El documento es un resumen completo de fórmulas, teoremas y conceptos clave para la preparación de la Prueba de Selección Universitaria (PSU) en matemáticas en Chile. Incluye secciones sobre números, funciones, geometría, ecuaciones, estadística y probabilidades, presentando información detallada de forma concisa. Su objetivo es facilitar el estudio y memorización de conceptos fundamentales para obtener un buen puntaje en la prueba.

1. PREPARACIÓN PSU MATEMÁTICA
Resumen completo
Fórmulas, teoremas y conceptos
Ignacio F. Garcés
Agradecimientos: profesores Osvaldo Doña y Jacqueline Velásquez
2016

2. Página | 2
Índice de contenido
Introducción pág. 3
Números pág. 4
Funciones pág. 5
Potenciación (logaritmos y raíces) pág. 7
Plano cartesiano pág. 8
Figuras geométricas pág. 9
↳ Circunferencia: proporcionalidad y ángulos pág. 10
↳ Triángulos: proporcionalidad pág. 11
Sistema o espacio tridimensional pág. 12
Cuerpos geométricos pág. 13
Datos y azar pág. 14
↳ Datos: Estadística pág. 14
↳ Azar: Probabilidades pág. 15
Ecuaciones de segundo grado y productos notables pág. 19
Inecuaciones o desigualdades pág. 20
Cuadrados, cubos y tríos pitagóricos a memorizar pág. 21
Bibliografía pág. 22

3. Página | 3
Introducción
La Prueba de Selección Universitaria (PSU) es la prueba que te posiciona respecto de todos los
demás que desean entrar a la educación superior (en Chile tiene ese nombre, aunque en general, en el
resto de Latinoamérica al menos, el equivalente de esta prueba se llama algo así como Examen
Nacional), y sacar un alto puntaje es fundamental, y para eso necesitas recordar una cantidad insana de
fórmulas, teoremas, etc. Esta gran e importante prueba no es una pesadilla si te preparas bien, en serio.
Si te esfuerzas, te irá bien.
A continuación, se presentan muchas fórmulas, teoremas, conceptos clave, etc. que son complejos,
específicos, y que en general son difíciles de aprender o memorizar. Con este documento hallarás
dichos temas fácilmente, ya que están comprimidos en un solo lugar y podrás repasarlos o quizás
aprenderlos en caso de que no los hayas visto antes. Aprenderse todas y cada una de, en su mayoría,
fórmulas de este documento te asegurará un buen puntaje, y claro, tienes que saber cómo utilizarlas.
En la mayoría de los casos no se explicarán o definirán dichas fórmulas y términos, ya que esto es solo
una compilación o resumen breve, por lo que se considerarán algunos conocimientos básicos como
triviales.
Nota: si descargas este PDF, puedes hacer clic en cualquier elemento del índice temático y se te
llevará a la página correspondiente de forma automática.

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Números
Generalidades de los enteros
Números pares consecutivos: 2x, (2x + 2), (2x + 4), …
Números impares consecutivos: (2x + 1), (2x + 3), (2x + 5), …
Múltipos de 5 consecutivos: 5x, (5x + 5), (5x + 10), …
Números complejos e imaginarios
i = √−1
i2 = ―1
i3 = ―i = −√−1
i4 = 1
↓ Si z = a + bi ↓
Conjugado de z: z̅ = a − bi
Recíproco de z: z−1
=
1
z
=
z̅
|z|2
Módulo de z: |z| = √a2 + b2

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Funciones
Función de una función: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔( 𝑥))
Tipos de funciones según dominio y recorrido
Función inyectiva: (“uno a uno”) una imagen con máximo una preimagen.
Función sobreyectiva o epiyectiva: ningún término sobra, cada imagen tiene preimagen.
Función biyectiva: epiyectiva e inyectiva a la vez.
Tipos de funciones según simetría
Función par: cuando x y –x tienen igual imagen (y). Ejemplo: simetría de la función cuadrática (y = x2).
Función impar: si x → y, -x → -y. Ejemplo: función f(x)= x3

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Función cuadrática
f(x) = ax2
+ bx + c
Vértice de función cuadrática: V(h, k) Eje de simetría en f. cuadrática: (h, ∞)
𝐡 =
x1+ x2
2
=
−b
2a
𝐤 = f(h) =
(4ac − b2)
4a
=
−∆
4a
Interés compuesto (ejemplo común: cantidad de dinero obtenido en cierto tiempo)
Interés compuesto (es una función exponencial): C = i • (1 + x)t
C: capital acumulado.
i: capital inicial.
x: tasa de interés compuesto (en decimal). Es cuánto aumenta o disminuye.
t: número de períodos de tiempo que han transcurrido en el que crece el capital.
Cantidad de algo según el tiempo (ejemplo común: cantidad de bacterias que se duplican)
Se representa como una función exponencial: f(x) = i • xt
f(x): cantidad final.
i: cantidad inicial.
x: variación (cuánto aumenta o disminuye).
t: períodos de tiempo transcurridos.

