5.Transformada_de_Laplace.pdf

1
La transformada de Laplace
€
Y (s) = L y(t)
{ } = e−st
y(t)dt
0
∞
∫
Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)
Dra. Dolores Cáceres Marzal

2
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su
transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t)
existe si la integral converge.
L{ f (t)} = F(s) = f (t)
0
∞
∫ e−st
dt

3
Observa que la transformada de Laplace es
una integral impropia, uno de sus límites es
infinito:
Notación:

La transformada de Laplace es un
operador lineal
• Podemos comprobar fácilmente que
L{α f (t) + β g(t)}
= αL{ f (t)} + βL{g(t)}
= αF(s) + βG(s)

5
Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe ∀s > a.

Orden exponencial

• Una función como no es de orden
exponencial

9
L 1
{ } = F(s) = 1e−st
0
∞
∫ dt =
−1
s
e−st
0
∞
=
1
s
e−st
= e−(a+ib)t
= e−at
e−ibt
⇒ a > 0, Re s
{ } > 0
Ejercicio 1: Calcula la transformada de f(t) = 1:
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.

10
L tn
{ }= F(s) = tn
e−st
0
∞
∫ dt = tn e−st
−s
0
∞
− ntn−1 e−st
−s
0
∞
∫ dt =
=
n
s
tn−1
e−st
0
∞
∫ dt =
n
s
L tn−1
{ }
Ejercicio 2: Calcula la transformada de f(t) = tn:
€
L tn
{ }=
n
s
L tn−1
{ }
L t0
{ }=
1
s
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
⎪
L tn
{ }=
n!
sn+1

11
€
L e−t
{ }= F(s) = e−t
e−st
0
∞
∫ dt = e
− s+1
( )t
0
∞
∫ dt =
−1
s+1
e
− s+1
( )t
0
∞
=
1
s+1
Ejercicio 3: Calcula la transformada de f(t) = e-t:

12
L Aeat
{ }= F(s) = Aeat
e−st
0
∞
∫ dt = Ae
− s−a
( )t
0
∞
∫ dt =
−A
(s− a)
e
− s−a
( )t
0
∞
=
A
s− a
, s > a
Ejercicio 4: Calcula la transformada de f(t) = Aeat:

13
L sen(at)
{ } = F(s) = sen(at)e−st
0
∞
∫ dt = sen(at)
e−st
−s
0
∞
− a cos(at)
e−st
−s
0
∞
∫ dt =
a
s
cos(at)
e−st
−s
0
∞
− −a
( )sen(at)
e−st
−s
0
∞
∫ dt
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
=
a
s2
−
a
s2
sen(at)e−st
0
∞
∫ dt
Ejercicio 5: Calcula la transformada de f(t) = sen(at):
Ejercicio 6: calcula F(s) para f(t) = cos(at)

14
sen (at) =
eiat
− e−iat
2i
L sen (at)
{ } = F(s) =
eiat
− e−iat
2i
e−st
0
∞
∫ dt =
1
2i
e
−s+ia
( )t
− e
−s−ia
( )t
( )
0
∞
∫ dt =
1
2i
e
−s+ia
( )t
−s + ia
−
e
−s−ia
( )t
−s − ia
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
0
∞
=
1
2i
e
−s−ia
( )t
s + ia
−
e
−s+ia
( )t
s − ia
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
0
∞
=
1
2i s2
+ a2
( )
s − ia
( )e
−s−ia
( )t
− s + ia
( )e
−s+ia
( )t
[ ] 0
∞
=
1
2i s2
+ a2
( )
s − ia
( ) − s + ia
( )
[ ] =
2ia
2i s2
+ a2
( )
=
a
s2
+ a2
Calculemos la transformada de f(t) = sen(at) de nuevo:

15
Ejercicio 7: Calculemos la transformada de f(t) = eiat:

Ejercicio 8: Hallar L{f(t)} para
Solución:
L{ f (t)} = e−st
0dt
0
3
∫ + e−st
2dt
3
∞
∫
=
2e−st
s
3
∞
=
2e−3s
s
,s > 0

