La distribución binomial negativa describe el número de fracasos necesarios para obtener un número determinado de éxitos. Tiene como características que la probabilidad de no ocurrencia es cero, depende del número de éxitos considerados, y concluye cuando se obtengan dichos éxitos. Existen tres formas típicas de trabajar con ella: valores fijos, función de distribución acumulada fija, y función de distribución acumulada que tiende al infinito. Se provee un ejemplo para ilustrar su aplicación.

1. Distribución Binomial Negativa
Se llama así debido a que se invierte una faceta de la distribución binomial: en un experimento binomial,
se cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos; por ejemplo, estarías contando cuántos ases
puedes sacar de n cantidad de cartas. En un experimento binomial negativo, contarías las fallas necesarias
para alcanzar el éxito n cantidad de veces, es decir, cuántas cartas te lleva elegir dos ases de los n ases.
Tiene las siguientes características:
• La probabilidad de no ocurrencia es inexistente, debido a que debe contemplarse al menos 1a vez
el éxito.
• Esto también implica que la función de distribución depende de los éxitos que se consideren.
• El proceso concluirá cuando se obtenga un determinado número de resultados favorables r
• Cada prueba puede dar dos resultados posibles mutuamente excluyentes (p éxito o q fracaso)
• La probabilidad de obtener éxito o fracaso en cada prueba es fija por lo que p+q = 1
• Para esta distribución se asume independencia entre cada ensayo.
La función de probabilidad de x está dada por:
𝑓(𝑥) = (
𝑥 − 1
𝑟 − 1
) ∗ 𝑝𝑟
∗ (1 − 𝑝)𝑥−𝑟
Cuando r ≤ x ; r > 0
Esta parte de la fórmula es un principio de orden combinatorio, del tipo nCr
(
𝑥 − 1
𝑟 − 1
) … (𝑥 − 1)𝐶(𝑟 − 1)
Donde n sería (x-1) en Combinación con… mientras que r sería (r-1); En la calculadora puede efectuarse la
resta manualmente antes de generar los coeficientes nCr para evitar problemas.

2. Formas de trabajar con la distribución Binomial Negativa:
Casos típicos
1. Función de probabilidad – Valores fijos
Es la aplicación directa de la fórmula, tiene como criterios:
x = Una observación cualquiera (evento independiente que toma un solo valor)
r = El r-ésimo éxito, una observación deliberada (evento dependiente que toma un solo valor > 1)
p = La probabilidad generalizada (constante)
𝑓(𝑥) = (
𝑥 − 1
𝑟 − 1
) ∗ 𝑝𝑟
∗ (1 − 𝑝)𝑥−𝑟
Cuando r ≤ x ; r > 0
2. Función de distribución acumulada fija ( 𝑋 ≤ 𝑥 ) – Cuando x varia
Es la aplicación repetida de la fórmula en un rango, que tiene como criterios:
x = Observaciones cualesquiera dentro del rango (varía desde r hasta el límite definido)
r = El r-ésimo éxito, una observación deliberada (constante)
p = probabilidad generalizada (constante)
∑ (Se contempla un escenario de sumatoria de probabilidades)
Ej. 𝒓 = 𝟑; 𝑃 (𝑥 ≤ 𝟔) = 𝑃(𝒙 = 𝟑) + 𝑃 (𝑥 = 4) + 𝑃 (𝑥 = 5) + 𝑃 (𝒙 = 𝟔)

