Este documento introduce la transformada de Laplace, incluyendo su definición, transformada inversa, propiedades y su uso para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que la transformada de Laplace convierte funciones trascendentes en funciones algebraicas y es útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales. También describe las condiciones suficientes para que exista la transformada de Laplace de una función y proporciona ejemplos de aplicaciones como resolver problemas de valor inicial.

1. Transformada de Laplace
Definición,Transformada Inversa, Propiedades, Ecuaciones Diferenciales ordinarias
por Transformada de Laplace,Condiciones de existencia
Bachiller: Ricardo Boada
C.i. 26.823.943
Sección SAIA S1
Republica Bolivariana deVenezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Instituto Politécnico Universitario
Santiago Mariño - Sede Barcelona
Profesor : Pedro Beltrán
Asignatura: Matemática

2. Introducción
El estudio de la transformada de Laplace es muy importante, pues su uso
convierte funciones habituales trascendentes, como funciones, sinúsoidales
amortiguadas y exponenciales, en funciones algebraicas.
El método de la transformada de Laplace es una vía para la solución de
ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales que constituyen los modelos matemáticos más frecuentes en la
representación matemática de problemas de circuitos

3. Transformada de Laplace
Originalmente la transformada de Laplace fue
presentada por Pierre-Simón Laplace en su estudio
sobre la teoría de la probabilidad y en principio fue
tratada como un objeto matemático de interés
meramente teórico.
Origen
Las aplicaciones actuales surgen cuando diversos matemáticos
trataron de dar una justificación formal a las “reglas operacionales”
usadas por Heaviside en el estudio de ecuaciones de la teoría
electromagnética.

4. Transformada de Laplace
Sea f una función definida para t ≥ 0. La transformada de Laplace se define
como sigue:
Definición
Se dice que laTransformada de Laplace existe si la integral anterior
converge, en caso contrario se dice que la transformada de Laplace no
existe.
Por lo general, para denotar la función que se desea trasformar se usan
letras minúsculas y la letra mayúscula corresponde a su trasformada. De
esta manera tendremos:

5. Transformada de Laplace
Ejemplo
Considere la función constante f(t) = 1.Tenemos que su trasformada es:
Siempre que la integral converja, es decir siempre que s > 0. En caso contrario, s < 0,
la integral diverge.
Sea g(t)=t. Su trasformada de Laplace viene dada por :
Al integrar por partes y sabiendo que te-st tiende a 0 cuando t tiende a
infinito y s > 0, junto con el ejemplo anterior tenemos que:

6. Transformada de Laplace
La trasformada puede o no existir, por ejemplo para la función f(t) = 1/t la integral
que define su transformada de Laplace no converge y por lo tanto su
trasformada no existe.
Las condiciones suficientes para garantizar que la transformada de Laplace de
una función f exista, son que f sea continua por partes para t ≥ 0 y sea de orden
exponencial.
Se dice que una función es continua por partes para t ≥ 0, cuando para cualquier
intervalo [a, b] con a > 0, hay un número finito de puntos tk, en donde f tiene
discontinuidades y es continua en cada subintervalo [tk-1,tk].

7. Transformada de Laplace
Por otro lado, se dice que una función es de orden exponencial c si existen
constantes reales M > 0, c yT > 0 tal que:
Como ejemplos tenemos que f(t) = t2 es de orden exponencial ,ya que |t2| < e3t para todo t > 0.
De manera formal tenemos el siguiente teorema

8. Transformada de Laplace
Teorema (Condiciones suficientes para la existencia)
Si f es una función continua por parte para t > 0 y de orden exponencial c,
entonces existe la transformada de Laplace para s > c.
Es importante resaltar que esta es una condición de suficiencia, es decir que
podría darse el caso en que exista una función que no cumpla dichas
condiciones y aun así su transformada de Laplace exista.
Un ejemplo de esto es la función f(t) = t-1/2 que no es continua por partes para t
≥ 0 pero su transformada de Laplace existe.

9. Transformada de Laplace
Transformada de Laplace de algunas funciones básicas
En la siguiente tabla se
muestran las transformadas
de Laplace de las funciones
más comunes:

10. Transformada de Laplace
Propiedades
Entre las propiedades de la transformada de Laplace destacan las
siguientes:
Linealidad
Sean c1 y c2 constantes y f(t) y g(t) funciones cuyas trasformadas de
Laplace son F(s) y G(s) respectivamente, entonces se tiene que:
Debido a esta propiedad se dice que la transformada de Laplace es un operador lineal.
Ejemplo

11. Transformada de Laplace
Primer teorema de traslación
Si ocurre que:
Y ‘a’ es cualquier número real, entonces:
Ejemplo
Como la transformada de Laplace de cos(2t) = s/(s^2 + 4) entonces:
Segundo teorema de traslación
Si Entonces
Ejemplo
Si f(t) = t^3 , entonces F(s) = 6/s^4.Y por lo tanto, la transformada de es G(s)= 6e-2s/s^4

