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Autómatas de Estados Finitos




                 Ing. Edecio R. Freitez
AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO

Autómata Finito Deterministico .(AFD)

Autómata: Es una maquina o sistema que puede aceptar una
entrada y posiblemente producir una salida, y que tendrá algún
tipo de memoria interna que podrá registrar cierta información de
las entradas previas.
Definición de AFD: Un AFD, es una colección de cinco
elementos(5-tupla) denotada por: M=(Q, , s, F, ) donde:
- Q: Es una colección finita de estados.(Q= q ,q ,....,q )
- : Es un alfabeto de entrada.
- s: Representa el estado inicial (s Q, s=q )
- F: Es una colección de estados finales o de aceptación .
- : Es una función de transición de la forma:
       : QX ---------- Q donde
AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO

   i     , se tiene que:
         q , a =q , con a        (a, es un símbolo), significa que sea
          cual sea el estado actual y el carácter de la entrada, siempre
          hay un estado siguiente asociado a este par y el mismo es
          único.
         Para toda cadena “W” y símbolo a de entrada se tiene que :

           q , Wa =      W ,a .
AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO

    Representación: Existen dos formas de representar un AFD.
   Diagrama de Transición de Estado(DTE): Es una colección
    finita de círculos los cuales se pueden rotular(anotar, apuntar) con
    fines de referencia, conectados con flechas que reciben el
    nombre de arcos. Cada uno de estos arcos se etiqueta con un
    simbo0lo o categoría de símbolo (ej. Letras o dígitos) que podrían
    estar presentes en la cadena que se analiza.
    - Uno de los círculos es designado con un apuntador, y
    representa la posición inicial.
    - Por lo menos unos de los círculos se representa como un
    circulo doble, estos círculos dobles designan posiciones del
    diagrama en las cuales se ha reconocido una cadena valida.
AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO

   Tabla de Transición(TT): Es un arreglo bidimensional cuyos
    elementos proporcionan el resumen del diagrama de transición de
    estado. En las filas se colocan los estados de Q, en las columnas
    los símbolos del alfabeto , y en la posición (q , a) se coloca (q
    , a). A continuación se presenta un ejemplo de un AFD:
AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO

   Cadena Valida o Aceptada: Se dice que una cadena es aceptada por un
    DTE, si los símbolos que aparecen en la cadena (de izquierda a derecha),
    corresponden a una secuencia de arcos rotulados que conducen del estado
    inicial a un circulo doble.

   Ejemplo: Sea el AFD dado por: M=(Q, , s, F, ) donde, Q= q0 , q1 ;
       0, 1 ; s=q0 ;F= q1 ; : dada por:
      q0 ,0 =q0 ; q0 ,1 =q1 ; q1 ,0 =q1 ; q1 ,1 =q0

    - Obtenga la tabla de transición y el diagrama de transición de estado
    asociado al AFD dado.
    - Verifique la validez de las cadenas siguientes para el AFD dado.
      W =01000; w =01001
AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO

Solución:
  - Tabla de Transición Asociada al AFD:
               δ(qi, Ѳ)   0    1
                 q0       q0   q1
                 q1       q0   q1
 - Diagrama de Transición de Estados:
AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO

   Evaluando la cadena w =01000, se tiene que
     (q , 01000)=         q ,0),1),0),0),0)=q ; La cadena no es
    Aceptada
    (q , 010011)=          q ,0),1),0),0),1)=q ; La cadena es
    Aceptada.
   Definición: Si “M” es un AFD, entonces el lenguaje aceptado
    por M es:
                  L(M)= W      / W es aceptada por M .
    Ejemplo: Sea el AFD, dado por:
AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO




 El lenguaje aceptado por el AFD dado anteriormente es:
 L(M)= W        / W=(Cadenas de cero o más yes (“Y”) que
 contienen un numero par de equis(X) ) .
 Nota: Es importante resaltar que L(M), esta formada por todas
 las cadenas aceptadas por “M”, y no que es un conjunto de
 cadenas que son todas aceptadas por “M”.
AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO

Si se permite que desde un estado, se realicen cero, una o más
transiciones mediante el mismo símbolo de entrada, se dice que
el autómata es no deterministico. El no determinismo consiste
(intuitivamente) en agregar transiciones que antes estaban
prohibidas: saltos con varios símbolos sobre la flecha, saltos
vacíos y saltos a más de un estado con el mismo símbolo.

