicas de transformación de variables en modelos de regresión para mejorar el ajuste de los modelos. Estas incluyen transformaciones de las variables predictoras y/o de respuesta para linealizar modelos no lineales, así como transformaciones para estabilizar la varianza de los errores o mejorar la normalidad de los residuos. El autor también discute el uso de mínimos cuadrados ponderados y generalizados.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de matemáticas. En la primera pregunta, se demuestra que si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. La segunda pregunta encuentra los puntos críticos de una función escalar dada. La tercera pregunta reescribe las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.
Este documento explica cómo calcular e informar las incertidumbres en mediciones de laboratorio. Describe la diferencia entre error e incertidumbre, y cómo calcular la incertidumbre para mediciones directas usando la precisión del instrumento y repeticiones, y para mediciones indirectas usando derivadas parciales. Además, explica cómo redondear los resultados considerando solo las cifras significativas.
El documento presenta información sobre el cálculo integral, incluyendo conceptos como el teorema del valor medio, el teorema fundamental del cálculo y métodos para calcular integrales definidas. Contiene ejemplos de aplicación de estas herramientas para calcular áreas bajo curvas, integrales inmediatas y mediante cambios de variable.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 1 sobre la integral indefinida. Introduce la definición de antiderivada o integral indefinida y explica cómo encontrar antiderivadas algebraicamente mediante fórmulas estándares, propiedades y diferentes técnicas como la integración directa y la integración por sustitución o cambio de variable. El objetivo es enseñar a calcular antiderivadas de funciones algebraicamente.
Este documento presenta una introducción al cálculo de límites y derivadas. Explica la definición intuitiva y formal de límites, incluyendo límites laterales y en un punto. También cubre propiedades de límites, resolución de indeterminaciones, continuidad y cálculo de derivadas usando definiciones, reglas y funciones básicas.
Este documento presenta la solución de varios problemas de ecuaciones diferenciales. El primer problema involucra resolver una ecuación diferencial de primer orden para encontrar la función y(x). El segundo problema implica resolver una ecuación diferencial de primer orden no homogénea para determinar otra función y(x). El tercer problema requiere resolver una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea para hallar la función y(x).
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1. El documento presenta métodos de estimación como mínimos cuadrados ordinarios y máxima verosimilitud. También cubre métodos de docimia de hipótesis paramétricas como t de Student, F de Fisher y chi cuadrada. 2. Explica en detalle el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar los parámetros de una recta de regresión. 3. Señala que algunos modelos no lineales como exponencial y potencial pueden linealizarse usando transformaciones logarítmicas.
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El documento explica conceptos matemáticos relacionados con la derivada de funciones, incluyendo la recta tangente y normal a una curva, el ángulo de intersección entre dos curvas, y proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
La distribución binomial negativa describe el número de fracasos necesarios para obtener un número determinado de éxitos. Tiene como características que la probabilidad de no ocurrencia es cero, depende del número de éxitos considerados, y concluye cuando se obtengan dichos éxitos. Existen tres formas típicas de trabajar con ella: valores fijos, función de distribución acumulada fija, y función de distribución acumulada que tiende al infinito. Se provee un ejemplo para ilustrar su aplicación.
Este documento presenta 3 ejercicios de análisis numérico resueltos. El primero calcula errores absolutos y relativos al aproximar valores. El segundo usa el método de punto fijo para encontrar una raíz pero no converge. El tercero aplica el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de una ecuación no lineal hasta que el error absoluto sea menor a 0.01.
La distribución de Poisson describe procesos aleatorios donde los eventos ocurren con baja probabilidad en intervalos de tiempo, área o volumen. Se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurran k eventos dados los parámetros λ y n. La media y varianza de una distribución de Poisson son iguales a λ.
Analisis de datos experimentales y graficosDarwin Mendoza
- Determinar un modelo matemático que relacione un fenómeno físico a partir de los datos experimentales obtenidos, desarrollando la capacidad de análisis y critica, el razonamiento científico, habilidades en el manejo instrumental e introducir al estudiante en el trabajo de investigación.
