Este documento trata sobre los diferentes tipos de errores numéricos que pueden ocurrir al realizar cálculos con números, incluyendo errores en los datos de entrada, errores de truncamiento al discretizar expresiones continuas, y errores de redondeo al representar números reales con precisión finita en una computadora. También explica cómo se propagan los errores a través de operaciones y cómo afectan la precisión de los resultados.
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Este documento contiene 10 problemas resueltos sobre cálculo de integrales definidas. Los problemas cubren temas como sustitución, integración por partes, funciones de costo y aplicaciones a problemas de la vida real como regar una casa de campo o el número de aficionados que entran a un estadio.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También describe el método de Newton-Raphson, el cual aproxima iterativamente la raíz mediante tangentes locales a la función. Finalmente, discute criterios para detener las iteraciones de los métodos y protegerse contra resultados incorrectos.
Este documento describe el método del punto fijo para encontrar las raíces reales de una ecuación no lineal f(x)=0. Explica cómo reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. También analiza las condiciones para la convergencia del método y provee un ejemplo numérico para calcular las raíces de la ecuación f(x)=e-πx=0.
Este documento presenta métodos numéricos para aproximar derivadas e integrales. Explica cómo los errores de redondeo afectan al cálculo numérico de derivadas y presenta fórmulas de diferencias divididas de 3 y 5 puntos. También introduce la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de las aproximaciones mediante el uso de múltiples mallas. Finalmente, incluye ejemplos de código para implementar estos métodos.
El documento presenta una guía paso a paso para utilizar fórmulas de integración inmediatas. Incluye 26 fórmulas de integración con ejemplos para cada una. El objetivo es que el lector aprenda a integrar funciones utilizando estas fórmulas básicas y practique resolviendo ejercicios propuestos al final de cada sección.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica que la integral indefinida invierte la derivación y encuentra una antiderivada de una función más una constante. También define la integral definida como un número real que calcula el área bajo una curva continua entre dos puntos, y el teorema fundamental del cálculo relaciona la integral definida con la diferencia entre los valores de una antiderivada en esos puntos. Finalmente, anticipa que se aprenderán técnicas de integración y aplicaciones.
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
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Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También describe el método de Newton-Raphson, el cual aproxima iterativamente la raíz mediante tangentes locales a la función. Finalmente, discute criterios para detener las iteraciones de los métodos y protegerse contra resultados incorrectos.
Este documento describe el método del punto fijo para encontrar las raíces reales de una ecuación no lineal f(x)=0. Explica cómo reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. También analiza las condiciones para la convergencia del método y provee un ejemplo numérico para calcular las raíces de la ecuación f(x)=e-πx=0.
Este documento presenta métodos numéricos para aproximar derivadas e integrales. Explica cómo los errores de redondeo afectan al cálculo numérico de derivadas y presenta fórmulas de diferencias divididas de 3 y 5 puntos. También introduce la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de las aproximaciones mediante el uso de múltiples mallas. Finalmente, incluye ejemplos de código para implementar estos métodos.
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Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica que la integral indefinida invierte la derivación y encuentra una antiderivada de una función más una constante. También define la integral definida como un número real que calcula el área bajo una curva continua entre dos puntos, y el teorema fundamental del cálculo relaciona la integral definida con la diferencia entre los valores de una antiderivada en esos puntos. Finalmente, anticipa que se aprenderán técnicas de integración y aplicaciones.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección involucra dividir repetidamente el intervalo que contiene la raíz buscada hasta alcanzar la precisión deseada. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones trazando la tangente a la función en cada punto e intersectándola con el eje x. El documento explica cada método con detalle y provee ejemplos numéricos de su aplicación.
El documento describe el símbolo de la integral y su significado matemático. Explica que la integral representa la antiderivada de una función y que al calcular la integral no se obtiene una única función sino toda una familia de funciones paralelas debido a la constante de integración. También presenta algunas reglas básicas para calcular integrales indefinidas.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada en matemáticas. Explica la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea de una función, y cómo la derivada representa la pendiente de la tangente a la curva de una función en un punto. También cubre conceptos como derivadas laterales y las reglas básicas para calcular derivadas. El documento proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos clave de la derivada.
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas difieren entre sí en una constante arbitraria. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes, sustitución y descomposición de fracciones para integrales racionales.
Este documento presenta las soluciones a un examen de cálculo numérico. En la primera sección, se piden determinar si cinco afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando contraejemplos si son falsas. La segunda sección contiene dos problemas que involucran el método de Newton y el esquema de diferencias divididas. El documento proporciona detalles completos sobre las soluciones a cada parte del examen.
Este documento explica los conceptos de interpolación polinómica y ajuste de curvas. En particular, describe dos métodos de interpolación polinómica: la interpolación polinómica de Lagrange y las diferencias divididas interpolantes de Newton. La interpolación polinómica de Lagrange construye un polinomio que pasa exactamente por los puntos de datos dados, mientras que el método de Newton es más algorítmico y útil para polinomios de alto grado. Ambos métodos se utilizan comúnmente para aproximar funciones a partir de un conjunto
El documento trata sobre conceptos fundamentales del cálculo diferencial como la derivada, la tasa de cambio promedio y la tasa de cambio instantánea. Explica que la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente en un punto. También define la tasa de cambio promedio como la pendiente de la recta secante entre dos puntos y analiza su relación con los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea.
