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Este resumen tiene el contenido actualizado de la Prueba de Selección Universitaria para el proceso de admisión de 2018.
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División interior y exterior de un segmento iv electivoAriel d?z
El documento explica los conceptos de división interior, exterior y armónica de un segmento. La división interior divide un segmento AB en una razón dada m:n determinando las longitudes de PA y PB. La división exterior determina las longitudes de QA y QB. La división armónica aplica ambos conceptos para dividir el segmento en la misma razón. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular las longitudes resultantes.
Este documento presenta un examen de trigonometría que contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre el cálculo de funciones trigonométricas, resolución de triángulos rectángulos, áreas de figuras geométricas y problemas relacionados con ángulos de elevación y distancias. El examen evalúa los conocimientos y habilidades de los estudiantes en el área de matemáticas.
Este documento describe las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de los lados del triángulo. También cubre identidades trigonométricas, valores comunes de las funciones y ángulos de elevación y depresión.
Este documento contiene un examen de 30 preguntas sobre proporcionalidad y semejanza de triángulos. Cada pregunta presenta una figura geométrica y solicita calcular un valor desconocido basado en las relaciones de semejanza entre los elementos de la figura. Adicionalmente, el documento incluye información sobre el curso de geometría al que corresponde el examen, incluyendo el nombre del profesor, el área y la asignatura.
Este documento presenta nueve ejercicios de geometría que involucran sumas y restas entre longitudes de segmentos colineales. Cada ejercicio proporciona datos sobre los puntos A, B, C, D, etc. y sus distancias relativas, y pide calcular alguna longitud desconocida aplicando propiedades de sumas y restas entre segmentos. Las respuestas se obtienen resolviendo sistemas de ecuaciones o desigualdades derivados de la información dada.
El documento presenta 16 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas incluyen operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Algunos problemas involucran conceptos como porcentajes, proporcionalidad directa e inversa, y sistemas de ecuaciones. Cada problema está numerado y presenta la resolución paso a paso llegando a la respuesta correcta.
Este documento contiene 25 problemas de geometría sobre triángulos, bisectrices, ángulos y cevianas. El documento parece ser una prueba de matemáticas para estudiantes de tercer grado impartida por el profesor Abel Ortega Luna en la Institución Educativa Particular Parroquial "Mundo Mejor", cuyo objetivo es educar a los estudiantes para la vida y el futuro desde una perspectiva católica.
División interior y exterior de un segmento iv electivoAriel d?z
El documento explica los conceptos de división interior, exterior y armónica de un segmento. La división interior divide un segmento AB en una razón dada m:n determinando las longitudes de PA y PB. La división exterior determina las longitudes de QA y QB. La división armónica aplica ambos conceptos para dividir el segmento en la misma razón. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular las longitudes resultantes.
Este documento presenta un examen de trigonometría que contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre el cálculo de funciones trigonométricas, resolución de triángulos rectángulos, áreas de figuras geométricas y problemas relacionados con ángulos de elevación y distancias. El examen evalúa los conocimientos y habilidades de los estudiantes en el área de matemáticas.
Este documento describe las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de los lados del triángulo. También cubre identidades trigonométricas, valores comunes de las funciones y ángulos de elevación y depresión.
Este documento contiene un examen de 30 preguntas sobre proporcionalidad y semejanza de triángulos. Cada pregunta presenta una figura geométrica y solicita calcular un valor desconocido basado en las relaciones de semejanza entre los elementos de la figura. Adicionalmente, el documento incluye información sobre el curso de geometría al que corresponde el examen, incluyendo el nombre del profesor, el área y la asignatura.
Este documento presenta nueve ejercicios de geometría que involucran sumas y restas entre longitudes de segmentos colineales. Cada ejercicio proporciona datos sobre los puntos A, B, C, D, etc. y sus distancias relativas, y pide calcular alguna longitud desconocida aplicando propiedades de sumas y restas entre segmentos. Las respuestas se obtienen resolviendo sistemas de ecuaciones o desigualdades derivados de la información dada.
El documento presenta 16 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas incluyen operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Algunos problemas involucran conceptos como porcentajes, proporcionalidad directa e inversa, y sistemas de ecuaciones. Cada problema está numerado y presenta la resolución paso a paso llegando a la respuesta correcta.
Este documento contiene 25 problemas de geometría sobre triángulos, bisectrices, ángulos y cevianas. El documento parece ser una prueba de matemáticas para estudiantes de tercer grado impartida por el profesor Abel Ortega Luna en la Institución Educativa Particular Parroquial "Mundo Mejor", cuyo objetivo es educar a los estudiantes para la vida y el futuro desde una perspectiva católica.
Este documento contiene 25 problemas de trigonometría sobre funciones trigonométricas. Los problemas incluyen calcular dominios, rangos, puntos de discontinuidad, áreas, perímetros y determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones. Los problemas presentan gráficos y funciones definidas en diferentes intervalos y requieren el uso de identidades trigonométricas, valores trigonométricos y propiedades de funciones.
El documento describe cómo calcular el área, perímetro y volumen de prismas y cilindros. Explica que el área es la medida de la superficie, el perímetro es la suma de los lados, y el volumen es el espacio ocupado. Luego proporciona fórmulas y ejemplos para calcular estas cantidades para diferentes figuras geométricas como círculos, polígonos, prismas y cilindros.
Este documento presenta 13 ejercicios de habilidad lógico matemática y sus soluciones. Los ejercicios involucran cortar y dividir objetos como madera, alambre y tela para obtener piezas de tamaños específicos requiriendo el menor número de cortes posible. También incluye ejercicios de promedios, relaciones numéricas y maximización de funciones. Las soluciones explican detalladamente los pasos para resolver cada ejercicio.
El documento presenta dos problemas de trigonometría que involucran senos y cosenos. El primer problema calcula la altura de un globo sobre el suelo usando la ley del seno. La altura calculada es de 94.055 km. El segundo problema encuentra la altura a la que se encuentra una cometa unida al suelo por un hilo de 100 metros formando un ángulo de 60 grados, resultando en una altura de 86.6 metros.
