Un resumen de métodos de calculo de la probabilidad de errores para distintos sistemas de modulación digital.

1. PROBABILIDAD ERROR EN MODULACIÓN DIGITAL
Este documento no tiene otro fin que, resumir algunas fórmulas que permitan la comprensión del
comportamiento de los distintos esquemas de modulación digital, en cuanto a la estimación de
probabilidad de error y la comparación entre ellos desde este punto vista. También hay otros
aspectos a considerar al momento de comparar, tal como es la eficiencia de ancho de banda y de
potencia requerida para una misma Pe.
SISTEMAS BINARIOS
Con el fin de comparar el comportamiento de los diferentes sistemas de modulación binaria sobre
una referencia común, se define la “Relación Señal/Ruido Normalizada, γ” en la forma:
𝛾 =
𝐴2 𝑇 𝑏
2𝑛
=
𝐴2
2𝑛𝑓 𝑏
. La tasa binaria R=1/Tb define el ancho espectral y por ende el ancho de banda
del canal Bc (fb). La DEP de ruido  del sistema en [W/Hz], algunos autores la expresan como /2
por la representación bilateral del espectro de frecuencias, y también se expresa No=B. La
magnitud en [V] de la señal que se modula es A cosc y A2
/2 su potencia [W].
En cada caso de modulación se puede definir una relación Si/Ni a la entrada del
demodulador o de “predetección”, que viene a ser a la salida del receptor, y que será la
base del comportamiento en cuanto a probabilidad de error del sistema.
En consideración a que se modela AWGN, en las expresiones de cálculo aparece la función
de error (gaussiano), ya sea en la forma: erfc o Q, cuya evaluación no es trivial, pero con la
ayuda de herramientas computacionales, se facilita mucho su uso.
Las definiciones de estas funciones son:
Entonces la probabilidad de error se podrá determinar para las distintas modalidades de
modulación desde las siguientes relaciones:
)
2
(
2
1
)(
x
erfcxQ 

2. Para ASK:
La relación señal ruido S/N = SNR para ASK-OOK se relaciona entonces con  como:
𝑆𝑖
𝑁 𝑖 𝐴𝑆𝐾
=
𝛾
4
, o bien como: []ASK= 6 + [Si/Ni] en dB.
Para FSK:
La SNR en FM tiene relación con la desviación de frecuencia, por lo tanto, es una variable
adicional. El ancho espectral de la señal y en consecuencia el ancho de banda del canal o FPB
(filtro pasa banda), será función de f. Por ello suele definirse un factor k= fd/fb, es decir, una
relación entre desviación de modulación y frecuencia binaria. Para k1 el ancho de banda está
determinado principalmente por fb, entonces, BW= 2fb = 2/Tb y la [Si/Ni]FSK será /2, o bien como:
[]FSK= 3 + [Si/Ni]FSK en dB
FSK Coherente
FSK No
coherente
No=B
PARA PSK:
Como B= 2 fb = 2/Tb la [Si/Ni]PSK es /2, o bien como: []PSK= 3 + [Si/Ni]PSK en dB, ya sea en PSK o
PSK diferencial.
PSK
PSK Diferencial
El siguiente grafico resume las distintas probabilidades de error para las expresiones anteriores.
ASK Coherente:
0,5 𝑒𝑟𝑓𝑐
𝛾
2 𝑄
𝐴2 𝑇𝑏
4𝑛
ASK No coherente:
Usar sólo 1er término
)2/(5,0 erfcPe 
2/
5,0 
 ePe
)4/( 0
2
5,0 NA
e eP 