Este documento trata sobre interpolación y aproximación polinomial. Explica que los polinomios son útiles para aproximar funciones continuas debido al teorema de Weierstrass. Describe dos métodos de interpolación polinomial: el método de Lagrange y el método de Newton. El método de Lagrange usa una fórmula general para determinar un polinomio que pasa por puntos de datos específicos. También analiza el error asociado con el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento trata sobre la integral indefinida. Se define la integral indefinida como el conjunto de todas las primitivas de una función. Se describen propiedades como linealidad y aditividad de la integral indefinida. Finalmente, se presentan métodos para calcular la integral indefinida como integración por sustitución, por partes e integrales inmediatas.
Este documento presenta tres métodos para aproximar e interpolar funciones mediante polinomios: el método de interpolación de Lagrange, el método de diferencias divididas de Newton y el método de Neville. Describe cada método y muestra ejemplos del desarrollo de polinomios de diferentes grados usando cada uno.
Semana 9 diferencial, introduccion, antiderivadas o primitivasVicenteSilva57
Este documento presenta una introducción a las diferenciales y antiderivadas. Explica conceptos como la definición de antiderivada, reglas para encontrar antiderivadas de funciones simples, teoremas sobre representación de antiderivadas y propiedades de las integrales indefinidas. También cubre ecuaciones diferenciales, incluyendo cómo encontrar soluciones completas y particulares así como condiciones iniciales.
Guia de estudio 5 (tema 5 ecuaciones diferenciales ordinarias)pedroperez683734
Este documento presenta tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias: el método de Euler, el método de Euler modificado y el método de Runge-Kutta. El método de Euler aproxima la solución usando la pendiente de la tangente en el punto inicial, mientras que el método de Euler modificado mejora esta aproximación tomando un promedio de pendientes. El método de Runge-Kutta es más preciso aún, calculando múltiples estimaciones de la pendiente y promediándolas para cada paso. Se proveen ejemplos numéricos para il
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida y cómo calcularla. Explica que la integral indefinida de una función es la antiderivada de esa función más una constante arbitraria C. Proporciona fórmulas para calcular la integral indefinida de funciones como potencias, exponenciales, seno y coseno. Finalmente, presenta propiedades clave de la integral indefinida como la linealidad y el cambio de variable constante.
Este documento introduce series de potencias y sus propiedades. Explica que una serie de potencias define una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia. Define puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial, y explica que en puntos ordinarios siempre se pueden encontrar dos soluciones en forma de serie de potencias. Presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El método de punto fijo permite resolver sistemas de ecuaciones no lineales transformando la ecuación f(x)=0 en la forma x=g(x). Se evalúa g(x) repetidamente para valores iniciales de x hasta que los resultados convergen, lo que indica que se ha encontrado la raíz. Si los resultados se alejan, la iteración diverge y se debe modificar la función g(x).
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas. Define la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica cómo calcular la pendiente de las rectas secante y tangente. Luego, presenta reglas para derivar funciones como constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, aplica estas reglas a ejemplos numéricos.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También explica el método de Newton-Raphson, el cual aproxima la solución iterativamente reemplazando la función por su tangente. Finalmente, describe criterios para detener las iteraciones de los métodos y asegurar la precisión de la aproximación.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También describe el método de Newton-Raphson, el cual aproxima la raíz iterativamente reemplazando la función por su tangente. Finalmente, discute criterios para detener las iteraciones de los métodos y protegerse contra resultados incorrectos.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También explica el método de Newton-Raphson, el cual aproxima la raíz iterativamente reemplazando la función por su tangente. Finalmente, discute criterios para detener las iteraciones de los métodos y protegerse contra resultados incorrectos.
El documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición, y el método de punto fijo. Explica los algoritmos de cada método y provee ejemplos numéricos y de código para ilustrar cómo implementarlos para encontrar raíces de funciones.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección involucra dividir repetidamente el intervalo que contiene la raíz buscada hasta alcanzar la precisión deseada. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones trazando la tangente a la función en cada punto e intersectándola con el eje x. El documento explica cada método con detalle y provee ejemplos numéricos de su aplicación.
El documento describe el símbolo de la integral y su significado matemático. Explica que la integral representa la antiderivada de una función y que al calcular la integral no se obtiene una única función sino toda una familia de funciones paralelas debido a la constante de integración. También presenta algunas reglas básicas para calcular integrales indefinidas.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada en matemáticas. Explica la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea de una función, y cómo la derivada representa la pendiente de la tangente a la curva de una función en un punto. También cubre conceptos como derivadas laterales y las reglas básicas para calcular derivadas. El documento proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos clave de la derivada.
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas difieren entre sí en una constante arbitraria. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes, sustitución y descomposición de fracciones para integrales racionales.
Este documento presenta las soluciones a un examen de cálculo numérico. En la primera sección, se piden determinar si cinco afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando contraejemplos si son falsas. La segunda sección contiene dos problemas que involucran el método de Newton y el esquema de diferencias divididas. El documento proporciona detalles completos sobre las soluciones a cada parte del examen.