La
función
“escalón
unitario”
U(t
–
a)
se
deﬁne
como

DEFINICIÓN
Función escalón unitario

(2t − 3)U(t −1)
2− 3U(t − 2) +U(t − 3)

También una función del tipo
es la misma que
De manera similar, una función del tipo
puede escribirse como

en términos de U(t).
Solución
f(t) = 20t – 20tU(t – 5)
Ejercicio 9: Expresar

• Ejemplo 1:
f (t − a)U(t − a) =
=
0, 0 ≤ t < a
f (t − a), t ≥ a
⎧
⎨
⎩

22
Ejercicio 10: Transformada de Laplace de la
Función Heaviside o escalón unidad:
€
U(t − c) =
0 , 0 ≤ t < c
1 , t ≥ c
⎧
⎨
⎩

• Impulso Unitario:
Está función se define por
donde a > 0, t0 > 0.
Para un valor pequeño de a, δa(t – t0)
es una función constante de gran
magnitud. El comportamiento de δa(t
– t0) cuando a → 0, se llama impulso
unitario, porque posee la propiedad

La función delta de Dirac
• Esta función se define como
δ(t – t0) = lima→0 δa(t – t0)
• Las dos propiedades importantes son:
(1)
(2) , x > t0

• Demostración
Para
t0
>
0,

TEOREMA
Transformación de la función delta de Dirac
L{δa (t − t0)} =
1
2a
e−s(t0 −a)
s
−
e−s(t0 +a )
s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= e−st0
esa
− e−sa
2sa
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

Cuando a → 0, la expresión anterior es 0/0. Usando
la regla de L’Hopital, tiende a 1 cuando a → 0.
Así ,
Ahora cuando t0 = 0, tenemos

27
L δ(t − a)
{ } = e−as
L δ(t)
{ } = 1
Así la transformada de la función delta de Dirac es:

28
Funciones periódicas
Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T.
donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t)
sobre el primer periodo y cero fuera.
T

29
Demostración

Solución: Hallamos T = 2
Ejercicio 11: Halle la T. L. de la función
L{E(t)} =
1
1− e−2s
e−st
⋅1dt
0
1
∫ + 0
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
1− e−2s
1− e−s
s
=
1
s(1+ e−s
)

31
Tabla de transformadas de Laplace
( )
a
s
e
s
n
t
t
s
t
at
n
n
+
-
+
1
!
s
1
1
1
1
1
2
δ

39
Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de
F(s) se le conoce como transformada inversa de
Laplace
L−1
{F(s)} = f (t)
Transformada inversa de Laplace

Transformadas inversas
(a)
(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

TEOREMA
Algunas transformadas inversas

Ejercicio 12: Hallar las transformadas inversas de
(a) (b)
Solución
(a)
(b)
€
L −1 1
s5
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
€
L −1 1
s2
+ 7
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
€
L −1 1
s5
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
4!
L −1 4!
s5
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
24
t4
L −1 1
s2
+ 7
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
7
L −1 7
s2
+ 7
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
7
sin 7t

L -1 también es lineal
• Podemos comprobar fácilmente que
L −1
{αF(s) + βG(s)}
= αL −1
{F(s)} + βL −1
{G(s)}

Solución
(2)
Ejercicio 13: Hallar

Solución
Usando fracciones parciales
Luego
Si hacemos s = 1, 2, −4, entonces

€
A = −16/5, B = 25/6, C = 1/30

Transformadas de Derivadas

Si

son
con6nuas
en
[0,
∞)
y
son
de

orden
exponencial
y
si
f(n)(t)
es
con6nua
por
partes
en

[0,
∞),
entonces

donde

TEOREMA
Transformada de una derivada

Aplicación a las EDO lineales
•
Luego

Ec. Diferencial
Transformada de
Laplace
Ec. Algebraica

Si resolvemos la ec. algebraica:
y encontramos la transformada
inversa de Laplace de la solución, Y(s),
encontraremos la solución de la ec.
diferencial.

