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11 transformada de_laplace

1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite relacionar funciones del tiempo continuo con funciones complejas. 2) Pierre-Simon Laplace propuso la transformada y describió cómo un intelecto con conocimiento completo del universo podría usar ecuaciones para predecir el pasado y el futuro. 3) La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral que depende de una variable compleja s.

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1 { } ∫ ∞ − == 0 )()()( dttyetyLsY st La transformada de Laplace
2 Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) "Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
3 Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: donde s es una variable compleja Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge. dtetfsFtfL st− ∞ ∫== 0 )()()}({ .iws += σ La transformada de Laplace
4 Observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito: 0 0 ( ) lim ( ) h s t s t h e f t dt e f t dt ∞ − ⋅ − ⋅ →∞ =∫ ∫ { }( ) ( ),f t F s=L { } { } ( ) ( ), ( ) ( ), etc. y t Y s x t X s = = L L Notación:
5 Condiciones suficientes de existencia de la TL Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y ),0[,|)(| ∞∈∀≤ tMetf at Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito: 0|)(|lim =ℜ∈∃ − ∞→ bt t etftqb Entonces: L{f(t)} = F(s) existe ∀s > a. dtetfsFtfL st− ∞ ∫== 0 )()()}({
6 { } { } 00 11 11 0 0 >>⇒== = − === −−+−− ∞ − ∞ − ∫ sRe,aeeee s e s dte)s(FL ibtatt)iba(st stst Calcula la transformada de f(t) = 1: { } .sRe, s )s(F)t(f 0 1 1 >=→= Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
7 { } { }1 0 1 0 1 0 0 )( − ∞ −− ∞ − − ∞− ∞ − == = − − − === ∫ ∫∫ nstn st n st nstnn tL s n dtet s n dt s e nt s e tdtetsFtL Calcula la transformada de f(t) = tn : 1 ! )()( + =→= n n s n sFttf { } { } { } { } 1 0 1 ! 1 + − =       = = n n nn s n tL s tL tL s n tL { }( )0>sRe
8 { } ( ) ( ) 1 1 1 1 )( 0 1 0 1 0 + = + − ==== ∞ +− ∞ +− ∞ −−− ∫∫ s e s dtedteesFeL ts tssttt Calcula la transformada de f(t) = e-t : 1 1 )()( + =→= − s sFetf t { }( )1−>sRe
9 { } ( ) ( ) as as A e as A dtAedteAesFAeL tas tasstatat > − = − − ==== ∞ −− ∞ −− ∞ − ∫∫ , )( )( 0 00 Calcula la transformada de f(t) = Aeat : a}sRe{, as A )s(FAe)t(f at > − =→=
10 { } ( ) dteatsen s a s a dt s e atsena s e at s a dt s e ata s e atsendteatsensFatsenL st stst stst st ∫∫ ∫∫ ∞ − ∞ −∞− ∞ −∞− ∞ − −=         − −− − = − − − === 0220 0 0 0 0 )()()cos( )cos()()()()( Calcula la transformada de f(t) = sen(at): 22 )()()( as a sFatsentf + =→= 222 2 2 2 ;1 as a I s a I s a + ==      + Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at) { }( )0>sRe
11 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 222222 022 00 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 as a asi ia iasias asi eiaseias asi ias e ias e iias e ias e i dtee i dte i ee )s(F)at(senL i ee )at(sen tiastias tiastiastiastias tiastias st iatiat iatiat + = + =+−− + =+−− + =      − − + =      −− − +− =− = − == − = ∞+−−− ∞ +−−− ∞ −−+− ∞ −−+− ∞ − − − ∫ ∫ Calculemos la transformada de f(t) = sen(at) de nuevo:
