Este manual presenta conceptos y ejercicios de álgebra para preparación pre-universitaria. Explica temas como expresiones algebraicas, exponentes, ecuaciones exponenciales, grado de polinomios, operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división. Incluye métodos para resolver diferentes tipos de ejercicios y factorizar expresiones algebraicas. El objetivo es desarrollar las habilidades necesarias para tener éxito en los estudios superiores.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con operaciones con números complejos. Los ejercicios incluyen representar números complejos en forma binómica y polar, calcular opuestos, conjugados, módulos y argumentos, resolver ecuaciones complejas y hallar raíces. Las soluciones se proporcionan paso a paso con detalles algebraicos y gráficos.
Descarga Exámenes de Bachillerato Internacional Matemáticas Nivel Medio Prueba 2 TZ0 Mayo 2016.
Clases particulares de Matemáticas y Física IB.
Matemáticas Análisis y Enfoques NM Matemáticas Aplicaciones e Interpretación NM.
Exámenes de Bachillerato Internacional (BI).
Matemáticas Análisis y Enfoques NS Matemáticas Aplicaciones e Interpretación NS.
1. El documento presenta 47 problemas matemáticos relacionados con polinomios. Los problemas abarcan temas como calcular el grado de polinomios, determinar si polinomios son homogéneos o completos, hallar valores de variables en polinomios, y realizar operaciones con polinomios como sumas y sustituciones.
2. Los problemas van desde determinar el grado de un polinomio dado hasta operaciones más complejas como hallar el valor de expresiones algebraicas dadas ciertas condiciones sobre polinomios.
3. El
Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano8236345
1) Explica las diferentes formas de representar una recta en el plano cartesiano, incluyendo la ecuación general, reducida, simétrica y paramétrica. 2) Detalla cómo determinar la posición relativa de dos rectas basado en si comparten cero, un punto o infinitos puntos. 3) Resume el procedimiento para encontrar la intersección de dos rectas resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones.
El documento explica los sistemas de numeración, incluyendo el sistema decimal y el sistema binario. El sistema decimal se basa en agrupar números de diez en diez usando los dígitos del 0 al 9. El sistema binario se basa en agrupar números de dos en dos usando solo los dígitos 0 y 1. El documento también cubre conceptos como el valor absoluto y relativo de las cifras en un número y los números capicuos.
El documento presenta ejercicios sobre potencias y raíces cuadradas. Incluye ejercicios para calcular potencias, expresar números en forma polinómica y de potencia, realizar operaciones con potencias, hallar raíces cuadradas y expresar problemas de la vida real en forma de potencia. El documento contiene 24 ejercicios sobre este tema de matemáticas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre notación científica. Los estudiantes deben expresar números dados en notación exponencial y viceversa, identificar si relaciones dadas entre números y exponentes son correctas o incorrectas, y expresar números en notación científica. El documento proporciona instrucciones sobre la notación científica para que los estudiantes puedan completar los ejercicios.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con operaciones con números complejos. Los ejercicios incluyen representar números complejos en forma binómica y polar, calcular opuestos, conjugados, módulos y argumentos, resolver ecuaciones complejas y hallar raíces. Las soluciones se proporcionan paso a paso con detalles algebraicos y gráficos.
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1. El documento presenta 47 problemas matemáticos relacionados con polinomios. Los problemas abarcan temas como calcular el grado de polinomios, determinar si polinomios son homogéneos o completos, hallar valores de variables en polinomios, y realizar operaciones con polinomios como sumas y sustituciones.
2. Los problemas van desde determinar el grado de un polinomio dado hasta operaciones más complejas como hallar el valor de expresiones algebraicas dadas ciertas condiciones sobre polinomios.
3. El
Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano8236345
1) Explica las diferentes formas de representar una recta en el plano cartesiano, incluyendo la ecuación general, reducida, simétrica y paramétrica. 2) Detalla cómo determinar la posición relativa de dos rectas basado en si comparten cero, un punto o infinitos puntos. 3) Resume el procedimiento para encontrar la intersección de dos rectas resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones.
El documento explica los sistemas de numeración, incluyendo el sistema decimal y el sistema binario. El sistema decimal se basa en agrupar números de diez en diez usando los dígitos del 0 al 9. El sistema binario se basa en agrupar números de dos en dos usando solo los dígitos 0 y 1. El documento también cubre conceptos como el valor absoluto y relativo de las cifras en un número y los números capicuos.
El documento presenta ejercicios sobre potencias y raíces cuadradas. Incluye ejercicios para calcular potencias, expresar números en forma polinómica y de potencia, realizar operaciones con potencias, hallar raíces cuadradas y expresar problemas de la vida real en forma de potencia. El documento contiene 24 ejercicios sobre este tema de matemáticas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre notación científica. Los estudiantes deben expresar números dados en notación exponencial y viceversa, identificar si relaciones dadas entre números y exponentes son correctas o incorrectas, y expresar números en notación científica. El documento proporciona instrucciones sobre la notación científica para que los estudiantes puedan completar los ejercicios.
Este documento presenta 15 problemas de matemáticas y sus soluciones. Los problemas cubren temas como geometría, álgebra, proporcionalidad directa e inversa y operaciones con conjuntos y números reales. Cada problema viene acompañado de varias opciones de respuesta.
Este documento presenta 17 ejercicios de matemática sobre exponentes y raíces. El autor es el Lic. Leonardo E. Ticona Laqui, quien mantiene un blog de matemática. Los ejercicios incluyen operaciones con exponentes, raíces y variables. Al final se incluyen algunas preguntas de práctica adicionales para que los estudiantes continúen practicando en casa.
El documento describe las sucesiones de Fibonacci y cómo sus términos se aproximan al número áureo a medida que aumentan. Comienza con una pareja de conejos y explica cómo la población crece cada mes según la sucesión de Fibonacci. Luego muestra cómo dividir términos consecutivos de la sucesión conduce a números que se aproximan al número áureo. Finalmente, representa gráficamente la sucesión usando cuadrados y rectángulos cuyas proporciones también se aproximan al número áureo.