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Potenciación (logaritmos y raíces)
Raíces
Orden entre raíces
Si el índice y la cantidad subradical de las raíces que se desea comparar son diferentes, se puede elevar
ambas raíces al M.C.M. de sus índices. Esto se puede apreciar mejor al ver una raíz como potencia.
Así, √5 y √12
3
se pueden elevar a 6 y da como resultado que (√5)6
= 53
= 𝟏𝟐𝟓 , y
(√12
3
)6
= 122
= 𝟏𝟒𝟒 , por lo que √𝟏𝟐
𝟑
> √𝟓
Logaritmos
Cambio de base: loga b =
logk b
logk a
Orden en los logaritmos
Si a < c, entonces logk a < logk c, siempre que 𝒌 > 𝟏.
Si n < m, entonces logn k > logm k, siempre que 𝒌 > 𝟏.
Para ambas afirmaciones, si 𝒌 < 𝟏, se invierte el sentido de la desigualdad.
Para logaritmos de distinta base y argumento, se deben transformar o expresar a una base común. Una
vez hecho esto, se debe aplicar propiedades, y como paso último, comparar los argumentos.
Así, log4 3 y log8 6 se cambiarán a logaritmos de base 2, aplicando el cambio de base:
log4 3 =
log2 3
log2 4
=
log2 3
2
=
1
2
• log2 3 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 √ 𝟑 , y log8 6 =
log2 6
log2 8
=
log2 6
3
=
1
3
•
log2 6 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 √ 𝟔
𝟑
Finalmente se comparan los argumentos, elevándolos al M.C.M. de los índices de las raíces:
(√3)6
= 𝟐𝟕 , y (√6
3
)6
= 𝟑𝟔
Como 27 < 36 , resulta que 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟑 < 𝐥𝐨𝐠 𝟖 𝟔

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Plano cartesiano
Pendiente a partir de dos puntos: m =
y1 − y2
x1 − x2
Ecuación de la recta a partir de un punto y la pendiente: Y − Y1 = m(x − x1)
Vector de traslación de un punto a otro: T⃗⃗ = Pfinal − Pinicial
Distancia entre dos puntos: d(A, B) = AB̅̅̅̅ = √(xA − xB)2 + (yA − yB)2
Rectas perpendiculares: L1 ⊥ L2 si y sólo si: m1 • m2 = −1
Razón de homotecia: r =
OA′
OA
Ecuación vectorial de la recta
Forma de la ecuación vectorial de la recta: k⃗ (t) = w⃗⃗⃗ + t • v⃗ = (w⃗⃗⃗ x, w⃗⃗⃗ y) + t(v⃗ x, v⃗ y)
w⃗⃗⃗ : vector de posición.
v⃗ : vector de dirección.
t: es un escalar, al cual le ponemos valores reales cualesquiera para calcular puntos de la recta.
Dos rectas son paralelas cuando tienen igual v⃗ y un w⃗⃗⃗ semejante, multiplicado por algún número. [1]
Para expresar una ecuación vectorial de la recta en la forma cartesiana:
(x, y) = (x0, y0) + t(a, b) = (x0 + t ∙ a, _y0 + t ∙ b)
Rotación de un punto en el plano cartesiano
+90° +180° +270° +360° = 0°
Pi (x, y) (‒y, x) (‒x, ‒y) (y, ‒x) (x, y)
[1
]: Por ejemplo, si w⃗⃗⃗ 1 es igual a 3 ∙ w⃗⃗⃗ 2, y tienen igual v⃗ , entonces son paralelas.