Ec. Algebraica
Solución de la
Ec. Diferencial
Inversa de la
Transformada
de Laplace

La transformada inversa de
Laplace de:
es

es la solución de la ec. diferencial:
De modo que:

hemos aplicado:
Primero, que la TL y su inversa son lineales:
etc...
Y segundo, la TF de las derivadas de una
función son:

Solución
Ejercicio 15: Resolver
€
dy
dt
+ 3y = sin 2t , y(0) = 0
€
L
dy
dt
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+ 3L{y} = L{sin2t}
€
sY (s) + 3Y (s) =
2
s2
+ 4
€
(s + 3)Y (s) =
2
s2
+ 4
€
Y (s) =
A
s + 3
+
Bs + C
(s2
+ 4)
=
2
(s + 3)(s2
+ 4)

Podemos hallar A = 13/2, B = −5/4, C = -8
Así
€
2 = A(s2
+ 4) + (Bs + C)(s + 3)
€
Y (s) =
2
(s + 3)(s2
+ 4)
=
13/2
s + 3
+
−5s /4 − 8
s2
+ 4
€
y(t) =
13
2
L −1 1
s + 3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
5
4
L −1 s
s2
+ 4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
− 4L −1 2
s2
+ 4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
y(t) =
13
2
e−3t
−
5
4
cos 2t − 4 sin 2t

Demostración
L{eatf(t)} = ∫ e-steatf(t)dt
= ∫ e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a)
Si
L{f}
=
F(s)
y
a
es
cualquier
número
real,
entonces

L{eatf(t)}
=
F(s
–
a)

TEOREMA
Primer teorema de traslación

(a) (b)
Solución
(a)
(b)
€
L{e5t
t3
} = L{t3
}s→ s−5 =
3!
s4
s→ s−5
=
6
(s − 5)4
L{e−2t
cos 4t} = L{cos 4t}s→ s−(−2)
=
s
s2
+16 s→ s+2
=
s + 2
(s + 2)2
+16

Forma inversa del Primer teorema de traslación
donde

(a) (b)
Solución
(a)
tenemos A = 2, B = 11

usando el teorema anterior tenemos

(b)
€
L −1 s /2 + 5/3
s2
+ 4s + 6
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
2
L −1 s + 2
(s + 2)2
+ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
1
3
L −1 1
(s + 2)2
+ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
€
=
1
2
L −1 s
s2
+ 2 s→ s+2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
1
3 2
L −1 2
s2
+ 2 s→ s+2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
=
1
2
e−2t
cos 2t −
2
6
e−2t
sin 2t

Solución
Ejercicio 18: Resolver la EDO
€
2s − 6 +
2
(s − 3)3
€
2s − 6 +
2
(s − 3)3
2
(s − 3)
+
2
(s − 3)5

€
Y (s) =
2
s − 3
+
2
(s − 3)5
€
y(t) = 2L−1 1
s − 3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+ +
2
4!
L−1 4!
(s − 3)5
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
€
L −1 4!
s5
s→ s−3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= t4
e3t
y(t) = 2e3t
+
1
12
t4
e3t

Solución
€
1
s
+
1
s +1

€
=
1
6
+
1
3
e−t
−
1
2
e−2t
cos 2t −
2
3
e−2t
sin 2t
€
Y (s) =
1
6
L −1 1
s
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
1
3
L −1 1
s +1
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
1
2
L −1 s + 2
(s + 2)2
+ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
2
3 2
L −1 2
(s + 2)2
+ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭

Si
F(s)
=
L{f},
y
a
>
0,
entonces

L{f(t
–
a)U(t
–
a)}
=
e-‐asF(s)

TEOREMA
Segundo teorema de traslación
Forma inversa del Teorema

(a) (b)
Solución
(a)
(b)

70
Ejercicio 21:
€
L t2
{ }=
2
s3
€
L (t − 3)2
u(t − 3)
{ }= e−3s 2
s3
3
t

sujeta a
(a) y(0) = 1, y’(0) = 0
(b) y(0) = 0, y’(0) = 0
Solución
(a) s2Y – s + Y = 4e-2πs
Así
y(t) = cos t + 4 sen(t – 2π)U(t – 2π)
Como sen(t – 2π) = sen t, entonces
€
Y (s) =
s
s2
+1
+
4e−2πs
s2
+1
€
(s2
+1)Y (s) = s + 4e−2πs

(b)
Así y(t) = 4 sen(t – 2π)U(t – 2π) y
y(t) = 4 sin(t − 2π)U(t − 2π)
=
0, 0 ≤ t < 2π
4 sin t, t ≥ 2π
⎧
⎨
⎩

€
L
d 2
y
dt2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
− 3L
dy
dt
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+ 2L{y} = L{e−4t
}
€
(s2
− 3s + 2)Y (s) = s + 2 +
1
s + 4
Y (s) =
s + 2
s2
− 3s + 2
+
1
(s2
− 3s + 2)(s + 4)
=
s2
+ 6s + 9
(s −1)(s − 2)(s + 4)
y(t) = L −1
{Y (s)} = −
16
5
et
+
25
6
e2t
+
1
30
e−4t

Ejercicio 24: Resolver la ec. diferencial

76
y(t) = u(t −1) e−(t −1)
− e−2(t −1)
[ ]

Solución
€
L{cos tU(t − π)}
L{cos tU(t − π)} = e−πs
L{cos t} =
=
s
s2
+1
e−πs

Solución
Hallamos f(t) = 3 sen t U(t −π), luego
€
3
1
s2
+1
e−πs
€
5+
3
s2
+1
e−πs
Y (s) =
5
s +1
+
3
2
1
s +1
e−πs
+
1
s2
+1
e−πs
−
s
s2
+1
e−πs
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

L −1 1
s +1
e−πs
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= e−(t −π )
U(t − π) ,L −1 1
s2
+1
e−πs
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= sin(t − π)U(t − π)
L −1 s
s2
+1
e−πs
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= cos(t − π)U(t − π)
€
y(t) = 5e−t
+
3
2
e−(t −π )
U(t − π) +
+
3
2
sin(t − π)U(t − π) −
3
2
cos(t − π)U(t − π)
= 5e−t
+
3
2
[e−(t −π )
+ sin t − cos t]U(t − π)

y(t) =
5e−t
, 0 ≤ t < π
5e−t
+ 3/2e−(t −π )
+ 3/2sin t − 3/2 cos t, t ≥ π
⎧
⎨
⎩

La ED de una viga es
Vigas
La carga que soporta
la viga es w(x)

Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos.
Determine la deflexión de la viga cuando la carga está
dada por:
Solución
Tenemos las condiciones en la frontera: y(0) = y(L) = 0,
y’(0) = y’(L) = 0.
Ejercicio 28:
€
w(x) =
w0 1−
2
L
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , 0 < x < L /2
0, L /2 < x < L
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
w(x) = w0 1−
2
L
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟− w0 1−
2
L
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟U x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
2w0
L
L
2
− x + x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟U x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

donde c1 = y”(0), c3 = y(3)(0)
€
=
2w0
L
L 2
s
−
1
s2
+
1
s2
e−Ls 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
s4
Y (s) − sy"(0) − y(3)
(0) =
2w0
EIL
L 2
s
−
1
s2
+
1
s2
e−Ls 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Y (s) =
c1
s3
+
c3
s4
+
2w0
EIL
L 2
s5
−
1
s6
+
1
s6
e−Ls 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
EI s4
Y (s) − s3
y(0) − s2
ʹ′
y (0) − s ʹ′ʹ′
y (0) − ʹ′ʹ′ʹ′
y (0)
[ ]

Así
€
y(x) =
c1
2!
L −1 2!
s3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
c2
3!
L −1 3!
s4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
2w0
EIL
L /2
4!
L −1 4!
s5
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−
1
5!
L −1 5!
s6
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
1
5!
L −1 5!
s6
e−Ls/ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
c1
2
x2
+
c2
6
x3
+
w0
60EIL
5L
2
x4
− x5
+ x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
U x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥

Aplicamos y(L) = y’(L) = 0, entonces
Así
c1
L2
2
+ c2
L3
6
+
49w0L4
1920EI
= 0
€
c1L + c2
L2
2
+
85w0L3
960EI
= 0
€
c1 = 23w0L2
/960EI, c2 = −9w0L /40EI
y(x) =
23w0L2
1920EI
x2
−
3w0L
80EI
x3
+
w0
60EIL
5L
2
x4
− x5
+ x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
U x −
L
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥

86
Cambio de escala en tiempo

87
Derivada de la transformada de Laplace
F(s) = e−st
f (t)dt
0
∞
∫
d
ds
F(s) =
d
ds
e−st
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥f (t)dt
0
∞
∫ = − e−st
tf (t)
[ ]dt
0
∞
∫ = L −tf (t)
{ }
L{t2
f (t)} = L{t ⋅ tf (t)} = −L{tf (t)}
= −
d
ds
−
d
ds
L{ f (t)}
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
d 2
ds2
L{ f (t)}

Si
F(s)
=
L{f(t)}
y
n
=
1,
2,
3,
…,
entonces

TEOREMA
Derivadas de una transformada

Ejercicio 29:
Hallar L{t sen kt}
Solución
Con f(t) = sen kt, F(s) = k/(s2 + k2), luego
L{t sin kt} = −
d
ds
L{sinkt}
= −
d
ds
k
s2
+ k2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
2ks
(s2
+ k2
)2

Enfoques diferentes
L{te3t
} = L{t}s→ s−3 =
1
s2
s→ s−3
=
1
(s − 3)2
L{te3t
} = −
d
ds
L{e3t
} = −
d
ds
1
s − 3
= (s − 3)−2
=
1
(s − 3)2

Convolución
• Un producto especial, f * g se define
mediante la integral
y se llama convolución de f y g.
La convolución es una función de t
• Observación: f * g = g * f
€
f * g = f (τ)g(t −τ)dτ
0
t
∫
et
∗sint = eτ
sin(t −τ)dτ
0
t
∫
=
1
2
(−sint − cost + et
)

Demostración
Si

f(t)
y
g(t)
son
con6nuas
a
trozos
en
[0,
∞)
y

de
orden
exponencial,
entonces

TEOREMA
Teorema de convolución
F(s)G(s) = e−sτ
f (τ)dτ
0
∞
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ e−sβ
g(β)dβ
0
∞
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= e−s(τ+β )
f (τ)
0
∞
∫ g(β)dτdβ
0
∞
∫ }
= f (τ)dτ
0
∞
∫ e−(τ+β )
g(β)dβ
0
∞
∫

Manteniendo τ fija, sea t = τ + β, dt = dβ
Se realiza la integración en la región sombreada
Cambiando el
orden de integración:

Forma inversa del Teorema
L-1{F(s)G(s)} = f * g
€
F(s)G(s) = e−st
dt
0
∞
∫ f (τ)g(t −τ)dτ
0
t
∫
= e−st
0
∞
∫ f (τ)g(t −τ)dτ
0
t
∫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
dt
= L{ f ∗ g}

Solución
€
L eτ
sin(t −τ) dτ
0
t
∫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
L et
* sin t
{ }=
1
s −1
⋅
1
s2
+1
=
1
(s −1)(s2
+1)

Solución
Sea
entonces
€
L −1 1
(s2
+ k2
)2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
L−1 1
(s2
+ k2
)2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
k2
sin kτ sin k(t −τ )dτ
0
t
∫

Ahora recordamos que
sen A sen B = (1/2) [cos (A – B) – cos (A+B)]
Si ponemos A = kτ, B = k(t − τ), entonces
L−1 1
(s2
+ k2
)2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
1
2k2
[cos k(2τ − t) − cos kt]dτ
0
t
∫
=
1
2k2
1
2k
sink(2τ − t) −τ cos kt
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
t
=
sinkt − kt cos kt
2k3
L−1 1
(s2
+1)2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
sint − t cos t
2
Para k=1:

98
Ejemplo 32: Resolver
s2
Y (s) + Y (s) == L sint + u(t − π)sin(t − π)
{ } =
1
s2
+1
+
e−πs
s2
+1

Transformada de una Integral
• Utilizando el producto de convolución,
• cuando g(t) = 1, G(s) = 1/s, entonces
€
L f (τ)dτ
0
t
∫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
F(s)
s
f (τ)dτ
0
t
∫ = L−1 F(s)
s
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭

Ejemplos:
L−1 1
s(s2
+1)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= sinτdτ
0
t
∫ = 1− cos t
L−1 1
s2
(s2
+1)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= (1− cosτ)dτ
0
t
∫ = t − sint
L−1 1
s3
(s2
+1)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= (τ − sinτ)dτ
0
t
∫ =
1
2
t2
−1+ cos t

Circuitos en Serie
• La ED del circuito de la figura es:
la cual se llama ecuación integrodiferencial.
€
L
di
dt
+ Ri(t) +
1
C
i(τ)dτ
0
t
∫ = E(t)

Ejercicio 33:
Determine i(t) en el circuito anterior si L = 0.1 h, R
= 2 Ω, C = 0.1 f, i(0) = 0, y
E(t) = 120t – 120U(t – 1)
Solución
Usando los datos obtenemos la ED:
Y entonces
€
0.1
di
dt
+ 2i(t) +10 i(τ )dτ
0
t
∫ = 120t −120U(t −1)
0.1sI(s) + 2I(s) +10
I(s)
s
= 120
1
s2
−
1
s
e−s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

I(s) = 1200
1
s(s +10)2
−
1
(s +10)2
e−s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 1200
1 100
s
⎡
⎣
⎢ +
1 100
(s +10)
−
1 10
(s +10)2
−
1
(s +10)2
e−s
]
i(t) = 12 +12e−10t
−120te−10t
−
−1200(t −1)e−10(t −1)
U(t −1)

Escrita como una función definida por
partes:
i(t) =
12 +12e−10t
−120te−10t
, 0 ≤ t < 1
12 +12e−10t
−120te−10t
−120te−10t
−1200(t −1)e−10(t −1)
, t ≥ 1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

Ejercicio 34: Hallar i(t) en la siguiente Ed donde
i(0) = 0 y E(t) es la de la figura

Luego i(t) se escribe de la siguiente manera y
se ilustra en la siguiente figura
€
I(s) =
1
R
1
s
−
1
s + R L
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 1− e−s
+ e−2s
− ...
( )
i(t) =
1− e−t
, 0 ≤ t < 1
−e−t
+ e−(t −1)
, 1 ≤ t < 2
1− e−t
+ e−(t −1)
− e−(t −2)
, 2 ≤ t < 3
−e−y
+ e−(t −1)
− e−(t −2)
+ e−(t −3)
, 3 ≤ t < 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

Sistemas Eds Lineales
• Resortes acoplados
Trabajaremos con sistemas del tipo:

109

110

Ejercicio 36:
Resolver utilizando la TL
donde x1(0) = 0, x1’(0) = 1, x2(0) = 0, x2’(0) = −1.
Solución
s2X1 – sx1(0) – x1’(0) + 10X1 – 4X2 = 0
−4X1 + s2X2 – sx2(0) – x2’(0) + 4X2 = 0
Recolocando:
(s2 + 10)X1 – 4X2 = 1
−4X1 + (s2 + 4)X2 = −1

Resolviendo para X1:
Usamos X1(s)
para obtener X2(s)
€
X1 =
s2
(s2
+ 2)(s2
+12)
=
1/5
s2
+ 2
+
6/5
s2
+12
x1(t) = −
2
10
sin 2t +
3
5
sin2 3t
€
X2 = −
s2
+ 6
(s2
+ 2)(s2
+12)
= −
2 /5
s2
+ 2
−
3/5
s2
+12
x2 (t) = −
2
5
sin 2t −
3
10
sin 2 3t
x1(t) = −
2
10
sin 2t +
3
5
sin 2 3t
x2 (t) = −
2
5
sin 2t −
3
10
sin 2 3t

Redes
€
L
di
dt
+ Ri2 = E(t)
RC
di2
dt
+ i2 − i1 = 0

Solución
Tenemos
Entonces
sI1(s) + 50I2(s)= 60/s
−200I1(s) + (s + 200)I2(s)= 0
Ejercicio 37: Resolver el circuito de la figura
donde E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 ohm,
C = 10-4 f, i1(0) = i2(0) = 0.
€
di1
dt
+ 50i2 = 60
50(10−4
)
di2
dt
+ i2 − i1 = 0