El documento presenta 5 problemas de cálculo de límites y resoluciones. Calcula límites como lim x->a (a-ax)/(a-x)(a+ax+x), lim x->-1 (x2-6x+3)/(3x(x-3)) y otros. También incluye hallar valores de funciones como P(x) para x=0.5.
El documento trata sobre el origen y desarrollo de los números y los sistemas de numeración. Explica que los primeros seres humanos aprendieron a contar por necesidad para actividades como la caza. Primero contaban con los dedos y luego usaron otras herramientas como piedras o marcas. El primer sistema de numeración fue el quinario, que contaba de cinco en cinco. Más tarde surgió el sistema decimal basado en los diez dedos, que fue adoptado universalmente por su practicidad. Finalmente, introduce diferentes tipos de sucesiones numéric
The document discusses solving polynomial equations. It begins by explaining quadratic equations, including how to solve them by factoring or using the quadratic formula. It then introduces polynomial equations of higher degree and methods for determining their real or complex roots, including the fundamental theorem of algebra. Examples are provided to illustrate solving quadratic and polynomial equations using these various methods.
Este documento presenta 20 problemas resueltos relacionados con sistemas de medición angular como grados, radianes y sexagesimales. Los problemas incluyen conversiones entre sistemas, cálculos angulares y relaciones entre las medidas en diferentes sistemas.
Este documento presenta las propiedades y aplicaciones del máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de números. Explica que el MCD y MCM de números elevados a la misma potencia son iguales a esos mismos números elevados a esa potencia. También cubre cómo calcular el MCD y MCM de varios números y aplicar estas propiedades a problemas matemáticos.
Este documento presenta conceptos sobre magnitudes proporcionales e inversamente proporcionales, y cómo resolver problemas utilizando la regla de tres. Explica que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando una aumenta o disminuye al mismo tiempo que la otra, e inversamente proporcionales cuando una aumenta mientras la otra disminuye. Luego detalla los tres métodos para resolver problemas de regla de tres: reducción a la unidad, proposiciones y práctico. Finalmente, resuelve ejemplos numéricos aplicando estos conceptos.
1. El documento presenta fórmulas para calcular el área de diferentes figuras circulares como círculos, sectores circulares, segmentos circulares, coronas circulares.
2. Incluye ejercicios prácticos de aplicación de estas fórmulas para hallar áreas de figuras geométricas que incluyen uno o más de estos elementos circulares.
3. Finalmente, proporciona una serie de problemas con opciones de respuesta para que el estudiante practique cálculos de áreas de regiones que incluyen figuras circulares.
El documento presenta 12 problemas de promedios, estadística y probabilidad. Los problemas incluyen calcular promedios aritméticos y geométricos de conjuntos de números dados sus características, determinar valores desconocidos a partir de promedios y sumas provistas, y resolver ecuaciones con varias incógnitas relacionadas con promedios.
Muestra de algunas páginas de la presentación final gráficas senoidales y sus características. Espero que sea de provecho esta pequeña muestra. Si desean la presentación completa favor visitar www.matematicaspr.com. Tambien tenemos en el blog de www.matematicaspr.com esta publicación con link a la presentacion interactiva.
The document provides exercises in English for students learning pronouns, verbs like "to be" and "have", and tenses like present simple and present continuous. It includes filling in blanks with the correct forms of verbs, writing sentences in the affirmative, negative and interrogative, and translating English sentences to Spanish. The exercises focus on foundational grammar concepts for beginner English students.
Divisibilidad ii(crietrios de divisibilidad)JENNER HUAMAN
El documento presenta información sobre criterios de divisibilidad. Explica reglas para determinar si un número es divisible entre 2, 4, 8, 3 o 9, 5, 25, 125, 7, 11, 13, 33 y 99. Incluye ejemplos y aplicaciones de problemas relacionados a la divisibilidad.
Este documento presenta 13 ejercicios de lógica matemática y habilidades de razonamiento, junto con sus soluciones. Los ejercicios involucran situaciones como amigos que se sientan en el cine, caballos que compiten en una carrera, y figuras geométricas. El documento provee las respuestas correctas a cada ejercicio.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre integración básica. En el primer ejercicio, se resuelven integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas. En el segundo ejercicio, se resuelven integrales indefinidas mediante el uso de cambios de variable apropiados. En el tercer ejercicio, se aplica el método de integración por partes para resolver integrales indefinidas.
Este documento presenta un trabajo de investigación sobre la resolución de inecuaciones trigonométricas. El autor busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía sobre este tema. El proceso de resolución se explica de manera clara para que los lectores no tengan dificultades. El trabajo contiene capítulos sobre cuestiones previas, ejercicios preliminares y la resolución de inecuaciones trigonométricas.
Este documento presenta un auxiliar didáctico para la enseñanza de la lectoescritura. Fue elaborado por maestros de una zona escolar en México para fortalecer el rendimiento docente y ayudar a los alumnos a adquirir la lectura y escritura en primer grado. Incluye diferentes métodos de enseñanza y sugiere que los maestros usen su creatividad para aplicarlo de manera efectiva.
Este documento presenta una serie de 15 ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales y problemas relacionados. Los ejercicios cubren temas como resolver sistemas por sustitución, igualación, reducción o el método más adecuado, identificar si un sistema tiene solución única, múltiples soluciones o ninguna solución, y resolver sistemas relacionados con problemas de la vida real como precios, mezclas, velocidad y geometría.
El documento contiene definiciones y fórmulas para calcular áreas y volúmenes de diferentes sólidos geométricos como prismas, paralelepípedos, cilindros, pirámides, conos y esferas. Se describen sus características y cómo desarrollar sus superficies laterales. Se incluyen también ejemplos numéricos de cálculos con estas figuras.
