Este documento define la transformada de Laplace y proporciona ejemplos de su cálculo para funciones como t, eat y ta. También incluye una tabla con las transformadas de Laplace comunes como 1, sin(at), cos(at) y ta. La transformada de Laplace mapea funciones del tiempo a funciones complejas y se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales.

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINICI ´ON
Sea f(t) una funci´on definida para t > 0, la transformada de Laplace de la
funci´on f(t) est´a dada por la ecuaci´on:
L {f(t)} =
∞
0
e−st
f(t)∂t
Si esta integral converge, entonces el resultado es una funci´on que depende de
la variable s, en este caso notamos el resultado de la transformada de Laplace
como F(s):
L {f(t)} = F(s) =
∞
0
e−st
f(t)∂t

4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
CALCULO DE L {f(t)}
EJEMPLO
Calculemos la transformada de Laplace de f(t) = t, es decir L{t}.
Si remplazamos en la definici´on anterior obtenemos:
L{t} =
∞
0
te−st
dt
Para evaluar esta integral usamos integraci´on por partes. Sean u = t,
dv = e−st y por lo tanto v = −
1
s
e−st. Entonces,
L {t} =
∞
0
te−st
dt = −
t
s
e−st
∞
0
−
∞
0
−
1
s
e−st
dt
= 0 −
1
s2
e−st
∞
0
=
1
s2

5. TRANSFORMADA DE LAPLACE
CALCULO DE L {f(t)}
EJEMPLO
Calculemos la transformada de Laplace de f(eat) = t, es decir L{eat}.
Si remplazamos en la definici´on anterior obtenemos:
L{t} =
∞
0
eat
e−st
dt
Luego,
L eat
=
∞
0
eat
e−st
dt =
∞
0
e(a−s)t
dt
=
1
a − s
e(a−s)t
∞
0
= −
1
a − s
para s > a
=
1
s − a

6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
TABLA DE TRANSFORMADAS
ALGUNAS TRANSFORMADAS
A continuaci´on se muestran los resultados de las transformadas de Laplace de
algunas funciones usuales en la soluci´on de ecuaciones diferenciales:
L{1} =
1
s
L{eat} =
1
s − a
L{sin(at)} =
a
s2 + a2
L{cos(at)} =
s
s2 + a2
L{sinh(at)} =
a
s2 − a2
L{cosh(at)} =
s
s2 − a2
L{ta} =
Γ(a + 1)
s(a+1)
NOTA: En el caso de la transformada de f(t) = ta, cuando a es un n´umero
entero, entonces
L{ta
} =
n!
s(n+1)

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.