Teorema de Pitagoras y Teorema de talesLUISITO1122
Este documento presenta información sobre dos teoremas matemáticos básicos, el Teorema de Pitágoras y el Teorema de Tales. Explica el Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones, incluyendo el cálculo de áreas y distancias. También explica el Teorema de Tales y cómo este se puede usar para determinar la semejanza entre triángulos. El documento contiene ejemplos y ejercicios de aplicación de estos teoremas.
Las magnitudes pueden ser proporcionales directa o inversamente. Las magnitudes directamente proporcionales aumentan o disminuyen juntas, mientras que las inversamente proporcionales aumentan cuando la otra disminuye. Existen proporcionalidades simples entre dos magnitudes y compuestas entre más de dos.
Este documento contiene 19 problemas de matemáticas relacionados con el cálculo del perímetro y área de figuras geométricas planas. Los problemas involucran cuadrados, rectángulos, triángulos y semicircunferencias, y piden calcular medidas como perímetro, área de regiones sombreadas u otras fracciones de áreas. El documento parece ser material de práctica o evaluación para estudiantes.
Este documento resume fórmulas para calcular el perímetro y área de cuadrados, rectángulos, triángulos, trapecios y círculos. Incluye ejemplos resueltos de cómo calcular el perímetro y área para cada figura geométrica. El documento proporciona práctica adicional mediante ejercicios propuestos para que el lector calcule el perímetro y área de varias figuras.
El documento presenta conceptos fundamentales de geometría, incluyendo definiciones de figuras geométricas, segmentos de recta, y operaciones con segmentos. Explica que la geometría estudia las figuras desde el punto de vista de su forma, tamaño y relaciones. Define puntos, líneas rectas, planos y otros elementos geométricos básicos. Incluye también ejemplos y problemas resueltos sobre segmentos y sus operaciones.
Este documento contiene una serie de ejercicios de conteo de cubos (1x1). En cada ejercicio, se muestra una figura compuesta de cubos más pequeños y se pide contar el número total de cubos. Luego, se proporcionan cuatro opciones de respuesta para seleccionar. El documento presenta los pasos de cálculo para llegar a la respuesta correcta en cada caso.
La suma y el producto de dos números coinciden. Si uno de ellos es x, el valor de la suma es 1/2-x/x.
ABC es un triángulo isósceles con el ángulo desigual en A de 27 grados. El ángulo BCD mide 90 grados.
Si 11)11( =f y 1)(1)( )3( + −=+ nf nf nf , el valor de )2015(f es 11.
Este documento presenta información sobre polígonos regulares e irregulares. Explica las relaciones entre el número de lados, vértices y ángulos de un polígono, así como fórmulas para calcular la suma de los ángulos interiores y exteriores. También contiene ejercicios prácticos sobre el cálculo de ángulos y la identificación de polígonos basados en sus propiedades.
1. El documento presenta información sobre la resolución de triángulos rectángulos en trigonometría, incluyendo definiciones de razones trigonométricas, fórmulas para calcular senos y áreas de triángulos, y ejercicios de práctica. 2. Se dividen 10 ejercicios de nivel I, 6 de nivel II y 3 de nivel III con diferentes problemas matemáticos relacionados a triángulos rectángulos. 3. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen los conceptos de
El documento presenta una serie de ejercicios de conversión de números entre diferentes sistemas de numeración y cálculos matemáticos sobre números. Los ejercicios involucran identificar el valor de variables en expresiones numéricas, escribir números en diferentes bases, determinar la cantidad de números que cumplen ciertas propiedades y realizar sumas, restas y multiplicaciones sobre números en distintos sistemas.
Este documento presenta 23 problemas de geometría que involucran conceptos como áreas y perímetros de triángulos, cuadrados, rectángulos y otras figuras. Los problemas abarcan cálculos matemáticos para determinar lados, áreas, perímetros y relaciones entre figuras geométricas.
Este documento trata sobre la estequiometría y cálculos estequiométricos. Explica la ley de conservación de la masa de Lavoisier y define la estequiometría como la descripción de las relaciones cuantitativas entre los elementos en un compuesto y sustancias que experimentan cambios químicos en una reacción. También introduce el concepto de mol y cómo se puede usar para calcular la cantidad de sustancia, átomos, moléculas o iones presentes. Además, explica cómo calcular la composición porcentual de un
Este documento contiene 13 ejercicios de geometría propuestos para estudiantes de 5to año de secundaria. Los ejercicios involucran conceptos como puntos de tangencia, circunferencias inscritas en triángulos, proyecciones ortogonales y relaciones métricas en figuras geométricas. También presenta definiciones preliminares de términos como relación métrica, proyección ortogonal y proyecciones ortogonales en triángulos.
1) El documento presenta las leyes de exponentes y define potenciación, radicación y exponentes. 2) Explica las definiciones de exponente natural, exponente cero y exponente negativo para la potenciación. 3) También presenta teoremas como la multiplicación de bases iguales y la potencia de una potencia para las leyes de exponentes.
Este documento define ángulos y clasifica los diferentes tipos de ángulos. Explica los sistemas de medición de ángulos y cómo convertir entre grados sexagesimales y radianes. También cubre el perímetro y área de triángulos y figuras planas, incluyendo la fórmula del área de un triángulo.
Matemática 3° y 4° medio - Guía de inecuaciones de segundo gradoGreat Ayuda
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Este documento contiene 25 problemas de trigonometría sobre funciones trigonométricas. Los problemas incluyen calcular dominios, rangos, puntos de discontinuidad, áreas, perímetros y determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones. Los problemas presentan gráficos y funciones definidas en diferentes intervalos y requieren el uso de identidades trigonométricas, valores trigonométricos y propiedades de funciones.
El documento describe cómo calcular el área, perímetro y volumen de prismas y cilindros. Explica que el área es la medida de la superficie, el perímetro es la suma de los lados, y el volumen es el espacio ocupado. Luego proporciona fórmulas y ejemplos para calcular estas cantidades para diferentes figuras geométricas como círculos, polígonos, prismas y cilindros.