Este documento explica los conceptos de interpolación polinómica y ajuste de curvas. En particular, describe dos métodos de interpolación polinómica: la interpolación polinómica de Lagrange y las diferencias divididas interpolantes de Newton. La interpolación polinómica de Lagrange construye un polinomio que pasa exactamente por los puntos de datos dados, mientras que el método de Newton es más algorítmico y útil para polinomios de alto grado. Ambos métodos se utilizan comúnmente para aproximar funciones a partir de un conjunto
El documento trata sobre conceptos fundamentales del cálculo diferencial como la derivada, la tasa de cambio promedio y la tasa de cambio instantánea. Explica que la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente en un punto. También define la tasa de cambio promedio como la pendiente de la recta secante entre dos puntos y analiza su relación con los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea.
Este documento trata sobre interpolación y aproximación polinomial. Explica que los polinomios son útiles para aproximar funciones continuas debido al teorema de Weierstrass. Describe dos métodos de interpolación polinomial: el método de Lagrange y el método de Newton. El método de Lagrange usa una fórmula general para determinar un polinomio que pasa por puntos de datos específicos. También analiza el error asociado con el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento trata sobre la integral indefinida. Se define la integral indefinida como el conjunto de todas las primitivas de una función. Se describen propiedades como linealidad y aditividad de la integral indefinida. Finalmente, se presentan métodos para calcular la integral indefinida como integración por sustitución, por partes e integrales inmediatas.
Este documento presenta tres métodos para aproximar e interpolar funciones mediante polinomios: el método de interpolación de Lagrange, el método de diferencias divididas de Newton y el método de Neville. Describe cada método y muestra ejemplos del desarrollo de polinomios de diferentes grados usando cada uno.
Semana 9 diferencial, introduccion, antiderivadas o primitivasVicenteSilva57
Este documento presenta una introducción a las diferenciales y antiderivadas. Explica conceptos como la definición de antiderivada, reglas para encontrar antiderivadas de funciones simples, teoremas sobre representación de antiderivadas y propiedades de las integrales indefinidas. También cubre ecuaciones diferenciales, incluyendo cómo encontrar soluciones completas y particulares así como condiciones iniciales.
Guia de estudio 5 (tema 5 ecuaciones diferenciales ordinarias)pedroperez683734
Este documento presenta tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias: el método de Euler, el método de Euler modificado y el método de Runge-Kutta. El método de Euler aproxima la solución usando la pendiente de la tangente en el punto inicial, mientras que el método de Euler modificado mejora esta aproximación tomando un promedio de pendientes. El método de Runge-Kutta es más preciso aún, calculando múltiples estimaciones de la pendiente y promediándolas para cada paso. Se proveen ejemplos numéricos para il
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida y cómo calcularla. Explica que la integral indefinida de una función es la antiderivada de esa función más una constante arbitraria C. Proporciona fórmulas para calcular la integral indefinida de funciones como potencias, exponenciales, seno y coseno. Finalmente, presenta propiedades clave de la integral indefinida como la linealidad y el cambio de variable constante.
Este documento introduce series de potencias y sus propiedades. Explica que una serie de potencias define una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia. Define puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial, y explica que en puntos ordinarios siempre se pueden encontrar dos soluciones en forma de serie de potencias. Presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El método de punto fijo permite resolver sistemas de ecuaciones no lineales transformando la ecuación f(x)=0 en la forma x=g(x). Se evalúa g(x) repetidamente para valores iniciales de x hasta que los resultados convergen, lo que indica que se ha encontrado la raíz. Si los resultados se alejan, la iteración diverge y se debe modificar la función g(x).
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas. Define la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica cómo calcular la pendiente de las rectas secante y tangente. Luego, presenta reglas para derivar funciones como constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, aplica estas reglas a ejemplos numéricos.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También explica el método de Newton-Raphson, el cual aproxima la solución iterativamente reemplazando la función por su tangente. Finalmente, describe criterios para detener las iteraciones de los métodos y asegurar la precisión de la aproximación.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También describe el método de Newton-Raphson, el cual aproxima la raíz iterativamente reemplazando la función por su tangente. Finalmente, discute criterios para detener las iteraciones de los métodos y protegerse contra resultados incorrectos.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También explica el método de Newton-Raphson, el cual aproxima la raíz iterativamente reemplazando la función por su tangente. Finalmente, discute criterios para detener las iteraciones de los métodos y protegerse contra resultados incorrectos.
El documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición, y el método de punto fijo. Explica los algoritmos de cada método y provee ejemplos numéricos y de código para ilustrar cómo implementarlos para encontrar raíces de funciones.
El documento resume los conceptos básicos de errores numéricos en cálculos aproximados. Explica que los métodos numéricos ofrecen soluciones aproximadas con un error respecto a las soluciones exactas. Define el error absoluto como la diferencia entre el valor verdadero y aproximado, y el error relativo como el error absoluto normalizado por el valor verdadero. Luego clasifica los errores numéricos en inherentes, de redondeo y por truncamiento, describiendo brevemente el origen y cálculo de cada tipo.
Este documento trata sobre aritmética de punto flotante, incluyendo representación de números, errores como overflow y underflow, corte y redondeo, medición de errores, propagación de errores al evaluar funciones, y un ejemplo de cálculo de error en el volumen de una pirámide triangular.
Este documento describe conceptos relacionados con distribuciones de probabilidad binomial y Poisson. Explica las fórmulas para calcular la probabilidad de éxitos en una distribución binomial y la varianza en distribuciones binomiales y de Poisson. Además, presenta ejemplos numéricos de cálculos de probabilidades para estas distribuciones.
