El documento presenta los conceptos básicos sobre la presentación de resultados de mediciones, incluyendo la expresión del valor medido, su error absoluto y relativo. Explica que el resultado debe expresarse con su incertidumbre y cómo tratar los errores cuando el resultado proviene de una fórmula con varias variables.

1. PRESENTACIÓN de RESULTADOS IPRESENTACIÓN de RESULTADOS IPRESENTACIÓN de RESULTADOS IPRESENTACIÓN de RESULTADOS I
el resultadoel resultado
123 ± 18 cm
valor unidades
El resultado de una medición es una cantidad aproximada y su error esta
acotado por la incertidumbre de la medida.
ERRORES :ERRORES :ERRORES :ERRORES : CCCC absolutoabsolutoabsolutoabsoluto ∆∆∆∆∆∆∆∆ x =x =x =x =x =x =x =x = ±± 18.3425 cm18.3425 cm
CCCC relativorelativorelativorelativo ( en % )( en % )( en % )( en % ) εεrr ==∆∆∆∆∆∆∆∆ x/x *100 =x/x *100 =x/x *100 =x/x *100 =x/x *100 =x/x *100 =x/x *100 =x/x *100 = 14.8839% .14.8839% .
YYYYYYYY Truncamiento :Truncamiento :Truncamiento :Truncamiento : x =x =x =x =x =x =x =x = 123123 ±± 1818 cmcm (±± 15 %)
valor
±incertidumbre
unidades
• Si el resultado es consecuencia de una serie de cálculos y se obtiene :
xx = 123.23689= 123.23689 ±± 18.3425 cm.18.3425 cm. ¿Cómo se presenta?

2. PRESENTACIÓN de RESULTADOS IIPRESENTACIÓN de RESULTADOS IIPRESENTACIÓN de RESULTADOS IIPRESENTACIÓN de RESULTADOS II
3
1) ¿ 1, 0 1 9 6 0 , 0 0 1 2 3 8 9 ?
g
c m
ρρρρ = ±
3
2 ) ¿ 1, 0 2 0 0 , 0 0 1 ?
g
c m
ρρρρ = ±
g
¿Cómo se expresa correctamente el valor de la medida y su error?
¿Es un error absoluto o relativo?
3
3 ) ¿ 1, 0 1 9 6 0 , 0 0 1 2 ?
g
c m
ρρρρ = ±
¿CUÁL ES LA PRESENTACIÓN CORRECTA
DEL RESULTADO ?

3. Ejemplos
estimación del error resultado presentación del resultado
--1.4921.492 ±± 0.018 m0.018 m
± 17.82 mm - 1492.2543…mm
ERRORES TRUNCAMIENTOERRORES TRUNCAMIENTOERRORES TRUNCAMIENTOERRORES TRUNCAMIENTO
PRESENTACIÓN de RESULTADOS IIPRESENTACIÓN de RESULTADOS IIPRESENTACIÓN de RESULTADOS IIPRESENTACIÓN de RESULTADOS II
± 17.82 mm - 1492.2543…mm
--14921492 ±± 18 mm18 mm
± 1.2875 % 15.6900445… g (± % )
(± 0.202 g)
± 27.625 nF 3492.2543… nF ± ))

4. Medidas y Tipos de Errores
Tenemos básicamente dos tipos de errores en el proceso de medida:
• Errores Sistemáticos:
Tienen que ver con la metodología del proceso de medida (forma de realizar la medida):
1) Calibrado del aparato. Normalmente errores en la puesta a cero. En algunos casos errores de
fabricación del aparato de medida que desplazan la escala. Una forma de corregir las medidas es valorando
si el error es lineal o no y descontándolo en dicho caso de la medida.
2) Error de paralaje: cuando un observador mira oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un
líquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirarlíquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar
perpendicularmente la escala de medida del aparato.
• Errores accidentales o aleatorios :
Se producen por causas difíciles de controlar: momento de iniciar una medida de tiempo,
colocación de la cinta métrica, etc. Habitualmente se distribuyen estadísticamente en
torno a una medida que sería la correcta. Variaciones de presión o temperatura. Para
evitarlo se deben tomar varias medidas de la experiencia y realizarrealizar unun tratamientotratamiento
estadísticoestadístico de los resultados. Se toma como valor o medida más cercana a la realidad la
media aritmética de las medidas tomadas y como error, su error cuadrático medio.

5. • Nociones estadísticas aplicables al cálculo de errores
La medida se repite n veces y se obtienen los valores x1 , x2 , x3 , x4 ,... xi ,... xn .
Valor medio
Desviación
n
x
x i∑
=
xxD ii −=
Desviación media
Desviación standard
Error cuadrático medio
n
D
D
i∑
=
1n
D 2
i
−
∑
=σσσσ
)1n(n
D
n
x
2
i
−
===
∑σ
ε∆
68% datos en x±1σ
95% datos en x±2σ
99% datos en x±3σ

6. • Comentarios a las nociones estadísticas
• La media es el mejor representante de una medida física que cualquiera de
los valores particulares obtenidos:
• La desviación standard da una idea de la dispersión de las lecturas alrededor
de la media ( el 68 % de ellas están en el intervalo y el 95 % en el intervalo
) )
x
...,,, 321 xxx
σ
σσσσ±±±±
) )
• El error cuadrático medio εεεε se adopta como estimación del error de la media,
supuesto un número de medidas muy elevado. Obsérvese que disminuye con la
• Si el número de medidas no es muy elevado ( ) la estimación del error
debe venir modificada por un factor de corrección ( de Student ) .
• Consulte en la Tabla del Apéndice, Manual del Laboratorio de Física
σσσσ2±±±±
n
10≤≤≤≤n
f
ε.fx =∆
f

7. • Realizaremos una serie de medidas al menos ocho o más si es
posible.
• Tomaremos como mejor valor de la medida el Valor medio 0000 .
Su error asociado será el error cuadrático medio εεεε .
Ej. Medida de una longitud con 10 valores en el S.I.
( ( )%x x x mεεεε ))))= ± = ± ±∆ x …
siendo 0000 el valor medio de las 10 medidas y εεεε su error cuadrático
medio. Vendrá dado con sus unidades en este caso en el S.I.
( ( )%x x x mεεεε ))))= ± = ± ±∆ x …
error
absoluto
error
relativo

8. ¿Qué hacemos cuando tenemos la expresión¿Qué hacemos cuando tenemos la expresión a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c ) ????????
Es una fórmula o ley física conEs una fórmula o ley física conEs una fórmula o ley física conEs una fórmula o ley física conEs una fórmula o ley física conEs una fórmula o ley física conEs una fórmula o ley física conEs una fórmula o ley física con dosdosdosdosdosdosdosdos variablesvariablesvariablesvariablesvariablesvariablesvariablesvariables bbbbbbbb yyyyyyyy cccccccc........
“ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s ““ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s ““ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s ““ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s ““ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s ““ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s ““ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s ““ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s “
Para conocer el error enPara conocer el error en aa conocidosconocidos los errores enlos errores en bb yy cc,,
realizamos unarealizamos una
“ Propagación de errores ““ Propagación de errores “

9. Propagación de erroresPropagación de errores :: a = f ( b, c )a = f ( b, c )
dada la fórmula matemáticadada la fórmula matemática a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c ) se conocense conocen los valores delos valores de bbbbbbbb yy cccccccc,, así como unaasí como una
estimación de sus erroresestimación de sus errores ∆∆bbbbbbbb yy ∆∆cccccccc........ Se deseaSe desea obtener el valor deobtener el valor de aaaaaaaa y una estimación de su errory una estimación de su error
∆∆aaaaaaaa..
1º)1º)1º)1º)1º)1º)1º)1º) aaaaaaaa se obtiene directamente por aplicación de la fórmulase obtiene directamente por aplicación de la fórmula,,
2º)2º)2º)2º)2º)2º)2º)2º) se diferencia la funciónse diferencia la función a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )a = f ( b, c )
ff ∂∂
3º)3º)3º)3º)3º)3º)3º)3º) se sustituyense sustituyen las derivadaslas derivadaslas derivadaslas derivadaslas derivadaslas derivadaslas derivadaslas derivadas porpor sus valores absolutossus valores absolutossus valores absolutossus valores absolutossus valores absolutossus valores absolutossus valores absolutossus valores absolutos y las diferencialesy las diferenciales dxdxdxdxdxdxdxdx por lospor los
incrementosincrementos ∆∆xxxxxxxx
4º)4º)4º)4º)4º)4º)4º)4º) se aplica la fórmula anterior teniendo en cuenta que los incrementos hacen el papelse aplica la fórmula anterior teniendo en cuenta que los incrementos hacen el papel
de estimaciones de los errores absolutos yde estimaciones de los errores absolutos y se toman con signo +.se toman con signo +.
c
c
f
b
b
f
a ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
∂
∂
+
∂
∂
=
cd
c
f
bd
b
f
ad
∂
∂
+
∂
∂
=