Este documento presenta 13 ejercicios de habilidad lógico matemática y sus soluciones. Los ejercicios involucran cortar y dividir objetos como madera, alambre y tela para obtener piezas de tamaños específicos requiriendo el menor número de cortes posible. También incluye ejercicios de promedios, relaciones numéricas y maximización de funciones. Las soluciones explican detalladamente los pasos para resolver cada ejercicio.
El documento presenta dos problemas de trigonometría que involucran senos y cosenos. El primer problema calcula la altura de un globo sobre el suelo usando la ley del seno. La altura calculada es de 94.055 km. El segundo problema encuentra la altura a la que se encuentra una cometa unida al suelo por un hilo de 100 metros formando un ángulo de 60 grados, resultando en una altura de 86.6 metros.
Teorema de Pitagoras y Teorema de talesLUISITO1122
Este documento presenta información sobre dos teoremas matemáticos básicos, el Teorema de Pitágoras y el Teorema de Tales. Explica el Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones, incluyendo el cálculo de áreas y distancias. También explica el Teorema de Tales y cómo este se puede usar para determinar la semejanza entre triángulos. El documento contiene ejemplos y ejercicios de aplicación de estos teoremas.
Las magnitudes pueden ser proporcionales directa o inversamente. Las magnitudes directamente proporcionales aumentan o disminuyen juntas, mientras que las inversamente proporcionales aumentan cuando la otra disminuye. Existen proporcionalidades simples entre dos magnitudes y compuestas entre más de dos.
Este documento contiene 19 problemas de matemáticas relacionados con el cálculo del perímetro y área de figuras geométricas planas. Los problemas involucran cuadrados, rectángulos, triángulos y semicircunferencias, y piden calcular medidas como perímetro, área de regiones sombreadas u otras fracciones de áreas. El documento parece ser material de práctica o evaluación para estudiantes.
Este documento resume fórmulas para calcular el perímetro y área de cuadrados, rectángulos, triángulos, trapecios y círculos. Incluye ejemplos resueltos de cómo calcular el perímetro y área para cada figura geométrica. El documento proporciona práctica adicional mediante ejercicios propuestos para que el lector calcule el perímetro y área de varias figuras.
El documento presenta conceptos fundamentales de geometría, incluyendo definiciones de figuras geométricas, segmentos de recta, y operaciones con segmentos. Explica que la geometría estudia las figuras desde el punto de vista de su forma, tamaño y relaciones. Define puntos, líneas rectas, planos y otros elementos geométricos básicos. Incluye también ejemplos y problemas resueltos sobre segmentos y sus operaciones.
Este documento contiene una serie de ejercicios de conteo de cubos (1x1). En cada ejercicio, se muestra una figura compuesta de cubos más pequeños y se pide contar el número total de cubos. Luego, se proporcionan cuatro opciones de respuesta para seleccionar. El documento presenta los pasos de cálculo para llegar a la respuesta correcta en cada caso.
La suma y el producto de dos números coinciden. Si uno de ellos es x, el valor de la suma es 1/2-x/x.
ABC es un triángulo isósceles con el ángulo desigual en A de 27 grados. El ángulo BCD mide 90 grados.
Si 11)11( =f y 1)(1)( )3( + −=+ nf nf nf , el valor de )2015(f es 11.
Este documento presenta información sobre polígonos regulares e irregulares. Explica las relaciones entre el número de lados, vértices y ángulos de un polígono, así como fórmulas para calcular la suma de los ángulos interiores y exteriores. También contiene ejercicios prácticos sobre el cálculo de ángulos y la identificación de polígonos basados en sus propiedades.
1. El documento presenta información sobre la resolución de triángulos rectángulos en trigonometría, incluyendo definiciones de razones trigonométricas, fórmulas para calcular senos y áreas de triángulos, y ejercicios de práctica. 2. Se dividen 10 ejercicios de nivel I, 6 de nivel II y 3 de nivel III con diferentes problemas matemáticos relacionados a triángulos rectángulos. 3. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen los conceptos de
El documento presenta una serie de ejercicios de conversión de números entre diferentes sistemas de numeración y cálculos matemáticos sobre números. Los ejercicios involucran identificar el valor de variables en expresiones numéricas, escribir números en diferentes bases, determinar la cantidad de números que cumplen ciertas propiedades y realizar sumas, restas y multiplicaciones sobre números en distintos sistemas.
Este documento presenta 23 problemas de geometría que involucran conceptos como áreas y perímetros de triángulos, cuadrados, rectángulos y otras figuras. Los problemas abarcan cálculos matemáticos para determinar lados, áreas, perímetros y relaciones entre figuras geométricas.
Este documento trata sobre la estequiometría y cálculos estequiométricos. Explica la ley de conservación de la masa de Lavoisier y define la estequiometría como la descripción de las relaciones cuantitativas entre los elementos en un compuesto y sustancias que experimentan cambios químicos en una reacción. También introduce el concepto de mol y cómo se puede usar para calcular la cantidad de sustancia, átomos, moléculas o iones presentes. Además, explica cómo calcular la composición porcentual de un
Este documento contiene 13 ejercicios de geometría propuestos para estudiantes de 5to año de secundaria. Los ejercicios involucran conceptos como puntos de tangencia, circunferencias inscritas en triángulos, proyecciones ortogonales y relaciones métricas en figuras geométricas. También presenta definiciones preliminares de términos como relación métrica, proyección ortogonal y proyecciones ortogonales en triángulos.
1) El documento presenta las leyes de exponentes y define potenciación, radicación y exponentes. 2) Explica las definiciones de exponente natural, exponente cero y exponente negativo para la potenciación. 3) También presenta teoremas como la multiplicación de bases iguales y la potencia de una potencia para las leyes de exponentes.
Este documento define ángulos y clasifica los diferentes tipos de ángulos. Explica los sistemas de medición de ángulos y cómo convertir entre grados sexagesimales y radianes. También cubre el perímetro y área de triángulos y figuras planas, incluyendo la fórmula del área de un triángulo.