Este manual de preparación pre-universitaria en álgebra presenta conceptos fundamentales como expresiones algebraicas, exponentes, polinomios y operaciones algebraicas. Explica estos temas de manera didáctica a través de ejemplos resueltos y propuestos. El objetivo es ayudar a los estudiantes a evaluarse y prepararse para sus estudios superiores en matemáticas. Incluye también un DVD interactivo para reforzar los conceptos de manera amena.
Este documento presenta un manual de preparación pre-universitaria en álgebra. Explica conceptos fundamentales como expresiones algebraicas, exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico de expresiones. Incluye secciones sobre polinomios, expresiones algebraicas, divisibilidad algebraica, factorización y más. Contiene numerosos ejercicios resueltos y propuestos para que los estudiantes practiquen y evalúen sus habilidades en álgebra.
Este documento presenta 15 problemas de matemáticas y sus soluciones. Los problemas cubren temas como geometría, álgebra, proporcionalidad directa e inversa y operaciones con conjuntos y números reales. Cada problema viene acompañado de varias opciones de respuesta.
Este documento presenta 17 ejercicios de matemática sobre exponentes y raíces. El autor es el Lic. Leonardo E. Ticona Laqui, quien mantiene un blog de matemática. Los ejercicios incluyen operaciones con exponentes, raíces y variables. Al final se incluyen algunas preguntas de práctica adicionales para que los estudiantes continúen practicando en casa.
El documento describe las sucesiones de Fibonacci y cómo sus términos se aproximan al número áureo a medida que aumentan. Comienza con una pareja de conejos y explica cómo la población crece cada mes según la sucesión de Fibonacci. Luego muestra cómo dividir términos consecutivos de la sucesión conduce a números que se aproximan al número áureo. Finalmente, representa gráficamente la sucesión usando cuadrados y rectángulos cuyas proporciones también se aproximan al número áureo.
El documento presenta 5 problemas de cálculo de límites y resoluciones. Calcula límites como lim x->a (a-ax)/(a-x)(a+ax+x), lim x->-1 (x2-6x+3)/(3x(x-3)) y otros. También incluye hallar valores de funciones como P(x) para x=0.5.
El documento trata sobre el origen y desarrollo de los números y los sistemas de numeración. Explica que los primeros seres humanos aprendieron a contar por necesidad para actividades como la caza. Primero contaban con los dedos y luego usaron otras herramientas como piedras o marcas. El primer sistema de numeración fue el quinario, que contaba de cinco en cinco. Más tarde surgió el sistema decimal basado en los diez dedos, que fue adoptado universalmente por su practicidad. Finalmente, introduce diferentes tipos de sucesiones numéric
The document discusses solving polynomial equations. It begins by explaining quadratic equations, including how to solve them by factoring or using the quadratic formula. It then introduces polynomial equations of higher degree and methods for determining their real or complex roots, including the fundamental theorem of algebra. Examples are provided to illustrate solving quadratic and polynomial equations using these various methods.
Este documento presenta 20 problemas resueltos relacionados con sistemas de medición angular como grados, radianes y sexagesimales. Los problemas incluyen conversiones entre sistemas, cálculos angulares y relaciones entre las medidas en diferentes sistemas.
Este documento presenta las propiedades y aplicaciones del máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de números. Explica que el MCD y MCM de números elevados a la misma potencia son iguales a esos mismos números elevados a esa potencia. También cubre cómo calcular el MCD y MCM de varios números y aplicar estas propiedades a problemas matemáticos.
Este documento presenta conceptos sobre magnitudes proporcionales e inversamente proporcionales, y cómo resolver problemas utilizando la regla de tres. Explica que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando una aumenta o disminuye al mismo tiempo que la otra, e inversamente proporcionales cuando una aumenta mientras la otra disminuye. Luego detalla los tres métodos para resolver problemas de regla de tres: reducción a la unidad, proposiciones y práctico. Finalmente, resuelve ejemplos numéricos aplicando estos conceptos.
1. El documento presenta fórmulas para calcular el área de diferentes figuras circulares como círculos, sectores circulares, segmentos circulares, coronas circulares.
2. Incluye ejercicios prácticos de aplicación de estas fórmulas para hallar áreas de figuras geométricas que incluyen uno o más de estos elementos circulares.
3. Finalmente, proporciona una serie de problemas con opciones de respuesta para que el estudiante practique cálculos de áreas de regiones que incluyen figuras circulares.
El documento presenta 12 problemas de promedios, estadística y probabilidad. Los problemas incluyen calcular promedios aritméticos y geométricos de conjuntos de números dados sus características, determinar valores desconocidos a partir de promedios y sumas provistas, y resolver ecuaciones con varias incógnitas relacionadas con promedios.
Muestra de algunas páginas de la presentación final gráficas senoidales y sus características. Espero que sea de provecho esta pequeña muestra. Si desean la presentación completa favor visitar www.matematicaspr.com. Tambien tenemos en el blog de www.matematicaspr.com esta publicación con link a la presentacion interactiva.
The document provides exercises in English for students learning pronouns, verbs like "to be" and "have", and tenses like present simple and present continuous. It includes filling in blanks with the correct forms of verbs, writing sentences in the affirmative, negative and interrogative, and translating English sentences to Spanish. The exercises focus on foundational grammar concepts for beginner English students.
Divisibilidad ii(crietrios de divisibilidad)JENNER HUAMAN
El documento presenta información sobre criterios de divisibilidad. Explica reglas para determinar si un número es divisible entre 2, 4, 8, 3 o 9, 5, 25, 125, 7, 11, 13, 33 y 99. Incluye ejemplos y aplicaciones de problemas relacionados a la divisibilidad.
Este documento presenta 13 ejercicios de lógica matemática y habilidades de razonamiento, junto con sus soluciones. Los ejercicios involucran situaciones como amigos que se sientan en el cine, caballos que compiten en una carrera, y figuras geométricas. El documento provee las respuestas correctas a cada ejercicio.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre integración básica. En el primer ejercicio, se resuelven integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas. En el segundo ejercicio, se resuelven integrales indefinidas mediante el uso de cambios de variable apropiados. En el tercer ejercicio, se aplica el método de integración por partes para resolver integrales indefinidas.
