Este documento propone un algoritmo que reduce la complejidad computacional al convertir un Autómata Finito No Determinístico (AFND) a un Autómata Finito Determinístico (AFD). Los algoritmos existentes tienen una complejidad exponencial O(2n) debido a las múltiples combinaciones de estados posibles entre los autómatas. El nuevo algoritmo solo considera los estados alcanzables desde el estado inicial, eliminando los estados inalcanzables y reduciendo así la complejidad computacional.
El documento describe las funciones de transferencia, que son modelos matemáticos que relacionan la salida de un sistema con su entrada. Explica que una función de transferencia se define como la transformada de Laplace de la respuesta dividida por la transformada de Laplace de la entrada. También describe formas gráficas de representar funciones de transferencia, como diagramas de polos y ceros, diagramas de Bode y diagramas de Black.
Este documento introduce el análisis de sistemas de control en tiempo discreto. Explica que estos sistemas se basan en muestrear señales continuas y utilizan la función de transferencia de pulsos como modelo. Luego describe cómo definir la función de transferencia de pulsos para esquemas prácticos de control y analizar la respuesta dinámica, incluida la estabilidad. Finalmente, cubre temas relacionados con el lugar de las raíces y la respuesta de frecuencia para sistemas de control digital.
Este documento describe la transformada de Laplace, una herramienta matemática que permite convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver. Explica que la transformada de Laplace transforma la integración y derivación en multiplicación y división, lo que simplifica el análisis de sistemas lineales. También menciona algunas aplicaciones comunes de la transformada de Laplace en ingeniería, como reacciones químicas y circuitos eléctricos.
Este documento presenta las actividades realizadas por Jefersson Silva Losada para el curso de Autómatas y Lenguajes Formales en la Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Incluye ejercicios sobre expresiones regulares, autómatas finitos determinísticos y no determinísticos, y la construcción de autómatas para reconocer diferentes lenguajes regulares.
Presentación Autómatas Finito No DeterministicoScarlinr
Un autómata finito no determinista (AFND) es un autómata que puede tener más de una transición posible desde un estado dado para un símbolo dado, a diferencia de los autómatas finitos deterministas. Los AFND permiten representar lenguajes de forma más simple que los autómatas deterministas y son equivalentes a ellos en poder de reconocimiento. Pueden implementarse de varias formas como convirtiéndolos a autómatas deterministas equivalentes o manteniendo múltiples copias del autómata.
Este documento describe la transformada de Laplace, un método operacional para resolver ecuaciones diferenciales lineales. La transformada de Laplace convierte funciones como sinusoidales, exponenciales y sinusoidales amortiguadas en funciones algebraicas de una variable compleja, permitiendo transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. También se detallan las transformadas de Laplace de funciones como exponenciales, escalón, rampa y sinusoidales.
El documento describe la transformada de Laplace, una transformación matemática utilizada para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Fue desarrollada originalmente por matemáticos como Euler, Abel y Heaviside en los siglos XVIII y XIX. La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver mediante la conversión de funciones como senos, cosenos y exponenciales en funciones algebraicas lineales. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones diferenciales y predecir el comportamiento de sistemas sin necesidad de
El documento describe las funciones de transferencia, que son modelos matemáticos que relacionan la salida de un sistema con su entrada. Explica que una función de transferencia se define como la transformada de Laplace de la respuesta dividida por la transformada de Laplace de la entrada. También describe formas gráficas de representar funciones de transferencia, como diagramas de polos y ceros, diagramas de Bode y diagramas de Black.
Este documento introduce el análisis de sistemas de control en tiempo discreto. Explica que estos sistemas se basan en muestrear señales continuas y utilizan la función de transferencia de pulsos como modelo. Luego describe cómo definir la función de transferencia de pulsos para esquemas prácticos de control y analizar la respuesta dinámica, incluida la estabilidad. Finalmente, cubre temas relacionados con el lugar de las raíces y la respuesta de frecuencia para sistemas de control digital.
Este documento describe la transformada de Laplace, una herramienta matemática que permite convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver. Explica que la transformada de Laplace transforma la integración y derivación en multiplicación y división, lo que simplifica el análisis de sistemas lineales. También menciona algunas aplicaciones comunes de la transformada de Laplace en ingeniería, como reacciones químicas y circuitos eléctricos.
Este documento presenta las actividades realizadas por Jefersson Silva Losada para el curso de Autómatas y Lenguajes Formales en la Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Incluye ejercicios sobre expresiones regulares, autómatas finitos determinísticos y no determinísticos, y la construcción de autómatas para reconocer diferentes lenguajes regulares.
Presentación Autómatas Finito No DeterministicoScarlinr
Un autómata finito no determinista (AFND) es un autómata que puede tener más de una transición posible desde un estado dado para un símbolo dado, a diferencia de los autómatas finitos deterministas. Los AFND permiten representar lenguajes de forma más simple que los autómatas deterministas y son equivalentes a ellos en poder de reconocimiento. Pueden implementarse de varias formas como convirtiéndolos a autómatas deterministas equivalentes o manteniendo múltiples copias del autómata.
Este documento describe la transformada de Laplace, un método operacional para resolver ecuaciones diferenciales lineales. La transformada de Laplace convierte funciones como sinusoidales, exponenciales y sinusoidales amortiguadas en funciones algebraicas de una variable compleja, permitiendo transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. También se detallan las transformadas de Laplace de funciones como exponenciales, escalón, rampa y sinusoidales.
El documento describe la transformada de Laplace, una transformación matemática utilizada para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Fue desarrollada originalmente por matemáticos como Euler, Abel y Heaviside en los siglos XVIII y XIX. La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver mediante la conversión de funciones como senos, cosenos y exponenciales en funciones algebraicas lineales. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones diferenciales y predecir el comportamiento de sistemas sin necesidad de
Automata Finito No Determinista - Francisco Torvisco 11-0402 & Jose Raul Nova...Don_Francisco
Un autómata finito no determinista (AFND) puede tener múltiples transiciones posibles desde un estado dado para un mismo símbolo de entrada, a diferencia de los autómatas finitos deterministas. Un AFND también puede tener transiciones vacías que permiten cambiar de estado sin procesar un símbolo de entrada. Aunque el estado siguiente de un AFND depende de eventos de entrada futuros, es posible convertir cualquier AFND a un autómata finito determinista equivalente.