Matemática 3° y 4° medio - Guía de inecuaciones de segundo gradoGreat Ayuda
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Matemática 3° medio - Guía de HomoteciaGreat Ayuda
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Este documento resume los conceptos clave de la comunicación humana y el lenguaje. Explica que la comunicación implica un emisor, mensaje, receptor y código compartido, y describe las funciones del lenguaje como referencial, emotiva y otras. También define conceptos como denotación, connotación, actos de habla y estilos de habla culto e inculto. Por último, resume los diferentes tipos de textos como narrativos, descriptivos y expositivos.
Química 3° medio - Reacciones Ácido-Base, pH y pOHGreat Ayuda
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Resumen formulas en Matemática para bachillerato 2015 Danny GonzAlva
Este documento presenta información sobre elementos de la circunferencia, tipos de circunferencias, propiedades del círculo, fórmulas de polígonos, funciones trigonométricas y características de figuras sólidas. También resume conceptos clave de funciones como dominio, codominio, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y tipos de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y su representación gráfica.
Este documento describe un curso de 40 horas sobre el uso de software matemático para comprender conceptos de geometría analítica. El curso cubrirá temas como geometría euclidiana, geometría cartesiana, coordenadas cartesianas y polares, ecuaciones de rectas, y cálculo de pendientes y puntos medios. El objetivo es utilizar el software para verificar cálculos y hacer los temas más comprensibles.
El documento trata sobre expresiones algebraicas y factorización. Explica que una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionadas mediante operaciones matemáticas. Luego define los diferentes tipos de expresiones como monomios, binomios, trinomios y polinomios. También explica conceptos como suma algebraica, resta algebraica, multiplicación, división, productos notables y factorización de expresiones algebraicas.
Este documento presenta un resumen del plan de estudios de álgebra para el primer bimestre impartido por la profesora Germania Rodríguez. Incluye temas como teoría de conjuntos, sistemas de números reales, exponentes y radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, funciones y gráficas. El plan de estudios cubre conceptos fundamentales de álgebra así como funciones polinomiales, racionales y exponenciales entre otros temas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre las rectas en un plano cartesiano, incluyendo las diferentes formas de representar una ecuación de recta, el cálculo de pendiente, y las relaciones entre rectas paralelas y perpendiculares. Se define formalmente una recta y se explican métodos para encontrar la ecuación de una recta a partir de un gráfico o dos puntos dados.
Este documento presenta una guía práctica para estudiantes de matemáticas del décimo semestre de educación de adultos. La guía incluye objetivos, agradecimientos y contenido sobre sistemas de coordenadas, funciones afines, ecuaciones de rectas, sistemas de ecuaciones lineales, vectores, proyecciones ortogonales, traslaciones, rotaciones, simetrías y congruencia de triángulos. El documento busca facilitar el aprendizaje de estas temáticas mediante ejercicios prácticos.
Calculo y geometría analítica (ecuación de la recta)completaUNAPEC
Este documento presenta los contenidos y aprendizajes esperados de la unidad 1 sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta. Los aprendizajes incluyen calcular distancias y puntos medios, identificar pendientes y coeficientes de posición, y representar y determinar ecuaciones de rectas. También cubre conceptos como rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, grado de un término y expresión, operaciones con expresiones algebraicas, y reducción de términos semejantes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, grado de un término y expresión, operaciones con expresiones algebraicas, y reducción de términos semejantes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, grado de un término y expresión, operaciones con expresiones algebraicas, y reducción de términos semejantes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, términos algebraicos, clasificación de expresiones, operaciones con expresiones algebraicas como suma, resta, multiplicación y factorización. También introduce traducción entre lenguaje algebraico y lenguaje verbal.
Este documento resume conceptos fundamentales de álgebra y funciones como productos notables, cuadrados y cubos de binomios, factorización de polinomios, ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones lineales y conceptos geométricos como rectas y sus elementos. Se explican los pasos para resolver diferentes tipos de problemas matemáticos como de edades, trabajos, mezclas, entre otros.
1. El documento introduce los números complejos, que son necesarios para resolver ecuaciones cuya solución no puede expresarse con números reales. Un número complejo está formado por una parte real y otra imaginaria de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i = -1.
2. Se definen operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de números complejos. También se explican formas de representarlos gráficamente de manera rectangular y polar.
3. Se introducen ecuaciones racionales enteras de grado superior a 2 y vect
1) El documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes de 4to semestre de Ciencias con ejercicios de matemáticas.
2) Agradece a profesores y familiares por su apoyo en la elaboración del cuaderno.
3) Explica los contenidos que incluye el cuaderno como sistemas de coordenadas, vectores, matrices, probabilidad y estadística.
Este documento describe el sistema de coordenadas cartesianas y la ecuación de una recta en dicho sistema. Explica cómo calcular la pendiente y la distancia entre dos puntos en una recta, así como también la ecuación general de una recta y diferentes formas de representarla, incluyendo la forma punto-pendiente y la forma pendiente-ordenada al origen. Finalmente, analiza conceptos como rectas paralelas y perpendiculares.
Este documento contiene información sobre fechas de entrega y procesos de evaluación para grados 10 y 11 en el colegio Ciudad de Cartago. Los estudiantes deben entregar sus trabajos el 16 de abril en el cuaderno grande de talleres. Quienes tengan bajo rendimiento académico deberán hacer una sustentación oral. El 50% de la evaluación proviene de talleres y tareas, y el otro 50% de evaluaciones y sustentaciones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las rectas en el plano cartesiano, incluyendo las diferentes formas de representar una recta mediante una ecuación, el cálculo de pendientes, y las relaciones entre rectas paralelas y perpendiculares. Se explican conceptos como la pendiente, la ecuación punto-pendiente, la ecuación general, y las fórmulas para calcular distancias entre puntos y rectas. El documento concluye resumiendo los diferentes métodos para representar una recta analíticamente.
Este documento presenta un trabajo grupal sobre coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas y funciones integrales en 3 dimensiones. El trabajo analiza cada tema y tiene como objetivos entender cómo resolver ejercicios y explicar los temas a otros compañeros de clase. Incluye ejemplos y ecuaciones para transformar entre los diferentes sistemas de coordenadas.