Este documento presenta un trabajo de investigación sobre la resolución de inecuaciones trigonométricas. El autor busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía sobre este tema. El proceso de resolución se explica de manera clara para que los lectores no tengan dificultades. El trabajo contiene capítulos sobre cuestiones previas, ejercicios preliminares y la resolución de inecuaciones trigonométricas.
Este documento presenta un auxiliar didáctico para la enseñanza de la lectoescritura. Fue elaborado por maestros de una zona escolar en México para fortalecer el rendimiento docente y ayudar a los alumnos a adquirir la lectura y escritura en primer grado. Incluye diferentes métodos de enseñanza y sugiere que los maestros usen su creatividad para aplicarlo de manera efectiva.
Este documento presenta una serie de 15 ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales y problemas relacionados. Los ejercicios cubren temas como resolver sistemas por sustitución, igualación, reducción o el método más adecuado, identificar si un sistema tiene solución única, múltiples soluciones o ninguna solución, y resolver sistemas relacionados con problemas de la vida real como precios, mezclas, velocidad y geometría.
El documento contiene definiciones y fórmulas para calcular áreas y volúmenes de diferentes sólidos geométricos como prismas, paralelepípedos, cilindros, pirámides, conos y esferas. Se describen sus características y cómo desarrollar sus superficies laterales. Se incluyen también ejemplos numéricos de cálculos con estas figuras.
Este manual de preparación pre-universitaria en álgebra presenta conceptos fundamentales como expresiones algebraicas, exponentes, polinomios y operaciones algebraicas. Explica estos temas de manera didáctica a través de ejemplos resueltos y propuestos. El objetivo es ayudar a los estudiantes a evaluarse y prepararse para sus estudios superiores en matemáticas. Incluye también un DVD interactivo para reforzar los conceptos de manera amena.
Este documento presenta un manual de preparación pre-universitaria en álgebra. Explica conceptos fundamentales como expresiones algebraicas, exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico de expresiones. Incluye secciones sobre polinomios, expresiones algebraicas, divisibilidad algebraica, factorización y más. Contiene numerosos ejercicios resueltos y propuestos para que los estudiantes practiquen y evalúen sus habilidades en álgebra.
Este documento presenta un manual de preparación pre-universitaria en álgebra. Explica conceptos fundamentales como expresiones algebraicas, exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico de expresiones. Incluye secciones sobre polinomios, expresiones algebraicas, divisibilidad algebraica, factorización y más. Contiene numerosos ejercicios resueltos y propuestos para que los estudiantes practiquen y evalúen sus habilidades en álgebra. El objetivo es preparar a los estudiantes para sus estudios universitarios mediante el domin
Este documento presenta un manual de preparación pre-universitaria en Álgebra. Explica conceptos fundamentales como expresiones algebraicas, exponentes, polinomios y operaciones algebraicas. Incluye numerosos ejercicios resueltos y propuestos para que los estudiantes practiquen y evalúen sus habilidades antes de ingresar a la universidad.
Este documento presenta un manual sobre los números reales y el lenguaje algebraico para estudiantes de secundaria. Incluye secciones sobre los diferentes tipos de números reales como enteros, racionales e irracionales, así como operaciones básicas con ellos. También cubre temas algebraicos como expresiones algebraicas, operaciones con polinomios y ecuaciones. El objetivo es proveer a los estudiantes los conocimientos necesarios sobre estos fundamentos matemáticos.
Este documento presenta una guía de estudio para la Prueba de Aptitud de admisiones a posgrados. Explica que la prueba evalúa el potencial académico del estudiante y contiene secciones de razonamiento verbal, matemático y redacción indirecta. Provee sugerencias para contestar los diferentes tipos de ejercicios y una prueba de práctica con respuestas para que el estudiante se prepare.
Este documento presenta un resumen de tres capítulos de la Enciclopedia del Lenguaje C. Introduce los conceptos básicos del lenguaje C como su historia, elementos sintácticos, tipos de datos, variables, funciones, entrada y salida de datos, y sentencias de control. Explica cómo escribir, compilar y depurar programas simples en C.
El documento presenta información sobre el Programa de Evaluación y Admisión Universitaria (PEAU) de CollegeBoard para Puerto Rico y América Latina, incluyendo las pruebas de aptitud académica y aprovechamiento académico. Explica que PEAU ayuda a sistematizar los procesos de evaluación y admisión universitaria y promueve la excelencia educativa. Además, incluye ejemplos de ejercicios de las pruebas y sugerencias para contestarlos.
Guia de-estudio-2011-2012 college boardPaola Ponci
El College Board tiene tres objetivos principales: 1) conectar a los estudiantes con el éxito y las oportunidades universitarias, 2) ofrecer programas y servicios para preparar a los estudiantes para la transición exitosa a la universidad, y 3) servir a la comunidad educativa a través de la investigación y la defensa de los estudiantes, educadores y escuelas.
Este documento presenta un curso avanzado de matemáticas que incluye variable compleja, cálculo diferencial y integral complejo, series de Taylor y Laurent, teorema del residuo, funciones ortogonales como series de Fourier, polinomios de Legendre, función Gamma y funciones de Bessel. El documento contiene 14 capítulos y 3 apéndices con tablas de transformadas de Fourier.
El documento presenta un manual de fórmulas matemáticas que incluye secciones de álgebra, aritmética, lógica, teoría de conjuntos, sistemas de numeración, operaciones básicas, fracciones, razones y proporciones, geometría y sistemas de medidas. El manual resume más de 4000 años de desarrollo matemático y pretende servir como obra de consulta general para estudiantes.