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Figuras geométricas
Altura de un triángulo equilátero: h =
a√3
2
Área de un triángulo equilátero: Á =
a • h
2
=
a2
√3
4
En un rectángulo rectángulo obtenido de la mitad de un triángulo equilátero se
cumplen siempre las relaciones de longitud y ángulos de la imagen.
Diagonal de un cuadrado: d = a√2
Área de un cuadrado: Á = a2
=
d2
2
Área de un sector circular: Á =
πr2•θ
360
Longitud del arco del sector circular: L =
2πr•θ
360

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Circunferencia: proporcionalidad y ángulos
Teorema de cuerdas: AE̅̅̅̅ • EC̅̅̅̅ = BE̅̅̅̅ • ED̅̅̅̅
Ángulo interior: α = ∡AEB =
BÂ + DĈ
2
Teorema de las secantes: AC̅̅̅̅ • AB̅̅̅̅ = AD̅̅̅̅ • AE̅̅̅̅
Ángulo exterior: β = ∡CAD =
DĈ −BÊ
2
Proporcionalidad recta secante - tangente: PC̅̅̅̅2
= PB̅̅̅̅ • PA̅̅̅̅
Ángulo semi-inscrito: λ = ∡BPC =
CB
2
̂
Teorema de las tangentes: PA̅̅̅̅ = PB̅̅̅̅
Los arcos se miden/escriben en sentido antihorario ↺ siempre.
Ángulos complementarios: suman 90°.
Ángulos suplementarios: suman 180°.
En todo polígono regular, la suma total de los ángulos interiores es 180° ∙ (n° de lados − 2)

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Triángulos: teoremas de proporcionalidad
Teorema de Euclides
Las siguientes ecuaciones sólo sirven en un triángulo rectángulo.
Altura: h2
= m • n h = √m • n =
a • b
AC̅̅̅̅
Catetos: b2
= AC̅̅̅̅ • m a2
= AC̅̅̅̅ • n
Teorema de la bisecrtiz
Sea AM̅̅̅̅̅ bisectriz del triángulo ABC
Proporcionalidad de lados:
AB̅̅̅̅
BM̅̅̅̅̅
=
AC̅̅̅̅
CM̅̅̅̅̅

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Sistema o espacio tridimensional
Ecuación vectorial de la recta en el espacio
(x, y, z) = P1 + β • d⃗ = (x1, y1, z1) + β • (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Determinar cuándo dos rectas son perpendiculares: L1 ⊥ L2 si d⃗ 1 • d⃗ 2 = 0
Distancia entre dos puntos: d(A, B) = AB̅̅̅̅ = √(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (𝑧 𝐴 − 𝑧 𝐵)2
Ecuación vectorial de un plano en el espacio
Esta ecuación se obtiene a partir de tres puntos no colineales conocidos de un plano (P1, P2 y P3)
(x, y, z) = P1 + λ • (P2 − P1) + μ • (P3 − P1)
A λ y μ se les dan valores variados en los reales para calcular puntos de un plano teniendo su ecuación.
De esta ecuación se obtienen:
x = x1 + λ • (x2 − x1) + μ • (x3 − x1)
y = y1 + λ • (y2 − y1) + μ • (y3 − y1)
z = z1 + λ • (z2 − z1) + μ • (z3 − z1)
Ecuación cartesiana del plano
Ax + By + Cz + D = 0
Como la otra, esta ecuación se obtiene a partir de tres puntos no colineales conocidos, los cuales se
reemplazan, considerando D = 1 y se forma un sistema de ecuaciones en donde es posible determinar
los valores de A, B y C.
Para la ecuación cartesiana del plano existen ciertas propiedades:
o Dos planos son paralelos no coincidentes si:
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
≠
D1
D2
o Dos planos son perpendiculares si: A1 • A2 + B1 • B2 + C1 • C2 = 0

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Cuerpos geométricos
Área (esfera) = 4πr2 Volumen (esfera) =
4
3
πr3
Área (cubo) = 6a2 Volumen (cubo) = a3
Área (prisma) = (2 • Ábasal) + Álateral Volumen (prisma) = Ábasal • h
Área (pirámide) = Ábase + Álat. Volumen (pirámide) =
1
3
• Ábase • h
Área (cilindro) = 2πr2 + 2πrh Volumen (cilindro) = πr2h
Área (cono) = πr2 + πrg Volumen (cono) =
1
3
• πr2h
Área (tronco de pirámide) = Ábase1 + Ábase2 + Álat.
Volumen (tr. de pirám.) =
𝐡
𝟑
• (Ábase1 + Ábase2 + √Ábase1 • Ábase2)
Área (tronco de cono) = Ábase1 + Ábase2 + Álateral = πr2 + πR2 + π(r + R)g
donde: r = radio pequeño, R = radio grande, g = generatriz
Volumen (tronco de cono) =
𝐡
𝟑
• (Ábase1 + Ábase2 + √Ábase1 • Ábase2)
*En general, h es la altura, Á es área, r es radio.
Diagonal de un cubo (distancia entre vértices opuestos) = 𝐚𝐫𝐢𝐬𝐭𝐚 • √ 𝟑
La diagonal de un paralelepípedo se calcula como: √a2 + b2 + c2, donde a, b y c son aristas.
La altura de la cara lateral de una pirámide se denomina apotema lateral.
El ángulo que se forma entre dos planos (o caras) se llama ángulo diedro.
Fórmula de Euler[2]: aristas + 2 = caras + vértices
[2
]: Es la relación entre número de aristas, caras y vértices en todo poliedro. Sirve para determinar, por ejemplo, el número
de vértices de un cuerpo, sabiendo de antemano cuántas aristas y caras posee.