12 { } ( ) ( ) { } { })()cos( 11 )( )()cos( 2222 22 0 00 atseniLatL as a i as s as ias ias ias ias e ias dtedteesFeL atseniate tias tiasstiatiat iat += + + + = + + = + + − = +− ==== += ∞ +− ∞ +− ∞ − ∫∫ Calculemos la transformada de f(t) = eiat :
13 c 1 t 0 if ( ) 1 if t c u t c t c < − =  ≥ La función Heaviside o escalón unidad: c 0 1 { } 0 1 1 ( ) ( ) lim lim lim ( ) h s t s t h c h s cs t s h s c s sch h u t c e u t c dt e dt ee e e s ∞ − ⋅ − ⋅ →∞ − ⋅− ⋅ − ⋅ − ⋅− − →∞ →∞ − = − = = = − = ∫ ∫L
14 Función delta de Dirac ε/1 a ε+a área = 1 Sea la función parametrizada: t )(lim)( 0 tfat εεδ →=− { }       − =      −= − − +−− s e e s e s e tfL s as saas εε εε ε 11 )( )( { } as s as s as e s se e s e etfL − − → − − → − → =      =      − = ε ε ε εεε ε 000 lim 1 lim)(lim )(tfε ( )[ ])()( 1 )( ε ε ε +−−−= atuatutf Observemos que
15 t a { } { } 1)( )( = =− − tL eatL as δ δ )( at −δ)(tδ Así la transformada de la función delta de Dirac es:
16 Funciones periódicas Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T. Entonces: { } )( 1 1 )()( 1 sF e tfLsF sT− − == donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t) sobre el primer periodo y cero fuera. ∫ − = T st dttfesF 0 1 )()( t t T
17 )()( )()( ,)()( )()( )()( 0 00 0 )( 0 0 0 sFedttfe dfeedttfe TtdTfedttfe dttfedttfe dttfesF sT T st ssT T st Ts T st T st T st st −− ∞ −−− ∞ +−− ∞ −− ∞ − += += −=++= += = ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ττ τττ τ τ Demostración
18 Ejemplo: onda cuadrada a 2a aT 2= )( 1 1 )( 12 sF e sF as− − = ( )asas a a st a st ee s dtedttfesF 2 22 0 1 1 )()( −−−− −=== ∫∫ )1( 1 )1( )( 2 2 asas asas eses ee sF + = − − =∴ − −−
19 Tabla de transformadas de Laplace ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sen cos sen cos ! at at n at n t s s t s e t s a s a e t s a n t e s a ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − + + + + + + + + + ( ) as e s n t t s t at n n + − + 1 ! s 1 1 1 1 1 2 δ
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25 Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante: conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin. ∫ ∞+ ∞− − ≥== i i st tdsesF i tfsFL γ γπ 0,)( 2 1 )()}({1 Transformada inversa de Laplace
26 Re(s) Im(s) γ ∫ ∞+ ∞− − ≥== i i st tdsesF i tfsFL γ γπ 0,)( 2 1 )()}({1 γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas las singularidades de F(s) queden a su izquierda. Con condiciones de existencia: ∞< = ∞→ ∞→ )(lim)2( 0)(lim)1( ssF sF s s
27 Por ejemplo, determinemos: Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura.       + − 2 1 )1( 1 s L Re(s) Im(s) γ=0-1 C1 R -R = + = ∫∫ ∞+ ∞− ds s e i dsesF i C st i i st 2 )1(2 1 )( 2 1 ππ γ γ ∫ ∫− = + + + iR iR C stst s e i ds s e i 1 22 )1(2 1 )1(2 1 ππ 0 por la desigualdad ML cuando R→∞ con t≥0.       + ===      + = −− −→−= 2 1 121 )1( 1 lim )1( Res 2 2 s Ltee ds d s e i i tst s st sπ π Haciendo R→∞ y utilizando teoría de residuos:
28 Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s) ≤ γ y |s| > R, tenemos que k s m sF ≤|)(| [ ] ).(depoloslossons,...,s,sdonde )(Res)}({ n21 1 1 sF sFesFL n k st ss k ∑= = − = Entonces si t > 0: En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior.