Este documento presenta un manual de fórmulas matemáticas que cubre temas como lógica matemática, teoría de conjuntos, aritmética, álgebra, sistemas de numeración, operaciones básicas, fracciones, sistemas de medidas, proporciones, interés simple y reglas comerciales. El manual fue preparado por un equipo de estudiantes y profesores para servir como recurso educativo que ayude a los estudiantes a prepararse para la universidad. El documento incluye más de 4,000 años de desarrollo de
Este documento es la introducción del libro "Eloquent JavaScript 3ra edición" por Marijn Haverbeke. Explica que el libro cubre temas sobre programación en JavaScript como valores, tipos, operadores, estructura de programas, funciones, objetos, arrays y más. También agradece a los artistas que contribuyeron ilustraciones y menciona que la tercera edición fue posible gracias al apoyo de 325 patrocinadores.
Muestra una ayuda contextual para cada escenario.
Barra de estado: Muestra información sobre la aplicación, como el usuario que está trabajando, la fecha,
hora, nombre del presupuesto, número de registros, etc.
Árbol de navegación: Permite navegar entre los diferentes escenarios y subescenarios del módulo de
presupuestos. Cada escenario tiene un ícono representativo.
Panel de contenido: Es la ventana principal donde se muestra la información del escenario seleccionado
en el árbol de navegación. Aquí se registra, mod
Este documento presenta una guía de estudio para la Prueba de Aptitud Académica (PAA) administrada por el College Board. La guía describe los componentes de la prueba, incluyendo secciones de razonamiento verbal, matemático y redacción; ofrece sugerencias para contestar los diferentes tipos de ejercicios; y provee una prueba de práctica con respuestas para que los estudiantes se preparen. El objetivo es ayudar a los estudiantes a familiarizarse con el formato y contenido de la prueba para que
Este documento es una guía de estudio para la Prueba de Aptitud Académica (PAA) del College Board. Proporciona una descripción general de la prueba, incluyendo sus componentes de razonamiento verbal, matemático y redacción. Incluye sugerencias para contestar los diferentes tipos de ejercicios, ejemplos de ejercicios de práctica con respuestas, y material de estudio sobre conceptos verbales, matemáticos y de redacción necesarios para la prueba. El propósito es ayudar a los
Este documento presenta una guía de estudio para la Prueba de Aptitud Académica (PAA) del College Board. La guía explica que la PAA evalúa el razonamiento verbal, matemático y la redacción en español de los estudiantes. Incluye sugerencias para contestar los diferentes tipos de ejercicios, ejemplos de preguntas de práctica con respuestas, y conceptos que los estudiantes deben conocer para prepararse para la prueba. El objetivo de la guía es ayudar a los estudiantes a
Este documento presenta una guía de estudio para la Prueba de Aptitud Académica (PAA) del College Board. La guía explica que la PAA evalúa el razonamiento verbal, matemático y la redacción en español de los estudiantes. Incluye sugerencias para contestar los diferentes tipos de ejercicios, ejemplos de preguntas de práctica con respuestas, y conceptos que los estudiantes deben conocer para prepararse para la prueba. El objetivo de la guía es ayudar a los estudiantes a
Este documento presenta una guía de estudio para la Prueba de Aptitud Académica (PAA) del College Board. La guía describe los componentes de la prueba, incluyendo secciones de razonamiento verbal, matemático y redacción indirecta. Además, explica los diferentes tipos de ejercicios, ofrece sugerencias para contestarlos y provee una prueba de práctica con respuestas. El propósito de la guía es ayudar a los estudiantes a prepararse de manera efectiva para la PAA.
4. PRESENTACIÓN
Si usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materias
de mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y
superior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirán el
dominio progresivo y la maestría avanzada en el tema, ha abierto el libro apro-
piado.
Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodológicos ten-
dientes a mejorar la articulación teórica y práctica entre el nivel secundario y
la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirva
como herramienta de auto-evaluación para los alumnos que se encuentran en
etapa pre-universitaria. De esta manera, ellos mismos serán capaces de juzgar
sus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores.
Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificado
para la redacción de esta obra, conformado por estudiantes universitarios y
docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparación pre-univer-
sitaria en Álgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios,
usando métodos apropiados, fáciles y amigables.
Este manual conduce al lector de una manera didáctica a lo largo de la asigna-
tura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo, con numerosos ejercicios
resueltos y propuestos, brindándole de esta manera una base muy sólida para
que destaque durante su paso por las aulas universitarias, al ostentar adecua-
do conocimiento y dominio de la materia.
Un DVD, producido con la más alta tecnología digital e infográfica, acompaña
esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre
en términos entendibles y amenos. Es prácticamente como tener un profesor
en casa a tiempo completo.
Los Editores
14. Á L G E B R A
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
El álgebra es la parte de la matemática que estudia a Es necesario aclarar que todas las expresiones que
la cantidad en su forma más general obteniendo ge- tienen números y letras son expresiones algebraicas;
neralizaciones sobre el comportamiento operacional a excepción de las últimas tres, que reciben el nom-
de los números. Estudia de esta manera, funciones bre de funciones trascendentes y que son utilizadas
numéricas; para lo cual se emplea números, letras y muy a menudo en el cálculo superior. Para una
signos de operación. mayor ilustración, indicaremos la definición de las
siguientes funciones trascendentes:
Como el estudio de una función conduce finalmente
al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice Función exponencial.- Representada por una base nu-
también que el álgebra es la ciencia que estudia las mérica y un exponente literal, como por ejemplo:
ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos 7x (base = 7, exponente = x).
son analizados a continuación:
Función logarítmica.- Representada por el símbolo
EXPRESIÓN ALGEBRAICA “log.” y que se toma en una cierta base a un determi-
nado número. Ejemplo: logb N y se lee logaritmo en
Es el conjunto de números y letras unidos entre sí base b del número N.
por los signos de operación de la suma, la resta, la
multiplicación, la división, la potenciación y la radi- Función trigonométrica.- Representada por las fun-
cación.(*) ciones seno, coseno, tangente y sus complementos
Ejemplos: aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que
se lee: “seno de x”.