3. 𝑓(𝑥) = (
𝑥 − 1
𝑟 − 1
) ∗ 𝑝𝑟
∗ (1 − 𝑝)𝑥−𝑟
Cuando r ≤ x ; r > 0
Caso atípico
3. Función de distribución acumulada que tiende al infinito ( 𝑋 ≥ 𝑥 ) – Cuando x varia
Es la aplicación repetida de la fórmula cuyo rango tiende al infinito, tiene como criterios:
x = Observaciones cualesquiera dentro del rango (varía, no se puede calcular directo y debe ser ≥ que r)
r = El r-ésimo éxito, una observación deliberada (constante)
p = probabilidad generalizada (constante)
1 – x = Debe de aplicarse el recurso del 1 (cuya suma de probabilidades es el 100%)
∑ (Se contempla un escenario de sumatoria de probabilidades)
Nota: Los valores para x los cuales restaremos del 1, se determinan a partir de r
Ej. 𝑃 (𝑥 > )
5 , donde r = 3
1 – 𝑃 (𝒙 = 𝟑) + 𝑃 (𝑥 = 4) + 𝑃 (𝑥 = )
5
Me cercioro de obtener los valores por encima de x…
¡Ojo! No se toman en cuenta los valores por debajo de r para x…

4. Ejemplo de aplicación:
Supóngase que al viajar al trabajo cada mañana, un conductor se topa con un semáforo el cual está en
verde el 20% de las veces que pasa por ahí.
Cuál será la probabilidad de que la luz esté en verde:
a) Una mañana de como máximo 5 días
b) Dos mañanas en más de 3 días
c) La segunda mañana del cuarto día que pasa por ahí
d) ¿Cuál es el número esperado de días que tienen que pasar para que el conductor vea el semáforo en
verde por cuarta vez?
Tip para resolver problemas con distribución binomial negativa
¿ Cómo saber quién es xy quién r ?
xrepresenta siempre el evento independiente que abarca tanto los éxitos como los no éxitos.
r representa siempre el evento dependiente de x que solamente contempla los éxitos (lo que buscamos
demostrar).
Ejemplos:
Si en medicina se quiere inocular ratas, para verificar un tratamiento haga efecto, todas las ratas
representan x, mientras que aquellas en las que el tratamiento haya surtido efecto serán r
Si en una báscula electrónica se pesan paquetes en un centro de distribución de mensajería y quisiera
determinarse si existen paquetes que exceden el peso permitido, todos los paquetes serían x mientras
que aquellos que excedan el peso permitido serían r

5. a. Una mañana de como máximo 5 días
Para poder resolver:
Paso 1. Identificar x y r
x es el evento independiente: los días
r es el evento dependiente: las mañanas
Paso 2. Se determina el caso y se plantea matemáticamente:
1 mañana de como máximo 5 días (𝑥 ≤ 5)
X varia y sería el 2do caso.
Paso 3. Se extraen los valores para el caso 2
Función de distribución acumulada fija
De acuerdo al ejercicio: Supóngase que al viajar al trabajo cada mañana, una persona se topa con un
semáforo el cual está en verde el 20% de las veces que pasa por ahí. Calcular probabilidad de:
1 mañana de como máximo 5 días (𝑥 ≤ 5)
Se contemplan los elementos para la fórmula:
x = Varia, puede tomar valores del 1 (porque r es 1) al 5 (días)
r = Constante, toma el valor del 1 (mañana)
p = Constante, 20% (0.2)
∑ (Se contempla un escenario de sumatoria de probabilidades)

6. Paso 4. Realizar operaciones
Sustituyendo:
𝑓(𝑥 = 1) = (
1 − 1
1 − 1
) ∗ 0.21
∗ (1 − 0.2)1−1
= 0.2
Esto aplicaría para 1 día y a 1 mañana…
Y se vería en calculadora como: 0nCr0 * 0.21
* 0.80
Si queremos calcular entre a lo más cinco días debiéramos de describir la función de distribución
acumulada de las probabilidades hasta 5.
Como la probabilidad acumulada de 1 día a como máximo 5 días:
P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) + P (x = 5)
𝑓(𝑥 = 2) = (
2 − 1
1 − 1
) ∗ 0.21
∗ (1 − 0.2)2−1
= 0.16
𝑓(𝑥 = 3) = (
3 − 1
1 − 1
) ∗ 0.21
∗ (1 − 0.2)3−1
= 0.128
𝑓(𝑥 = 4) = (
4 − 1
1 − 1
) ∗ 0.21
∗ (1 − 0.2)4−1
= 0.1024
𝑓(𝑥 = 5) = (
5 − 1
1 − 1
) ∗ 0.21
∗ (1 − 0.2)5−1
= 0.08192
Luego sumamos P (x ≤ 5):
0.2 + 0.16 + 0.128 + 0.1024 + 0.08192 = 0.67232
a) Existe una probabilidad del 67% de que el conductor se tope con luz verde una mañana de entre a lo
más cinco días.

