El documento presenta un análisis de costos y utilidades para una fábrica de refrigeradores. Se calculan la función de costo lineal, ingresos e utilidad basados en datos de producción. La función de utilidad muestra una pérdida si se venden 5 refrigeradores, pero el equilibrio se alcanza si se venden 10 diarios. Finalmente, se ilustra con una gráfica.

1. 1). El gerente de una fábrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabricó 30
refrigeradores a un costo de $25000, y el martes fabricó 40 refrigeradores a un costo de
$30000.
- Encuentre una función costo lineal basada en estos datos. ¿Cuál es el costo fijo
diario y cuál es el costo marginal?
Rta/
Con los datos podemos observar que:
$25000 = m (30) + b (1)
$30000 = m (40) + b (2)
Donde m es el costo marginal y b el costo fijo.
Restando (1) de (2) obtenemos la siguiente ecuación: $5000 = m (10) (3)
Despejando m de (3), encontramos que m = $500
Remplazando este valor de m en (1) tenemos que:
$25000 = $500 *30 + b b = $25000 - $15000 = $10000
El costo fijo diario b = $10000, mientras que el costo marginal m = $500
Entonces, con los datos de b y m podemos formular la ecuación costo lineal:
C (x) = 500x + 10000 (omitiendo el signo $).
- Si la empresa vende sus refrigeradores a $1500 cada uno. ¿Cuál es la función
ingreso lineal?
Rta/
Como la función ingreso lineal viene dada por la fórmula I (x) = mx, entonces podemos
decir que la función pedida en el problema es: I (x) = 1500x, donde m = 1500 y
corresponde al valor con que se vende cada artículo.
- ¿Cuál es la función utilidad lineal? Calcule la utilidad para 5 refrigeradores. ¿Qué
tipo de utilidad se obtuvo?
Rta/
La función utilidad lineal es la diferencia entre la función costo lineal y la función
ingreso lineal, es decir: U (x) = C (x) – I (x) = 1000x – 10000
La utilidad para 5 refrigeradores se obtiene al remplazar la variable “x” por 5 en la
ecuación anterior.
U (5) = 1000*5 – 10000 = -5000 (omitiendo el signo $), es decir, la utilidad corresponde
a una pérdida.
- ¿Cuántos refrigeradores debe vender la empresa por día para alcanzar el
equilibrio?
Rta/
Si necesitamos el equilibrio, entonces debemos hacer U (x) = 0
Si U (x) = 0, entonces x = 10, es decir, la empresa necesita vender 10 refrigeradores para
poder alcanzar el equilibrio.

2. - Ilustre con una gráfica.
Rta: la gráfica está en el apéndice A
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.
3. Si f(x) = y g(x) = , halle: f o g, g o f, f o f, y el dominio de cada una.
Solución:
f o g = f[g(x)] = .Para hallar el dominio hacemos:
x<±2 -2 < x < 2
El dominio de la función compuesta es: D = (-2, 2)
g o f = g[f(x)] =
Condición 1:
Condición 2:
El dominio de la función compuesta es: D = [0, 16)
f o f = f[f(x)] = La condición para el dominio es:
El dominio D de la función compuesta es: D = [0, ∞)
4. Si f(x) = , g(x) = , y h(x) = , halle f o g o h y su respectivo dominio.
Solución:
f o g o h = f[g{f(x)}] =
Las condiciones para hallar el dominio son: 1) y 2)
El dominio de la función compuesta es: D = [0, ∞) U (-∞, 4] = [0, 4]
7. Si f(x) = , demuestre que a) y b) f o f-1
La inversa de f(x) es
Solución:
Haciendo f(x) “y” (una ecuación), nos queda: Y=
Despejando x de la ecuación anterior, tenemos:
Haciendo el cambio de variables (“y” por “x”), obtenemos f-1(x).
f-1(x) =
b). f of f-1 = f[f-1(x)] = = = =

3. 8. Si Q (t) = Q0( ), halle Q-1(t):
Solución:
Haciendo Q (t) = y, nos queda: y = Q0( )
Intercambiando la variable por Q0, nos queda la función inversa Q-1(t):
Q-1(t) =
9. Halle el valor de x en cada ecuación:
1. , donde x =
2.
x=
3.
, de donde podemos calcular x con la ecuación:
4. Significa que: , es decir: , donde:
11. Halle el valor de x en la ecuación:
Solución: La ecuación anterior es equivalente a la ecuación:
De la ecuación anterior es evidente que: , pues para hallar que la ecuación tenga
solución, los argumentos de ambos miembros de la ecuación deben ser iguales.
, donde tiene dos
valores:
, ó
12. Si x = , demostrar que
Solución:
Transformando la ecuación anterior de tal manera que se apliquen todas las reglas de los
logaritmos y los casos de factorización necesarios, tenemos: