Este documento presenta cuatro ejercicios de análisis numérico para ser resueltos y enviados antes del 25 de noviembre de 2014. El primer ejercicio pide aproximar una integral mediante la regla del punto medio. El segundo estima el error al aproximar otra integral usando el método del trapecio. El tercero encuentra el número de particiones n necesario para que el método de Simpson alcance una precisión dada. El cuarto evalúa una integral mediante la cuadratura de Gauss para n=2 y compara el resultado con el exacto

1. UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
Facultad de Ingeniería
Evaluación de Análisis Numérico 10%
Actividad Virtual II 10%
Nombres y Apellidos:_ José Armando Valladares Loyo CI:__24001921__
Sección:_______SAIA C_____________ Fecha:__ 25/11/2014 ___
EJERCICIOS 10%
Facilitador: Prof. José E. Linárez
Reciban un cordial saludo los siguientes ejercicios propuestos deberán resolverlos y
enviarlos al link correspondiente hasta el 25/11/2014 pueden enviarlas utilizando
cualquier argumento, escaneo, Word, entre otros. Nota deben participar luego en el
foro de soluciones para poder ser evaluado.
1,6
0
1. Mediante la regla del punto medio y con n = 4, aproximar la ∫ 푠푒푛푥2푑푥
Solución:
REGLA DEL PUNTO MEDIO
Sea f una función continua en [a, b]. La regla del punto medio para aproximar su
integral viene dada por:
푏
∫ 푓(푥)푑푥
푎
≈
푏 − 푎
푛
푛
Σ푓
푖=1
(푥̅푖 )
Donde xi es el punto medio del i-ésimo subintervalo [푥푖−1, 푥푖 ], es decir, 푥̅푖 =
푥푖−1+푥푖
2
푓(푥) = 푠푒푛푥2, 푝푎푟푎 푎 = 0; 푏 = 1,6 푦 푛 = 4, 푠푒 푡푖푒푛푒:
Δ푥 =
푏 − 푎
푛
Δ푥 =
1,6 − 0
4
= 0,4
Por lo que:

2. 푥0 = 푎 = 0
푥1 = 푥0 + Δ푥 = 0 + 0,4 = 0,4
푥2 = 푥1 + Δ푥 = 0,4 + 0,4 = 0,8
푥3 = 푥2 + Δ푥 = 0,8 + 0,4 = 1,2
푥4 = 푥3 + Δ푥 = 1,2 + 0,4 = 1,6 = 푏
푥̅1 =
푥0 + 푥1
2
=
0 + 0,4
2
= 0,2; 푥̅2 =
푥1 + 푥2
2
= 0,6; 푥̅3 =
푥2 + 푥3
2
= 1,0; 푥̅4 =
푥3 + 푥4
2
= 1,4
Luego:
1,6
∫ 푠푒푛푥2푑푥
0
4
≈ Δ푥 · Σ푓
푖=1
(푥̅푖 )
1,6
∫ 푠푒푛푥2푑푥
0
≈ Δ푥 · [푓(푥̅1) + 푓(푥̅2) + 푓(푥̅3) + 푓(푥̅4)]
1,6
∫ 푠푒푛푥2푑푥
0
≈ 4 · [푓(0,2) + 푓(0,6) + 푓(1,0) + 푓(1,4)]
1,6
∫ 푠푒푛푥2푑푥
0
≈ 4 · [푠푒푛(0,22) + 푠푒푛(0,62) + 푠푒푛(1,02) + 푠푒푛(1,42)]
1,6
∫ 푠푒푛푥2푑푥
0
≈ 8,635784292
2. Mediante la regla del trapecio estimar el error que se comete cuando se
aproxima la ∫ 푒−푥2
푑푥
2
0
con n=10
Solución:
Una cota para el error del método del trapecio para una partición de 푛 es dado por
|퐸푇 | ≤
(푏 − 푎)3
12푛2 푀푇
los valores de 푎 y 푏 son conocidos el valor de 푛 es el que debemos encontrar, por lo
tanto, debemos primero encontrar un valor para 푀푇 , para esto, recordemos que
푀푇 ≤ sup
푥∈[푎,푏]
|푓′′(푥)|
por lo cual debemos conocer la segunda derivada, en este caso sabemos que para

3. 푓(푥) = 푒−푥2
Se tienen las derivadas:
푓′(푥) = 푒−푥2
(−2푥)
푓′′(푥) = 푒−푥2 (−2푥)(−2푥) + 푒−푥2
(−2)
푓′′(푥) = 4푥2푒−푥2
− 2푒−푥2
푓′′(푥) = 푒−푥2
(4푥2 − 2)
Por lo que solo debemos acotar |푓′′(푥)| , para esto previamente acotamos 푒−푥2
, como:
0 ≤ 푥 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 푥2 ≤ 4
Multiplicando por -1 a ambos miembros:
−4 ≤ −푥2 ≤ 0
Mediante la función exponencial:
푒−4 ≤ 푒−푥2
≤ 푒0 = 1
Portando:
푒−푥2
≤ 1
Quedando acotado el primer factor, para el segundo factor partimos de 0 ≤ 푥 ≤ 2
con lo cual:
0 ≤ 푥 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 푥2 ≤ 4
Multiplicando por 4 ambos miembros:
0 ≤ 4푥2 ≤ 16
Restando 2