1. El documento presenta ejemplos de diferentes distribuciones de probabilidad incluyendo distribución de Bernoulli, distribución de Poisson, distribución binomial, distribución gamma y distribución t-Student.
2. Se proporcionan ejemplos numéricos para calcular probabilidades usando cada una de estas distribuciones.
3. Los ejemplos cubren temas como lanzar dados, sacar boletos premiados, problemas en registros contables, tiempo de reparación y supervivencia de pacientes.
Este documento describe los diferentes tipos de errores que pueden ocurrir en métodos numéricos, incluyendo errores inherentes, de redondeo y por truncamiento. Explica cómo calcular el error absoluto y relativo, y discute los métodos de redondeo truncado y simétrico, dando ejemplos numéricos para ilustrar cada concepto.
1. El documento presenta ejemplos de diferentes distribuciones de probabilidad incluyendo distribución de Bernoulli, distribución binomial, distribución de Poisson, distribución gamma y distribución t-Student.
2. Se resuelven problemas estadísticos utilizando estas distribuciones como calcular probabilidades con diferentes parámetros.
3. Los ejemplos cubren temas como lanzar dados, sacar boletos premiados, problemas de producción y tiempo de reparación.
segundo parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene 4 ejercicios de análisis matemático con sus respectivas respuestas: 1) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de una función, 2) Calcular una integral definida, 3) Hallar el área de una región delimitada por curvas, 4) Estudiar la convergencia de una serie de potencias.
Este documento presenta una guía de estudio para la unidad curricular de Matemática V. Introduce los temas de sistemas numéricos y errores numéricos. Explica los conceptos de base, posición y valor de los dígitos en sistemas como el decimal y binario. Luego define el error absoluto, relativo y de truncamiento, y métodos para aproximar números como el redondeo y corte. Finalmente, describe la representación en coma flotante y la serie de Taylor para aproximar funciones.
Este documento trata sobre la interpolación polinómica, un método de interpolación numérica que aproxima un conjunto de datos por un polinomio. Explica que dado un número de puntos muestrales, se busca un polinomio que pase por todos los puntos. Describe formas de representar el polinomio de interpolación, incluyendo la forma de Lagrange que utiliza coeficientes de Lagrange.
El documento presenta los conceptos básicos sobre la presentación de resultados de mediciones, incluyendo la expresión del valor medido, su error absoluto y relativo. Explica que el resultado debe expresarse con su incertidumbre y cómo tratar los errores cuando el resultado proviene de una fórmula con varias variables.
El documento presenta los conceptos básicos sobre la presentación de resultados de mediciones e incertidumbres. Explica que el resultado de una medición es una cantidad aproximada con un error asociado dado por la incertidumbre. Además, detalla cómo calcular y expresar correctamente los errores absolutos y relativos de una medición simple o el resultado de una fórmula con varias variables.
El documento trata sobre los conceptos de estabilidad, condición y errores numéricos en cálculos matemáticos. Explica cómo pequeños cambios en los datos de entrada pueden amplificar el error en los resultados, y define el número condicionado como una medida de esto. También describe el error numérico total como la suma de los errores de truncamiento y redondeo, y diferentes tipos de errores como los de formulación, medición y equivocación. Finalmente incluye ejercicios resueltos como ejemplos.
El documento trata sobre los conceptos de estabilidad, condición y errores numéricos en cálculos matemáticos. Explica cómo pequeños cambios en los datos de entrada pueden amplificar el error en los resultados, y define el número condicionado como una medida de esto. También describe los diferentes tipos de errores numéricos como de truncamiento, redondeo y formulación, y cómo minimizarlos. Por último, presenta algunos ejercicios resueltos sobre cálculo de errores absolutos y relativos.
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
Este documento presenta varios ejemplos ilustrativos de las principales distribuciones de probabilidad como Bernoulli, Poisson, binomial, gamma y t-student. Cada ejemplo incluye los parámetros de la distribución y el cálculo de probabilidades relevantes para la situación planteada como la probabilidad de éxito, media, varianza u otros valores estadísticos. Los ejemplos cubren aplicaciones comunes de estas distribuciones en diferentes campos como estadística, contabilidad, ingeniería y medicina.
Conjunto de reglas que permiten
asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y, ...
• Permiten asignar un error al resultado final.
• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas
directas.
• Planificación del experimento.
1. ERRORES
Indice
1. Errores
2. Clases de errores
3. N´umeros en coma flotante
4. Aritm´etica del punto flotante
4.1. Errores
4.2. Operaciones en punto flotante
4.3. Problemas con operaciones en punto flotante
5. Algoritmos o m´etodos num´ericos
5.1. Convergencia y velocidad de convergencia
5.2. Estabilidad num´erica
5.3. Coste operativo y eficiencia
6. Conclusiones
1 Errores
Definici´on 1.1. Si p∗
es una aproximaci´on de p, el error absoluto es ∆p = |p − p∗
| , y
el error relativo es p = |p−p∗|
|p|
, siempre que p = 0.
Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocer´a con exactitud el
error absoluto (ni el relativo) de tomar p∗
como una aproximaci´on de p. Por tanto, se
pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanto m´as peque˜nas sean esas
cotas superiores, mejor ser´a la aproximaci´on.
Definici´on 1.2. Se dice que el n´umero p∗
aproxima a p = 0 con t d´ıgitos (o cifras)
significativos (exactos), si t es el mayor entero no negativo para el cual |p−p∗|
|p|
< 5 · 10−t
o sea, 5 · 10−t
es una cota superior del error relativo.