El documento describe los autómatas finitos no deterministas (AFND), incluyendo su definición formal, representación, función de transición para cadenas y simulación algorítmica. También explica cómo construir un autómata finito determinista (AFD) equivalente a partir de un AFND mediante la aplicación de la λ-clausura y la función de transición a conjuntos de estados.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que permite convertir ecuaciones diferenciales en problemas algebraicos más simples de resolver. Se define como una integral impropria que toma una función de una variable y la convierte en una función de otra variable. Es muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales, especialmente cuando los coeficientes son constantes. Tiene importantes aplicaciones en ingeniería, como en teoría de control, donde permite representar sistemas dinámicos mediante diagramas de bloques.
Este documento presenta definiciones y propiedades de la transformada de Fourier, la serie de Fourier y la transformada de Laplace. La transformada de Fourier convierte una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La serie de Fourier es una suma infinita de funciones senoidales que converge a una función periódica. La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo a ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.
El documento presenta información sobre series de Fourier, transformadas de Fourier y transformadas de Laplace. Explica que las series de Fourier descomponen funciones periódicas en funciones senoidales, y las transformadas de Fourier convierten señales del dominio temporal al dominio de la frecuencia. También define la transformada de Laplace como una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la conversión a ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.
El documento explica la transformada de Laplace, la cual convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver. Describe propiedades como la linealidad y transformaciones de funciones como seno y coseno. Explica que la transformada de Laplace se usa comúnmente para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo como circuitos eléctricos. Finalmente, enfatiza la importancia de la transformada de Laplace para resolver problemas de ingeniería que involucran ecuaciones diferenciales.
Una función de transferencia es un modelo matemático que relaciona la respuesta de un sistema a una señal de entrada mediante un cociente. Laplace fue uno de los primeros en describir estos modelos matemáticamente. La función de transferencia se puede determinar como la transformada de Laplace de la respuesta dividida por la transformada de Laplace de la señal de entrada, y representa la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso.
Este documento presenta los conceptos básicos de la transformada de Laplace, incluyendo su definición, propiedades como la linealidad y orden exponencial, transformadas inversas comunes, tablas de Laplace y ejemplos resueltos. El objetivo es mostrar cómo se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Los autómatas finitos no deterministas (AFND) permiten múltiples transiciones posibles ante una situación dada y transiciones sin símbolos de entrada. Un AFND se define como una tupla que incluye un conjunto de estados, una función de transición que mapea pares de estados y símbolos a subconjuntos de estados, un estado inicial y un conjunto de estados finales. El lenguaje aceptado por un AFND incluye todas las cadenas que pueden llevar al AFND a un estado final. Los AFND y autómatas finitos
1) El documento presenta un trabajo sobre autómatas y lenguajes formales independientes del contexto. 2) Analiza conceptos como autómatas de pila y expresiones regulares para validar campos de texto. 3) El objetivo general es reconocer lenguajes independientes del contexto y sus aplicaciones.
Transformada de laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales j...Wilfredy Inciarte
Este documento describe la transformada de Laplace y sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales. Introduce la transformada de Laplace, funciones como la función de Heaviside y propiedades como linealidad y transformadas de derivadas e integrales. Luego explica cómo usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones y sistemas diferenciales que surgen en circuitos eléctricos.
Este documento explica cómo los gráficos en 3D de la magnitud de una función de transferencia ilustran visualmente la presencia de polos y ceros. Los polos se representan como picos que tienden al infinito, mientras que los ceros se representan como conos invertidos con la punta en el punto cero, donde el valor tiende a cero. La forma plana de la superficie depende del orden de los polinomios numerador y denominador.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que cambia una función de una variable a otra función de otra variable mediante una integral impropia. Se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales e integrales lineales, aunque generalmente se aplica a problemas con coeficientes constantes. La transformada se define como una integral impropia de una función f(t) multiplicada por un factor exponencial, y existirá siempre que f(t) sea continua y de orden exponencial. Posee propiedades como linealidad, teoremas de traslación, derivadas e integrales.
Este documento presenta información sobre el lugar geométrico de las raíces (LGR). Define el LGR como el conjunto de soluciones de la ecuación característica de un sistema a medida que varía un parámetro, como la ganancia. Explica que el LGR comienza en los polos del lazo abierto y termina en los ceros del lazo abierto a medida que la ganancia aumenta desde 0 a infinito. También describe cómo MATLAB puede usarse para generar LGR de forma simple.
Transformada de fourier y transformada inversa de fourierheyner20
La transformada de Fourier y su inversa son transformaciones integrales que permiten pasar de una función en el dominio del tiempo a su representación en el dominio de la frecuencia y viceversa. Las transformadas de Fourier se definen mediante integrales y cumplen propiedades matemáticas como continuidad y teoremas de inversión que justifican su uso para analizar señales. El documento presenta definiciones formales de ambas transformadas y resuelve ejemplos aplicando propiedades para calcular las transformadas de funciones simples como escalones y senoides.
El documento describe el lugar geométrico de las raíces (LGR), un método para analizar la estabilidad de sistemas de control mediante la variación de la ganancia K. Explica cómo trazar el LGR usando las condiciones de módulo y ángulo, y cómo se usa MATLAB para dibujarlo. También describe características clave del LGR como sus ramas, puntos de partida, intersecciones con el eje imaginario y asíntotas.
Este documento describe diferentes tipos de señales fundamentales en ingeniería eléctrica y de señales, incluyendo la señal escalón, la señal rampa, la señal impulso y la señal senoidal. La señal escalón tiene un valor de 0 para valores negativos de su argumento y 1 para valores positivos. La señal rampa aumenta linealmente con el tiempo. La señal impulso es una función matemática de muy corta duración y gran amplitud. Y la señal senoidal representa ondas periódicas que
Este documento explica la transformada de Laplace, que convierte una función del tiempo en una función de una variable compleja a través de una integral. La transformada de Laplace se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales lineales. También se aplica en ingeniería, por ejemplo, para analizar circuitos eléctricos y sistemas mecánicos.
