Este documento presenta definiciones y propiedades de la transformada de Fourier, la serie de Fourier y la transformada de Laplace. La transformada de Fourier convierte una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La serie de Fourier es una suma infinita de funciones senoidales que converge a una función periódica. La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo a ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA
U.N.E.F.A
NUCLEO-CARABOBO EXTESION-GUACARA
Brs
Elio Peña 18.434.399
Yuselis Andrades 18.531.728
Jean C. Castillo 16.217.734
Pedro Calvo 11.356.115
Ing. Telecom
G-004-N

2. Introducción
La Transformada de Fourier se encarga de transformar una
señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se
puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal. Las
Transformadas de Fourier, propiedades.
La series de Fourier es una serie infinita que converge
puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier
constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier
empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición
de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales
mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras).
La transformada de Laplace a la solución de ecuaciones
diferenciales tal como comúnmente se presentan en el calculo de
intensidades de corrientes y otros factores relevantes en los circuitos
eléctricos. Se presentará una descripción del método por el cual una
ecuación diferencial “en el dominio del tiempo” se transforma en una
ecuación algebraica en el “dominio de la frecuencia”.

3. Definición de Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta
matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones
periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma
infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de
senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático
francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba
la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y
publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se
llama algunas veces Análisis armónico.
Las series de Fourier tienen la forma:

4. Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier
asociada a es:
Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en
su forma compleja:
Los coeficientes ahora serían:
Definición de Serie de Fourier

5. Propiedades de Serie de Fourier

6. Ejemplo de Serie de Fourier
Nosotros estamos utilizando formulario sobre como hacer una serie de Fourier en
expansión muy simplificada.
En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto
Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

7. Ejemplo de Serie de Fourier
Grafico de una función periódica
las 5 primeras series de Fourier.

8. Definición de Transformada de Fourier
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores
complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1
, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El
factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas
referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier
es la más comúnmente adoptada, no es universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que
garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones
generalizadas.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es
denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de
ellas:

9. Propiedades de Transformada de Fourier

10. Ejemplo de Transformada de Fourier

11. Definición de Transformada de la Laplace
El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede
usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la
transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se
pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y
reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo.
Definimos:
f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en
( 0,¥). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] =
F(s), definida por la integral.
s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente
para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes
constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario
trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.
L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe
transformarse por la integral de Laplace

12. Propiedades de Transformada de Laplace

13. Obtener la transformada de Laplace de
para s>a.
Ejemplo de Transformada de Fourier