1
2. Ejemplo 1.3. Cota superior de |p − p∗
| para distintos valores de p tomando cuatro
d´ıgitos significativos para p∗
:
p 0.1 0.5 100 1000
max|p − p∗
| 0.00005 0.00025 0.05 0.5
As´ı para p = 0.1 se tiene:
|0.1 − p∗
|
|0.1|
< 5 · 10−4
luego, max|p − p∗
| < 0.1 · 5 · 10−4
y as´ı, 0.1 − 0.00005 < p∗
< 0.1 + 0.00005, o sea:
0.09995 < p∗
< 0.10005.
Y para p = 1000, se tiene 999.5 < p∗
< 1000.5.
2 Clases de errores
A) Errores en las entradas. Propagaci´on.
Los errores en las entradas o datos iniciales suelen ser consecuencia del hecho de que
nuestros datos provienen de un experimento y son inherentes a la imperfecci´on de las
medidas f´ısicas; o bien, se producen al tomar (de forma voluntaria) un n´umero limitado
de d´ıgitos para los datos de entrada.
A la hora de valorar el resultado obtenido en cualquier m´etodo num´erico es impor-
tante conocer la magnitud de dichos errores y c´omo se propagan.
Propagaci´on del error
Sea f : D ⊂ Rn
→ Rn
la funci´on que nos define el c´alculo a realizar, donde f viene
dada por yi = fi(x1, x2, ..., xn), para i = 1, . . . , m. Supongamos que f es de clase C1
(D).
Sea ∆x = |x − x∗
|, de forma que ∆xi = |xi − x∗
i |. Si reemplazamos los datos de entrada
x por los datos aproximados x∗
, el resultado de nuestro c´alculo ser´a y∗
= f(x∗
), en lugar
de y = f(x).
Aplicando Taylor, se tiene:
|yi − y∗
i | = |fi(x) − fi(x∗
)| ≈
n
j=1
|xj − x∗
j | ·
∂fi(x)
∂xj
.
As´ı, una forma de aproximar el efecto que tienen los datos de entrada en la salida (en
t´erminos de errores absolutos) es:
∆yi ≈
n
j=1
∂fi(x)
∂xj
· ∆xj.
2
3. Y, en terminos de errores relativos:
yi
=
∆yi
yi
≈
n
j=1
xj
fi(x)
∂fi(x)
∂xj
· xj
Al valor de
xj
fi(x)
∂fi(x)
∂xj
se le llama n´umero de condici´on.
Si aparece alg´un n´umero de condici´on grande, decimos que estamos ante un pro ble-
ma mal condicionado, en otro caso hablamos de un problema bien condicionado.
B) Errores de truncamiento o discretizaci´on
Los errores de truncamiento o discretizaci´on provienen, por ejemplo, de la sustituci´on
de una expresi´on continua por otra discreta (por ejemplo al aproximar la derivada de f
por una expresi´on en diferencias),
f (x0) ≈
f(x0 + h) − f(x0)
h
Usando el desarrollo de Taylor de f:
f(x0 + h) = f(x0) + f (x0)h +
1
2!
f (x0)h2
+
1
3!
f (x0)h3
+ · · ·
De donde,
f(x0 + h) − f(x0)
h
= f (x0) +
1
2!
f (x0)h +
1
3!
f (x0)h2
+ · · ·
As´ı el error cometido es
f(x0 + h) − f(x0)
h
− f (x0) =
1
2!
f (x0)h +
1
3!
f (x0)h2
+ · · · = O(h)
Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito
por uno finito (por ejemplo, truncando los t´erminos de una serie). Sea (an) una sucesi´on
de t´erminos no negativos, mon´otona decreciente y con limn→∞ an = 0, por el criterio de
Leibnitz, sabemos que si
S =
+∞
n=1
(−1)n
an y Sk =
k
n=1
(−1)n
an
se tiene:
∆S = |S − Sk| ≤ ak+1.
C) Errores de redondeo
Si trabajamos con ordenadores, los n´umeros reales se representan mediante aproxi-
maciones a dichos n´umeros (con un n´umero finito de d´ıgitos), lo cual produce un Error
de redondeo.
3
4. 3 N´umeros en coma flotante
Todo n´umero real se representa en el ordenador con un n´umero finito de d´ıgitos. As´ı
√
3
no tiene una representaci´on exacta. Se representa mediante una aproximaci´on.
Casi siempre la representaci´on y la aritm´etica computacional son satisfactorias y
pasan inadvertidas.
R se representa mediante un conjunto finito de n´umeros racionales que se representan
como n´umeros en punto flotante o n´umeros m´aquina.
Un n´umero en punto flotante tiene la forma ±m·bc
, donde b−1
≤ m < 1 ´o 1 ≤ m < b.
En un n´umero de punto flotante podemos distinguir:
• Signo
• Base (b)
• Exponente o caracter´ıstica (c)
• Mantisa o parte fraccionaria (m)
Por ejemplo, en notaci´on cient´ıfica normalizada en el sistema decimal (n´umeros
m´aquina decimales) x = ±r · 10n
donde 1
10
≤ r < 1 (´o 1 ≤ r < 10) (si x = 0) y
n ∈ Z . As´ı:
732.5051 = 0.7325051 · 103
(= 7.325051 · 102
)
−0.005612 = −0.5612 · 10−2
(= 5.612 · 10−3
)
En notaci´on cient´ıfica en el sistema binario x = ±q·2m
donde 1
2
≤ q < 1 (´o 1 ≤ q < 2)
(si x = 0) y m ∈ Z. As´ı:
10011.101001(2 = 0.10011101001(2 · 25
(= 1.0011101001(2 · 24
)
Ejemplo 3.1. En 1985, el IEEE (Institute for Electrical and Electronic Engineers,
http://standards.ieee.org) public´o la Norma de la aritm´etica binaria de punto flotante
754 (est´andar IEEE 754 de doble precisi´on).
