Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace. Define la transformada de Laplace y explica por qué es útil para resolver ecuaciones diferenciales. Presenta ejemplos de transformadas de Laplace de funciones elementales y tablas con sus fórmulas. También cubre teoremas fundamentales como la linealidad y traslación, y cómo calcular transformadas inversas de Laplace.

1. Instituto Universitario Politecnico Santiago Mariño Extensión Maturín Esc.Ing. Electrónica y Eléctrica TRANSFORMADA DE LAPLACE Maturín, 2011 Facilitadora: Ing. Mariángela Pollonais

2. Transformada de Laplace Definición. Transformada de Laplace de funciones elementales. Teoremas fundamentales. Transformada inversa de Laplace. Aplicaciones.

3. Transformada de Laplace La transformada de Laplace, L, es un operador lineal que cambia una función de un dominio a otro: T L Función en el dominio de t Función en el dominio de s

4. Transformada de Laplace ¿Por qué estudiar a TL? El cambiar una ecuación diferencial al dominio de s simplifica el proceso de solución porque la ED en el dominio de s es una ecuación algebraica Ecuación diferencial (dominio de t) TL Ecuación diferencial (dominio de s ) Solución de la ecuación diferencial (dominio de t )

5. Transformada de Laplace. Definición Sea f(t) una función definida en el intervalo [0,  ). La Transformada de Laplace de f(t) es la función F(s) definida por la integral: donde s es una variable compleja s= σ +j ω Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.

6. Transformada de Laplace. Definición Condiciones suficientes para la existencia de la Transformada de Laplace Si una función f(t) es continua por partes en [0,  ) y de orden exponencial a, entonces su transformada de Laplace L{f(t)} existe para s > a Notación:

7. Transformada de Laplace de funciones elementales Transformada de Laplace de f(t) = 1:

8. Transformada de Laplace de funciones elementales Transformada de Laplace de f(t) = t:

9. Transformada de Laplace de funciones elementales Transformada de Laplace de f(t) = e -t :

10. Transformada de Laplace de funciones elementales Transformada de Laplace de f(t) = Ae at :

11. Transformada de Laplace de funciones elementales Transformada de Laplace de f(t) = sen(at):

12. Tabla de Transformada de Laplace   a s e s n t t s t at n n    1 ! s 1 1 1 1 1 2 

13. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales LINEALIDAD: Si c 1 es constante, f 1 (t) es una función cuya transformada de Laplace es F 1 (s) entonces: SUMA Y RESTA. Sean F 1 (s) y F 2 (s) las transformadas de Laplace de las funciones f 1 (t) y f 2 (t), y c 1 y c 2 constantes respectivamente; entonces:

14. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN. (Traslación compleja) Si y a es cualquier número real, entonces: Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento Ejemplo:

15. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales EJEMPLO 2: evalúe la siguiente transformada de Laplace. SOLUCIÓN a) SOLUCIÓN b)

16. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN Si y , entonces: Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento

17. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales FORMA ALTERNATIVA DEL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN. Usando la definición de la transformada de Laplace y haciendo la sustitución u = t – a , se obtiene la fórmula siguiente: EJEMPLO : Evalúe la siguiente transformada de Laplace. SOLUCIÓN: Con g(t) = cos t y a = , entonces fórmula de adición de la función coseno.

18. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.

19. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por : Generalizando

20. Transformada de una derivada. Teoremas fundamentales

21. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

22. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales TEOREMA DEL VALOR FINAL Si existe, entonces: TEOREMA DEL VALOR INICIAL El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya Transformada de Laplace es F(s), es:

23. Transformada inversa de Laplace Sea la función f(t) tal que Entonces la transformada inversa de Laplace, ,de F(s) se define como: .

24. Transformada inversa de Laplace Forma inversa del primer teorema de traslación Pasos para obtener la inversa de F(s-a): Identificar a F(s) Calcular Multiplicar a f(t) por e at

25. Transformada inversa de Laplace Forma inversa del segundo teorema de traslación donde U(t - a) es la función escalón trasladada

26. Transformada inversa de Laplace

27. Transformada inversa de Laplace Raíces del denominador D(s) o polos de F(s): Caso I – Polos reales simples Caso II – Polos reales múltiples Caso III – Polos complejos conjugados Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples

28. Transformada inversa de Laplace Caso I – Polos reales simples Ejemplo

29. Transformada inversa de Laplace y resolviendo queda

30. Transformada inversa de Laplace La transformada inversa de Laplace es:

31. Transformada inversa de Laplace Ejemplo Transformada inversa de Laplace

32. Transformada inversa de Laplace Caso II – Polos reales múltiples Ejemplo Polos reales simples Polos reales múltiples

33. Transformada inversa de Laplace Transformada inversa de Laplace

34. Transformada inversa de Laplace Caso III – Polos complejos conjugados Ejemplo

35. Transformada inversa de Laplace Transformada inversa de Laplace

36. Transformada inversa de Laplace Caso IV – factores complejos conjugados múltiples Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III, teniendo en cuenta que se trabajas con complejos

37. Transformada de Laplace. Aplicaciones Ejemplo: Obtener la solución del problema de valores iniciales siguiente, mediante el método operacional de Laplace.

38. Transformada de Laplace. Aplicaciones

39. Transformada de Laplace. Aplicaciones

40. Transformada de Laplace. Aplicaciones Resolver