Este documento trata sobre diferentes temas de álgebra y geometría/trigonometría. Incluye secciones sobre ecuaciones fraccionarias, productos notables, factorización de fracciones, geometría plana, trigonometría y conceptos como leyes de senos y cosenos. También cubre temas algebraicos como términos semejantes, suma y multiplicación de polinomios, y factorización de expresiones usando propiedades de productos notables.
Biología 4° medio - Ecología, poblacionesGreat Ayuda
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Química 4° medio - Informe de Polimerización (creación de un polímero sintético)Great Ayuda
Este documento describe un experimento para crear un polímero sintético de forma casera usando cola fría, colorante, borato de sodio y agua. Se crearon dos esferas de polímero, una expuesta al aire y otra en una bolsa sellada. La expuesta al aire se endureció y oscureció al perder agua, mientras que la sellada mantuvo su textura blanda al no perder agua. El proceso involucra reacciones químicas donde el bórax libera iones que se unen a las cadenas de
Lenguaje 3° medio - Guía 4 de repaso para Exámen Final (el viaje y el amor en...Great Ayuda
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Guía para reforzar los contenidos de tercer año de enseñanza media.
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Inglés 3° medio - Video games in the current world (Los videojuegos en el mun...Great Ayuda
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LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
Durante el período citado se sucedieron tres presidencias radicales a cargo de Hipólito Yrigoyen (1916-1922),
Marcelo T. de Alvear (1922-1928) y la segunda presidencia de Yrigoyen, a partir de 1928 la cual fue
interrumpida por el golpe de estado de 1930. Entre 1916 y 1922, el primer gobierno radical enfrentó el
desafío que significaba gobernar respetando las reglas del juego democrático e impulsando, al mismo
tiempo, las medidas que aseguraran la concreción de los intereses de los diferentes grupos sociales que
habían apoyado al radicalismo.
Elites municipales y propiedades rurales: algunos ejemplos en territorio vascónJavier Andreu
Material de apoyo a la conferencia pórtico de la XIX Semana Romana de Cascante celebrada en Cascante (Navarra), el 24 de junio de 2024 en el marco del ciclo de conferencias "De re rustica. El campo y la agricultura en época romana: poblamiento, producción, consumo"
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
Radicación con expresiones algebraicas para 9no grado
Fórmulas para la PSU de matemática
1. PREPARACIÓN PSU MATEMÁTICA
Resumen completo
Fórmulas, teoremas y conceptos
Ignacio F. Garcés
Agradecimientos: profesores Osvaldo Doña y Jacqueline Velásquez
2016
2. Página | 2
Índice de contenido
Introducción pág. 3
Números pág. 4
Funciones pág. 5
Potenciación (logaritmos y raíces) pág. 7
Plano cartesiano pág. 8
Figuras geométricas pág. 9
↳ Circunferencia: proporcionalidad y ángulos pág. 10
↳ Triángulos: proporcionalidad pág. 11
Sistema o espacio tridimensional pág. 12
Cuerpos geométricos pág. 13
Datos y azar pág. 14
↳ Datos: Estadística pág. 14
↳ Azar: Probabilidades pág. 15
Ecuaciones de segundo grado y productos notables pág. 19
Inecuaciones o desigualdades pág. 20
Cuadrados, cubos y tríos pitagóricos a memorizar pág. 21
Bibliografía pág. 22
3. Página | 3
Introducción
La Prueba de Selección Universitaria (PSU) es la prueba que te posiciona respecto de todos los
demás que desean entrar a la educación superior (en Chile tiene ese nombre, aunque en general, en el
resto de Latinoamérica al menos, el equivalente de esta prueba se llama algo así como Examen
Nacional), y sacar un alto puntaje es fundamental, y para eso necesitas recordar una cantidad insana de
fórmulas, teoremas, etc. Esta gran e importante prueba no es una pesadilla si te preparas bien, en serio.
Si te esfuerzas, te irá bien.
A continuación, se presentan muchas fórmulas, teoremas, conceptos clave, etc. que son complejos,
específicos, y que en general son difíciles de aprender o memorizar. Con este documento hallarás
dichos temas fácilmente, ya que están comprimidos en un solo lugar y podrás repasarlos o quizás
aprenderlos en caso de que no los hayas visto antes. Aprenderse todas y cada una de, en su mayoría,
fórmulas de este documento te asegurará un buen puntaje, y claro, tienes que saber cómo utilizarlas.
En la mayoría de los casos no se explicarán o definirán dichas fórmulas y términos, ya que esto es solo
una compilación o resumen breve, por lo que se considerarán algunos conocimientos básicos como
triviales.
Nota: si descargas este PDF, puedes hacer clic en cualquier elemento del índice temático y se te
llevará a la página correspondiente de forma automática.
4. Página | 4
Números
Generalidades de los enteros
Números pares consecutivos: 2x, (2x + 2), (2x + 4), …
Números impares consecutivos: (2x + 1), (2x + 3), (2x + 5), …
Múltipos de 5 consecutivos: 5x, (5x + 5), (5x + 10), …
Números complejos e imaginarios
i = √−1
i2 = ―1
i3 = ―i = −√−1
i4 = 1
↓ Si z = a + bi ↓
Conjugado de z: z̅ = a − bi
Recíproco de z: z−1
=
1
z
=
z̅
|z|2
Módulo de z: |z| = √a2 + b2
5. Página | 5
Funciones
Función de una función: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔( 𝑥))
Tipos de funciones según dominio y recorrido
Función inyectiva: (“uno a uno”) una imagen con máximo una preimagen.
Función sobreyectiva o epiyectiva: ningún término sobra, cada imagen tiene preimagen.
Función biyectiva: epiyectiva e inyectiva a la vez.
Tipos de funciones según simetría
Función par: cuando x y –x tienen igual imagen (y). Ejemplo: simetría de la función cuadrática (y = x2).