Se representa con 64 bits y consta de:
• 1 bit de signo (0 positivo, 1 negativo )(s)
• 11 bits de exponente (c) en exceso 1023 ⇒ c − 1023 es el exponente
• 52 bits de mantisa (f) que se utiliza en la forma (1 + f).
• la base es 2.
Se obtiene
(−1)s
· 2c−1023
· (1 + f)
Tiene entre 15 y 16 d´´igitos decimales de precisi´on y un rango aproximado entre
10−308
y 10308
.
4
5. 4 Aritm´etica del punto florante
Por simplicidad, en lo que sigue, supongamos n´umeros m´aquina decimales:
±0.d1d2...dk · 10n
con 1 ≤ d1 ≤ 9, 0 ≤ di ≤ 9; i = 2, ..., k
Se puede normalizar cualquier n´umero real positivo y para convertirlo en
y = 0.d1d2...dkdk+1dk+2... · 10n
Si y est´a en el rango de la m´aquina puede ponerse en forma de punto flotante, fl(y),
tomando k d´ıgitos decimales. Hay dos maneras de elegir esos k d´ıgitos decimales: corte
y redondeo.
• En el corte simplemente se eliminan todos los d´ıgitos a partir del dk+1.
• En el redondeo se agrega 5 · 10n−(k+1)
a y y luego se realiza el corte. O sea,
si dk+1 ≥ 5 agregamos 1 a dk y cortamos,
si dk+1 < 5 simplemente cortamos.
Ejemplo 4.1. El n´umero π es un n´umero irracional, luego tiene una expresi´on decimal
infinita de la forma π = 3.14159265 . . . . En forma decimal normalizada es
π = 0.314159265 · · · · 101
El n´umero π en punto flotante con cinco d´ıgitos y corte se representa por
fl(π) = 0.31415 · 101
= 3.1415
Con redondeo ser´a
fl(π) = (0.31415 + 0.00001) · 101
= 3.1416
El error cometido al reemplazar un n´umero por su forma en punto flotante recibe
el nombre de error de redondeo independientemente de si se ha aplicado el m´etodo de
corte o de redondeo.
4.1 Errores
Proposici´on 4.2. El error absoluto en la representaci´on de un n´umero p = 0 en punto
flotante con t decimales, viene dado por:
|p − fl(p)| ≤ 5 · |p| · 10−t
· k
con k = 2 si es por corte y k = 1 si es por redondeo.
5
6. Demostraci´on. i) Caso de corte:
|p − fl(p)| =
= | ± 10q
· (0.d1d2 . . . dtdt+1 . . . ) − (±10q
· (0.d1d2 . . . dt))| =
= 10q−t
· (0.dt+1dt+2 . . . ) = 10q−t·(0.dt+1dt+2... )
10q·(0.d1d2... )
|p| =
= 10−t
· 0.dt+1dt+2...
0.d1d2...
· |p| ≤
≤ 10−t
· 1
0.1
· |p| = 10−t
· |p| · 5 · k
(con k = 2)
ii) Caso de redondeo:
|p − fl(p)| ≤ 10q
· 10−t
· 1
2
=
= 10q−t
· 1
2
· |p|
|p|
= 10q
· 10−t
· 1
2
· |p|
10q·(0.d1d2... )
=
= 1
2
· 10−t
· |p|
(0.d1d2... )
≤ 1
2
· 10−t
· |p|
0.1
=
0.5 · 10 · 10−t
· |p| = 5 · 10−t
· |p| · k
(con k = 1)
Corolario 4.3. El error relativo en la representaci´on de un n´umero p = 0 en punto
otante con t decimales viene dado por:
|p − fl(p)|
|p|
≤ 5 · 10−t
· k
(con k = 2 si es por corte y k = 1 si es por redondeo). Luego, si es por redondeo, fl(p)
aproxima a p con t d´ıgitos significativos.
4.2 Operaciones en punto flotante
Representamos las operaciones en la computadora mediante: ⊕ , , ⊗, . Supondremos
una aritm´etica de d´ıgitos finitos (equivale a realizar operaciones exactas sobre repre-
sentaciones de punto otante, y luego convertir el resultado exacto en su representaci´on
de punto flotante), viene definida por:
x ⊕ y = fl(fl(x) + fl(y))
x y = fl(fl(x) − fl(y))
x ⊗ y = fl(fl(x) × fl(y))
x y = fl(fl(x)/fl(y))
6
7. Ejemplo 4.4. Sean x = 1/3 e y = 5/7. En corte a cinco d´ıgitos tenemos
fl(x) = 0.33333 · 100
; fl(y) = 0.71428 · 100
Oper. Resultado Error abs. Error rel.
