La transformada de Laplace es un método operacional que permite convertir funciones de tiempo en funciones algebraicas complejas, reemplazando operaciones como diferenciación e integración por operaciones algebraicas. Esto permite resolver ecuaciones diferenciales lineales transformándolas en ecuaciones algebraicas. La transformada de Laplace es una herramienta útil para el análisis y diseño de sistemas de control dinámicos lineales.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO PARA EL PODER POPULAR DE LA EDUCACION SUPERIOR
I.U.P. SANTIAGO MARIÑO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANA BOHORQUEZ
C.I.:17912519
MCBO, 09-12-2013

2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones
diferenciales lineales.
Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir
en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la
integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.
Definimos:
f(t)= una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de
Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral.
s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con
ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es
necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.
L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse

3. Por la integral de Laplace
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si f(t)
es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a
infinito.
Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo de “infinito” <= t <= “beta” si es
posible partir del intervalo en un número finito de subintervalosde tal manera que la función sea continua en cada uno de
ellos y tenga límites a izquierda y derecha.

4. F(t)
t1 t2 t3
En la figura se da un ejemplo gráfico de una función seccionalmente continua. Esta función
tiene discontinuidades en t1, t2 y t3.
Nótese que en t2, por ejemplo, los límites a derecha y a izquierda se representan por
Lím F(t2 + E) = F(t2 + 0) = y lím F(t2 - E) = F(t2 - 0) = F(t2 -)
Respectivamente, -E0 E0
donde E es positivo.

5. FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL
Si existe constantes reales M > 0 y tales que para todo t > N
| e -yt F(t) | < M o | F(t) | < M e yt
Se dice que F(t) es una función de orden exponencial y cuanto t “infinito”, o simplemente, que es una función de orden
exponencial.
Ejemplo 1. F(t) = t2 es de orden exponencial 3 (por ejemplo) ya que | t2 | = t2 < e3t para todo t > 0.
Ejemplo 2. F(t) = et2 (al cuadrado) no es de orden exponencial puesto que [e -yt et3 (al cubo) ] = et2 - yt puede hacerse más
grande que cualquier constante al hacer crecer t.
Si F(t) seccionalmente continua en cada intervalo finito 0 <= t <= N de orden exponencial y para t > N, entonces existe la
transformada de Laplace f(s) para todo s > y.
Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:
· Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)
· Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)

6. Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de
Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)
En general, para las derivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).
· Teorema del Valor Inicial
Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:
Lím f(t) = Lím s F(s)
si el límite existe.

7. PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.
· A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.
· Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos
funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como
iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, ").
· Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él.
Teorema
Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s),
entonces
L {c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} = c1f1(s) c2f2(s)
Ejemplo1. L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t} = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}
= 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1
s3 s2 + 4 s + 1
= 8 - 3s + 5
s3 s2 + 4 s + 1
Ejemplo 2. L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t} = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t} =
= 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2___
s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4
= 4_ + 36 - _12 + __2s__
s - 5 s2 s2 + 16 s2 + 4
donde s > 5.

8. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Definición.
Si la transformada de Laplace de una función F(t) es f(s), es decir, si L |F(t)| = f(s), entonces F(t) se llama una transformada
inversa de Laplace de f(s) y se expresa por F(t) = L-1 |f(s)| , donde L-1 se llama el operador transformada inversa de
Laplace. Como la transformada de Laplace de una función nula N(t) es cero, es claro que si L |f(t)| = f(s) entonces L |F(t) +
N(t)| = f(s). De esto se deduce que puede haber dos funciones diferentes con la misma transformada de Laplace.
Para demostrar algunos aspectos, tomemos el siguiente ejemplo, en el cual dos funciones diferentes F1 (t) = e-3t y F2(t)
=
0 t =1
e-3t de otra manera
tienen la misma transformada de Laplace, es decir 1/(s + 3),
Si la consideramos las funciones nulas, vemos que la transformada inversa de Laplace es única. Sin embargo, es única
en cada intervalo 0<= t <= N y de orden exponencial para t > N, aceptará siempre esa unicidad a menos que se
establezca claramente lo contrario. Tabla de transformadas inversas de Laplace.