Este documento describe los lenguajes regulares, incluyendo que pueden ser reconocidos por autómatas finitos o expresiones regulares. Explica los autómatas finitos deterministas y no deterministas, y cómo se pueden representar mediante tablas de transición de estados o diagramas de estados. También cubre expresiones regulares y la operación de clausura de Kleene. Por último, introduce el lema de bombeo para demostrar que ciertos lenguajes infinitos no son regulares.
Este documento describe la conversión de un autómata finito no determinista (AFN) a un autómata finito determinista (AFD) utilizando el algoritmo de construcción de subconjuntos. El algoritmo construye los estados del AFD como subconjuntos de estados del AFN y la tabla de transiciones de manera que el AFD simule todos los posibles movimientos del AFN. Se implementa este algoritmo para convertir un ejemplo de AFN al lenguaje (a|b)*abb a un equivalente AFD.
Este documento describe los autómatas finitos determinísticos y no determinísticos. Define un autómata finito como una máquina que puede aceptar entradas y producir salidas basadas en su estado interno. Explica que un autómata finito determinístico tiene exactamente un estado siguiente para cada par estado-entrada, mientras que un autómata no determinístico puede tener múltiples estados siguientes. También cubre las representaciones de tablas de transición y diagramas de estado, y cómo manejar transiciones epsilon.
Automata Finito No Determinista - Francisco Torvisco 11-0402 & Jose Raul Nova...Don_Francisco
Un autómata finito no determinista (AFND) puede tener múltiples transiciones posibles desde un estado dado para un mismo símbolo de entrada, a diferencia de los autómatas finitos deterministas. Un AFND también puede tener transiciones vacías que permiten cambiar de estado sin procesar un símbolo de entrada. Aunque el estado siguiente de un AFND depende de eventos de entrada futuros, es posible convertir cualquier AFND a un autómata finito determinista equivalente.
El documento describe los autómatas finitos no deterministas (AFND), incluyendo su definición formal, representación, función de transición para cadenas y simulación algorítmica. También explica cómo construir un autómata finito determinista (AFD) equivalente a partir de un AFND mediante la aplicación de la λ-clausura y la función de transición a conjuntos de estados.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que permite convertir ecuaciones diferenciales en problemas algebraicos más simples de resolver. Se define como una integral impropria que toma una función de una variable y la convierte en una función de otra variable. Es muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales, especialmente cuando los coeficientes son constantes. Tiene importantes aplicaciones en ingeniería, como en teoría de control, donde permite representar sistemas dinámicos mediante diagramas de bloques.
Este documento presenta definiciones y propiedades de la transformada de Fourier, la serie de Fourier y la transformada de Laplace. La transformada de Fourier convierte una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La serie de Fourier es una suma infinita de funciones senoidales que converge a una función periódica. La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo a ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.
El documento presenta información sobre series de Fourier, transformadas de Fourier y transformadas de Laplace. Explica que las series de Fourier descomponen funciones periódicas en funciones senoidales, y las transformadas de Fourier convierten señales del dominio temporal al dominio de la frecuencia. También define la transformada de Laplace como una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la conversión a ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.
El documento explica la transformada de Laplace, la cual convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver. Describe propiedades como la linealidad y transformaciones de funciones como seno y coseno. Explica que la transformada de Laplace se usa comúnmente para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo como circuitos eléctricos. Finalmente, enfatiza la importancia de la transformada de Laplace para resolver problemas de ingeniería que involucran ecuaciones diferenciales.
Una función de transferencia es un modelo matemático que relaciona la respuesta de un sistema a una señal de entrada mediante un cociente. Laplace fue uno de los primeros en describir estos modelos matemáticamente. La función de transferencia se puede determinar como la transformada de Laplace de la respuesta dividida por la transformada de Laplace de la señal de entrada, y representa la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso.
Este documento presenta los conceptos básicos de la transformada de Laplace, incluyendo su definición, propiedades como la linealidad y orden exponencial, transformadas inversas comunes, tablas de Laplace y ejemplos resueltos. El objetivo es mostrar cómo se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Los autómatas finitos no deterministas (AFND) permiten múltiples transiciones posibles ante una situación dada y transiciones sin símbolos de entrada. Un AFND se define como una tupla que incluye un conjunto de estados, una función de transición que mapea pares de estados y símbolos a subconjuntos de estados, un estado inicial y un conjunto de estados finales. El lenguaje aceptado por un AFND incluye todas las cadenas que pueden llevar al AFND a un estado final. Los AFND y autómatas finitos
1) El documento presenta un trabajo sobre autómatas y lenguajes formales independientes del contexto. 2) Analiza conceptos como autómatas de pila y expresiones regulares para validar campos de texto. 3) El objetivo general es reconocer lenguajes independientes del contexto y sus aplicaciones.
Transformada de laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales j...Wilfredy Inciarte
Este documento describe la transformada de Laplace y sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales. Introduce la transformada de Laplace, funciones como la función de Heaviside y propiedades como linealidad y transformadas de derivadas e integrales. Luego explica cómo usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones y sistemas diferenciales que surgen en circuitos eléctricos.
Este documento explica cómo los gráficos en 3D de la magnitud de una función de transferencia ilustran visualmente la presencia de polos y ceros. Los polos se representan como picos que tienden al infinito, mientras que los ceros se representan como conos invertidos con la punta en el punto cero, donde el valor tiende a cero. La forma plana de la superficie depende del orden de los polinomios numerador y denominador.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que cambia una función de una variable a otra función de otra variable mediante una integral impropia. Se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales e integrales lineales, aunque generalmente se aplica a problemas con coeficientes constantes. La transformada se define como una integral impropia de una función f(t) multiplicada por un factor exponencial, y existirá siempre que f(t) sea continua y de orden exponencial. Posee propiedades como linealidad, teoremas de traslación, derivadas e integrales.