10. c
c
f
b
b
f
a ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
∂
∂
+
∂
∂
=
Propagación de errores en las operaciones elementales ( I )
• Suma a = b + c ∆a = ∆b + ∆c εr ( a ) = ∆a / ( b + c )
• Diferencia a = b - c ∆a = ∆b + ∆c εr ( a ) = ∆a / ( b - c )
¡ Pérdida de precisión !

11. • Multiplicación a = b ×××× c ∆∆∆∆a = c ×××× ∆∆∆∆b + b ×××× ∆∆∆∆c
dividiendo miembro a miembro por a = b ×××× c se obtiene:
Propagación de errores en las operaciones elementales ( I I )
c
c
f
b
b
f
a ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
∂
∂
+
∂
∂
=
εr ( a ) = εr ( b ) + εr ( c )
• División a = b / c ∆∆∆∆a = ∆∆∆∆b / c + b ×××× ∆∆∆∆c / c2
dividiendo miembro a miembro por a = b / c se obtiene:
εr ( a ) = εr ( b ) + εr ( c )

12. • Ejemplo: error de propagación con varias variables
2
2
4
T
Lg ππππ==== LL yy TT son las dos variables independientes.son las dos variables independientes.
T
T
g
L
L
g
g ∆∆∆∆
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++∆∆∆∆
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====∆∆∆∆
Entonces el error absoluto de g es:Entonces el error absoluto de g es:
El desarrollo completo del ejemplo se puede ver en la pag. 10 del
Manual del Laboratorio. Consultar el Tema 0.






∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆ T
T
L
L
T
g 32
2 21
4ππππ
¡Los errores siempre se suman!
Entonces el error absoluto de g es:Entonces el error absoluto de g es:
Pregunta: ¿∆g tiene unidades?.
En acaso afirmativo, ¿Cuáles?

13. Cálculo directo del error relativo. Alternativa, tomandoCálculo directo del error relativo. Alternativa, tomando
LogaritmosLogaritmos LnLn(y)(y)
Recurrimos a la siguiente equivalencia:
EJEMPLO: Calcular el error del volumen V de un cilindro. DATOS:
altura h, diámetro d .
h
d
V 2
)
2
(ππππ====
r
NCIAEQUIVALE
y
y
y
y
dy
yd εεεε֏
∆∆∆∆
====∆∆∆∆ →→→→==== )(ln)(ln
1º) Tomando neperianos :1º) Tomando neperianos :
2º) Diferenciando :2º) Diferenciando :
3º) y sustituyendo los diferenciales por incrementos3º) y sustituyendo los diferenciales por incrementos sese
obtiene el error relativo de Vobtiene el error relativo de V::
2
2ln2ln2lnlnln −−−−++++++++==== dhV ππππ
d
d
h
h
V
V ∆∆∆∆
++++
∆∆∆∆
====
∆∆∆∆
2
( )
2
dV d h d d
V h d
= +

14. Constante de Gravitación Universal G
reciente medida:
Junio 2009; G=(6.67349G=(6.67349 ±± 0.00018) X 100.00018) X 10--1111 mm33 kgkg--11 sgsg--22.
¿con qué precisióncon qué precisión?
Péndulo de Torsión en cámara de vacío;
péndulo de cuarzo; masas (muy homogéneas esféricas)
Error relativo: ((18 X 10-5)/ 6.67349 ) x 100= 2.7 x 10-3 !!