 )/(61,0 2
be TAQP 

















0
)8/(
2
5,0 0
2
N
A
Qe NA4/
5,0 
 ePe
 erfcPe 5,0










b
e
TA
QP
2

 ePe 5,0 2
2
5,0
bTA
e eP



3. SISTEMAS MULTINIVEL
Para los casos multinivel M’PSK, la SNR normalizada es la misma, con la salvedad que en vez de Tb
[bits/s] se considera Ts, la tasa de señalización [Baudios], es decir, la velocidad de cambio de la
portadora modulada, por grupos de dígitos binarios.
Un sistema M’ario indica que la portadora toma M=2L
estados posibles, siendo L la longitud de
agrupación serie-paralelo de la secuencia binaria. Así para uno cuaternario M=2
2
, se toman grupos
de L=2 bits, o bien, un 16PSK toma cuatribits para M=2
4
.
Entonces s= A2
Ts /2, y como Ts=LTb=Tb log2M, se puede escribir: s= [A2
Tb /2] log2M=  L , o
también será s=  log2M. Igualmente el ancho de banda de señal binaria, que es en general Bb=
kfb, donde k es una constante según tipo de señal. En este caso fs= fb/L = fb / log2M.
Teóricamente para todos los casos puede existir una modulación multinivel, sin embargo, sólo se
darán los casos de modulación de fase y cuadratura, ya que son los más utilizados.
El primer nivel superior corresponde a QPSK, que corresponde a modular en BPSK dos portadoras
en cuadratura u ortogonales, y por lo tanto sus Pe son idénticas para cada una de ellas, en cuyo
caso la Pe para QPSK es:
No todos los autores hacen la diferencia para QPSK.
Las expresiones aproximadas para la probabilidad de errores de un sistema M’PSK con M4 y S/N
grande son:
1,E-13
1,E-12
1,E-11
1,E-10
1,E-09
1,E-08
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
0 2 4 6 8 10 12 14
P(error)
 [dB]
ASKnc
ASKc
FSKnc
FSKc
PSK
DPSK









2
2
2
sTA
QPe

4. Para MQAM
Los sistemas modernos mayoritariamente ya son de este tipo multinivel, en consideración a la alta
demanda de tasa de información requerida. En este tipo cada punto de la constelación se obtiene
sólo de la modulación de dos portadores en cuadratura [I;Q].
Cabe destacar que los errores en sistemas multinivel es la probabilidad de error del símbolo [SER]
o palabra [WER] y por tanto debe llevarse al efecto en la secuencia binaria, pues en este caso
corresponde a Pes , es decir, la probabilidad de error del símbolo, que puede representar 2,3,4,…
bits cada uno.
La relación entre Ps y Pb es: , que para Pb < 10-3
tiende al límite inferior, por
lo que suele utilizarse este límite.






 )
2
(2:' 2
M
senerfcPearioMDPSK s








 )(:' 2
M
senerfcPearioMPSK s


sbs P
M
M
PP
L 





1
2/1














0
*
1
31
12:
N
E
M
Q
M
PMQAM s
e

5. Ps= 1-(1-Pb)L
, siendo L=log2M
Al utilizar asignación de código Gray para los símbolos es: Ps L Pb
DISTANCIA ESPACIO SEÑAL
A modo de ejemplo se muestra parte de una constelación de señal QAM, en que se puede ver que
la probabilidad de error se puede estimar como la probabilidad Gaussiana (AWGN) de que la
magnitud del ruido alcance los símbolos adyacentes.
En consideración a que la probabilidad de error es dependiente de la distancia entre puntos
adyacentes de la constelación del espacio señal modulada, se puede plantear la probabilidad de
error para sistema de dos símbolos como:
Donde d12 es la distancia euclidiana entre
símbolos S1 y S2. Para BPSK d12= 2E y para BFSK d12= 2E.
Para sistema multinivel:
1,E-10
1,E-09
1,E-08
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
0 5 10 15 20
P(error)
 [dB]
4QAM
8QAM
16QAM
32QAM









0
2
12
2N
d
QPe
 









0
2
min
2
1
N
d
QMPM

6. Conclusión
Se mostraron expresiones en la forma que fueron publicadas por distintos autores, sin embargo,
se recomienda el uso de las expresiones en erfc (), por ser más directamente aplicadas a calculo
mediante herramientas como Excel. En esta materia se encuentra una variada nomenclatura, que
lleva a fácil confusión.
Disponer de una herramienta de evaluación del comportamiento de un sistema de modulación
digital permite diseñar sistemas y adecuarse a los requerimientos de la calidad de servicio.
Referencias de consulta
J. Briceño M.; Transmisión de Datos; Facultad de Ingeniería U. de los Andes.
K.S. Shanmugam; Digital and Analog Communication Systems; Wiley.
L.W. Couch; Sistemas de Comunicación digitales y analógicos; Pearson.
B. Sklar; Digital Communications; Prentice – Hall.
Vahid Meghdadi; SER and BER over Gussian Channels.
Lie-Liang Yang; A Recursive Algorithm for the Error Probability Evaluation of M-QAM; IEEe
Communications letters, vol. 4, N° 10.
https://es.wikiversity.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_probabilidad_de_error_para_las_diferentes
_modulaciones
http://arantxa.ii.uam.es/~tco/Documentacion/Tema_IV_5_Comparativa_Modulaciones_Digitales_
ver0.pdf
F. Apablaza M.; Probabilidad de error en Tx Digital.xlsm:
https://onedrive.live.com/redir?resid=9A98F83507F1C648%211620
fam/2017