Función impar: si x → y, -x → -y. Ejemplo: función f(x)= x3
6. Página | 6
Función cuadrática
f(x) = ax2
+ bx + c
Vértice de función cuadrática: V(h, k) Eje de simetría en f. cuadrática: (h, ∞)
𝐡 =
x1+ x2
2
=
−b
2a
𝐤 = f(h) =
(4ac − b2)
4a
=
−∆
4a
Interés compuesto (ejemplo común: cantidad de dinero obtenido en cierto tiempo)
Interés compuesto (es una función exponencial): C = i • (1 + x)t
C: capital acumulado.
i: capital inicial.
x: tasa de interés compuesto (en decimal). Es cuánto aumenta o disminuye.
t: número de períodos de tiempo que han transcurrido en el que crece el capital.
Cantidad de algo según el tiempo (ejemplo común: cantidad de bacterias que se duplican)
Se representa como una función exponencial: f(x) = i • xt
f(x): cantidad final.
i: cantidad inicial.
x: variación (cuánto aumenta o disminuye).
t: períodos de tiempo transcurridos.
7. Página | 7
Potenciación (logaritmos y raíces)
Raíces
Orden entre raíces
Si el índice y la cantidad subradical de las raíces que se desea comparar son diferentes, se puede elevar
ambas raíces al M.C.M. de sus índices. Esto se puede apreciar mejor al ver una raíz como potencia.
Así, √5 y √12
3
se pueden elevar a 6 y da como resultado que (√5)6
= 53
= 𝟏𝟐𝟓 , y
(√12
3
)6
= 122
= 𝟏𝟒𝟒 , por lo que √𝟏𝟐
𝟑
> √𝟓
Logaritmos
Cambio de base: loga b =
logk b
logk a
Orden en los logaritmos
Si a < c, entonces logk a < logk c, siempre que 𝒌 > 𝟏.
Si n < m, entonces logn k > logm k, siempre que 𝒌 > 𝟏.
Para ambas afirmaciones, si 𝒌 < 𝟏, se invierte el sentido de la desigualdad.
Para logaritmos de distinta base y argumento, se deben transformar o expresar a una base común. Una
vez hecho esto, se debe aplicar propiedades, y como paso último, comparar los argumentos.
Así, log4 3 y log8 6 se cambiarán a logaritmos de base 2, aplicando el cambio de base:
log4 3 =
log2 3
log2 4
=
log2 3
2
=
1
2
• log2 3 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 √ 𝟑 , y log8 6 =
log2 6
log2 8
=
log2 6
3
=
1
3
•
log2 6 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 √ 𝟔
𝟑
Finalmente se comparan los argumentos, elevándolos al M.C.M. de los índices de las raíces:
(√3)6
= 𝟐𝟕 , y (√6
3
)6
= 𝟑𝟔
Como 27 < 36 , resulta que 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟑 < 𝐥𝐨𝐠 𝟖 𝟔
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Plano cartesiano
Pendiente a partir de dos puntos: m =
y1 − y2
x1 − x2
Ecuación de la recta a partir de un punto y la pendiente: Y − Y1 = m(x − x1)
Vector de traslación de un punto a otro: T⃗⃗ = Pfinal − Pinicial
Distancia entre dos puntos: d(A, B) = AB̅̅̅̅ = √(xA − xB)2 + (yA − yB)2
Rectas perpendiculares: L1 ⊥ L2 si y sólo si: m1 • m2 = −1
Razón de homotecia: r =
OA′
OA
Ecuación vectorial de la recta
Forma de la ecuación vectorial de la recta: k⃗ (t) = w⃗⃗⃗ + t • v⃗ = (w⃗⃗⃗ x, w⃗⃗⃗ y) + t(v⃗ x, v⃗ y)
w⃗⃗⃗ : vector de posición.
v⃗ : vector de dirección.
t: es un escalar, al cual le ponemos valores reales cualesquiera para calcular puntos de la recta.
Dos rectas son paralelas cuando tienen igual v⃗ y un w⃗⃗⃗ semejante, multiplicado por algún número. [1]
Para expresar una ecuación vectorial de la recta en la forma cartesiana:
(x, y) = (x0, y0) + t(a, b) = (x0 + t ∙ a, _y0 + t ∙ b)
Rotación de un punto en el plano cartesiano
+90° +180° +270° +360° = 0°
Pi (x, y) (‒y, x) (‒x, ‒y) (y, ‒x) (x, y)
[1
]: Por ejemplo, si w⃗⃗⃗ 1 es igual a 3 ∙ w⃗⃗⃗ 2, y tienen igual v⃗ , entonces son paralelas.
9. Página | 9
Figuras geométricas
Altura de un triángulo equilátero: h =
a√3
2
Área de un triángulo equilátero: Á =
a • h
2
=
a2
√3
4
En un rectángulo rectángulo obtenido de la mitad de un triángulo equilátero se
cumplen siempre las relaciones de longitud y ángulos de la imagen.
Diagonal de un cuadrado: d = a√2
Área de un cuadrado: Á = a2
=
d2
2
Área de un sector circular: Á =
πr2•θ
360
Longitud del arco del sector circular: L =
2πr•θ
360
10. Página | 10
Circunferencia: proporcionalidad y ángulos
Teorema de cuerdas: AE̅̅̅̅ • EC̅̅̅̅ = BE̅̅̅̅ • ED̅̅̅̅
Ángulo interior: α = ∡AEB =
BÂ + DĈ
2
Teorema de las secantes: AC̅̅̅̅ • AB̅̅̅̅ = AD̅̅̅̅ • AE̅̅̅̅
Ángulo exterior: β = ∡CAD =
DĈ −BÊ
2
Proporcionalidad recta secante - tangente: PC̅̅̅̅2
= PB̅̅̅̅ • PA̅̅̅̅
Ángulo semi-inscrito: λ = ∡BPC =
CB
2
̂
Teorema de las tangentes: PA̅̅̅̅ = PB̅̅̅̅
Los arcos se miden/escriben en sentido antihorario ↺ siempre.
Ángulos complementarios: suman 90°.
Ángulos suplementarios: suman 180°.
En todo polígono regular, la suma total de los ángulos interiores es 180° ∙ (n° de lados − 2)
11. Página | 11
Triángulos: teoremas de proporcionalidad
Teorema de Euclides
Las siguientes ecuaciones sólo sirven en un triángulo rectángulo.