29 Ejercicio: Calcular, a partir de su definición, la transformada inversa de Laplace de la función )2)(1( )( ++ = ss s sg Respuesta. [ ]    I ib ib st dse)s(glim i )s(gL ∫ ρ+ ρ−∞→ρ − π = 2 11 s=-1 s=-2 Re(s) Im(s) t > 0 t < 0    −= −= = 2 1 )()( s s esgsf st puntos singulares aislados de f(s). s = -1; polo simple: s = -2; polo simple: [ ] t -s esg − = −=)(Res 1 [ ] t -s esg 2 2 2)(Res − = = [ ] [ ][ ]     <= >+= == 0,0 0,)(Res)(Res2 21 tI tsfsfiI -s-s π [ ] [ ] 0,0)( 0,2)( 1 21 <= >+−= − −−− tsgL teesgL tt
30 Ejemplo, determinar:       +− = − 2 1 )1)(2( 1 )( ss Ltf .1sy2s:dobleotroysimpleunopolos,dosposee )1)(2( )( 21 2 −== +− = ss e sFe st st 9 3 2 lim )1( lim )1)(2( Res )1)(2( Res)( 2 122 2122 tttst s st s st s st s etee s e ds d s e ss e ss e tf −− −→→ −== −− = − + + =      +− +      +− =
31 P2. Junio 2007 1. Emplear la integral de Bronwich para determinar Respuesta.       −+ − 2 1 )2)(1( 1 ss L [ ] 2 1 2 )2)(1( )( )(lim 2 1 )( , )2)(1( 1 )( −+ = = ∈ −+ = ∫ + −∞→ − ss e sf dsesg i sgL Cs ss sg st ib ib st ρ ρρπ s = -1, s = 2, puntos singulares aislados de f
32 ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∑ Γ Γ = + += = > 1 1 )()()( )(Res2)( 0,tdevaloresPara 2 1 ρ γ π C R s dssfdssfdssf sfidssf R γ γ ρ ρ ∪Γ ∪Γ − + C C : : 2 1 s=2s=-1 Re (s) Im (s) γρC
33 Residuo en s = -1 t st esf s ss e s sf − = =−Φ′= Φ + = −+ = 9 1 )1()(Res )( 1 1 )2(1 1 )( -1s 2 Residuo en s = 2 tt st etesf s ss e s sf 22 2s 22 9 1 3 1 )2()(Res )( )2( 1 1)2( 1 )( −=Ψ′= Ψ − = +− = =
34 [ ] ( ) [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ + >= +−=       +−= += ∞→ Γ − ∞→ Γ − Γ =−= ρρ ρ π π π C ttt ttt ss tdssf teeeidssf teeeidssf rfrfidssf 0para,0)(lim 3 9 1 2)(lim 3 1 9 1 2)( )(Res)(Res2)( 1 1 1 22 22 21
35 ∫ ∫ + −∞→∞→ −+ = γ ρ ρρρ ds ss e dssf ib ib st 2 )2)(1( lim)(lim [ ] 0,3 9 1 )2)(1( 1 22 2 1 >−+=      −+ −− tetee ss L ttt
36 Para valores de t < 0, ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑ − − − <= += += =−= ∞→ Γ ∞→∞→∞→ Γ Γ ρ ρ ρ ρ γρρρ γ π C C C R s tdssf dssfdssfdssf dssfdssfdssf sfidssf R 0para,0)(lim )(lim)(lim)(lim )()()( 0)(Res2)( 2 2 2 [ ] 0,0)(1 <=− tsgL
37 1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente; entonces: ).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL +=+ La transformada de Laplace es un operador lineal. Propiedades
38 { } [ ] { } { })()( )()( )()( )()( 2211 0 22 0 11 0 2211 2211 tfLctfLc dtetfcdtetfc dtetfctfc tfctfcL stst st + =+ =+ =+ ∫∫ ∫ ∞ − ∞ − ∞ − Demostración:
39 2. Desplazamiento temporal ( ) )( )( )( )()()( )()( 0 0 0 0 0 0 0 00 0 sFe tt dfee dtttfe dtttuttfesX dttfesF st sst t st st st − ∞ −− ∞ − ∞ − ∞ − = −= = −= −−= = ∫ ∫ ∫ ∫ λ λλλ    < >− =−= 0 00 0 ,0 ),( )()()( tt ttttf ttutftg )()}()({ )()}({ 0 0 sFettutfL sFtfL st− =− =
40 Ejemplo:       − − 3 3 1 s e L s { } 3 2 2 s tL = { } 3 32 2 )3()3( s etutL s− =−− )3()3( 2 1 2 3 3 1 −−=       ∴ − − tut s e L s 3 t
41 )( )()()( )()( 0 )( 0 0 asF dttfedttfeesX dttfesF tasatst st += == = ∫∫ ∫ ∞ +− ∞ −− ∞ − { } { } 22 )( 11 as teL s tL at − =→= 3. Desplazamiento en frecuencias Ejemplo: )()}({ )()}({ asFtfeL sFtfL at += = −