Este documento presenta información sobre el lugar geométrico de las raíces (LGR). Define el LGR como el conjunto de soluciones de la ecuación característica de un sistema a medida que varía un parámetro, como la ganancia. Explica que el LGR comienza en los polos del lazo abierto y termina en los ceros del lazo abierto a medida que la ganancia aumenta desde 0 a infinito. También describe cómo MATLAB puede usarse para generar LGR de forma simple.
Transformada de fourier y transformada inversa de fourierheyner20
La transformada de Fourier y su inversa son transformaciones integrales que permiten pasar de una función en el dominio del tiempo a su representación en el dominio de la frecuencia y viceversa. Las transformadas de Fourier se definen mediante integrales y cumplen propiedades matemáticas como continuidad y teoremas de inversión que justifican su uso para analizar señales. El documento presenta definiciones formales de ambas transformadas y resuelve ejemplos aplicando propiedades para calcular las transformadas de funciones simples como escalones y senoides.
El documento describe el lugar geométrico de las raíces (LGR), un método para analizar la estabilidad de sistemas de control mediante la variación de la ganancia K. Explica cómo trazar el LGR usando las condiciones de módulo y ángulo, y cómo se usa MATLAB para dibujarlo. También describe características clave del LGR como sus ramas, puntos de partida, intersecciones con el eje imaginario y asíntotas.
Este documento describe diferentes tipos de señales fundamentales en ingeniería eléctrica y de señales, incluyendo la señal escalón, la señal rampa, la señal impulso y la señal senoidal. La señal escalón tiene un valor de 0 para valores negativos de su argumento y 1 para valores positivos. La señal rampa aumenta linealmente con el tiempo. La señal impulso es una función matemática de muy corta duración y gran amplitud. Y la señal senoidal representa ondas periódicas que
Este documento explica la transformada de Laplace, que convierte una función del tiempo en una función de una variable compleja a través de una integral. La transformada de Laplace se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales lineales. También se aplica en ingeniería, por ejemplo, para analizar circuitos eléctricos y sistemas mecánicos.
Este documento describe los lenguajes regulares, incluyendo que pueden ser reconocidos por autómatas finitos o expresiones regulares. Explica los autómatas finitos deterministas y no deterministas, y cómo se pueden representar mediante tablas de transición de estados o diagramas de estados. También cubre expresiones regulares y la operación de clausura de Kleene. Por último, introduce el lema de bombeo para demostrar que ciertos lenguajes infinitos no son regulares.
Este documento describe la conversión de un autómata finito no determinista (AFN) a un autómata finito determinista (AFD) utilizando el algoritmo de construcción de subconjuntos. El algoritmo construye los estados del AFD como subconjuntos de estados del AFN y la tabla de transiciones de manera que el AFD simule todos los posibles movimientos del AFN. Se implementa este algoritmo para convertir un ejemplo de AFN al lenguaje (a|b)*abb a un equivalente AFD.
Este documento describe los autómatas finitos determinísticos y no determinísticos. Define un autómata finito como una máquina que puede aceptar entradas y producir salidas basadas en su estado interno. Explica que un autómata finito determinístico tiene exactamente un estado siguiente para cada par estado-entrada, mientras que un autómata no determinístico puede tener múltiples estados siguientes. También cubre las representaciones de tablas de transición y diagramas de estado, y cómo manejar transiciones epsilon.
Este documento describe el análisis de sensibilidad para programas lineales utilizando el método simplex. Explica cómo calcular los intervalos de optimidad para los coeficientes de la función objetivo y los valores de los lados derechos. También define los precios sombra y describe cómo determinar el intervalo de factibilidad para los valores de los lados derechos utilizando un ejemplo numérico.
Este documento describe las máquinas de estado finito, las cuales reconocen cadenas de caracteres y dan una respuesta de "sí" o "no" basada en las transiciones entre estados. Estas máquinas comienzan en un estado inicial y se mueven a estados siguientes basados en los caracteres de la cadena, hasta que la cadena termina o no hay más transiciones posibles. Si el estado final es alcanzado con la cadena vacía, la respuesta es "sí", de lo contrario es "no".
Este documento describe las máquinas de estado finito, las cuales reconocen cadenas de caracteres y dan una respuesta de "SÍ" o "NO" basada en las transiciones entre estados. El proceso comienza en un estado inicial y se mueve a estados siguientes según el carácter analizado, hasta que la cadena esté vacía o no haya más transiciones posibles. Si el estado final es alcanzado con la cadena vacía, la respuesta es "SÍ", de lo contrario es "NO".
para upo ≤ b0
( K 5 − K 6 ) upo / b1
para b0 < upo < b1
K 6
para upo ≥ b1
1) El documento describe el proceso de defusificación en un controlador fuzzy, el cual mapea las acciones de control fuzzy definidas sobre su universo a un espacio numérico de control de acciones.
2) Explica los métodos de defusificación más utilizados: el método de centro de gravedad y el método de las alturas.
para upo ≤ b0
( K 5 − K 6 ) upo / b1
para b0 < upo < b1
K 6
para upo ≥ b1
1) El documento describe el proceso de defusificación en un controlador fuzzy, el cual mapea las acciones de control fuzzy definidas sobre su universo a un espacio de control numérico.
2) Explica que el método de las alturas y el método del centro de gravedad son los métodos de defusificación más utilizados y cómo estos act
Este documento trata sobre autómatas finitos. Explica la clasificación de autómatas finitos determinísticos y no determinísticos, y cómo convertir un autómata finito no determinístico a uno determinístico usando el algoritmo de subconjuntos. También cubre la representación de expresiones regulares usando autómatas finitos no determinísticos y la minimización de estados en un autómata finito. Por último, presenta un caso de estudio sobre la construcción de un vehículo que evade obstáculos us
El documento describe los autómatas finitos deterministas (AFD), incluyendo su definición formal, ejemplos de AFD, y cómo representar y analizar lenguajes aceptados por AFD. Un AFD se define como una quíntupla que describe los estados, alfabeto, estado inicial, función de transición y estados finales. Se explican conceptos como estados accesibles, conexos, y cómo construir un analizador léxico a partir de un AFD.
Este documento introduce las series de Fourier y explica cómo calcular los coeficientes de Fourier para una función dada. Resume los pasos para desarrollar una función en una serie de Fourier utilizando un conjunto ortogonal de funciones trigonométricas. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el proceso y discute la convergencia y extensión periódica de las series de Fourier.
Este documento describe la implementación de dos sistemas digitales en MATLAB. Primero, programa un sistema cuya ecuación en diferencias se da, usando las estructuras directa II y cascada. Explica las diferencias entre ambas implementaciones. Segundo, programa otro sistema a partir de su diagrama de bloques, usando directamente su ecuación en diferencias.
Introducci´on a matlab y simulink para el control3inar
Este documento presenta una introducción a MATLAB y SIMULINK para el análisis y simulación de sistemas de control. Explica comandos básicos de MATLAB como conversión de funciones de transferencia, cálculo de raíces, desarrollo en fracciones simples, y gráficos de respuesta. También introduce SIMULINK describiendo su interfaz, modelado de sistemas en lazo cerrado, respuesta al escalón y uso de parámetros.
El documento habla sobre el desarrollo de los lenguajes de simulación y simuladores. Explica que inicialmente se usaban lenguajes generales como FORTRAN pero que a partir de 1960 surgieron lenguajes específicos como GPSS, GASP y SIMSCRIPT. También describe cómo las interfaces gráficas revolucionaron el campo con el nacimiento de los simuladores. Resalta la importancia de seleccionar la herramienta adecuada para cada tipo de sistema a simular.
Trabajo realizado en las prácticas de la asignatura de Aprendizaje y Percepción de 4º Curso de Ingeniería Informática. A partir de la facilitación de diversos archivos de características, tanto de entrenamiento para la construcción del clasificador, como de test, se ha procedido a procesarlos con tres diferentes algoritmos: k-nn (k vecinos más cercanos) y Perceptrón, para los datos geométricos y hmm (modelo oculto de Márkov) para los datos estructurales con el fin de obtener resultados concluyentes.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre la teoría de control de respuesta en frecuencia. Introduce los métodos de respuesta en frecuencia como uno de los métodos más populares para el diseño de sistemas de control con retroalimentación debido a su facilidad para incorporar la incertidumbre del modelo de planta. Explica que la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo ante una señal de entrada senoidal es otra señal senoidal de la misma frecuencia pero con diferente amplitud y fase. Finalmente, resume los diagramas de
Este documento presenta la solución a un taller de control de sistemas con 5 ejercicios resueltos en Matlab y Simulink. El primer ejercicio involucra obtener transformadas de Laplace e inversas de varias funciones. El segundo ejercicio caracteriza una planta experimentalmente. El tercer ejercicio modela un circuito RLC. Los ejercicios 4 y 5 involucran modelar sistemas en Simulink y analizar su estabilidad. El documento provee detalles completos sobre cómo resolver cada punto del taller.
El documento habla sobre máquinas de estado finito y sus componentes. Explica que dos máquinas son equivalentes si reconocen el mismo lenguaje, es decir, si sus estados iniciales son equivalentes. También describe cómo los estados son equivalentes si para cualquier palabra la máquina llega a un estado final o no al mismo tiempo, y cómo dos máquinas son isomorfas si existe una correspondencia biunívoca entre sus estados que mapea estados iniciales a iniciales y estados finales a finales.
Presentacion Autómata finito No deterministicoAnyela Baez
Un autómata finito no determinista (AFND) es un autómata finito que puede tener más de una transición posible desde un estado dado para un símbolo particular, a diferencia de los autómatas finitos deterministas. Los AFND pueden reconocer el mismo lenguaje que los autómatas finitos deterministas y son útiles para simplificar la construcción y demostración de propiedades en teoría de la computación.
Este documento describe los autómatas finitos no deterministas (AFND), los cuales permiten múltiples transiciones desde un estado dado para un mismo símbolo de entrada. Explica que un AFND se define como una 5-tupla con estados, alfabeto, función de transición, estado inicial y estados finales. También discute formas de implementar un AFND, como convertirlo a un autómata finito determinista equivalente o mantener un conjunto de estados actuales.
Este documento presenta información sobre diferentes tipos de gramáticas formales. En primer lugar, se proporciona un cuadro resumiendo las características principales de las gramáticas dependientes del contexto, independientes del contexto y regulares. Luego, se dan ejemplos ilustrativos de cada tipo de gramática. Finalmente, se explica brevemente el concepto de árbol de derivación y su uso para representar las derivaciones de una gramática.
Lineas de transmision y guias de onda heidy sangronisRoberto Zanetti
El documento describe el modelo circuital de una línea bifilar ideal. Explica que una línea de transmisión puede verse como una sucesión de cuadripolos de longitud infinitesimal, para los cuales se puede usar un modelo circuital basado en las tensiones y corrientes de entrada y salida, ya que las dimensiones de cada cuadripolo cumplen con la condición cuasiestática. También menciona que este modelo circuital permite calcular los parámetros de la línea, como la resistencia y la inductancia.
Este documento describe rotaciones de árboles balanceados para corregir desequilibrios. Explica rotaciones simples a la izquierda y derecha cuando un subárbol está desequilibrado en esa dirección. También describe rotaciones dobles cuando el desequilibrio tiene forma de zigzag, usando esta técnica cuando un subárbol está dos niveles más alto y su raíz está cargada en la dirección opuesta.
El documento presenta ejercicios sobre lenguajes formales y autómatas. En el primer ejercicio, se definen operaciones entre lenguajes como la unión y concatenación a partir de alfabetos dados. El segundo ejercicio trata sobre construir el autómata asociado a una expresión regular dada. Finalmente, el tercer ejercicio pide obtener cadenas que pertenezcan al lenguaje de palabras palíndromas sobre un alfabeto binario.
El documento habla sobre las técnicas de diseño estructurado como la descomposición por refinamientos sucesivos, la jerarquía modular y los módulos independientes. Describe el diseño top-down, los diagramas de estructura y flujo, y el pseudocódigo, los cuales facilitan el desarrollo de algoritmos y programas para resolver problemas de manera estructurada.
El documento habla sobre las técnicas de diseño estructurado como la descomposición por refinamientos sucesivos, la jerarquía modular y los módulos independientes. Describe el diseño top-down, los diagramas de estructura y flujo, y el pseudocódigo, los cuales facilitan el desarrollo de algoritmos y programas para resolver problemas de manera estructurada.
El documento habla sobre las técnicas de diseño estructurado como la descomposición por refinamientos sucesivos, la jerarquía modular y los módulos independientes. Describe el diseño top-down, los diagramas de estructura y flujo, y el pseudocódigo, los cuales facilitan el desarrollo de algoritmos y programas para resolver problemas de manera estructurada.
El documento presenta los resultados del análisis de varios grafos. Describe las matrices de adyacencia y de incidencia de un grafo no dirigido y completo con 8 vértices. Luego, analiza si dicho grafo es conexo, simple, regular o completo. Además, encuentra una cadena y un ciclo en el grafo. Finalmente, determina las distancias entre un vértice y los demás en un digrafo usando el algoritmo de Dijkstra.
El documento presenta los resultados del análisis de un grafo y un dígrafo. En el grafo, se calculan la matriz de adyacencia y de incidencia, y se determina que es conexo, simple, completo pero no regular. También se encuentran una cadena y un ciclo no simples, y un árbol generador. En el dígrafo, se calcula la matriz de conexión y se determina que es simple. Se encuentran una cadena no simple no elemental y un ciclo simple. Finalmente, se demuestra que el dígrafo es fuertemente conexo y
1. Scientia et Technica Año XVII, No 47, Abril de 2011. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701 147
Fecha de Recepción: 25 de Enero de 2011
Fecha de Aceptación: 24 de Abril de 2011
ALGORITMO PARA REDUCIR LA COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL EN LA
CONVERSIÓN DE AFNDs. A AFDs.
Algorithm to reduce the computational Complexity Converting an NFA to a DFA
RESUMEN
Al convertir un Autómata Finito No Determinístico (AFND) a un
Autómata Finito Determinístico (AFD) los algoritmos descritos en la
mayoría de la documentación presentan una complejidad computacional
del tipo exponencial (O(2n
)), lo cual no es deseable. Esto se debe a las
múltiples combinaciones que se dan al hallar los posibles estados
equivalentes entre autómatas. El presente trabajo propone un algoritmo
que reduce dicha complejidad.
PALABRAS CLAVES: AFD, AFND, Autómata, Complejidad
Computacional, Estados.
ABSTRACT
When converting a non deterministic automata to a deterministic
automata the algorithms described in most papers have an exponential
computational complexity (O(2n
)), which is no desired. This is due to the
multiple combinations that are possible to find equivalent states between
automatas. This paper proposes an algorithm that reduces this
complexity.
KEYWORDS: Automata, DFA, NFA, Computational Complexity,
States.
JORGE IVAN RIOS P
Ingeniero Industrial,
M. Sc. Ingeniería de Sistemas,
M. Sc Ingeniería del Conocimiento.
Profesor Asociado.
Programa de Ingeniería de Sistemas
y Computación.
Universidad Tecnológica de Pereira
jirios@utp.edu.co
HUGO HUMBERTO MORALES
PEÑA
Ingeniero de Sistemas.
Profesor Auxiliar
Programa de Ingeniería de Sistemas
y Computación.
Universidad Tecnológica de Pereira
huhumor@utp.edu.co
AUGUSTO ANGEL AGUDELO
ZAPATA
Ingeniero Electricista, Esp.
Profesor Auxiliar
Programa de Ingeniería de Sistemas
y Computación.
Universidad Tecnológica de Pereira
a3udeloz@utp.edu.co
1. INTRODUCCIÓN
Un problema que se presenta, cuando se realizan
transformaciones de Autómatas Finitos No Deterministas
(AFNDs.), a Autómatas Finitos Deterministas (AFDs.),
concretamente en su equivalencia computacional, es que
en dicha transformación, se presenta una alta complejidad
de tipo computacional: O(2n
), debido a que el algoritmo
que se propone en toda la bibliografía revisada y
referenciada [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] y [9], tiene
en cuenta todas las posibles combinaciones de los estados
del AFND, al realizar dicha transformación.
Cuando se trata de pequeños AFNDs, es decir cuando el
número de estados es pequeño (no mayor que de 4), la
complejidad computacional de la transformación no suele
ser impactante y se puede recurrir al algoritmo propuesto
en la antes mencionada bibliografía.
Lo anterior se debe, a que el algoritmos que establecen la
equivalencia computacional entre AFNDs. y AFDs.,
basan su fundamento, en que un conjunto de estados en
un AFND es equivalente a uno en el AFD:
, donde , y (1)
En este artículo, proponemos un algoritmo, que reduce la
complejidad en el caso promedio, en la conversión de un
AFND a AFD.
2. ALGORITMO PARA DETERMINAR LA
EQUIVALENCIA COMPUTACIONAL ENTRE
AFNDs. Y AFDs.
2.1 Definiciones Básicas
Definición: Sea un AFD, M = ( , Q, s, F, ) donde es
el alfabeto, Q el conjunto de estados, s=q0 el estado
inicial, F el conjunto de estados de aceptación, y es la
función de transición : Q → Q, y dicha función
2. Scientia et Technica Año XIII, No x, Mes de 200x. Universidad Tecnológica de Pereira.148
extendida, ’ : Q → Q, la cual queda definida
recursivamente así:
(2)
Por lo tanto un lenguaje aceptado por un AFD cualquiera,
está definido, por:
L(M) = { ω | ω ˄ ´(q0, ω) F} (3)
De forma análoga a lo anterior, se tiene para los AFNDs.,
la siguiente definición:
Definición: Sea un AFND, definido como M’ = ( , Q, s,
F, ) donde es la relación de transición : Q → Q,
y dicha relación extendida, : Q → Q, la cual
queda definida recursivamente así:
(4)
Por lo tanto, y de manera similar que en el AFD, el
lenguaje de aceptación, de un AFND, es:
L(M’) = { ω | ω ˄ ’ (q0, ω) F ≠ } (5)
De lo anterior, es fácil determinar que si los dos
lenguajes (4) (7) son iguales, los dos autómatas son
equivalentes: AFD AFND.