Definición: Un AFND, va a estar formado mediante una
colección de cinco elementos, denotados por: M=(Q, , s, F, )
donde
Q: Conjunto finito de Estados
Σ: Alfabeto de Entrada
s: Representa el estado Inicial(s=q ).
F С Q: Colección o conjunto de Estados finitos o de aceptación
Δ: Relación sobre Q x Σ x Q y se llama relación de transición
AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO

Observación: puesto que Δ es una relación para todo par (q,0)
compuesto por el estado actual y el símbolo de la entrada. Δ(q,0),
es una colección de ceros o más estados. es decir, Δ(q,0) Q .
Esto significa que, para todo estado q, se puede tener cero o mas
alternativas a elegir como estado siguiente, todas para el mismo
símbolo de entrada.
Representación de un AFND: Al igual que los AFDS, los AFND,
pueden ser representados por medio de la tabla de transición
y por medio del diagrama de transición de estado. A
continuación se describen cada una de estas dos formas.
AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO
Tabla de transición.
     En las filas estarán los estados q Q
     El estado inicial se precederá del símbolo
     Cada estado final se precederá del símbolo *
     En las columnas estarán los símbolos a      { }
     En la posición (q,a) estarán los estados en (q,a)
Diagrama de transición de estado.
  - En los nodos estarán los estados
  - El estado inicial tendrá un arco entrante no etiquetado
  - Los estados finales estarán rodeados de doble circulo
  - Habrá un arco etiquetado con a (           ) entre el nodo qi si qj
 (qi,a)
AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO

Ejemplo: Sea el AFND M dado por:
Q= q 0, q1 , q2 , q3 , q4   ;        a, b ; s= q0 ; F= q2 ,q3,q4 ;
 : dada por:
                                a      b
                      q0    {q1,q4    {q3}
                               }
                      q1     {q1}     {q2}
                      q2        Φ      Φ
                      q3        Φ      Φ
                      q4        Φ     {q4}
AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO

El Diagrama de Transición Asociado a M, se
muestra a continuación:
AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO

Observación: Como se aprecia en la tabla de relación de transición las celdas
son conjuntos. Las celdas con vacío( ), indican que no existe ninguna
transición desde el estado actual mediante la entrada correspondiente. Que
para un estado actual, símbolo de entrada exista mas de un posible estado
siguiente, significa que se puede elegir entre las distintas posibilidades. El
ejemplo dado no existe nada que determine la elección hacia un único estado,
por tal razón se dice que el comportamiento del autómata es no deterministico.
Definición: Si “M” es un AFND, entonces el lenguaje aceptado por M es:
        L(M)= W / W es aceptada por M .
 Nota: En el caso particular del ejemplo anterior cabe destacar que el
lenguaje aceptado por dicho autómata es:

               L(M)=
EQUIVALENCIA ENTRE AFD Y AFND
EQUIVALENCIA ENTRE AFD Y AFND

Ejemplo: Sea el AFND M dado por: Q={q0, q1,q2}; ∑={a,b};
S={q0} y F={q0} y : dada por:
                          a        b
                 q0       {q1}     Φ
                 q1       Φ        {q0,q2}
                 q2       {q0}     Φ


   Obtenga un AFD M = (Q , , s F , ) que sea equivalente.
  Defina todas las componentes.
EQUIVALENCIA ENTRE AFD Y AFND

Solución: El DTE asociado a M, viene dado por :
EQUIVALENCIA ENTRE AFD Y AFND
EQUIVALENCIA ENTRE AFD Y AFND

 A continuación se presenta el diagrama de transición de estado
resultante:
AFND CON Ε-TRANSICIONES

       - transiciones: Son aquellas transiciones que al realizarse no
    consumen ningún símbolo de entrada,, es decir; son transiciones
    de un estado a otro que no dependen de ninguna entrada.
     Ejemplo: Sea el AFND, dado por:
AFND CON Ε-TRANSICIONES