x ⊕ y 0.10476 · 101
0.190 · 10−5
0.182 · 10−4
x y −0.38095 · 100
0.238 · 10−5
0.625 · 10−5
x ⊗ y 0.23809 · 100
0.524 · 10−5
0.220 · 10−4
x y 0.46666 · 100
0.667 · 10−5
0.143 · 10−4
4.3 Problemas con operaciones en punto flotante
Comencemos con algunos ejemplos de operaciones en coma flotante, para luego indicar
algunos problemas que se observan en los ejemplos
y = 5/7 ⇒ fl(y) = 0.71428 · 100
u = 0.714251 ⇒ fl(u) = 0.71425 · 100
v = 98765.9 ⇒ fl(v) = 0.98765 · 105
w = 0.111111 · 10−4
⇒ fl(w) = 0.11111 · 10−4
Oper. Error abs. Error rel.
y u 0.472 · 10−5
0.136
(y u) w 0.425 0.136
(y u) ⊗ v 0.466 0.136
u ⊕ v 0.162 · 101
0.164 · 10−4
y w 0.779 0.122 · 10−4
Problemas:
• La divisi´on por un n´umero muy peque˜no (o la multiplicaci´on por un numero muy
grande) da un error absoluto muy grande. Si p lo representamos por p∗
+ , y
calculamos p/d, donde d es peque˜no, se obtendr´a un error aproximado de e/d y, si
d es muy peque˜no, el cociente ser´a muy grande.
• La sustracci´on de n´umeros casi iguales da errores relativos muy grandes: Sean x, y
(con x > y) tales que (con k d´ıgitos):
fl(x) = 0.d1d2 . . . dp · αp+1 . . . αk · 10n
fl(y) = 0.d1d2 . . . dp · βp+1 . . . βk · 10n
fl(fl(x) − fl(y)) = 0.γp+1 . . . γk · 10n−p
donde 0.αp+1 . . . αk − βp+1 . . . βk = 0.γp+1 . . . γk. As´ı x y tendr´a k − p d´ıgitos.
7
8. La p´erdida de d´ıgitos es peligrosa si se quiere mantener un error relativo peque˜no.
Recordemos que p∗
aproxima a p con t d´ıgitos significativos si:
|p − p∗
|
|p|
< 5 · 10−t
• La propagaci´on de estos errores al resto de c´alculos.
Podemos evitar estos problemas:
- minimizando el n´umero de operaciones,
- ordenando adecuadamente las operaciones,
- replanteando el problema en otros t´erminos.
Ejemplo 4.5. Resoluci´on de x2
+ 62.10 · x + 1 = 0.
Las ra´ıces aproximadas son
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
= −0.0161072
x2 = −
−b −
√
b2 − 4ac
2a
= −62.08390
Como b2
es mucho mayor que 4ac en el c´alculo de x1 el numerador tiene una resta de
n´umeros casi iguales.
Trabajando con redondeo a cuatro d´ıgitos tenemos que
√
b2 − 4ac =
√
3856 − 4 = 62.07
fl(x1) =
−62.10 + 62.06
2
= −0.15 · 10−1
y se obtiene un error relativo grande
| − 0.0161072 + 0.015|
|0.0161072|
≈ 6.9 · 10−1
El c´alculo de x2 no presenta ese problema (no aparece la resta).
Soluci´on: hacer desaparecer la resta en el c´alculo de x1.
x1 =
b2
− (b2
− 4ac)
2a(−b −
√
b2 − 4ac)
=
−2c
b +
√
b2 − 4ac
fl(x1) = −0.1611 · 10−1
8
9. y el error relativo es ahora:
| − 0.0161072 + 0.1611 · 10−1
|
|0.0161072|
≈ 2 · 10−4
En el caso de que b fuera negativo las cosas ocurrir´ıan exactamente al contrario. Para
x1 obtendr´ıamos una buena aproximaci´on y para x2 habr´ıa que considerar la segunda
opci´on.
Ejemplo 4.6. Evaluaci´on del polinomio P(x) = x3
− 6.1x2
+ 3.2x + 1.5 en el punto
x = 4.71 usando aritm´etica de tres d´ıgitos.
x x2
x3
6.1x2
3.2x
Exacto 4.71 22.1841 104.487 135.323 15.072
Corte 4.71 22.1 104. 135. 15.0
Redondeo 4.71 22.2 104. 135. 15.1
Exacto : P(4.71) = 104.487 − 135.323 + 15.072 + 1.5 = −14.2639
Corte a 3 d´ıgitos: P(4.71) = ((104. − 135.) + 15.0) + 1.5 = −14.5
Redondeo a 3 d´ıgitos: f(4.71) = ((104. − 135.) + 15.1) + 1.5 = −14.4
Errores relativos (con 3 d´ıgitos):
En corte: −14.2639−(−14.5)
−14.2639
≈ 0.017.
En redondeo: −14.2639−(−14.4)
−14.2639
≈ 0.00962.
Soluci´on: evaluar P(x) en forma anidada: P(x) = ((x − 6.1)x + 3.2)x + 1.5.
As´ı la evaluaci´on de P(x) en 4.71 queda:
En corte:
P(4.71) = −14.2
con un error relativo:
−14.2639 + 14.2
−14.2639
≈ 0.0045
En redondeo:
P(4.71) = −14.3
con un error relativo:
−14.2639 + 14.3
−14.2639
≈ 0.0026
9
10. 5 Algoritmos o m´etodos num´ericos
Un algoritmo es un procedimiento que describe, sin ninguna ambig¨uedad, una sucesi´on
finita de pasos a realizar en un orden espec´ıfico. Si estos pasos consisten en operaciones
aritm´etico-l´ogicas conducentes a la soluci´on num´erica de un cierto problema, el algoritmo
ser´a llamado num´erico o tambi´en m´etodo num´erico.
Hay dos tipos de m´etodos: m´etodos directos y m´etodos iterativos.
A) M´etodos directos
Son aquellos que, al menos te´oricamente y supuesta la ausencia de errores, en un n´umero
finito de pasos conducen a la soluci´on exacta del problema. Por ejemplo: la regla de
Cramer para la soluci´on de un sistema lineal compatible determinado.
B) M´etodos iterativos
Son m´etodos que utilizan sucesiones, que nos proporcionan aproximaciones cada vez
mejores de la soluci´on buscada.
Por ejemplo, usemos el desarrollo en serie del n´umero e para aproximar su valor.
e =
+∞
n=0
1
n!
se tiene:
S0 = 1, S1 = 1 + 1, S2 = 1 + 1 +
1
2!
, Sn = 1 + 1 +
1
2!
+ · · · +
1
n!
que proporcionar´an aproximaciones a e, cuanto mayor sea n.
5.1 Convergencia y velocidad de convergencia
Definici´on 5.1. La aplicaci´on de un m´etodo iterativo conduce a una sucesi´on (sn) de
aproximaciones de la soluci´on s buscada. Se dice que el m´etodo es convergente si dicha
sucesi´on es convergente a la soluci´on del problema sobre el que se aplica.
Definici´on 5.2. La velocidad u orden de convergencia de un m´etodo iterativo conver-
gente ((sn) → s) es el mayor n´umero real q, tal que existe el l´ımite
limn→∞
|sn+1 − s|
|sn − s|q
= C = 0
No es necesario que tal q exista, y si existe, no necesariamente es un entero.
• Si q = 1, decimos que la convergencia es lineal.
• Si q = 2, decimos que la convergencia es cuadr´atica.
• Si q > 1, decimos que la convergencia es superlineal.
A la constante C se le suele llamar constante de error asint´otico.
10
11. 5.2 Estabilidad num´erica
Diremos que un m´etodo num´erico es inestable cuando peque˜nos errores en algunas de
sus etapas generan, a lo largo del resto del proceso, errores que degradan seriamente la
exactitud de los resultados del c´alculo en su conjunto.
Sea por ejemplo,
In =
1
0
xn
· ex−1
dx ∀n ∈ N
Aplicando integraci´on por partes, se llega a :
In = 1 − nIn−1,
para n = 2, 3, . . . , siendo I1 = 1/e.
Si aplicamos la f´ormula recurrente anterior y tomando 6 cifras en la representaci´on
num´erica, se tiene:
I1 ≈ 0.367879 I2 ≈ 0.264242 I3 ≈ 0.207274
I4 ≈ 0.170904 I5 ≈ 0.145480 I6 ≈ 0.127120
I7 ≈ 0.110160 I8 ≈ 0.118720 I9 ≈ −0.0684800??
El valor de I9 no puede ser correcto puesto que para todo n, In expresa el ´area de la
regi´on del primer cuadrante delimitada por la funci´on xn
ex−1
, para valores de x entre 0
y 1. Esta funci´on es positiva en [0, 1], luego In ≥ 0.
5.3 Coste operativo y eficiencia
El n´umero de operaciones elementales que un m´etodo necesita en su aplicaci´on se de-
nomina coste operativo y supone una medida de lo que se denomina complejidad del
m´etodo. Para cada problema suele haber varios m´etodos posibles, ¿c´omo elegir entre
ellos?
Una posibilidad ser´ıa: elegir el m´etodo que diese menos errores. Hay otra posibilidad
mejor: quedarse con el m´etodo que, dando errores dentro de unos l´ımites predetermina-
dos, necesite el menor trabajo.
Este equilibrio entre precisi´on y coste operativo se llama eficiencia, y diremos que
un m´etodo es m´as eficiente que otro si, dando errores parecidos es menos costoso, o que
siendo parecido de costoso es m´as preciso.
6 Conclusiones
• Los c´alculos num´ericos pueden ser inexactos.
• El error final de un proceso de c´alculo efectivo es fruto de la acumulaci´on de distin-
tos tipos de errores. Unos iniciales (de entrada, redondeo de los datos, truncadura
del problema, ...) y otros generados a lo largo del proceso.
11
12. • El aumento de la precisi´on (aumento de las unidades de memoria para almacenar
los n´umeros), en general reduce el error final. No obstante, a veces conviene
sacrificar precisi´on frente a econom´ıa de tiempo o de recursos. (Un equilibrio entre
precisi´on suficiente y coste adecuado se le suele llamar eficiencia).
• Hay operaciones o procesos de c´alculo que propagan fuertemente los errores de
redondeo, operaciones o algoritmos inestables (inestabilidad num´erica).
• Hay problemas que tienen una naturaleza que los hace especialmente sensibles a la
variaci´on de los datos, problemas mal condicionados. Para cierto tipo de problemas
se puede definir una medida de esta sensibilidad mediante un n´umero de condici´on.
Lectura recomendada: Cap´ıtulo 4 del texto: I. Mart´ın Llorente, V.M. P´erez Garc´ıa:
C´alculo Num´erico para computaci´on en Ciencia e Ingenier´ıa, ed. Sintesis.
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