Resolviendo lo anterior:
Así
€
I1 =
60s +12000
s(s +100)2
=
6/5
s
−
6/5
s +100
−
60
(s +100)2
I2 =
12000
s(s +100)2
=
6/5
s
−
6/5
s +100
−
120
(s +100)2
i1(t) =
6
5
−
6
5
e−100t
− 60te−100t
i2 (t) =
6
5
−
6
5
e−100t
−120te−100t

116
Ejercicio 38:

117

118
Ejercicio 39:

Péndulo Doble
• De esta figura, tenemos
(m1 + m2)l1
2
ʹ′ʹ′
θ1 + m2l1l2 ʹ′ʹ′
θ2 + (m1 + m2)l1gθ1 = 0
m2l2
2
ʹ′ʹ′
θ2 + m2l1l2 ʹ′ʹ′
θ1 + m2l2gθ2 = 0

• Comprobar que cuando
• la solución es
θ1(t) =
1
4
cos
2
3
t +
3
4
cos 2t
θ2 (t) =
1
2
cos
2
3
t −
3
2
cos 2t

121
L f (u)du
0
t
∫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
F(s)
s
€
L
f (t)
t
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= F(u)du
s
∞
∫
Transformada de Laplace de f(t)/t

122
Ejercicio 40: Calcula la transformada de Laplace de
F(s) =
1
1+ s2
Ahora, empleando : L
f (t)
t
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= F(u)
s
∞
∫ du

123
TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)

124
Ejercicio 41: Obtener, mediante el método operacional
de Laplace, la solución del problema de Cauchy:
L y
[ ] = Y (s); L ʹ′ʹ′
y
[ ] = s2
L y
[ ]− sy(0) − ʹ′
y (0) = s2
Y (s) − s
L sint
[ ] =
1
1+ s2

125
L ʹ′ʹ′
y + y
[ ] = L sint
[ ] ⇒ Y (s2
+1) − s =
1
1+ s2
⇒
⇒ Y (s) =
s
s2
+1
+
1
s2
+1
( )
2
⇒ y(t) = L−1 s
s2
+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥+ L−1 1
s2
+1
( )
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L−1 s
s2
+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = cos t
L−1 1
s2
+1
( )
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= L−1 1
s2
+1
1
s2
+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = sint ∗sint

126
sint ∗sint = sinusin(t − u)du
0
t
∫ =
=
1
2
(cos(2u − t) − cos t)du
0
t
∫ =
1
2
sint −
t
2
cos t

127
d
dt
x(t) − 4
d
dt
(t − s)x(s)ds
0
t
∫
t*x(t)=h(t)
 

 

= et
; L
d
dt
x(t)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
− 4L
d
dt
h(t)
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= L{et
}
sX(s) − x(0) − 4 sL{h(t)} − h(0)
{ } =
1
s −1
€
d
dt
x(t) − 4 (t − s)x(s)ds
0
t
∫
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = et
; x(0) = 1
Ejercicio 42: Resolver la ec.integro-diferencial

128
€
sX(s) −1− 4 s L{t * x(t)}
L{t}L{x(t)}=
1
s2
X(s)
 
 
 − 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
1
s −1
;
sX(s) −1−
4
s
X(s) =
1
s −1
X(s) =
s2
(s −1)(s − 2)(s − 3)

129
€
X(s) = −
1
3
1
s −1
+
1
s − 2
+
1
3
1
s + 2
x(t) = −
1
3
et
+ e2t
+
1
3
e−2t
Antitransformando:

130
Ejercicio 43: Obtener, mediante el método operacional
de Laplace, la solución del problema de Cauchy
Solución
€
d
dt
x(t) − e3(t −u)
x(u)du
0
t
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = δ(t − 3)
x(0) = 0
d
dt
x(t) − e3(t −u)
x(u)du
0
t
∫
h(t)
 
 

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= δ(t − 3)

131
∗L ʹ′
x (t)
[ ] = sL x(t)
[ ]− x(0) = sX(s)
∗L ʹ′
h (t)
[ ] = sL h(t)
[ ]− h(0) = sH (s)
∗h(t) = f (t) * x(t), f (t) = e3t
L h(t)
[ ] = L f (t)
[ ]⋅ L x(t)
[ ] =
1
s − 3
X(s)
∗L δ(t − 3)
[ ] = e−3s
L δ(t)
[ ] = e−3s