Son expresiones algebraicas las siguientes:
i) x CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
ii) 4x
Según el tipo de número o variable de sus expo-
2 2
iii) 4x + 5y + 7z 2 nentes, radicales o denominadores las expresiones al-
_________ gebraicas pueden clasificarse en:
3x5 + 7 √ x2 - 5xy4
iv) ________________
3x2y - 3xy7
{ { Enteras
No son expresiones algebraicas: Racionales
Expresiones Fraccionarias
i) 5x
Algebraicas
ii) loga x Irracionales
iii) sen x
(*)Las letras son empleadas tanto para repre-
sentar valores conocidos o datos (en este a) Expresión algebraica racional
caso; por convención, se usa las primeras Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
letras del alfabeto) como valores desconoci- nentes enteros o no tiene letras en su cantidad su-
dos (se usa las últimas letras del alfabeto). bradical (es decir, al interior de la raíz).
- 13 -
15. Ejemplos:
α Ejemplos:
α
i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 i) 5x1/2 + 7y1/3 + 8z1/5
ii) 4x -7 + 2y -3 + 11z -7
ii) 4x -1/3 + 8y -1/5 + 7z -1/8
1 1 1 ________ __
iii) –– x4 + –– x8 + –– x4
3 5 3 iii) √4x2 + 5y2 + 8 √z
x2 4z2 2z3 2 7 8
iv) –––– + –––– + –––– iv) –––– + –––– + ––––
3yz 7xy 2
9y4 __ __ __
√x √y √z
NOTA:
___
v) 4x20 + 5y8 +7x14 + 9 √xyz
Se entiende por cantidad subradical a la parte de una
raíz que se encuentra en el interior del radical. De este
modo: Resumen de las características de las expresiones
__ algebraicas.
n
√A , se lee “raíz n de A”
Donde n = índice, A = cantidad subradical
α
{ {
Racionales Enteras
Exponente Exponente
a.1) Expresión algebraica racional entera
entero entero positivo
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- Subradical Denominador
nentes enteros positivos o no tiene letras en su sin letras sin letras
denominador.
Ejemplos: Fraccionarias
Expresiones Exponente
i) 2x2 + 5y7 + 12y15 Algebraica entero negativo
1– 1– 1– Denominador
ii) –– + –– + –– z4 con letras
3x 5y 4
iii) 4x2 y3 z4 - 8w4 t5 Irracionales
Exponente
a.2) Expresión algebraica racional fraccionaria fracción
Subradical
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
con letras
nentes negativos o tiene letras en su denominador.
Ejemplos:
TÉRMINO ALGEBRAICO
i) 4x -3 + 7y -9 + 12z -4
Es aquella expresión algebraica cuyas partes no es-
1– 2– 7–
ii) –– + –– + –––2 tán separadas ni por el signo más ni por el signo
3x 5y 4z menos. En otras palabras, un término algebraico es
4x2 + 3y3 + 7z4 un monomio.
iii) ––––––––––––
4x5 + 5yz
Ejemplos:
iv) 4x4 + 5y3 + 8z5 + 9t-2
i) 4x2
b) Expresión algebraica irracional
ii) +5y3z4
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
nentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad iii) -3x4y5z8
subradical.
- 14 -
16. Á L G E B R A
Partes de un Término Algebraico LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES
Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.
coeficiente Se escribe la base común y como exponente se escri-
be la suma de ellos.
(-7) x4 exponente
am. an = am+n
parte literal
Ejemplos:
i) x5 . x7 = x5+7 = x12
TEORIA DE EXPONENTES ii) x8. x6. x-3. x-8. x12 = x8+6-3-8+12 = x15
La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar to-
das las clases de exponentes que existen y las relacio- iii) 2m+3. 2m+4. 24-2m = 2m+3+m+4+4-2m = 211 = 2 048
nes que se dan entre ellos.
División de Potencias de Bases Iguales.
La operación que permite la presencia del exponente
es la potenciación, la cual se define así: Se escribe la base común y como exponente se escri-
be la diferencia de dichos exponentes.
POTENCIACIÓN
am
Es la operación que consiste en repetir un número ––– = am-n
an
llamado base tantas veces como factor, como lo indi-
Ejemplos:
que otro llamado exponente; al resultado de esta ope-
ración se le denomina potencia, y se representa así: x8
i) ––– = x8-3
x3
Potencia = (base)exponente
x12
ii) ––– = x12-(-3) = x12+3 = x15
Ejemplos: x-3
i) 27 = 144424443= 128 2m+3
2.2.2.2.2.2.2 iii) –––– = 2m+3-(m-3) = 2m+3-m+3 = 26 = 64
2m-3
7 factores 2
5x+2 . 5x+3 5x+2+x+3 52x+5
ii) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125 iv) –––––––– = –––––– = ––––
14243 52x+1 52x+1 52x+1
5 factores 5 = 52x+5- (2x+1) = 54 = 625
iii) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096 Exponente Cero.
1442443
6 factores 4 Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero,
es igual a la unidad. Así:
En general:
a0 = 1, donde: a ≠ 0
an = a . a . a . a . … . a
1442443
“n” factores a Ejemplos:
0
NOTA: i) 57 = 51 = 5
0
Recuerdese que para efectos del estudio algebrai- 2
9 1
co, la base es literal y el exponente es numérico: ii) 4 = 42 = 42 = 16
x5, y4, z8, etc. iii) 24
0
+ 57
0
+ 87
0
= 2 + 5 + 8 = 15
- 15 -
17. Exponente Negativo
α Potencia Negativa de un Cociente.
α
Toda cantidad diferente de cero, elevada a un expo- Se invierte el cociente y la potencia se transforma en
nente negativo, es igual a una fracción cuyo numera- positiva. Luego, puede procederse como en el caso
dor es 1 y cuyo denominador es igual a la misma ex- anterior.
presión pero con el signo del exponente cambiado a
positivo. Así:
1
() ()
–– = -n
a
b
––
bn
a-n = –– , donde: a ≠ 0 Ejemplos:
an
Ejemplos: i) () ()
2 -2 5 2 52 25
–– = –– = –– = –––
5 2 22 4
2
1 a
i) x-3 = –– ii) –– = a2b4
x3 b4
() ()
1 -3 5 3
ii) –– = –– = 53 = 125
5 1
1 a-3 b5
iii) 2-1 = –– = 0,5 iv) –– = ––
() () () () () ()
1 -2 1 -3 1 -4 2 2 3 3 4
2 b-5 a3 5
iii) –– + –– + –– = –– + –– + ––
2 3 5 1 1 1
Potencia de un Producto.