42 4. Cambio de escala en tiempo ( ) )/()/1( )( 1 )()( )()( 0 )/( 0 0 asFa atdfe a dtatfesX dttfesF as st st = == = = ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ − ∞ − λλλλ       = = a s F a atfL sFtfL 1 )}({ )()}({
43 5. Derivada de la transformada de Laplace [ ] { })( )( )()( )()( 0 0 0 ttfL dtttfe dttfe ds d sF ds d dttfesF st st st −= −=       = = ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ − ∞ − { })()( )}({)( ttfLsF tfLsF −=′ =
44 6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0. La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por: )0()()}('{ fssFtfL −= )0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL −−=
45 En forma similar: Demostración: )0()0(')0()()}({ )1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL  { } ( ) )0()()()0( )()()(')(' 0 0 0 0 fssFdttfesf dttfsetfedttfetfL st ststst −=−−= −−== ∫ ∫∫ ∞ − ∞ −∞− ∞ − ( ) 0)(lim =− ∞→ tfe st t
46 Supongamos que: )0()0(')0()()}({ )2(321)1( −−−−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL  { } ( ) { } )0()0(')0()( )0()()()0( )()()()( )1(21 )1()( 0 )1()1( 0 )1( 0 )1( 0 )()( −−− − ∞ −−− ∞ −−∞−− ∞ − −−−− =−=−−= −−== ∫ ∫∫ nnnn nnnstn nstnstnstn ffsfssFs ftfsLdttfesf dttfsetfedttfetfL  Entonces: ( ) 0)(lim )1( =−− ∞→ tfe nst t
47 Ejercicio: Determina la transformada de Laplace de la función usando la transformada de Laplace de )cos()( attf = )(tf ′′ [ ] [ ] [ ] 22 222 22 2 2 2 )( )()()( 01)()( )0()0()()(:quePuesto 0(0)fy1f(0)con)()( )cos()( )()( )cos()( :Tenemos as s sF ssFssFatfLa ssFstfaL fsfsFstfL tfatf atatf atasentf attf + =⇒ ⇒−=−=−⇒ ⇒−⋅−=−⇒ ⇒′−−=′′ =′=−=′′⇒ ⇒−=′′ −=′ =
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50 Emplear las propiedades correspondientes para determinar la transformada de Laplace de los polinomios de Laguerre, que se definen como: ...2,1,0),( ! )( )( == − net dt d n e tL tn n nt n Respuesta. [ ] [ ] 11 )( )1( ! )1( !)1( )1()()1( 1)Re(),( 1 1 ++ − − + = + − −=−= >= + = nn n nnntn t s n s n sgetL ssg s eL
51 [ ] [ ] ...2,1,0,0)( )0(...)0()0( )()( )( 0 )( )1(21 )( == ++′+− −=      = = − −−− − net dt d ffsfs tfLstf dt d L ettf t tn n n nnn n n n tn
52 )1( ! 1 )( ! )( )1( ! )( )( 1 )( −=      = + =      − + − sh n et dt d n e L sh s sn et dt d L tn n nt n n tn n n 1)Re(, )1( )( ! 1 )( > − =      + − s s s et dt d n e L n n tn n nt
Gracias a esta propiedad y a la linealidad de la TL podemos convertir una ec. diferencial como " 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2 y y y t u t y y + − = ⋅ − = − = en una ec. algebraica 2 2 1 ( )*( 3 4) ( 1) s s s e Y s s s s + ⋅ + − + + = Resolver para y(t) Resolver para Y(s)
Ec. Diferencial Transformada de Laplace Ec. Algebraica
Si resolvemos la ec. algebraica: 2 2 2 ( 1) ( 1) ( ) ( 3 4) s s s s e e Y s s s s − − + ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ + − y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), encontraremos la solución de la ec. diferencial.