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Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con variables aleatorias. En el primer problema se define una variable aleatoria para la suma de dos dados y se calcula su función de distribución de probabilidad. En el segundo problema se define una variable aleatoria de Rayleigh y se calcula su función de distribución. El tercer problema calcula la probabilidad de que la resistencia total de dos resistencias en serie sea mayor a un valor.
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1) La programación cuadrática minimiza funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. 2) Se presentan ejemplos de cómo reconocer ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. 3) Se explica el algoritmo de ramificación y acotamiento para obtener soluciones enteras de problemas de programación cuadrática mediante la división del espacio de soluciones y el establecimiento de límites.
El documento resume diferentes técnicas de transformación de variables en modelos de regresión para mejorar el ajuste de los modelos. Estas incluyen transformaciones de las variables predictoras y/o de respuesta para linealizar modelos no lineales, así como transformaciones para estabilizar la varianza de los errores o mejorar la normalidad de los residuos. El autor también discute el uso de mínimos cuadrados ponderados y generalizados.
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Un pequeño resumen de lo que fue el estilo arquitectónico Ecléctico, así como el estilo arquitectónico histórico, sus características, arquitectos reconocidos y edificaciones referenciales de dichas épocas.
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ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
1. Técnicas experimentales de Física General 1/14
Propagación de Errores
• Propagación de errores.
• Propagación de errores en sumas y diferencias.
• Propagación de errores en productos.
• Propagación de errores en cocientes.
• Error del producto por una constante.
• Error de una potencia.
• Error en funciones de una variable.
• Error en funciones de varias variables.
• Errores independientes y aleatorios
• Formula general para la propagación de errores.
9 Medidas independientes.
9 Problema semidirecto.
9 Problema inverso.
2. Técnicas experimentales de Física General 2/14
Propagación de errores
Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los
valores encontrados en las medidas de otras magnitudes.
• Conocemos x
x δ
± , y
y δ
± ,...
• Calculamos ,...)
,
( y
x
f
z =
• ¿Cuál es el error de z?
Propagación de errores.- Conjunto de reglas que permiten
asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y, ...
• Permiten asignar un error al resultado final.
• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas
directas.
• Planificación del experimento.
Hipótesis de partida
• Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la
situación más desfavorable. Conjunto de reglas prácticas.
• Medidas independientes.- Errores cuadráticos medios.
Fórmula general de propagación de errores.
3. Técnicas experimentales de Física General 3/14
Propagación de errores en sumas y diferencias
Datos iniciales: x
x δ
± y
y δ
±
Sea su suma q x y
= + y su diferencia q x y
= −
¿Cuál es la incertidumbre, q
δ ?
Suma Diferencia
Valor
máximo
de q
( )
max
x
q x x y
y
y
x y
δ δ
δ δ
= + + + =
= + + + ( )
max ( )
q x x y y
x y x y
δ δ
δ δ
= + − − =
= − + +
Valor
mínimo
de q
( )
min
x
q x x y
y
y
x y
δ δ
δ δ
= − + − =
= + − + ( )
min ( )
q x x y y
x y x y
δ δ
δ δ
= − − + =
= − − +
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas
magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas
magnitudes:
q x y q x y
δ δ δ
= ± ⇒ ≈ +
4. Técnicas experimentales de Física General 4/14
Ejemplo:
En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se
quiere hallar la masa total del líquido. Se conocen:
M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 g
m1 = Masa del matraz 1 = 72 ± 1 g
M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g
M2 = Masa del matraz 2 = 97 ± 1 g
La masa de líquido será:
1 1 2 2 1311
M M m M m g
= − + − =
Su error:
1 1 2 2 32
M M m M m g
δ δ δ δ δ
+
+ =
+
=
El resultado se expresará:
1310 30
M g
= ±
5. Técnicas experimentales de Física General 5/14
Propagación de errores en productos
Datos iniciales:
±
=
±
x
x
x
x
x
δ
δ 1
±
=
±
y
y
y
y
y
δ
δ 1
Sea su producto q xy
=
¿Cuál es la incertidumbre, q
δ ?
Producto
Valor
máximo
de q
max 1 1 1
x y
x y
x y x y
q x y xy
x y x y
δ δ
δ δ δ δ
↓
<<
= + + ≅ + +
Valor
mínimo
de q
min 1 1 1
x y
x y
x y x y
q x y xy
x y x y
δ δ
δ δ δ δ
↓
<<
= − − ≅ − +
El error relativo del producto es igual a la suma de los
errores relativos:
q x y
q xy
q x y
δ δ δ
= ⇒ ≈ +
6. Técnicas experimentales de Física General 6/14
Propagación de errores en cocientes
Datos iniciales:
±
=
±
x
x
x
x
x
δ
δ 1
±
=
±
y
y
y
y
y
δ
δ 1
Sea su producto
x
q
y
= ¿Cuál es la incertidumbre, q
δ ?
Cociente
Valor
máximo
de q
1
1
1
max
1
1 1
1
1
x y
x y
x
x
x x x y
q
y x y
y
y
y
x x y
y x y
δ δ
ε
ε
δ
δ δ
δ
δ δ
↓ ↓
<<
= +
−
+
= ≅ + + ≅
−
≅ + +
Valor
mínimo
de q
1
1
1
min
1
1 1
1
1
x y
x y
x
x
x x x y
q
y x y
y
y
y
x x y
y x y
δ δ
ε
ε
δ
δ δ
δ
δ δ
↓ ↓
<<
= −
+
−
= ≅ − − ≅
+
≅ − +
El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:
x q x y
q
y q x y
δ δ δ
= ⇒ ≈ +
7. Técnicas experimentales de Física General 7/14
Ejemplo:
Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su
sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2, y la
longitud de su sombra, L3. Por semejanza:
2
1
3
L
L L
L
=
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200 ± 2 cm, L2 = 100.0 ± 0.4 cm, L3 = 10.3 ± 0.2 cm
Por tanto
100
200 2000 cm
10
L = × =
Su error será
3
1 2
1 2 3
2 0.4 0.2
200 100 10.3
3.4
(1 0.4 2)% 3.4% 2000 68
100
L
L L L
L L L L
L
δ
δ δ δ
δ
≈ + + = + + =
= + + = → = × =
2000 70 cm
L = ±
8. Técnicas experimentales de Física General 8/14
Error del producto por una constante
Datos iniciales: x
x δ
± Sea Ax
q =
¿Cuál es la incertidumbre, q
δ ?
Aplicando la regla del producto
x
x
x
x
A
A
q
q δ
δ
δ
δ
=
+
≈ ⇒ x
A
q δ
δ =
El error absoluto del producto de una constante por una magnitud es
igual al producto de la constante por el error absoluto de la magnitud
x
A
q δ
δ =
Error de una potencia
Datos iniciales: x
x δ
± Sea x
x
x
x
q n
⋅
⋅
=
=
¿Cuál es la incertidumbre, q
δ ?
Aplicando la regla del producto
x
x
n
x
x
x
x
x
x
q
q δ
δ
δ
δ
δ
=
+
+
+
≈
El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el
error relativo de la magnitud.
x
x
n
q
q δ
δ
=
9. Técnicas experimentales de Física General 9/14
Error en funciones de una variable
Datos iniciales: x
x δ
± Sea )
(x
f
q = una función cualquiera
¿Cuál es la incertidumbre, q
δ ?
Gráficamente
2
min
max q
q
q
−
=
δ
Analíticamente
x
dx
x
df
x
f
x
x
f
q δ
δ
δ
)
(
)
(
)
( =
−
+
=
Si x se mide con un error x
δ y se utiliza para calcular )
(x
f
q = , el
error absoluto de q viene dado por :
x
dx
x
df
q δ
δ
)
(
=
10. Técnicas experimentales de Física General 10/14
Error en funciones de varias variables
Las reglas para el cálculo de errores que hemos visto se
pueden deducir de una fórmula más general que nos permite
resolver casos más complicados.