2.2 Equivalencia Computacional entre AFDs. y
AFNDs.
La equivalencia y por lo tanto, el algoritmo para
determinarlo, entre dos autómatas uno AFND y otro
AFD, pasa por la demostración del anterior teorema.
Según [5] [6] y [8], se debe definir el AFD en función del
AFND así: M’’ = ( , Q’, s’, F’, ), dónde:
: Alfabeto
Q’ : Colección de los subconjuntos de Q: P(Q)
s’ : {q0}
F’ : Colección de subconjuntos de Q, que contienen
estados de F, es decir F’ = {P Q’ | P F ≠ }
: Función de transición1
Q’ → Q’, donde:
1
ahora es una función que operará sobre colecciones de estados
(6)
Es fácil colegir, que el nuevo conjunto de estados (Q’),
será la nueva colección de posibles subconjuntos de los
estados del AFND, es decir 2n+1
estados.
Por lo tanto, si Q = {qo, q1, …., qn}, entonces:
Q’={{},{qo},{q1},…, {qn},...,{qo,q1},…{qo,qn},
...{q1,q2}, …,{ qo, q1, ..., qn}} 2
(7)
Al realizar las transiciones del nuevo AFD equivalente, el
orden de complejidad seria:
m 2n+1
= O(2n
), donde , (8)
2.3 Ejemplo 1:
Con el fin ilustrar cómo funciona el algoritmo, y
determinar su complejidad, proponemos el siguiente
ejemplo.
Sea un AFND M’ = ( , Q, s, F, ) donde:
= {a,b}
Q = {qo, q1, q2}
s = q0
F = {q2}
Relación (definida en la Tabla 1)
Q
q0 {q1}
q1
{q1
} { q1, q2
}
q2 { q2
}
Tabla 1. Relación de transiciones del AFND
La representación gráfica del AFND (Figura 1) es:
Figura 1. Diagrama de transición del AFND propuesto
2
En el resto del artículo de forma indiferente se utilizará el símbolo
o el par de llaves sin elementos {} para representar el conjunto vacío.
a, b
a b
b
q0 q1 q2
3. Scientia et Technica Año XIII, No x, Mes de 200x. Universidad Tecnológica de Pereira. 149
Aplicando (6) y (7), se obtiene el siguiente AFD M’’ =
( , Q’, s’, F’, ), equivalente:
= {a,b}
s’ = {q0}
Q’=P(Q)={{},{qo},{q1},{q2},{qo,q1},{qo,q2},
{q1,q2},{qo, q1, q2}}
F’ = {{q2},{qo,q2}, {q1,q2},{qo, q1, q2}}
Función (definida en la Tabla 2)
Q’
{} {} {}
{q0} {q1
} {}
{q1
} {q1
} {q1,q2}
{q2
} {} {q2
}
{qo,q1} {q1
} {q1,q2}
{qo,q2} {q1
} {q2
}
{q1,q2} {q1
} {q1,q2}
{qo, q1, q2} {q1
} {q1,q2}
Tabla 2. Función de transiciones del AFD equivalente
La representación gráfica del AFD equivalente (Figura 2)
es:
Figura 2. Diagrama de transición del AFD equivalente
Eliminando los estados inalcanzables3
{q2}, {qo,q1} ,
{qo,q2} y {qo,q1, q2} (en la figura 2 aparecen con círculos
punteados), y renombrando los estados del mismo,
obtenemos el siguiente AFD M = ( , P, s, F, ), donde:
= {a,b}
3
Un estado se define como inalcanzable, cuando a partir del estado
inicial (q0), de manera directa o a través de otros estados accesibles
desde q0, dicho estado no es accesible, para ningún símbolo del
alfabeto.
P = {p0, p1, p2, p3}, donde P Q’ y p0 = {q0},
p1 = {q1
}, p2 = {q1, q2} y p3 = {}
s = p0
F = {p2}
Función : P → P, (definida en la tabla 3)
P
p0 p1
p3
p1
p1
p2
p2
p1
p2
p3
p3
p3
Tabla 3. Función de transiciones del AFD depurado
La representación gráfica del AFD depurado (Figura 3)
es:
Figura 3. Diagrama de transición del AFD depurado
2.4 Propuesta de un nuevo Algoritmo para reducir la
complejidad
Como se puede observar, el nuevo AFD (con diagrama
de transición Figura 2), cuando se realiza la ejecución de
(6) y (7), como parte del mismo del mismo algoritmo,
aparecen ocho estados (2|Q|
= 23
), de los cuales, cuatro
son inalcanzables, desde el estado inicial. Esto es parte
inherente de la transformación, donde se tiene en cuenta
todos los posibles subconjuntos del conjunto de estados
del AFND. La magnitud, de este nuevo conjunto, es de
orden 2n
.
La generación de la función , para el AFD equivalente,
cuando el número de estados es alto en el AFND, la
complejidad computacional de esta generación se vuelve
del orden exponencial. Por ejemplo un AFND con
cuarenta estados, generaría, en primer lugar, un conjunto
de 240
(1’099.511’627.776) subconjuntos de estados, que
multiplicados por el número de símbolos del alfabeto,
nos daría el total de transiciones del nuevo AFD
equivalente.
p0
p1
p2
a
a a
b
b
b
a, b
p3
a
a b
b
{q0}
{q1
}
{q1,q2}
a
{qo,q1, q2}
a
b
{q0
,q1
}
b
a
{q0
,q2
}
{}
a, b
b a
b
{q2
}
b
a
4. Scientia et Technica Año XIII, No x, Mes de 200x. Universidad Tecnológica de Pereira.150
Obsérvese también, que en la generación de los nuevos
estados del AFD, aparecen estados inalcanzables, lo cual
agrega un cálculo computacional innecesario, tal como se
puede observar en el diagrama de transición del AFD del
ejemplo propuesto (Figura 2).