Ec. Algebraica Solución de la Ec. Diferencial Inversa de la Transformada de Laplace
La transformada inversa de Laplace de: es 4 43 32 1 5 80 4 16 432 5 5 ( ) ( 1)( + ( ) ) ( )( ( ) ) t te e t t y t u t e e t u t e e − − = − ⋅ ⋅ − − − ⋅ − ⋅ 2 2 2 ( 1) ( 1) ( ) ( 3 4) s s s s e e Y s s s s − − + ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ + −
4 43 32 1 5 80 4 16 432 5 5 ( ) ( 1)( + ( ) ) ( )( ( ) ) t te e t t y t u t e e t u t e e − − = − ⋅ ⋅ − − − ⋅ − ⋅ es la solución de la ec. diferencial: " 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2 y y y t u t y y + − = ⋅ − = − = De modo que:
Para conseguirlo hemos aplicado: Primero, que la TL y su inversa son lineales: { } { } { } { } { } { }1 1 -1 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) cf t g t c f t g t cF s G s c F s G s− − + + L = L + L L = L + L { } { } { } { }2 '( ) ( ) (0), ''( ) ( ) (0) '(0) f t s f t f f t s f t s f f ⋅ − ⋅ − ⋅ − L = L L = L and etc... Y segundo, la TF de las derivadas de una función son:
A este método se le conoce como cálculo de Heaviside. Por ejemplo: 01 2 1 01 2 01 )0()0(')0( )( 0)()}0()({)}0(')0()({ 0)()(')('' asas fafsf sF sFafssFafsfsFs tfatfatf ++ ++ = =+−+−− =++ Y antitransformando obtendremos la solución.
Veamos un ejemplo concreto: Resolver la ec. diferencial )4)0(y0()(2)(' 3 =≥=+ − ftetftf t tt t tt eetf ss sF s sFssF s sFfssF eLtfLtfL etftfLetftf 32 3 33 5)( 3 1 2 5 )( 0 3 1 )(24)( 0 3 1 )(2))0()(( 0}{)}({2)}('{ 0})(2)('{;0)(2)(' −− − −− −=→ + − + = = + −+− = + −+− =−+ =−+=−+
62 Ejemplo Resolver 2222 )1()1( 1 )( + + + = − s e s sY sπ 0)0()0(, 0 0sin =′=    > <≤ =+′′ yy t tt yy π π { } { } 11 1 )sin()(sin sin)(sin)()( 22 2 + + + = −−+= −−=+ − s e s ttutL ttutLsYsYs sπ ππ π [ ] [ ] [ ]    ≥− <≤− = −−−−−+−= ππ π ππππ tt tttt ttttutttty cos 0cossin )cos()()sin()(cossin)( 2 1 2 1 2 1 2 1
63 Ejemplo:     + − + = ++ = =++ −− − 2 1 1 1 23 1 )( )(2)(3)( 2 2 ss e ss esY esYssYsYs ss s [ ])1(2)1( )1()( −−−− −−= tt eetuty Resolver 0)0()0(),1(23 ==′−=+′+′′ yytyyy δ
64 7. Transformada de Laplace de la integral de una función { } s sF tfL s duufL t )( )}({ 1 )( 0 ==∫ )( 1 )( 11 )( )()( )()( 00 0 0 0 0 sF s dttfe s e s df dtdfesX dttfesF stst t t st st = +    −    =    = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ττ ττ Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0, entonces: para Re(s) > p.
65 Ejercicio: Obtener la transformada de Laplace de la función: du)usinh()ucosh(u)t(f t 86 0 3 ∫= Respuesta. [ ] [ ]gL s fL duug duuuutf t t 1 )( )8sinh()6cosh()( 0 0 3 = = == ∫ ∫
66 22 )8sinh()6cosh()( 8866 33 tttt eeee tttttg −− ++ == ( )tttt eeeetg 142214 4 1 )( −− −+−= [ ] [ ] ⇒      + − − + + − − = −> + = + − 4444 1 )14( !3 )2( !3 )2( !3 )14( !3 4 1 )Re()Re(, )( ! ssss gL zs zs n etL n ztn [ ]       + − − + + − − =⇒ 4444 )14( 1 )2( 1 )2( 1 )14( 1 2 3 sssss fL
67 { } s sF duufL t )( )( 0 =∫ ∫ ∞ =       s duuF t tf L )( )( { })()(con tfLsF = 8. Transformada de Laplace de f(t)/t
68 Calcula la transformada de Laplace de t t tf sin )( = { } ( ) duuF t tf L s sF s I s I s dtet ss dt s e t s e t s dt s e t s e tdtetsFtL s I st stst stst st ∫ ∫∫ ∫∫ ∞ ≡ ∞ − ∞ −∞− ∞ − ∞ ∞− − =       + =⇒ + ==      +⇒ ⇒−=         − + − − − − === )( )( :empleandoAhora, 1 1 )( 1 1 ; 11 1 sin 11 sincos 1 cossin)(sin)(sin 2222 0220 0 00 0    sudu ut t L ss arctan 2 arctan 1 1sin 2 −== + =       ∞∞ ∫ π
69 )cos()()(Si attftg = 24 222 2222 0 4 2 2 22 2 )()()( )( )( 1 )( as aais a ais a i aias a aias a i dte t atsen sG atsen t tg st + =     − − + =       +− − ++ == = ∫ ∞ − 2 )()( )( iasFiasF sG −++ = ℜ∈acon Ejemplo: )()()(Si atsentftg = [ ] 2 )()( )( iasFiasFi sG −−+ = ℜ∈acon 9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)
70 10. Teorema del valor final Si existe, entonces: 11. Teorema del valor inicial El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es: )(lim tf t→∞ )(lim)(lim 0 ssFtf st →∞→ = )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st ∞→→ == +
71 Recordemos que la operación se conoce como la convolución de y y se denota como La transformada de Laplace de esta operación está dada por: ∫ ∞ ∞− − τττ dtff )()( 21 )(1 tf ),(2 tf )}({)}({)}(*)({ )()()}(*)({ 2121 2121 tfLtfLtftfL sFsFtftfL ⋅= ⋅= ).(*)( 21 tftf 12. Integral de convolución
72     < ≥− = ∫ 0,0 0,)()( )(*)( 0 t tdtgf tgtf t τττ Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda: Así que para estas funciones podemos definirla convolución como: ∫ ≥−= t tdtgftgtf 0 )0(,)()()(*)( τττ
73 De hecho, podemos utilizar la convolución para encontrar transformadas inversas de Laplace: 1 1 11 )1( 1 0 2 1 2 1 −−== ∗=       − =       − ∫ − −− tede et ss L ss L t t t t ττ τ
74 44 1 2 )()()(*)( 2 0 22 0 )(2 t t t t t et dee dedtgftgtf − − −− ∞ ∞− +−= ==−= ∫ ∫∫ ττ τττττ τ τ )}({)}({)}(*)({ 2121 tfLtfLtftfL ⋅= Ejemplo: Verificar que funciona para f(t) = t y g(t) = e-2t con valores 0 para t < 0. )2( 1 )2( 1 4 11 4 11 2 1 }{ 4 1 }1{ 4 1 }{ 2 1 44 1 2 2 2 2 2 + = + +− =+− =       +− − − ss sss eLLtL et L t t )2( 1 )2( 11 )2( 1 }{; 1 }{ 22 2 2 + = + + == − ssss s eL s tL t