Es igual a elevar cada factor a dicha potencia. Potencia de Potencia.
= 4 + 27 + 625 = 656
Se escribe la misma base y el nuevo exponente es
α
(a.b)n = an. bn igual al producto de los exponentes.
Ejemplos:
(am)n = am . n
i) (a . b)5 = a5.b5
Ejemplos:
___ 2
ii) (√3x ) = 3x2 i) (x2)3 = x(2)(3) = x6
iii) x4y4 = (xy)4 ii) [(x3)4]5 = x(3)(4)(5) = x60
3x . 2x (3 . 2)x 6x iii) (x-3)-4 = x12
iv) –––––– = ––––––– = ––
6x 6x 6x
iv) (x-2)5 = x-10
Potencia de un Cociente.
Se eleva tanto el numerador como el denominador a Nota:
dicha potencia. Para el caso de tener muchos exponentes, se
puede generalizar la regla como sigue:
()a n an
–– = ––
b bn { [(am)n]r }s = am . n . r . s
Ejemplos:
RAÍZ DE UNA POTENCIA
() ()
4 4 7 7
x x x x
i) –– = –– ii) –– = –– Se escribe la base y como nuevo exponente, la divi-
y y4 y7 y
sión del exponente de la potencia entre el índice del
radical.
()
3 3 33 27
iii) –– = –– = –––
5 53 125
8n
2n
8 n
2 ()
iv) ––– = –– = 4n
n
__
√ap = an
p
_
- 16 -
18. Á L G E B R A
Ejemplos: Raíz de un Cociente.
5
__ __
10 Se extrae la raíz tanto del numerador como del deno-
i) √ x10 = x 5 = x2 minador, y luego se procede a dividir estas raíces
___ resultantes.
______
___ ____ __
__
48 12
ii)√
3
4
√
√x48 = x 4 = 3√x12 = x 3 = x4 __
n a
n
√a
__
iii)√√
__________
_______
_____
____
64
_______
√
_____
____
_ _____
____
√ √ x = √ √ x = √ √x16 = x8 = x4
32
b √
–– = ––––
n
√b
__
Ejemplos:
Nota: _____ ___
5
5 x20 √x20 = ––
––– = ––––– x
4
Cuando se tiene muchos radicales, se puede
gene-ralizar la regla como sigue:
_________
______
i)
√ ___
y35
_____
5
√x20 y7
___
____
___ __ ___ 4
√√ √
1
√ √ a = mnsr a = a mnsr ii)
4
√ –––
y35
√x20 2
16 = –––––– = ––
____
4
√625 5
Exponente Fraccionario Introducción de un Factor en un Radical.
Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es Se multiplica el exponente del factor por el índice del
igual a la raíz de dicha cantidad, cuyo índice es el radical, de la siguiente forma.
denominador de la fracción y el numerador per- __ n ______
n
manece como exponente. Por lo tanto: ap √b = √apn . b
_ n __
p Ejemplos:
n
a = √ap _ 5 ______ 5 ____
_
5
Ejemplos: i) x2 √y = √x(2)(5)y = √x10y
_ 5 __
3 3
_ _ 3 _______ 3 ____
_
i) a 5 = √a3 i) x2 √y2 = √x(5)(3)y2 = √x15y2
_ 3 __
1
ii) 8 3 = √8 = 2 LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS
OPERACIONES ALGEBRAICAS
_
2
3
__ 2
iii) 64 3 = ( √64 ) = (4)2 = 16 MULTIPLICACIÓN
El producto de dos términos de signos iguales es po-
RAÍZ DE UN PRODUCTO
sitivo, y de signos diferentes es negativo.
Es igual a extraer la raíz de cada factor, y luego efec-
tuar el producto. a) [+] . [+] = [+]
__ __ __
n n n b) [-] . [-] = [+]
√ab = √a . √b
c) [+] . [-] = [-]
Ejemplo:
______ 5 ___ 5 ___ d) [-] . [+] = [-]
5
i) √x10y25 = √x10 . √y25 = x2y5
DIVISIÓN
7
__ 7 __ 7 __
ii) √xy = √x . √y La división de dos términos de signos iguales es po-
sitivo, y de signos diferentes es negativo:
- 17 -
19. [+]
a) ––– = [+]
[+]
b) ––– = [-]
α 1.- Calcular el valor de:
α
[+] [-]
2x+4 + 36(2x-2)
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
[-] [-] 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1)
c) ––– = [+] d) ––– = [-]
[-] [+]
Solución:
Por la ley de la teoría de exponentes se conoce
POTENCIACIÓN
que:
m
La potencia de una base con exponente par, siempre am+n = am . an ; am-n = a n
––
es positiva; pero la potencia de una base con expo- a
nente impar, depende del signo de la base: Aplicando al ejercicio:
( )
x
2
a) [+]par = [+] 2x . 24 + 36 –––
22
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
b) [+]impar = [+]
[-] par
2x
2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 –––
2 ( )
α
c) = [+]
Operando apropiadamente:
impar
d) [-] = [-]
16 . 2x + 9 . 2x
E = ––––––––––––––––––––––––––––
RADICACIÓN 32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2x
Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo Se hace el cambio de 2x = a, para hacer más sim-
signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y ple las operaciones:
la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá
doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad 16a + 9a 25a
E = –––– ––––––––––––– = –––– = 5
–
subradical es negativa el resultado será una cantidad 32a - 16a - 8a - 3a 5a
imaginaria, que no existirá en el campo real.