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Datos y azar
Datos: Estadística
Medidas de dispersión
Desviación media: D. M. =
∑(|xi− x̅|•fi)
N
Desviación típica o estándar: σ = √
∑[(xi− x̅)2•fi]
N
Varianza: σ2
=
∑[(xi− x̅)2•fi]
N
Rango: xmayor − xmenor
Posición de la mediana (con N impar) =
N + 1
2
Posición de la mediana (con N par) =
N
2
y
N
2
+ 1
Media aritmética o promedio: x̅ =
∑(Xi • fi)
N
En datos agrupados en intervalos, xi es la marca de clase[3
].
Diagrama de caja
Xmín.: dato mínimo o menor.
Xmáx.: dato máximo o mayor.
Q1, Q2, Q3: cuartiles 1, 2 y 3, respectivamente. Q2 es igual a la mediana.
Rango intercuartil o intercuartílico[4]: Cuartil 3 – Cuartil 1
[3
]: La marca de clase es promedio entre el dato mayor y el dato menor del intervalo.
[4
]: Es representado en el diagrama de caja como el ancho del rectángulo. (si es que está vertical, como en la figura)

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Azar: Probabilidades
Combinatoria
Variación o arreglo sin repetición (importa el orden): Vm
r
=
r!
(m − r)!
Variación o arreglo con repetición (importa el orden): VRm
r
= rm
Combinación sin repetición (orden no interesa): Cr,m = Cm
r
= ( r
m
) =
r!
m! • (r − m)!
Combinación con repetición (orden no interesa): CRm
r
= (r+m−1
m
) =
(r + m − 1)!
m! • (r − 1)!
Permutación sin repetición: Pr = r!
Permutación con repetición[5]: PRa,b,c…
r
=
r!
a! • b! • c!!
Permutación circular[6]: Pr (circular) = (r − 1)!
El factorial de cero es uno: O! = 1
Producto de probabilidades (Probabilidad de que dos sucesos ocurran simultáneamente)
Si son independientes: P(A ∩ B) = P(A) • P(B)
Si A y B son dependientes (probabilidad condicionada): P(A ∩ B) = P(A) • P(B
A⁄ )
[5
]: Ejemplo típico: ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de cierta palabra que tiene letras repetidas?,
con a, b y c de la ecuación siendo las veces que se repite cada elemento/letra. (Si hay 3 letras s, hay que poner 3!)
[6
]: Ejemplo típico: Calcular todas las maneras en que pueden sentarse un cierto número de personas en una mesa redonda.

16. Página | 16
Suma de probabilidades (Probabilidad de que ocurra un suceso o el otro)
Probabilidad total: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Si no hay un conjunto coincidente entre A y B, es decir, si son eventos mutuamente excluyentes y no
pueden ocurrir simultáneamente, P(A ∩ B) desaparece de la ecuación porque valdrá cero.
Probabilidad condicionada o condicional
Probabilidad de que ocurra el suceso A dado que ocurrió B: PA
B⁄ =
P(A ∩ B)
P(B)
=
P(A) • P(B
A⁄ )
P(B)
Función de probabilidad
La suma de las probabilidades (recorrido de la función) da 1: ∑ f(x) = 1
Valor esperado o esperanza en función de probabilidad: E(x) = ∑(P(X = xi) • xi)
La función de distribución corresponde a la función de probabilidad acumulada.
Desviación estándar o típica: σ = √
∑[(xi− E(xi))2 • P(xi)]
N
Varianza: σ2
=
∑[(xi− E(xi))2 • P(xi)]
N