75 Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la solución del problema de Cauchy: 0)0( 1)0( sin =′ = =+′′ y y tyy Respuesta. [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 1 sin )()0()0(yL);( s tL ssYsysyyLssYyL + = −=′−−=′′=
76 • Transformada de la ecuación: [ ] [ ] ( ) ( )         + +      + =⇒ + + + =⇒ ⇒ + =−+⇒=+′′ −− 22 1 2 1 222 2 2 1 1 1 )( 1 1 1 )( 1 1 )1(sin s L s s Lty ss s sY s ssYtLyyL ( ) tt ss L s L t s s L sinsin 1 1 1 1 1 1 cos 1 22 1 22 1 2 1 ∗=    ++ =         + =    + −− −
77 t t tduttu duututt t t cos 2 sin 2 1 )cos)2(cos( 2 1 )sin(sinsinsin 0 0 −=−−= =−=∗ ∫ ∫ t t ttty cos 2 sin 2 1 cos)( −+=
78 { } 1 1 )( 4 1)(; 1 1 0)}(*{41)( 1 1 )0()}({4)0()( }{)(4)(;)()(4)( )( 1 )}({}{ )()(* 0 2 − =−− − =             −−− − =−−− =       −       =−− = = ∫ s sX s ssX s txtLsssX s hthsLxssX eLth dt d Ltx dt d Ledssxst dt d tx dt d sX s txLtL tt thtxt t     1)0(;)()(4)( 0 ==     −− ∫ xedssxsttx dt d t t Resolver la ec.integro-diferencial:
79 ttt eeetx sss sX sss s sX s sX s ssX 22 2 3 1 3 1 )( 2 1 3 1 2 1 1 1 3 1 )( )3)(2)(1( )( 1 1 )( 4 1)( − ++−= + + − + − −= −−− = − =−− Antitransformando:
80 Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la solución del problema de Cauchy Respuesta. 0)0( )3()()( 0 )(3 = −=     − ∫ − x tduuxetx dt d t ut δ )3()()( )( 0 )(3 −=           − ∫ − tduuxetx dt d th t ut δ   
81 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ss t etLetL sX s txLtfLthL etfxfth ssHhthsLthL ssXxtxsLtxL 33 3 )()3( )( 3 1 )()()( )(,)( )()0()()( )()0()()( −− ==−∗ − =⋅= =⋅=∗ =−=′∗ =−=′∗ δδ
82 [ ]       − +      =         − += − − ==    − − − − − −− − − − 44 1 4 3 )( 4 4 1 4 3 )( )4( )3( )(, 3 )( 3 1 3 11 3 3 3 s e L s e LsXL ss esX ss es sXe s s ssX ss s s s )3(4 4 1 )3( 4 3 )( − +−= t etHtx
83 Raíces del denominador D(s) o polos de F(s): Caso I – Polos reales simples Caso II – Polos reales múltiples Caso III – Polos complejos conjugados Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples )( as − 2 )( as − ))(( * asas −− 0 1 1 0 1 1 )( )( )( bsbs asasa sD sN sF m m m n n n n +++ +++ == − − − −   Desarrollo en fracciones parciales: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos. [ ]2* ))(( asas −−
84 Caso I – Polos reales simples )( as − 32 )3)(2( 1 6 1 )( )( )( 23 + + − += +− + = −+ + == s C s B s A sss s sss s sD sN sF Ejemplo as A −
85 15 2 )2( 1 3 10 3 )3( 1 2 6 1 )3)(2( 1 3 2 0 −=      − + ⇒ + +=      + + ⇒ − −=      +− + ⇒ −= = = s s s ss s s C ss s s B ss s s A 32)3)(2( 1 )( + + − += +− + = s C s B s A sss s sF as sD sN asA =       −= )( )( )(
86 )3)(2( )2()3()3)(2( 326 1 23 +− −++++− = + + − += −+ + sss sCssBsssA s C s B s A sss s )2()3()3)(2(1 −++++−=+∴ sCssBsssAs A ss s s =      +− + ∴ =0 )3)(2( 1 )6()23()( )2()3()6(1 2 222 ACBAsCBAs ssCssBssAs −+−++++= −+++−+=+ 16;123;0 =−=−+=++ ACBACBA método alternativo y resolver...