4. −2 ≤ 4푥2 − 2 ≤ 16 − 2
Tomando valor absoluto:
−14 ≤ −2 ≤ 4푥2 − 2 ≤ 14
|4푥2 − 2| ≤ 14
Luego:
|푓′′(푥)| = |푒−푥2
(4푥2 − 2)| = |푒−푥2
||4푥2 − 2| ≤ 1 · 14
|푓′′(푥)| ≤ 14
Por lo que:
푀푇 = 14
El error para n = 10 nos queda:
|퐸푇 | ≤
(푏 − 푎)3
12푛2 푀푇 =
(2 − 0)3
12 · 102 14
Por lo que tenemos:
|퐸푇 | ≤ 0,093333333
De todo lo anterior se obtiene que para 푛 = 10 particiones se obtiene un error
menor o igual a 0,093333333.
3. Hallar el numero n tal que la aproximación a través de la regla de Simpson de la
∫ 푒 2 푥2
0
푑푥 tenga una exactitud de 0,0001
Solución
Una cota para el error del método de Simpson para una partición de 푛
subintervalos es dado por
|퐸푆| ≤
(푏 − 푎)5
180푛4 푀푆
Los valores de 푎 y 푏 son conocidos el valor de 푛 es el que debemos encontrar,
por lo tanto, debemos primero encontrar un valor para 푀푠, para esto, recordemos que
푀푆 ≤ 푠푢푝
푥∈[푎,푏]
|푓(푖푣)(푥)|

5. Por lo tanto debemos conocer la cuarta derivada, en este caso sabemos del ejercicio
anterior,
푓′′(푥) = 푒−푥2
(4푥2 − 2)
Derivando nuevamente:
푓′′′(푥) = 푒−푥2
(−2푥)(4푥2 − 2) + 푒−푥2
8푥
푓′′′(푥) = 푒−푥2 [(−2푥)(4푥2 − 2) + 8푥]
푓′′′(푥) = 푒−푥2
(−8푥3 + 12푥)
푓(푖푣)(푥) = 푒−푥2
(−2푥)(−8푥3 + 12푥) + 푒−푥2 (−24푥2 + 12)
푓(푖푣)(푥) = 푒−푥2 (16푥4 − 24푥2 − 24푥2 + 12)
푓(푖푣)(푥) = 4푒−푥2
(4푥4 − 12푥2 + 3)
Así, para hallar 푀푆 tenemos que acotar |푓(푖푣)(푥)| , para esto primero acotamos al igual
que en ejercicio anterior: 푒−푥2
para 0 ≤ 푥 ≤ 2 y obtenemos
푒−푥2
≤ 1
Quedando acotado el primer término.
Para el segundo término utilizaremos la desigualdad triangular en los reales (es decir,
|푎 + 푏 + 푐| ≤ |푎| + |푏| + |푐|) y obtenemos
|4푥4 − 12푥2 + 3| ≤ |4푥4| + |−12푥2| + |3| = 3 + 12|푥2| + 4|푥4|
Por lo tanto, lo único que es necesario acotar es: |푥2| y |푥4| a partir de 0 ≤ 푥 ≤ 2, de lo
cual tenemos
|푥2| ≤ 4
|푥4| ≤ 16
Sustituyendo en la desigualdad anterior aseguramos que
|3 − 12푥2 + 4푥4| ≤ 3 + 12(4) + 4(16) = 115

6. Y así, podemos elegir: 푀푆 = 4(115) = 460.
La cota del el error tomara la forma
|퐸푆| ≤
(3)5
180푛4 460 =
111780
180푛4
donde estamos buscando a su vez que sea menor que 0,0001 es decir,
111780
180푛4 < 0,0001
Despejando n tenemos:
√
111780
180 · 0,0001
4
= 49,91980728 < 푛
Tomando el siguiente valor entero par, en este caso 푛 = 50 particiones lo cual
garantiza un error menor o igual a 0,0001.
4. Use el método de la cuadratura de Gauss para evaluar la ∫
푑푥
3+푥2
1
−1
Para n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después compárelo con el
resultado exacto.
Número de puntos, n Puntos, xi Pesos, wi
1 0 2
2 ±√1/3 1
3
0 8⁄9
±√3/5 5⁄9
4
±√(3 − 2√6/5)/7
18 + √30
36
±√(3 + 2√6/5)/7
18 − √30
36
5
0 128⁄225
±
1
3
√5 − 2√10/7
322 + 13√70
900
±
1
3
√5 + 2√10/7
322 − 13√70
900

7. Para n = 2:
2n – 1 = 2·2 – 1 = 3
Se tiene para:
푓(푥) =
1
3 + 푥2
Para n = 2 se puede resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de
grado igual o menor a 3 para f(x).
∫
푑푥
3 + 푥2
1
−1
1 − (−1)
≈ Σ휔푖푓 (
2
푥푖 +
1 + (−1)
2
)
2
푖=1
∫
푑푥
3 + 푥2
1
−1
= 휔1푓(푥1) + 휔2푓(푥2)
∫
푑푥
3 + 푥2
1
−1
≈ 1 · 푓 (−
1
√3
) + 1 · 푓 (−
1
√3
)
∫
푑푥
3 + 푥2
1
−1
≈
1
3 + (−
1
√3
2 +
)
1
1
√3
3 + (
2
)
∫
푑푥
3 + 푥2
1
−1
≈
1
3 +
1
3
+
1
3 +
1
3
=
1
10
3
+
1
10
3
∫
푑푥
3 + 푥2
1
−1
≈ 0,6
Te deseo el mayor de los éxitos.
Prof: José E. Linárez