Este documento describe la función compuesta y su inversa. Una función compuesta se forma aplicando sucesivamente dos funciones, de tal forma que la imagen de la primera función sea el dominio de la segunda. La composición no es conmutativa en general. La inversa de una función compuesta se obtiene invirtiendo el orden de las funciones originales.

1. FUNCIÓN COMPUESTA
g o f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo,
(g o f)(a)=@.
En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o
aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la
función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica
finalmente la función restante.
Definición: Dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está
contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): X → Z como
(g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.
A g ο f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de
escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
Ejemplo
Sean las funciones:
f ( x) = x 2
g ( x) = x + 2
La función g compuesta con f que expresamos f o g está dada como
2
fog ( x) = f ( g ( x)) = (x + 2 ) = x 2 + 4 x + 4
La función f compuesta con g que expresamos g o f está dada como
gof ( x) = g ( f ( x)) = x 2 + 2

2. Observación:
La función compuesta está bien definida, pues cumple con las dos condiciones de
existencia y unicidad, propias de toda función:
1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la
función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto
que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y
así (g ο f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el
valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).
Propiedades de la Función Compuesta
• La composición de funciones es asociativa, es decir:
• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:
Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces
f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
• La inversa de la composición de dos funciones es:
Función recíproca o
inversa

3. Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3
de vuelta en a.
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos
de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino
de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.
Definición: Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I y cuya
imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1,
es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:
Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada
de modo único por f y que cumple:
• y
• .
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como
muestra la siguiente definición alternativa.
Definiciones alternativas
Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
1. y
2. ,
Entonces:
• Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es
inversa por la izquierda de f.
• Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es
inversa por la derecha de f.
• Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la
inversa de f.

4. Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.
Propiedades algebraicas
Inversión del orden en la composición de funciones.
• La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino
avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este
último por medio de g–1 y terminar con f–1,
• La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:
y .
Gráfico
Gráfico de la función inversa
Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de
definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2 ]

5. • Los gráficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera
diagonal, es decir la recta ∆: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto
cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si
M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la
segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
• Las tangentes en M y M' tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría
anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.