   Comentario: El autómata puede cambiar su estado de q0 sin
    consumir nada en la entrada. q1 , es el único estado de
    aceptación del AFND presentado, si W es cualquier cadena
    de cero o más a‟es, el autómata cicla sobre q0 hasta que
    consuma las a‟es, una vez que la cadena se vacía se desplaza a
    q1 y la acepta.
   Ejemplo: Sea El AFND dado por:
AFND CON Ε-TRANSICIONES

   Comentario: El AFND dado puede moverse de q a q sin
    consumir nada en la entrada. En los ejemplos citados, la decisión
    de elegir una -transición, se realiza de la misma forma que la
    de cualquier otra transición con elección múltiple que exista en
    un AFND. Por lo tanto las -transiciones son consistentes con el
    matiz no deterministico de los AFND.

   Construcción de la Tabla de Transición: Si un AFND tiene -
    transiciones, la relación asocia pares de Q X ( U( )) X Q con
    subconjuntos de Q .( Es decir es una relación sobre Q X
    ( U( )) X Q, se puede añadir una nueva columna en la tabla de
    para colocar los pares de la forma (q, ).

   Ejemplo: Para el DTE del ejemplo anterior se tiene que la tabla
    seria:
AFND CON Ε-TRANSICIONES

                              a          b           ε
                  q0         {q1}        Φ          Φ

                  q1          Φ         {q2}        Φ
                  q2         {q0}        Φ         {q0}

 Nota: Cuando hay -transiciones en n AFND es conveniente suponer que cada estado
tiene una -transición que cicla en ese estado. En el caso del ejemplo anterior la tabla
quedaría de la siguiente forma
                             a           b           ε
                 q0         {q1}         Φ         {q0}
                 q1          Φ         {q2}        {q1}
                 q2         {q0}         Φ       {q0,q2}
AFND CON Ε-TRANSICIONES

    Nota: Para calcular el conjunto de estados siguientes en un
    AFND, que contiene -transiciones se deben tener en cuenta las -
    transiciones anteriores y posteriores a la transición etiquetada
    con          .
   Ejemplo: Sea el AFND dado por.
AFND CON Ε-TRANSICIONES
     Conjunto de estados siguientes a:
      (q , a)= q , q

      (q , b)= q , q , q

   Nota: Para él calculo del conjunto de estados siguientes en un
    AFND con -transiciones se deben tener en consideración las
    definiciones dadas a continuación.
   Definición: Para todo estado q Q, se define la -cerradura de q
    como sigue.
      -c(q)= p / p es accesible desde q sin consumir nada en la
    entrada , ampliando la definición dada para todo el conjunto
    de estados se tiene que:
AFND CON Ε-TRANSICIONES

 Ejemplo: Sea el AFND, dado por:




   Obtener : -c(q3 ); -c(q1 ); -c(q4 )
                            Solución:

-c(q3 )= q3 ;       -c(q1 )= q1 , q2 ;    -c(q )= q0 ,q2 , q4
AFND CON Ε-TRANSICIONES

   Definición: Para todo q Q y           , se tiene que d(q, )=
     p / hay una transición de q a p etiquetada con               ,
    ampliando esta definición a todo el conjunto Q, se tiene que.




   Ejemplo: Para el AFND del ejemplo dado anteriormente
    obtener, d(q0,a); d(q1, b); d q3,q4 , b .
    Solución:
    d(q0,a)= q3 ; d(q0, b)= ;
    d q3,q4 , b = d q3 , b)U q4 , b = q4 U q0 = q0,q4
AFND CON Ε-TRANSICIONES

   Definición: A partir de un AFND que tiene transiciones se
    puede tener un AFND sin -transiciones que acepte el mismo
    lenguaje. Se define M =(Q, , s, F , ) donde:

    F = FU q / - c(q)ΠF
     (q, )= - c(q, )= - c (d( - c(q), ))

   Ejemplo: Sea el AFND con - transiciones dado por:
AFND CON Ε-TRANSICIONES
AFND CON Ε-TRANSICIONES
Solución:

   (q0,a)= - c(d( - c(q0),a))= q1,q3,q4,q5 se tiene que
  - c(q0)= q0,q1 ;
d( q0,q1 ,a)= q3,q4
  - c q3,q4 )= q1,q3 ,q4,q5
   (q0,b)= q2 ;
   (q1,a)= q4,q5 ; (q1,b)= q2 ;
   (q2,a)= ;         (q2,b)= ;
   (q3,a)= q2,q5 ; (q3,b)= q2,q4,q5 ;
   (q4,a)= ;        (q4,b)= ;
 (q5,a)= ;          (q5,b)= ;
AFND CON Ε-TRANSICIONES

 A continuación se muestra el DTE asociado al AFND sin -
transiciones.
CONCEPTOS RELATIVOS A AFD Y AFND

 Extensión a palabras: dado que la           solo transita cuando recibe
    un símbolo de entrada, se puede generalizar para cuando recibe
    una palabra formada por mas de un símbolo o por palabra vacía.
   Aceptación de palabras: x * es aceptada o reconocida por un
    AFD si f „(qo, x) F. Es decir, si se parte del estado inicial y
    recibe la palabra de entrada x, se transita a un estado que pertenece
    al conjunto de estados finales o de aceptación F.
CONCEPTOS RELATIVOS A AFD Y AFND

   Lenguaje reconocido por un AFD: es el conjunto de palabras aceptadas por un
    AFD. Así se comprueba que existe entre autómatas y lenguajes de forma que
    cada autómata reconoce un lenguaje determinado (regular en el caso de la Af),
    generando como salida una aceptación si la palabra de entrada pertenece al
    lenguaje y una no-aceptación si la palabra de entrada no pertenece al lenguaje.
    También existe la relación inversa que permite asegurar que, para cada lenguaje
    regular, hay un AF que reconoce palabras de ese lenguaje y no reconoce
    ninguna palabra que no pertenezca al lenguaje.
   Accesibilidad entre estados: p Q es accesible desde q Q, pAp, si existe
    una palabra x * tal que f „(q, x)=p. A efectos de simplificar los autómatas,
    todos aquellos estados no accesibles desde el inicial, se pueden borrar, ya que
    no afectaran al comportamiento del autómata al no poder llegar nunca a ellos.
CONCEPTOS RELATIVOS A AFD Y AFND

    Autómatas Conexos: Un AFD es conexo si para cada estado
    qi Q, qi es accesible desde qj .
   Equivalencia entre estados: Dos estados p, q               Q son
    equivalentes pEq, si
                  x     , (p,x) F (q,x) F
   Nota: Si las transiciones de p con la entrada x llegan a un estado
    final las transiciones de q con x también tienen que llegar, y si
    las transiciones de p con x no llegan a un estado final las
    transiciones de q con x tampoco deben llegar.
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Clase afd

  • 1. Autómatas de Estados Finitos Ing. Edecio R. Freitez
  • 2. AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO Autómata Finito Deterministico .(AFD) Autómata: Es una maquina o sistema que puede aceptar una entrada y posiblemente producir una salida, y que tendrá algún tipo de memoria interna que podrá registrar cierta información de las entradas previas. Definición de AFD: Un AFD, es una colección de cinco elementos(5-tupla) denotada por: M=(Q, , s, F, ) donde: - Q: Es una colección finita de estados.(Q= q ,q ,....,q ) - : Es un alfabeto de entrada. - s: Representa el estado inicial (s Q, s=q ) - F: Es una colección de estados finales o de aceptación . - : Es una función de transición de la forma: : QX ---------- Q donde
  • 3. AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO  i , se tiene que:  q , a =q , con a (a, es un símbolo), significa que sea cual sea el estado actual y el carácter de la entrada, siempre hay un estado siguiente asociado a este par y el mismo es único.  Para toda cadena “W” y símbolo a de entrada se tiene que : q , Wa = W ,a .
  • 4. AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO Representación: Existen dos formas de representar un AFD.  Diagrama de Transición de Estado(DTE): Es una colección finita de círculos los cuales se pueden rotular(anotar, apuntar) con fines de referencia, conectados con flechas que reciben el nombre de arcos. Cada uno de estos arcos se etiqueta con un simbo0lo o categoría de símbolo (ej. Letras o dígitos) que podrían estar presentes en la cadena que se analiza. - Uno de los círculos es designado con un apuntador, y representa la posición inicial. - Por lo menos unos de los círculos se representa como un circulo doble, estos círculos dobles designan posiciones del diagrama en las cuales se ha reconocido una cadena valida.
  • 5. AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO  Tabla de Transición(TT): Es un arreglo bidimensional cuyos elementos proporcionan el resumen del diagrama de transición de estado. En las filas se colocan los estados de Q, en las columnas los símbolos del alfabeto , y en la posición (q , a) se coloca (q , a). A continuación se presenta un ejemplo de un AFD:
  • 6. AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO  Cadena Valida o Aceptada: Se dice que una cadena es aceptada por un DTE, si los símbolos que aparecen en la cadena (de izquierda a derecha), corresponden a una secuencia de arcos rotulados que conducen del estado inicial a un circulo doble.  Ejemplo: Sea el AFD dado por: M=(Q, , s, F, ) donde, Q= q0 , q1 ; 0, 1 ; s=q0 ;F= q1 ; : dada por: q0 ,0 =q0 ; q0 ,1 =q1 ; q1 ,0 =q1 ; q1 ,1 =q0 - Obtenga la tabla de transición y el diagrama de transición de estado asociado al AFD dado. - Verifique la validez de las cadenas siguientes para el AFD dado. W =01000; w =01001
  • 7. AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO Solución: - Tabla de Transición Asociada al AFD: δ(qi, Ѳ) 0 1 q0 q0 q1 q1 q0 q1 - Diagrama de Transición de Estados:
  • 8. AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO  Evaluando la cadena w =01000, se tiene que (q , 01000)= q ,0),1),0),0),0)=q ; La cadena no es Aceptada (q , 010011)= q ,0),1),0),0),1)=q ; La cadena es Aceptada.  Definición: Si “M” es un AFD, entonces el lenguaje aceptado por M es: L(M)= W / W es aceptada por M . Ejemplo: Sea el AFD, dado por:
  • 9. AUTÓMATA FINITOS DETERMINISTICO El lenguaje aceptado por el AFD dado anteriormente es: L(M)= W / W=(Cadenas de cero o más yes (“Y”) que contienen un numero par de equis(X) ) . Nota: Es importante resaltar que L(M), esta formada por todas las cadenas aceptadas por “M”, y no que es un conjunto de cadenas que son todas aceptadas por “M”.
  • 10. AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO Si se permite que desde un estado, se realicen cero, una o más transiciones mediante el mismo símbolo de entrada, se dice que el autómata es no deterministico. El no determinismo consiste (intuitivamente) en agregar transiciones que antes estaban prohibidas: saltos con varios símbolos sobre la flecha, saltos vacíos y saltos a más de un estado con el mismo símbolo. Definición: Un AFND, va a estar formado mediante una colección de cinco elementos, denotados por: M=(Q, , s, F, ) donde Q: Conjunto finito de Estados Σ: Alfabeto de Entrada s: Representa el estado Inicial(s=q ). F С Q: Colección o conjunto de Estados finitos o de aceptación Δ: Relación sobre Q x Σ x Q y se llama relación de transición