Para resolver la anterior problemática, partimos del
concepto de estado alcanzable, es decir a partir del estado
inicial s = {q0}, en la aplicación del algoritmo solo
tendremos en cuenta aquellos estados que se alcancen
con cada uno de los símbolos del alfabeto.
Algoritmo para transformar AFND en AFD:
1. Inicializar
2. Para todo
3. Para todo
4. Si
5.
6. Si
7.
8.
9.
Aplicando nuestro algoritmo al ejemplo anteriormente
propuesto, se obtiene lo siguiente:
Tabla 4. Paso a paso construcción función
Tabla 5. Paso a paso construcción función
Tabla 6. Paso a paso construcción función
Tabla 7. Paso a paso construcción función
Renombrando los estados como, p0 = {q0}, p1 = {q1
},
p2 = {q1, q2} y p3 = {}, el nuevo AFD M = ( , P, s, F, ),
donde:
= {a,b}
P = {p0, p1, p2, p3}
s = p0
F = {p2}
La función : P → P, representada por la
siguiente tabla:
P
p0 p1
p3
p1
p1
p2
p2
p1
p2
p3
p3
p3
Tabla 8. Función del ADF equivalente
La tabla anterior (No 8) nos muestra que llegamos al
mismo AFD que obtuvimos cuando aplicamos el
algoritmo tradicional. En nuestro algoritmo no se tienen
en cuenta todos los subconjuntos de estados (2|Q|
), si no
únicamente los que son accesibles desde el nuevo estado
inicial {q0}, lo cual descarta los no accesibles y
obviamente sus transiciones.
2.5 Ejemplo 2:
Con este ejemplo se deja en evidencia que no todas las
veces se economiza trabajo con nuestro algoritmo de
transformación de AFND a AFD versus el algoritmo
tradicional.
Sea el AFND M’ = ( , Q, s, F, ) donde:
= {a,b}
Q = {qo, q1, q2}
s = q0
5. Scientia et Technica Año XIII, No x, Mes de 200x. Universidad Tecnológica de Pereira. 151
F = {q2}
Relación (definida en la Tabla 9)
Tabla 9. Relación de transiciones del AFND
Aplicando nuestro algoritmo al AFND anterior, tenemos:
,
Tabla 10. Paso a paso construcción función
,
Tabla 11. Paso a paso construcción función
,
Tabla 12. Paso a paso construcción función
,
Tabla 13. Paso a paso construcción función
,
Tabla 14. Paso a paso construcción función
,
6. Scientia et Technica Año XIII, No x, Mes de 200x. Universidad Tecnológica de Pereira.152
Tabla 15. Paso a paso construcción función
Ya en estos momentos contiene todos los posibles
subconjuntos de estados de , lo que indica que todos los
subconjuntos de estados harán parte del AFD equivalente
al AFND.
La función completa se presenta a continuación (Tabla
16):
Tabla 16. Función completa para el AFD equivalente
Con el ejemplo anterior se evidencia que nuestro
algoritmo en el peor de los casos genera la misma
cantidad exponencial de estados que el algoritmo
tradicional, donde podemos garantizar que todos estos
son alcanzables desde el estado inicial.
3. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En el algoritmo tradicional que consiste de la ecuaciones
(6) y (7), las complejidades en el mejor y en el peor de
los casos son de orden exponencial (Θ(2n
)). El algoritmo
propuesto presenta una mejora sustancial mejorando el
mejor de los casos, obteniéndose una complejidad de
orden lineal (O(n)) y el caso promedio se aproxima a una
cuadrática (O(n2
)).
En un próximo artículo se determinará analíticamente la
complejidad del caso promedio.
4. BIBLIOGRAFÍA
[1] Ding-Zhu Du, Ker-I Ko, Problem Solving in
Automata, Languages, and Complexity, John Wiley
& Sons, INC., Capítulo 2, páginas 23-53, 2001,
ISBN 0-471-43960-6
[2] Rodrigo De Castro Korgi, Teoría de la
Computación, Lenguajes Autómatas y Gramáticas,
Universidad Nacional de Colombia, Facultad de
Ciencias, UNIBIBLOS, Bogotá D.C, Capítulo 2,
páginas 25-42, 2004.
[3] Dean Kelley, Teoría de Autómatas y Lenguajes
Formales, Editorial Prentice-Hall, ISBN 0-13-
497777-7, España, Capítulo 2, páginas 53-69, 1995.
[4] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D.
Ullman, Introduction to Automata Theory,
Languages, and Computation, Second Edition,
Addison-Wesley, ISBN 0-201-44124-1, United
States of America, Capítulo 2, páginas 45-63, 2001.
[5] Pedro García, Tomás Pérez, José Ruiz, Encarna
Segarra, José M. Sempere, y Manuel Vásquez de
Parga, Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales,
Alfaomega, ISBN 970-15-0661-8, México, Capítulo
2, páginas 32-44, 2001.
[6] Rafael Cases Muñoz y Lluis Márquez Villodre,
Lenguajes Gramáticas y Autómatas, Curso Básico,
Alfaomega, ISBN 970-15-0775-4, México, Capítulo
4, páginas 74-88, 2002.
[7] Pedro Isasi, Paloma Martínez y Daniel Borrajo,
Lenguajes Gramáticas y Autómatas, Un enfoque
Práctico, Addison-Wesley, ISBN 0-201-65323-0,
España, Capítulo 3, páginas 63-81, 1997.
[8] Raul Gómez Marín y Andrés Sicard, Informática
Teórica. Elementos Propedéuticos, Fondo Editorial
Universidad EAFIT, Sección 4.4, páginas 145-150,
2002.
[9] Juraj Hromkovic, Theoretical Computer Science.
Introduction to Automata, Computability,
Complexity, Algorithmics, Randomization,
Communication, and Cryptography, Spinger Verlag,
Berlin, Capítulo 3, páginas 55-87, 2004.