___ Rpta.: = 5
impar
a) √[+] = [+]
2.- Calcular el valor de:
impar
___
-n
b) √[-] = [-]
par
___ ( )
4
–
43 8 3
E = ––––––––––
c) √[+] = [±] [4(4-1)n]2
___
par Solución:
d) √[+] = cantidad imaginaria
Transformemos el numerador, para escribir con
base 4:
Nota:
-n -n -n
Para efectos de estudio, se empleará, en el caso
(c), raíces de índice par y cantidad subradical po-
(8 ) [ ]
_
4
3
_
4
= (23)3 [ ]
= (24)n = (22)2 = 4
sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el
Reemplazando en la expresión original:
valor positivo.
43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n
E = –––––––– = ––––––– = – – –
–––
(41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2n
EJERCICIO RESUELTOS
E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4
Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los
signos en las operaciones algebráicas. Rpta.: = 4
- 18 -
20. Á L G E B R A
3.- Hallar el valor de la expresión: multiplicando potencias de bases iguales:
___________
n
20n+1 36 . 79 . 56 . 212
√
E = ––––––––––
4n+2 + 22n+2
E = ––––––––––––––
36 . 79 . 56 . 211
Solución: simplificando:
Transformando el denominador: 12
E = 2 = 212-11 = 21 = 2
–––
4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) 211
Rpta.: 2
= 4n+2 + (22)n+1
= 4n+2 + 4n+1 5.- Calcular el valor de:
_
_
-6 3
= 4n+1 (41+1) _ ___
_
= 4n+1 . 5 E= [√ ]
3
√3 __
3√3
√
reemplazando en la expresión, y transformando Solución:
el numerador:
__________ Escribimos la raíz principal en la forma expo-
n nencial:
(4 . 5)n+1
√
E = –––––––––
4n+1 . 5
-6 –
_ √3
–
operando en el numerador:
n
__________
n+1
E = 4 n+1. 5 1
n+1
E=
3 [ ]
√3
–––
3
√3
_
√
–––––––––
4 .5 luego, transformamos los exponentes:
simplificando y descomponiendo la potencia:
[ ] [ ]
31/2 3-1/6 ( )
1 1 -1/6
–– - ––
_______ –––
1/3 2 3 3
__ 3 3
n
5n . 51 n E = (3) = (3)
√
E = ––––––– = √5n = 5n = 5
41
1
-–
[ ] 1 6 1 1 1 1
Rpta.: 5 – 3
6
– -–
6 6
–-–
6 6 0
3 . 3 3
= 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 3
4.- Calcular el valor de: 3
216 . 353 . 803 Rpta.: 3
E = –––––––––––––
154 . 149 . 302
6.- Simplificar la expresión:
Solución:
{ [ ]}
1 1 -2
Se sabe que: (a . b)n = an . bn – –
E= m-1 m(m3) 2 5
descomponemos en factores primos, para aplicar
esta ley: Solución:
6 3 4 3
(3 . 7) (7 . 5) (2 . 5)
E = ––––––––––––––––––––– Efectuando operaciones:
(3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2
aplicando la ley anterior: [ 1
–
E = (m-1)-2 (m1)5 ] {[(m )– ]–}
-2 1
3 2
1 -2
5
36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53 2 3 2 3
E = –––––––––––––––––––––– -– -– 2-–-–
34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52 E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5
- 19 -
21. 2 - 2+3
––– 2 - 5
–
α Luego:
_________________
α
5 5
E=m =m = m2-1 = m1 = m n
10n + 15n + 6n
–––––––––––––– ––––––––––
Rpta.: m
7.- Calcular:
n
_________
n+1
2__
E=
√ 1
–––––––––––––– =
[10n + 15n + 6n
––––––––––––
(5 . 2 . 3)n ] √
n
(5 . 2 . 3)n
–––––––––
1
E=
√√ –––––– __
n+2
____
––––
4 √4n
Simplificando:
n –––
n
–
n
E = √(30)n = 30 = 301 = 30
Solución:
Rpta.: 30
Trabajando con el denominador:
_____
___ _____
n+2 n+2 9.- Calcular:
√
4 √4n = √4 . 4n/2 _
1
2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n n
n+2
___
__
n+2
____ [
E = ––––––– ––––––––
–
23 . 52 + 5n ]
√4 = √4 n n+2
α
1+ –– –––
2 2
=
Solución:
___
____
√(2) = √_2_____ = 2 Separemos los exponentes que aparecen suma-
n+2 n+2 n+2
___
––– n+2
2 2 n+2 n+2
=2
= dos:
_
1
reemplazando, descomponiendo y simplificando: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n n
n
––––––
___ _
[
E = –––––––––––––––––––
23 . 52 + 5n ]
n
E=
√ 2n . 21 n
–––––– = √2n = 2n = 21 = 2
2 Hagamos que: 2n = a; 5n = b:
_
1 _
1
_
1
Rpta.: 2 10ab - ab n
9ab n
8.- Calcular:
[
E = ––––––––
8b + b ] [ ]
= ––––
9b
=an
_____________
_ _
1 n
n n n
10n + 15n + 6n
E=
√ ––––––––––––
5-2 + 2-n + 3-n
reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2
Rpta.: 2
Solución:
10.- Calcular:
En primer lugar transformemos el denominador:
_____________ (3n + 6) veces (2n + 3) veces
n n
10 + 15 + 6 n n 6447448 6447448
E=
√ ––––––––––––
1 1 1
–– + –– + ––
5n 2n 3n
[ x.x.x.….x
x.x.x.….x
1442443
x.x.x….x
(4n - 2) veces
x 6 ][ 1
E = –––––––––––––– –––––––––––– ––––
xn+2 ][ ]
Dando común denominador en el denominador
de la raíz: Solución:
_________________
n Cada expresión se reduce:
10n + 15n + 6n
E=
√( ––––––––––––––
6n + 15n + 10n
––––––––––––
5n . 2n . 3n ) [ ][ ][ ]
x3n+6 x2n+3
x4n-2 x6
1
E = –––– –––– ––––
xn+2
- 20 -