  • 11. AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO Observación: puesto que Δ es una relación para todo par (q,0) compuesto por el estado actual y el símbolo de la entrada. Δ(q,0), es una colección de ceros o más estados. es decir, Δ(q,0) Q . Esto significa que, para todo estado q, se puede tener cero o mas alternativas a elegir como estado siguiente, todas para el mismo símbolo de entrada. Representación de un AFND: Al igual que los AFDS, los AFND, pueden ser representados por medio de la tabla de transición y por medio del diagrama de transición de estado. A continuación se describen cada una de estas dos formas.
  • 12. AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO Tabla de transición.  En las filas estarán los estados q Q  El estado inicial se precederá del símbolo  Cada estado final se precederá del símbolo *  En las columnas estarán los símbolos a { }  En la posición (q,a) estarán los estados en (q,a) Diagrama de transición de estado. - En los nodos estarán los estados - El estado inicial tendrá un arco entrante no etiquetado - Los estados finales estarán rodeados de doble circulo - Habrá un arco etiquetado con a ( ) entre el nodo qi si qj (qi,a)
  • 13. AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO Ejemplo: Sea el AFND M dado por: Q= q 0, q1 , q2 , q3 , q4 ; a, b ; s= q0 ; F= q2 ,q3,q4 ; : dada por: a b q0 {q1,q4 {q3} } q1 {q1} {q2} q2 Φ Φ q3 Φ Φ q4 Φ {q4}
  • 14. AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO El Diagrama de Transición Asociado a M, se muestra a continuación:
  • 15. AUTÓMATA FINITO NO DETERMINISTICO Observación: Como se aprecia en la tabla de relación de transición las celdas son conjuntos. Las celdas con vacío( ), indican que no existe ninguna transición desde el estado actual mediante la entrada correspondiente. Que para un estado actual, símbolo de entrada exista mas de un posible estado siguiente, significa que se puede elegir entre las distintas posibilidades. El ejemplo dado no existe nada que determine la elección hacia un único estado, por tal razón se dice que el comportamiento del autómata es no deterministico. Definición: Si “M” es un AFND, entonces el lenguaje aceptado por M es: L(M)= W / W es aceptada por M . Nota: En el caso particular del ejemplo anterior cabe destacar que el lenguaje aceptado por dicho autómata es: L(M)=
  • 17. EQUIVALENCIA ENTRE AFD Y AFND Ejemplo: Sea el AFND M dado por: Q={q0, q1,q2}; ∑={a,b}; S={q0} y F={q0} y : dada por: a b q0 {q1} Φ q1 Φ {q0,q2} q2 {q0} Φ Obtenga un AFD M = (Q , , s F , ) que sea equivalente. Defina todas las componentes.
  • 18. EQUIVALENCIA ENTRE AFD Y AFND Solución: El DTE asociado a M, viene dado por :
  • 20. EQUIVALENCIA ENTRE AFD Y AFND A continuación se presenta el diagrama de transición de estado resultante:
  • 21. AFND CON Ε-TRANSICIONES  - transiciones: Son aquellas transiciones que al realizarse no consumen ningún símbolo de entrada,, es decir; son transiciones de un estado a otro que no dependen de ninguna entrada.  Ejemplo: Sea el AFND, dado por:
  • 22. AFND CON Ε-TRANSICIONES  Comentario: El autómata puede cambiar su estado de q0 sin consumir nada en la entrada. q1 , es el único estado de aceptación del AFND presentado, si W es cualquier cadena de cero o más a‟es, el autómata cicla sobre q0 hasta que consuma las a‟es, una vez que la cadena se vacía se desplaza a q1 y la acepta.  Ejemplo: Sea El AFND dado por:
  • 23. AFND CON Ε-TRANSICIONES  Comentario: El AFND dado puede moverse de q a q sin consumir nada en la entrada. En los ejemplos citados, la decisión de elegir una -transición, se realiza de la misma forma que la de cualquier otra transición con elección múltiple que exista en un AFND. Por lo tanto las -transiciones son consistentes con el matiz no deterministico de los AFND.  Construcción de la Tabla de Transición: Si un AFND tiene - transiciones, la relación asocia pares de Q X ( U( )) X Q con subconjuntos de Q .( Es decir es una relación sobre Q X ( U( )) X Q, se puede añadir una nueva columna en la tabla de para colocar los pares de la forma (q, ).  Ejemplo: Para el DTE del ejemplo anterior se tiene que la tabla seria:
  • 24. AFND CON Ε-TRANSICIONES a b ε q0 {q1} Φ Φ q1 Φ {q2} Φ q2 {q0} Φ {q0} Nota: Cuando hay -transiciones en n AFND es conveniente suponer que cada estado tiene una -transición que cicla en ese estado. En el caso del ejemplo anterior la tabla quedaría de la siguiente forma a b ε q0 {q1} Φ {q0} q1 Φ {q2} {q1} q2 {q0} Φ {q0,q2}
  • 25. AFND CON Ε-TRANSICIONES  Nota: Para calcular el conjunto de estados siguientes en un AFND, que contiene -transiciones se deben tener en cuenta las - transiciones anteriores y posteriores a la transición etiquetada con .  Ejemplo: Sea el AFND dado por.
  • 26. AFND CON Ε-TRANSICIONES Conjunto de estados siguientes a:  (q , a)= q , q  (q , b)= q , q , q  Nota: Para él calculo del conjunto de estados siguientes en un AFND con -transiciones se deben tener en consideración las definiciones dadas a continuación.  Definición: Para todo estado q Q, se define la -cerradura de q como sigue. -c(q)= p / p es accesible desde q sin consumir nada en la entrada , ampliando la definición dada para todo el conjunto de estados se tiene que:
  • 27. AFND CON Ε-TRANSICIONES  Ejemplo: Sea el AFND, dado por:  Obtener : -c(q3 ); -c(q1 ); -c(q4 ) Solución: -c(q3 )= q3 ; -c(q1 )= q1 , q2 ; -c(q )= q0 ,q2 , q4
  • 28. AFND CON Ε-TRANSICIONES  Definición: Para todo q Q y , se tiene que d(q, )= p / hay una transición de q a p etiquetada con , ampliando esta definición a todo el conjunto Q, se tiene que.  Ejemplo: Para el AFND del ejemplo dado anteriormente obtener, d(q0,a); d(q1, b); d q3,q4 , b . Solución: d(q0,a)= q3 ; d(q0, b)= ; d q3,q4 , b = d q3 , b)U q4 , b = q4 U q0 = q0,q4
  • 29. AFND CON Ε-TRANSICIONES  Definición: A partir de un AFND que tiene transiciones se puede tener un AFND sin -transiciones que acepte el mismo lenguaje. Se define M =(Q, , s, F , ) donde: F = FU q / - c(q)ΠF (q, )= - c(q, )= - c (d( - c(q), ))  Ejemplo: Sea el AFND con - transiciones dado por:
  • 31. AFND CON Ε-TRANSICIONES Solución: (q0,a)= - c(d( - c(q0),a))= q1,q3,q4,q5 se tiene que - c(q0)= q0,q1 ; d( q0,q1 ,a)= q3,q4 - c q3,q4 )= q1,q3 ,q4,q5 (q0,b)= q2 ; (q1,a)= q4,q5 ; (q1,b)= q2 ; (q2,a)= ; (q2,b)= ; (q3,a)= q2,q5 ; (q3,b)= q2,q4,q5 ; (q4,a)= ; (q4,b)= ; (q5,a)= ; (q5,b)= ;
  • 32. AFND CON Ε-TRANSICIONES A continuación se muestra el DTE asociado al AFND sin - transiciones.
  • 33. CONCEPTOS RELATIVOS A AFD Y AFND  Extensión a palabras: dado que la solo transita cuando recibe un símbolo de entrada, se puede generalizar para cuando recibe una palabra formada por mas de un símbolo o por palabra vacía.  Aceptación de palabras: x * es aceptada o reconocida por un AFD si f „(qo, x) F. Es decir, si se parte del estado inicial y recibe la palabra de entrada x, se transita a un estado que pertenece al conjunto de estados finales o de aceptación F.
  • 34. CONCEPTOS RELATIVOS A AFD Y AFND  Lenguaje reconocido por un AFD: es el conjunto de palabras aceptadas por un AFD. Así se comprueba que existe entre autómatas y lenguajes de forma que cada autómata reconoce un lenguaje determinado (regular en el caso de la Af), generando como salida una aceptación si la palabra de entrada pertenece al lenguaje y una no-aceptación si la palabra de entrada no pertenece al lenguaje. También existe la relación inversa que permite asegurar que, para cada lenguaje regular, hay un AF que reconoce palabras de ese lenguaje y no reconoce ninguna palabra que no pertenezca al lenguaje.  Accesibilidad entre estados: p Q es accesible desde q Q, pAp, si existe una palabra x * tal que f „(q, x)=p. A efectos de simplificar los autómatas, todos aquellos estados no accesibles desde el inicial, se pueden borrar, ya que no afectaran al comportamiento del autómata al no poder llegar nunca a ellos.
  • 35. CONCEPTOS RELATIVOS A AFD Y AFND  Autómatas Conexos: Un AFD es conexo si para cada estado qi Q, qi es accesible desde qj .  Equivalencia entre estados: Dos estados p, q Q son equivalentes pEq, si x , (p,x) F (q,x) F  Nota: Si las transiciones de p con la entrada x llegan a un estado final las transiciones de q con x también tienen que llegar, y si las transiciones de p con x no llegan a un estado final las transiciones de q con x tampoco deben llegar.
  • 36. GRACIAS POR SU ATENCION