Altura: h2
= m • n h = √m • n =
a • b
AC̅̅̅̅
Catetos: b2
= AC̅̅̅̅ • m a2
= AC̅̅̅̅ • n
Teorema de la bisecrtiz
Sea AM̅̅̅̅̅ bisectriz del triángulo ABC
Proporcionalidad de lados:
AB̅̅̅̅
BM̅̅̅̅̅
=
AC̅̅̅̅
CM̅̅̅̅̅
12. Página | 12
Sistema o espacio tridimensional
Ecuación vectorial de la recta en el espacio
(x, y, z) = P1 + β • d⃗ = (x1, y1, z1) + β • (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Determinar cuándo dos rectas son perpendiculares: L1 ⊥ L2 si d⃗ 1 • d⃗ 2 = 0
Distancia entre dos puntos: d(A, B) = AB̅̅̅̅ = √(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (𝑧 𝐴 − 𝑧 𝐵)2
Ecuación vectorial de un plano en el espacio
Esta ecuación se obtiene a partir de tres puntos no colineales conocidos de un plano (P1, P2 y P3)
(x, y, z) = P1 + λ • (P2 − P1) + μ • (P3 − P1)
A λ y μ se les dan valores variados en los reales para calcular puntos de un plano teniendo su ecuación.
De esta ecuación se obtienen:
x = x1 + λ • (x2 − x1) + μ • (x3 − x1)
y = y1 + λ • (y2 − y1) + μ • (y3 − y1)
z = z1 + λ • (z2 − z1) + μ • (z3 − z1)
Ecuación cartesiana del plano
Ax + By + Cz + D = 0
Como la otra, esta ecuación se obtiene a partir de tres puntos no colineales conocidos, los cuales se
reemplazan, considerando D = 1 y se forma un sistema de ecuaciones en donde es posible determinar
los valores de A, B y C.
Para la ecuación cartesiana del plano existen ciertas propiedades:
o Dos planos son paralelos no coincidentes si:
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
≠
D1
D2
o Dos planos son perpendiculares si: A1 • A2 + B1 • B2 + C1 • C2 = 0
13. Página | 13
Cuerpos geométricos
Área (esfera) = 4πr2 Volumen (esfera) =
4
3
πr3
Área (cubo) = 6a2 Volumen (cubo) = a3
Área (prisma) = (2 • Ábasal) + Álateral Volumen (prisma) = Ábasal • h
Área (pirámide) = Ábase + Álat. Volumen (pirámide) =
1
3
• Ábase • h
Área (cilindro) = 2πr2 + 2πrh Volumen (cilindro) = πr2h
Área (cono) = πr2 + πrg Volumen (cono) =
1
3
• πr2h
Área (tronco de pirámide) = Ábase1 + Ábase2 + Álat.
Volumen (tr. de pirám.) =
𝐡
𝟑
• (Ábase1 + Ábase2 + √Ábase1 • Ábase2)
Área (tronco de cono) = Ábase1 + Ábase2 + Álateral = πr2 + πR2 + π(r + R)g
donde: r = radio pequeño, R = radio grande, g = generatriz
Volumen (tronco de cono) =
𝐡
𝟑
• (Ábase1 + Ábase2 + √Ábase1 • Ábase2)
*En general, h es la altura, Á es área, r es radio.
Diagonal de un cubo (distancia entre vértices opuestos) = 𝐚𝐫𝐢𝐬𝐭𝐚 • √ 𝟑
La diagonal de un paralelepípedo se calcula como: √a2 + b2 + c2, donde a, b y c son aristas.
La altura de la cara lateral de una pirámide se denomina apotema lateral.
El ángulo que se forma entre dos planos (o caras) se llama ángulo diedro.
Fórmula de Euler[2]: aristas + 2 = caras + vértices
[2
]: Es la relación entre número de aristas, caras y vértices en todo poliedro. Sirve para determinar, por ejemplo, el número
de vértices de un cuerpo, sabiendo de antemano cuántas aristas y caras posee.
14. Página | 14
Datos y azar
Datos: Estadística
Medidas de dispersión
Desviación media: D. M. =
∑(|xi− x̅|•fi)
N
Desviación típica o estándar: σ = √
∑[(xi− x̅)2•fi]
N
Varianza: σ2
=
∑[(xi− x̅)2•fi]
N
Rango: xmayor − xmenor
Posición de la mediana (con N impar) =
N + 1
2
Posición de la mediana (con N par) =
N
2
y
N
2
+ 1
Media aritmética o promedio: x̅ =
∑(Xi • fi)
N
En datos agrupados en intervalos, xi es la marca de clase[3
].
Diagrama de caja
Xmín.: dato mínimo o menor.
Xmáx.: dato máximo o mayor.
Q1, Q2, Q3: cuartiles 1, 2 y 3, respectivamente. Q2 es igual a la mediana.
Rango intercuartil o intercuartílico[4]: Cuartil 3 – Cuartil 1
[3
]: La marca de clase es promedio entre el dato mayor y el dato menor del intervalo.
[4
]: Es representado en el diagrama de caja como el ancho del rectángulo. (si es que está vertical, como en la figura)
15. Página | 15
Azar: Probabilidades
Combinatoria
Variación o arreglo sin repetición (importa el orden): Vm
r
=
r!
(m − r)!
Variación o arreglo con repetición (importa el orden): VRm
r
= rm
Combinación sin repetición (orden no interesa): Cr,m = Cm
r
= ( r
m
) =
r!
m! • (r − m)!
Combinación con repetición (orden no interesa): CRm
r
= (r+m−1
m
) =
(r + m − 1)!
m! • (r − 1)!
Permutación sin repetición: Pr = r!
Permutación con repetición[5]: PRa,b,c…
r
=
r!
a! • b! • c!!
Permutación circular[6]: Pr (circular) = (r − 1)!
El factorial de cero es uno: O! = 1
Producto de probabilidades (Probabilidad de que dos sucesos ocurran simultáneamente)
Si son independientes: P(A ∩ B) = P(A) • P(B)
Si A y B son dependientes (probabilidad condicionada): P(A ∩ B) = P(A) • P(B
A⁄ )
[5
]: Ejemplo típico: ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de cierta palabra que tiene letras repetidas?,
con a, b y c de la ecuación siendo las veces que se repite cada elemento/letra. (Si hay 3 letras s, hay que poner 3!)
[6
]: Ejemplo típico: Calcular todas las maneras en que pueden sentarse un cierto número de personas en una mesa redonda.
16. Página | 16
Suma de probabilidades (Probabilidad de que ocurra un suceso o el otro)
Probabilidad total: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Si no hay un conjunto coincidente entre A y B, es decir, si son eventos mutuamente excluyentes y no
pueden ocurrir simultáneamente, P(A ∩ B) desaparece de la ecuación porque valdrá cero.
Probabilidad condicionada o condicional
Probabilidad de que ocurra el suceso A dado que ocurrió B: PA
B⁄ =
P(A ∩ B)
P(B)
=
P(A) • P(B
A⁄ )
P(B)
Función de probabilidad
La suma de las probabilidades (recorrido de la función) da 1: ∑ f(x) = 1
Valor esperado o esperanza en función de probabilidad: E(x) = ∑(P(X = xi) • xi)
La función de distribución corresponde a la función de probabilidad acumulada.
Desviación estándar o típica: σ = √
∑[(xi− E(xi))2 • P(xi)]
N
Varianza: σ2
=
∑[(xi− E(xi))2 • P(xi)]
N
17. Página | 17
Variable aleatoria discreta (distribución binomial)
Se representa de la forma: X ~ B(n,p)
Esperanza o valor esperado en v. a. discreta: E(x) = np
Desviación típica o estándar: σ = √npq
Varianza: σ2
= npq
Distribución binomial de Bernoulli: P(X = x) = 𝐂x
n
• 𝐩x
• 𝐪n−x
Donde:
Cx
n
: combinación de las veces que se repite el experimento sobre la cantidad de éxitos.
n: veces que se repite el experimento
q = (1 – p) = probabilidad de fracaso
p: probabilidad de éxito
k: cantidad de éxitos
(n ‒ k): cantidad de fracasos
18. Página | 18
Uso del Triángulo de Pascal en la variable aleatoria discreta
Para experimentos con dos resultados posibles (como lanzar una moneda), se usa elige el nivel del
triángulo de Pascal correspondiente según el número de veces que se haga el
experimento.
Ejemplo: al lanzar una moneda 5 veces se puede hacer un cuadro con las
probabilidades de cada resultado, con el nivel 5 del triángulo de Pascal:
← ∆ Pascal nv. 5
En los resultados posibles se rellena con una sucesión de números enteros desde 0, y luego en sentido
contrario. Así, por ejemplo, podemos saber fácilmente la probabilidad de que salgan 4 caras y 1 sello,
sería el número del triángulo de Pascal que le corresponde, es decir:
1 5 10 10 5 1
C 0 1 2 3 4 5
S 5 4 3 2 1 0
P(4 caras y 1 sello) = 5
N⁄ = 5
25⁄ = 5
∑ ∆nv.5
⁄ = 𝟓
𝟑𝟐⁄
Variable aleatoria continua (distribución normal)
Representación de una variable aleatoria continua: Z ~ N(μ, σ)
Para estar tipificada, μ debe ser 0 y σ debe valer 1.
Tipificación de x en una distribución normal: Z =
x − μ
σ
Intervalos de confianza = [x̅ − E, x̅ + E] Error: E = Zα
2⁄ •
σ
√N
1 5 10 10 5 1
C 0 1 2 3 4 5
S 5 4 3 2 1 0
19. Página | 19
Ecuaciones de segundo grado y productos notables
Soluciones en una ecuación de segundo grado: x =
−b±√b2−4ac
2a
Discriminante: ∆ = b2
− 4ac
Si ∆ > 0, hay dos soluciones reales distintas.
Si ∆ = 0, hay una única solución real.
Si ∆ < 0, hay dos soluciones imaginarias.
Suma de las soluciones: x1 + x2 = −b a⁄
Producto de las soluciones: x1 • x2 = c a⁄
Soluciones en ecuaciones
Si al reducir una ecuación cualquiera obtenemos 𝟎 = 𝟎, entonces existen infinitas soluciones.
Si al reducir nos queda que 𝐚 = 𝟎, donde a es un número cualquiera, significa que no hay solución.
Productos notables
Cuadrado de binomio: (a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
Suma por su diferencia: a2
− b2
= (a + b)(a − b)
Cubo de binomio: (a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
Suma y diferencia de cubos: a3
± b3
= (a ± b)(a2
∓ ab + b2
)
20. Página | 20
Inecuaciones o desigualdades
Valor absoluto
Una de las cosas más importantes de las inecuaciones es la identificación de, digamos, las posibilidades
del resultado: el resultado de una raíz con índice par no puede ser negativa, el denominador en una
fracción no puede ser cero, etc.
Entre ellas, está el valor absoluto.
El valor absoluto es equivalente al cuadrado de la raíz cuadrada: |𝐱| = √𝐱 𝟐
Las propiedades del valor absoluto son las siguientes:
|x| ≥ 0
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x • y| = |x| • |y|
|x ÷ y| = |x| ÷ |y|
|a| < b ⇔ −b < a < b
|a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
|a| > b ⇔ a < −b ∪ a > b
|a| ≥ b ⇔ a ≥ −b ∪ a ≥ b
21. Página | 21
Cuadrados, cubos y tríos pitagóricos a memorizar
Cuadrados y cubos que probablemente sí sea útil memorizar
112 = 121
122 = 144
132 = 169 33 = 27
142 = 196 43 = 64
152 = 225 53 = 125
162 = 256 63 = 216
172 = 289 73 = 343
182 = 324 83 = 512
93 = 729
Tríos pitagóricos
o 3, 4, 5
o 5, 12, 13
o 8, 15, 17
22. Página | 22
Bibliografía
o Libro de Matemática, preuniversitario Cpech.
o http://www.slideshare.net/sitayanis/5-inecuaciones-con-valor-absoluto-9384355
23. Página | 23
El fin.
Si te sirvió no dudes en compartirlo con tus amigos para ayudarlos.
Estudia.