17. Página | 17
Variable aleatoria discreta (distribución binomial)
Se representa de la forma: X ~ B(n,p)
Esperanza o valor esperado en v. a. discreta: E(x) = np
Desviación típica o estándar: σ = √npq
Varianza: σ2
= npq
Distribución binomial de Bernoulli: P(X = x) = 𝐂x
n
• 𝐩x
• 𝐪n−x
Donde:
Cx
n
: combinación de las veces que se repite el experimento sobre la cantidad de éxitos.
n: veces que se repite el experimento
q = (1 – p) = probabilidad de fracaso
p: probabilidad de éxito
k: cantidad de éxitos
(n ‒ k): cantidad de fracasos

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Uso del Triángulo de Pascal en la variable aleatoria discreta
Para experimentos con dos resultados posibles (como lanzar una moneda), se usa elige el nivel del
triángulo de Pascal correspondiente según el número de veces que se haga el
experimento.
Ejemplo: al lanzar una moneda 5 veces se puede hacer un cuadro con las
probabilidades de cada resultado, con el nivel 5 del triángulo de Pascal:
← ∆ Pascal nv. 5
En los resultados posibles se rellena con una sucesión de números enteros desde 0, y luego en sentido
contrario. Así, por ejemplo, podemos saber fácilmente la probabilidad de que salgan 4 caras y 1 sello,
sería el número del triángulo de Pascal que le corresponde, es decir:
1 5 10 10 5 1
C 0 1 2 3 4 5
S 5 4 3 2 1 0
P(4 caras y 1 sello) = 5
N⁄ = 5
25⁄ = 5
∑ ∆nv.5
⁄ = 𝟓
𝟑𝟐⁄
Variable aleatoria continua (distribución normal)
Representación de una variable aleatoria continua: Z ~ N(μ, σ)
Para estar tipificada, μ debe ser 0 y σ debe valer 1.
Tipificación de x en una distribución normal: Z =
x − μ
σ
Intervalos de confianza = [x̅ − E, x̅ + E] Error: E = Zα
2⁄ •
σ
√N
1 5 10 10 5 1
C 0 1 2 3 4 5
S 5 4 3 2 1 0

19. Página | 19
Ecuaciones de segundo grado y productos notables
Soluciones en una ecuación de segundo grado: x =
−b±√b2−4ac
2a
Discriminante: ∆ = b2
− 4ac
Si ∆ > 0, hay dos soluciones reales distintas.
Si ∆ = 0, hay una única solución real.
Si ∆ < 0, hay dos soluciones imaginarias.
Suma de las soluciones: x1 + x2 = −b a⁄
Producto de las soluciones: x1 • x2 = c a⁄
Soluciones en ecuaciones
Si al reducir una ecuación cualquiera obtenemos 𝟎 = 𝟎, entonces existen infinitas soluciones.
Si al reducir nos queda que 𝐚 = 𝟎, donde a es un número cualquiera, significa que no hay solución.
Productos notables
Cuadrado de binomio: (a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
Suma por su diferencia: a2
− b2
= (a + b)(a − b)
Cubo de binomio: (a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
Suma y diferencia de cubos: a3
± b3
= (a ± b)(a2
∓ ab + b2
)

20. Página | 20
Inecuaciones o desigualdades
Valor absoluto
Una de las cosas más importantes de las inecuaciones es la identificación de, digamos, las posibilidades
del resultado: el resultado de una raíz con índice par no puede ser negativa, el denominador en una
fracción no puede ser cero, etc.
Entre ellas, está el valor absoluto.
El valor absoluto es equivalente al cuadrado de la raíz cuadrada: |𝐱| = √𝐱 𝟐
Las propiedades del valor absoluto son las siguientes:
|x| ≥ 0
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x • y| = |x| • |y|
|x ÷ y| = |x| ÷ |y|
|a| < b ⇔ −b < a < b
|a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
|a| > b ⇔ a < −b ∪ a > b
|a| ≥ b ⇔ a ≥ −b ∪ a ≥ b

21. Página | 21
Cuadrados, cubos y tríos pitagóricos a memorizar
Cuadrados y cubos que probablemente sí sea útil memorizar
112 = 121
122 = 144
132 = 169 33 = 27
142 = 196 43 = 64
152 = 225 53 = 125
162 = 256 63 = 216
172 = 289 73 = 343
182 = 324 83 = 512
93 = 729
Tríos pitagóricos
o 3, 4, 5
o 5, 12, 13
o 8, 15, 17

22. Página | 22
Bibliografía
o Libro de Matemática, preuniversitario Cpech.
o http://www.slideshare.net/sitayanis/5-inecuaciones-con-valor-absoluto-9384355

23. Página | 23
El fin.
Si te sirvió no dudes en compartirlo con tus amigos para ayudarlos.
Estudia.