132
X(s) s −
s
s − 3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = e−3s
, X(s) =
(s − 3)e−3s
s(s − 4)
X(s) = e−3s
3
4
s
+
1
4
s − 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
L−1
X(s)
[ ] =
3
4
L−1 e−3s
s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥+
1
4
L−1 e−3s
s − 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

133
Ejercicio 44: Obtener la solución del problema de valores
iniciales siguiente, mediante el método operacional de Laplace.

L ʹ′ʹ′
u − ʹ′
u − 2u
[ ] = L e−t
sen(2t) − 3δ t −
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒
⇒ L ʹ′ʹ′
u
[ ]− L ʹ′
u
[ ]− 2L u
[ ] = L e−t
sen(2t)
[ ]− 3L δ t −
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒
⇒ s2
L u
[ ]− 2− sL u
[ ]− 2L u
[ ] =
2
s +1
( )
2
+ 4
− 3e
−
π
2
s
⇒

134
⇒ L u
[ ] =
2
s − 2
( ) s +1
( )
+
2
s +1
( )
2
+ 4
[ ] s − 2
( ) s +1
( )
−
3
s − 2
( ) s +1
( )
e
−
π
2
s
⇒
⇒ L u
[ ] =
28
39
1
s − 2
−
5
6
1
s +1
−
1
13
2
s +1
( )
2
+ 4
+
3
26
s
s +1
( )
2
+ 4
−
−
1
s − 2
e
−
π
2
s
+
1
s +1
e
−
π
2
s
⇒
⇒ u(t) =
28
39
e2t
−
5
6
e−t
−
1
13
e−t
sen(2t) +
3
26
e−t
cos(2t) − e
2 t −
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ e
− t −
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
€
⇒ s2
− s − 2
( )L u
[ ] = 2+
2
s +1
( )
2
+ 4
− 3e
−
π
2
s
⇒
⇒ s − 2
( ) s +1
( )L u
[ ] = 2+
2
s +1
( )
2
+ 4
− 3e
−
π
2
s
⇒

135
Ejercicio 45: Obtener la transformada de Laplace de la
función

L t3
ch(3t)sh(5t)
[ ]= L t3 e3t
+ e−3t
2
e5t
− e−5t
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
=
1
4
L t3
e8t
− e−2t
+ e2t
− e−8t
( )
[ ]=
=
1
4
L t3
e8t
( )− L t3
e−2t
( )+ L t3
e2t
( )− L t3
e−8t
( )
[ ]
L t3
eαt
( )=
3!
s − a
( )
4

136
€
L f (t)
[ ] =
1
4
3!
s − 8
( )
4
−
3!
s + 2
( )
4
+
3!
s − 2
( )
4
−
3!
s + 8
( )
4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
=
3
2
1
s − 8
( )
4
−
1
s + 2
( )
4
+
1
s − 2
( )
4
−
1
s + 8
( )
4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥

137
Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):
Desarrollo en fracciones simples:
Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa,
descomponiendo la función en componentes más sencillos.
Apéndice

138
Caso I – Polos reales simples
Caso II – Polos reales múltiples
Caso III – Polos complejos conjugados
Caso IV – Polos complejos conjugados
múltiples
€
(s − a)(s − a*
)
€
(s − a)(s − a*
)
[ ]2

139
Caso I – Polos reales simples
Ejemplo

140

141
método
alternativo
y resolver...

142
La transformada inversa de Laplace es:

143
Otro ejemplo
Transformada inversa
de Laplace:

144
Caso II – Polos reales múltiples
Ejemplo
Polos reales
simples
Polos reales
múltiples

145

146
Transformada inversa de Laplace:

147
En general, para
polos reales múltiples:

148
Caso III – Polos complejos conjugados
ejemplo
conjugados complejos

149
ejemplo
donde

150
Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,
teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.
Caso IV – factores complejos conjugados múltiples
€
(s − a)(s − a*
)
[ ]2

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