Sean las medidas y
x, con errores y
x δ
δ , usadas para
calcular:
)
,
( y
x
f
q =
Mediante un desarrollo en serie para el caso de varias variables:
+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
+
+ y
y
f
x
x
f
y
x
f
y
y
x
x
f δ
δ
δ
δ )
,
(
)
,
(
Con lo que:
y
y
f
x
x
f
y
x
f
y
y
x
x
f
q δ
δ
δ
δ
δ
∂
∂
+
∂
∂
≈
−
+
+
= )
,
(
)
,
(
Ejemplos:
Función Errores Error
kx
q = )
(x
x δ
± )
(
)
( x
k
q δ
δ =
±
±
±
= y
x
q )
(
)
( y
y
x
x δ
δ ±
± )
(
)
(
)
( y
x
q δ
δ
δ +
≈
β
α
y
kx
q = )
(
)
( y
y
x
x δ
δ ±
±
y
y
x
x
z
q δ
β
δ
α
δ
+
≈
11. Técnicas experimentales de Física General 11/14
Errores independientes y aleatorios
Las reglas anteriores suponen una sobreestimación del error,
puesto que siempre nos situamos en el caso más desfavorable.
Ejemplo: error de la suma
Dados x
x δ
± , y
y δ
± el error de la suma y
x
q +
= viene
dado por y
x
z δ
δ
δ +
≈
Sin embargo:
El máximo valor posible de q, q
q δ
± se alcanza cuando nos
equivocamos simultáneamente x
δ en x y y
δ en y , lo que es
altamente improbable si las medidas son aleatorias e
independientes.
Una sobreestimación (o subestimación ) de x no viene
necesariamente acompañada de una sobreestimación (o
subestimación) de y .
Si las medidas son independientes
La hipótesis pesimista es exagerada.
Los errores se cancelan parcialmente.
Los errores se propagan cuadráticamente.
12. Técnicas experimentales de Física General 12/14
Fórmula general para la propagación de errores
• Medidas independientes
Sean las medidas de w
y
x ,
,
, con errores w
y
x δ
δ
δ ,
,
,
usadas para calcular :
)
,
,
,
( w
y
x
f
q
=
Si los errores son independientes y aleatorios, entonces el error de
z es la suma en cuadratura
2
2
2
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
= w
w
f
y
y
f
x
x
f
q δ
δ
δ
δ
Ejemplos:
Función Errores Error
kx
q = )
(x
x δ
± )
(
)
( x
k
q δ
δ =
±
±
±
= y
x
q )
(
)
( y
y
x
x δ
δ ±
± [ ] [ ]
+
+
=
2
2
)
(
)
(
)
( y
x
q δ
δ
δ
β
α
y
kx
q = )
(
)
( y
y
x
x δ
δ ±
±
+
+
=
2
2
y
y
x
x
q
q δ
β
δ
α
δ
13. Técnicas experimentales de Física General 13/14
• Problema semidirecto
Errores conocidos ( ), ( ),
x y
ε ε
( , , , , , )
z f y m
x n
=
Errores desconocidos ( ), ( ),
m n
ε ε
¿Cuál ha de ser ( ), ( ),
m n
ε ε para que no influyan mucho en ( )
z
ε ?
2
2
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kT
A
m
z z z z
z x y
n
n
x y m
∂ ∂ ∂ ∂
ε ε ε ε ε
∂ ∂ ∂ ∂
= + + − + +
2
( ) 0.2
z A kT kT A
ε = + → =
( ) 1.1
z A
ε =
0.2
A
T
k
=
#
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
n
T
n
n
z
m
T
m
m
z
ε
ε
ε
ε
→
=
∂
∂
→
=
∂
∂
14. Técnicas experimentales de Física General 14/14
• Problema inverso
Error deseado ( )
z
ε
( , , , , , )
z f y m
x n
=
Errores conocidos ( ), ( ),
x y
ε ε
Errores desconocidos ( ), ( ),
m n
ε ε
¿Cuál ha de ser ( ), ( ),
m n
ε ε para que ( )
z
ε sea el deseado?
2
2
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kT
A
z z z
m n
z
z x y
x y m n
∂ ∂ ∂ ∂
ε ε ε ε ε
∂ ∂ ∂ ∂
= + + + +
2
2 ( )
( )
z A
z A kT T
k
ε
ε
−
= + → =
#
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
n
T
n
n
z
m
T
m
m
z
ε
ε
ε
ε
→
=
∂
∂
→
=
∂
∂