9. F(s)
L-1{f(s) = F(t)
1.
1/s
1
2.
1/s2
T
3.
1 / sn+1 n=0,1,2,...
tn / n!
4.
1 / s-a
eat
5.
1 / s2+a2
sen at / a
6.
s / s2+a2
cos at
7.
1 / s2-a2
sen h at / a
8.
s / s2 - a2
cos h at

10. PROPIEDAD DE LINEALIDAD.
Teorema. Si c1y c2 son constantes arbitrarias y f1(s) y f2(s) son las transformadas de F18t) y F2(t) respectivamente,
entonces
L-1{c1f1(s) + c2f2(s)} = c1 L-1{f1(s)} + c2 L-1{f2(s)}
= c1F1(t) + c2F2(t)
Este resultado se puede extender fácilmente al caso de más de dos funciones.
L-1 4/(s - 2) - 3s/(s2 + 16) + 5/(s2+ 4) =
4 L-1 1/(s - 2) - 3 L-1 s/(s2 + 16) + 5 L-1 1/(s2 + 4) =
= 4e2t - 3 cos 4t + 5/2 sen 2t
Debido a esta propiedad podemos decir que L-1 es un operador lineal o que tiene propiedad de linealidad.
L-1 (5s + 4)/s2 - (2s - 18)/(s2 + 9) + (24 - 30 s )/s4 =
L-1 (5/s2) + (4/s3) - [2s /(s2 + 9)] + [18/ (s2 + 9)] + (24/s4) - (30/s7/2)
= 5t + 4(t2/2!) - 2cos3t + 18[(sen3t)/3] + 24(t3/3!) - 30(t5/2/r(7/2)
= 5t + 2t2 - 2 cos 3t + 6 sen 3t + 4t3 - 16t5/2/ TT
Puesto que r(7/2)= 5/2 * 3/2 * ½ r(1/2) = (15 TT )/ 8.

11. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS.
Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces
L-1 { f(n) (s)} = L-1 dn/ ds n f(s) = (-1)n tn F(t)
Ejemplo1. Como L-1 1/ (s2 + 1) = sen t y d/ds [1/ (s2 + 1)] =
= -2s /(s2 + 1)2 , tenemos que
L-1 -2s / (s2 + 1)2 = - tsen t o L-1 s/(s2 + 1)2 = (t set)/2
Ejemplo 2. Calcular L-1 s/(s2 + a2)2 .
Tenemos que d/ds 1/(s2 + a2) = -2s /(s2 + a2)2 . Asi s/(s2 + a2)2
= -1/2 d/ds [1/(s2 + a2)] .
Entonces, como L-1 1/(s2 + a2) = (sen at)/a,
L-1 s/(s2 + a2)2 = -1/2 L-1 d/ds [1/(s2+ a2)]
= ½ t [(senat)/a] = (t senat) / 2a
Otro método. Derivando con respecto al parámetro a obtenemos
d/ds[s/(s2 + a2)] = -2as/(s2 + a2)2
luego L-1 d/ds [s/(s2 + a2)] = L-1 -2as/(s2 + a2)2
o bien d/ds L-1 [s/(s2 + a2)] = -2a L-1 s/(s2 + a2)2
es decir L-1 s/(s2 + a2)2 = (-1/2a) d/da (cos at) = (-1/2a) (-t sen at) = (t sen at)/2a

12. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE LAS INTEGRALES.
Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces
L-1 f(u) du = F(t) / t
Ejemplo. Como L-1 1/[s(s + 1)] = L-1 (1/s ) - [1/(s + 1)] = 1 - e-t ,
tenemos que L-1 [(1/u) - 1/(u + 1)] du =
L-1 ln [1 + (1/s)] = (1 - e-t)/t
6. MULTIPLICACION POR Sn.
Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t) y F(0) = 0, entonces
L-1 {s f(s)} = F'(t)
Así que, multiplicar por s produce el efecto de derivar a F(t).
Si F(0) 0, entonces
L-1{s f(s) - F(0)} = F'(t)
o L-1{s f(s)} = F'(t) + F(0) (t)

13. El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.
Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace
En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de
comportamiento variable respecto al tiempo.
Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar
matemáticamente el comportamiento de un proceso.
El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por
el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:
.

14. La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos
lineales.
De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la
transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y
analizar los sistemas de control de manera simple