El documento describe el lugar geométrico de las raíces (LGR), un método para analizar la estabilidad de sistemas de control mediante la variación de la ganancia K. Explica cómo trazar el LGR usando las condiciones de módulo y ángulo, y cómo se usa MATLAB para dibujarlo. También describe características clave del LGR como sus ramas, puntos de partida, intersecciones con el eje imaginario y asíntotas.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación Superior
I.U. Politécnico “Santiago Mariño”
Maturín, Edo. Monagas.
Escuela de: Ing. Eléctrica. (43)
Cátedra: Teoría de Control
Lugar Geométrico de las
Raíces (LGR)
Profesor: Alumno:
Ing. Mariangela Pollonais
.
Efraín Aguilar
C.I. 19.718.109
Maturín, Agosto del 2013

2. Concepto de Lugar Geométrico de las raíces
En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root
locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a
medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.
El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la
función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir
de la función de transferencia a lazo abierto.
El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas
dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability).
(Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano
izquierdo del plano (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario
del plano z (para sistemas discretos).
El método de construcción para el lugar geométrico de las raíces de la ecuación
característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro se fundamenta en un
esquema de control de retroalimentación simple como el que se muestra en la siguiente
figura, para el cual la ecuación característica a lazo cerrado es la que indica la siguiente
ecuación cuyas soluciones representan los polos del lazo cerrado.

3. El lugar geométrico de las raíces se realiza para variaciones de K desde cero
hasta infinito, para las cuales dichas raíces debe en satisfacer la Ecuación anterior. Como
s es una variable compleja, es posible reescribir dicha ecuación en forma polar como
sigue a continuación:
Partir de allí se pueden identificar dos condiciones que deben en cumplirse para
satisfacer la ecuación anterior, las cuales son cono caídas como la Condición de Módulo y
la Condición de Ángulo y se muestran en las Ecuaciones siguiente respectivamente.
Si la función de transferencia a lazo
abierto se factoriza en polos y ceros, tal como se muestra en la ecuación siguiente, las
condiciones de módulo y de ángulo pueden reescribirse como se muestra en las
siguientes ecuaciones respectivamente.

4. Las dos condiciones anteriores deben en cumplirse para cada una de las
raíces que forme parte del lugar geométrico, de forma tal que se garantice que
cada una de ellas sea solución de la ecuación característica
Aplicaciones del LGR
La estabilidad absoluta y relativa y el comportamiento transitorio de un
sistema de control en lazo cerrado están directamente relacionados con la
localización en el plano S de las raíces de la ecuación característica en lazo
cerrado.
La técnica del lugar de las raíces es un método grafico para dibujar la
posición de las raíces de la ecuación característica a medida que varia un
parámetro K y es una herramienta potente para:
 Estudiar la estabilidad del sistema en función de los valores K.
 Conseguir que el comportamiento transitorio del sistema responda a unas
especificaciones prefijadas ajustando un parámetro K. Esto se consigue
ubicando las raíces de lado cerrado en la situación deseada.

5. Pasos para determinar el Lugar Geométrico de las raíces en Matlab
Para dibujar el lugar de las raíces con Matlab, la ecuación característica debe
expresarse de la siguiente forma:
Los comandos en Matlab relacionado con el lugar de las raíces son:

6. Ejemplo:
Representar el lugar de raíces del sistema de control de la siguiente Figura:

7. Características del LGR
El LGR consta de ramas que se dirigen de los polos a los
ceros, si el número de ceros esmenor que el número de polos el
lugar geométrico se dirige a los ceros en el infinito a lolargo de
las asíntotas.

8. Existe un punto de partida o llegada σ B que es el punto donde el LGR corta
con el eje real.- El LGR corta con el eje imaginario en Kc (ganancia
crítica. La Kc se obtiene del criterio deestabilidad de Routh Hurwitz.Para el
sistema de la figura 1 cuyo LGR se muestra en la siguiente figura:
¿Qué es MATLAB?
MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es
una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo
integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está
disponible para las plataformas Unix, Windows y Mac OS X.
Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la
representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación
de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en
otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de
dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink
(plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario -
GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de
herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de
bloques(blocksets).

9. Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y
desarrollo. En los últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la
de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL.
Caja de Herramientas y Paquetes de Bloques

10. La ecuación característica del sistema proporciona información valiosa con
respecto a la respuesta del sistema cuando se determina las raíces de la
ecuación; para trazar el LGR del sistema primero se debe determinar la función
características del sistema.
1+kG(s) = 0
Luego se factoriza G(s),
Luego se ubica en el plano complejo los polos y ceros de la ecuación
pasada recuerden que los polos se representan por una x y los ceros con una o.
Para dibujar el LGR, sé varia k entre cero e infinito. De la ecuación 3.4 se
puede deducir que:
Sí k=0 entonces las raíces de la ecuación característica son los polos de
G(s).
Sí K⇒ ∞ entonces las raíces de la ecuación característica son los ceros de
G(s).
Por lo tanto el LGR inicia en los polos de G(s) y termina en los ceros de
G(s) a medida que aumenta k de cero a infinito.

11. Otra característica importante a tener en cuenta del LGR es que este
gráfico es simétrico con respecto al eje real, ya que las raíces complejas de un
polinomio deben aparecer en parejas (raíces complejas conjugadas).
El número de segmentos que componen el LGR de un sistema es igual al
número de polos en lazo abierto del proceso, ya que en sistemas dinámicos el
número de polos es mayor que el número de ceros.
N = np - nz
Donde N es el número de segmentos del LGR que terminan en polos en el
infinito, nz el número de ceros del sistema y np el número de polos. N también
determina el número de asíntotas del LGR.
Como el número de polos es mayor que el de ceros, entonces en el gráfico
del LGR del sistema habrá segmentos que terminen en ceros en infinito, y dichos
segmentos tomaran la dirección que indiquen las asíntotas, el calculo de dichas
asíntotas se muestra a continuación.