7. b. Dos mañanas en más de 3 días
Paso 1. Identificar x y r. x > 3 ; r = 2
Paso 2. Definir el caso. 1 – (x ≤ 3), Caso 3.
Paso 3. Extraer valores para el caso.
2 mañanas en más de 3 días 1 – (x ≤ 3)
x = Varia, puede tomar valores de 4 en adelante. (varía y debe ser ≥ que r)
r = Constante, toma en valor de 2 (mañana)
p = Constante, 0.2
1 – x = Debe de aplicarse el recurso del 1 (cuya suma de probabilidades es el 100%)
∑ (Se contempla un escenario de sumatoria de probabilidades)
Paso 4. Realizar operaciones
1 – (x ≤ 3) = 1 – ( P (x = 2) + P (x = 3) )
Recordar que x debe de ser mayor o igual que r
Esto es porque si consideramos 2 mañanas en 1 día carece de sentido…
𝑓 (𝑥 = 1) = (
1 − 1
2 − 1
) ∗ 0.22
∗ (1 − 0.2)1−2
= Error,
parámetros fuera del rango

8. Continuación del paso 4
1 – (x ≤ 3) = 1 – ( P (x = 2) + P (x = 3) )
𝑓 (𝑥 = 2) = (
2 − 1
2 − 1
) ∗ 0.22
∗ (1 − 0.2)2−2
= 0.04
𝑓 (𝑥 = 3) = (
3 − 1
2 − 1
) ∗ 0.22
∗ (1 − 0.2)3−2
= 0.064
1 – (0.04 + 0.64) = 0.896
Existe una probabilidad del 89% de que el conductor encuentre la luz en verde dos mañanas en más de
tres días.
c. La segunda mañana del cuarto día que pasa por ahí
Caso 1, valores fijos.
x = 4
r = 2
p = 0.2
𝑓 (𝑥 = 4) = (
4 − 1
2 − 1
) ∗ 0.22
∗ (1 − 0.2)4−2
= 0.0768
La probabilidad de que la segunda mañana en que la luz esté en verde sea el cuarto día en que el conductor
se aproxima al semáforo es del 8% aproximadamente.

9. d. ¿Cuál es el número esperado de días que tienen que pasar para que el
conductor vea el semáforo en verde por cuarta vez?
Para calcular esto lo único que debe hacerse es calcular el valor esperado.
𝐸(𝑋) =
𝑟
𝑝
=
4 (𝑚𝑎ñ𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜)
0.2 (20% 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒)
= 20 𝑑í𝑎𝑠
Donde r para este caso sería 4 (el r-esimo éxito deseado) y p la probabilidad fija del evento 0.2
Nota: Ver el semáforo en verde por cuarta vez es el equivalente a plantear 4 mañanas en las que ocurre
el éxito.
Téngase en cuenta que:
é𝑥𝑖𝑡𝑜
𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒
= 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 (éxitos + no éxitos)

10. Ejercicio:
Suponga que hay una probabilidad del 80% de que una determinada persona creerá una historia sobre
las aventuras de una famosa actriz.
¿Cuál es la probabilidad de que?:
a. la sexta persona que escucha esta historia sea la cuarta en creerla
b. la tercera persona que conozca esta historia sea la primera a creerla
c. Número esperado de personas que se espera se requieren para creer la historia por onceava vez.
Resultados
a) Resp.: 0.1638
b) Resp.: 0.032
c) 13.75 = alrededor de 14 personas