12. Transformada de Laplace
Cambio de escala
Si
Y ‘a’ es un real distinto de cero, tenemos que
Ejemplo
Como la transformada de f(t)= sen(t) es F(s)= 1/(s^2 + 1) se tiene
que

13. Transformada de Laplace
Transformada de Laplace de las derivadas
Si f, f’, f’’,…,f(n) son continuas para t ≥ 0 y son de orden exponencial y f(n)(t) es continua
por partes para t ≥ 0, entonces
Transformada de Laplace de integrales
Si
Entonces
Multiplicación por tn
Si tenemos que
División por t
Si tenemos que

14. Transformada de Laplace
Funciones periódicas
Sea f una función periódica con periodoT > 0, es decir f(t +T) = f(t), entonces
Comportamiento de F(s) cuando s tiende a infinito
Si f es continua por partes y de orden exponencial y entonces

15. Transformadas inversas
Cuando aplicamos la transformada de Laplace a una función f(t) obtenemos a F(s), la cual
representa dicha transformada. De igual manera podemos decir que f(t) es la transformada
de Laplace inversa de F(s) y se escribe como
Sabemos que las transformadas de Laplace de f(t) = 1 y g(t) = t son F(s) = 1/s y G(s) = 1/s2
respectivamente, por lo tanto tenemos que

16. Transformadas inversas
Algunas transformadas de Laplace inversas comunes son las
siguientes
Además, la transformada de Laplace
inversa es lineal, es decir se cumple que

17. Transformadas inversas
Ejercicio
Para resolver este ejercicio debemos hacer coincidir la función F(s) con alguna de la tabla
anterior. En este caso si tomamos a n + 1 = 5 y usando la propiedad de linealidad de la
transformada inversa, multiplicamos y dividimos por 4! Obteniendo
Para la segunda transformada inversa aplicamos
fracciones parciales para reescribir la función F(s) y luego
la propiedad de la linealidad, obteniendo:
Como podemos observar de estos ejemplos es
común que la función F(s) que se evalúa no
concuerde precisamente con alguna de las
funciones dadas en la tabla. Para estos casos,
como se observa, basta con reescribir la función
hasta llegar a la forma adecuada.

18. Transformadas inversas
Propiedad de linealidad
Primera propiedad deTranslación
Segunda propiedad deTranslación

19. Transformadas inversas
Propiedad del cambio de escala
Transformada Inversa de laplace en las derivadas
Transformada Inversa de laplace en las integrales

20. Transformadas inversas
Multiplicación por s^n División por s
Propiedad de Convolución

21. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por
Transformada de Laplace
La principal aplicación que poseen las transformadas de
Laplace es para resolver ecuaciones diferenciales.
Usando la propiedad de la transformada de una derivada es
claro que
Y de las n-1 derivadas evaluadas en t = 0.
Esta propiedad hace que la transformada sea de gran
utilidad para la resolución de problemas de valores
iniciales donde estén involucradas ecuaciones
diferenciales con coeficientes constantes.

22. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por
Transformada de Laplace
Dado el siguiente problema de valor inicial
Use la transformada de Laplace para encontrar la solución.
Aplicamos la transformada de Laplace a cada miembro de la
ecuación diferencial
Por la propiedad de la transformada de una derivada tenemos
Al desarrollar toda la expresión y despejarY(s) nos queda
Usando fracciones parciales para reescribir el lado derecho de
la ecuación obtenemos

23. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por
Transformada de Laplace
Finalmente, nuestro objetivo es encontrar una función y(t) que
satisfaga la ecuación diferencial. Usando la transformada de
Laplace inversa nos da como resultado

24. Condiciones suficientes para la
existencia de la transformada de Laplace
Sea f una función que cumple las siguientes condiciones
1. Es seccionalmente continua sobre el intervalo t ≤ A
para cualquier A > 0, esto es, posee a lo más un
número Finito de discontinuidades de salto en dicho
intervalo.
2. Es de orden exponencial para t ≥ M, es decir,
Entonces
Funciones f .t / que satisfacen a las condiciones del teorema anterior se
denominan funciones seccionalmente continuas de orden exponencial.
El orden exponencial que se exige a la función sólo se requiere a partir de
t ≥ M; puede suceder que en el intervalo t < M no se cumpla la
desigualdad para algunas t < M, sin embargo, esto no es importante pues
no afecta la existencia de

25. Conclusión
La transformada de Laplace ha sido en los
últimos años de gran importancia en los
estudios de ingeniería, matemática, física,
entre otras áreas científica, ya que además de
ser de gran interés en lo teórico, proporciona
una forma sencilla de resolver problemas que
vienen de las ciencias e ingenierías.

26. Referencias Electrónicas
http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/6.Laplace/I
mpExistencia.pdf
Condiciones de Existencia
https://www.lifeder.com/transformada-de-laplace/
Transformadas de Laplace,
definición , propiedades
https://temasdecalculo.com/2018/06/29/2-2-propiedades-de-
la-transformada-inversa-de-laplace-laplace/
Transformadas Inversas de
Laplace , definición y propiedades