87     + −    − +    −= + + − += −+ + = 3 1 15 2 2 1 10 31 6 1 32 6 1 )( 23 sss s C s B s A sss s sF La transformada inversa de Laplace es: tt eetf 32 15 2 10 3 6 1 )( − −+−=
88 Otro ejemplo 2 1 1 2 1 1 211 )2)(1)(1( 372 )2)(1( 372 )( 2 2 2 + − − + + = + + − + + = +−+ ++ = +− ++ = ssss C s B s A sss ss ss ss sF 1 )1)(3( 3148 )1)(1( 372 2 )3)(2( 372 )2)(1( 372 1 )1)(2( 372 )2)(1( 372 2 2 1 2 1 2 −= −− +− =      +− ++ = += ++ =      ++ ++ = += − +− =      +− ++ = −= += −= s s s ss ss C ss ss B ss ss A Transformada inversa de Laplace: ttt eeetf 2 2)( −− −+=
89 Caso II – Polos reales múltiples 2 )( as − 12)1)(2( 44 )( )( )( 22 23 − + − ++= −− +− == s D s C s B s A sss ss sD sN sF Ejemplo )()( 2 as B as A − + − Polos reales simples Polos reales múltiples
90 3 )1)(2( 44 2 )1)(2( 44 0 23 0 23 2 =            −− +− ⇒ =      −− +− ⇒ = = s s ss ss ds d s B ss ss s A as sD sN asA =       −= )( )( )( 2 as sD sN as ds d B =             −= )( )( )( 2 )1)(2( 44 )( 2 23 −− +− = sss ss sF
91 Transformada inversa de Laplace: tt eettf −−+= 2 32)(       − −      − −      +      = − + − ++= −− +− = 1 1 2 11 3 1 2 12 )1)(2( 44 )( 2 2 2 23 ssss s D s C s B s A sss ss sF
92 En general, para polos reales múltiples: ( ) ( ) ( )sN sD sF = ( ) ( ) ( ) ( )n r pspspssD −−−= 21 ( ) ( ) ( ) n n r r r r ps a ps a ps a ps b ps b ps b sF − ++ − + − + − ++ − + − = − −  3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 ( )( )( ) 1 1 ! 1 ps r j j jr pssF ds d j b = −       −= ( )( )[ ] ipsii pssFa = −= 1 1 1 1 ]))(([ )!1( 1 ]))(([ ! 1 ]))(([ ]))(([ 11 1 1 1 11 1 ps r r r ps r j j jr ps r r ps r r pssF ds d r b pssF ds d j b pssF ds d b pssFb −= − − −= − −= − −=       + − =       +=       += +=  
93 Caso III – Polos complejos conjugados ejemplo ))(( * asas −− ia as B as B s A ss 2, )4( 4 * * 2 = − + − += + 2 1 )2( 4 2 1 )2( 4 1 4 4 2 * 2 0 2 −=      − = −=      + = +=      + = −= = = is is s iss B iss B s A conjugados complejos       − + − −= * 11 2 11 asass Transformada inversa de Laplace: )2cos(1)( ttx −=
94 ejemplo ia as B as B ss s 43, 256 4 * * 2 +−= − + − = ++ + )4( 8 1 43 4 )4( 8 1 43 4 43 * 43 i is s B i is s B is is +=    −+ + = −=    ++ + = −−= +−= Transformada inversa de Laplace: )cos(2)( φωσ += − teBtf t 245.0,4,3 , 8 17 ),4( 8 1 −=== =−= φωσ BiB )245.04cos( 4 17 )( 3 −=∴ − tetf t donde
95 Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III, teniendo en cuenta que trabajamos con complejos. Caso IV – factores complejos conjugados múltiples [ ]2* ))(( asas −−
96 Ejemplo: Obtener la solución del problema de valores iniciales siguiente, mediante el método operacional de Laplace. 2)0(;0)0( 2 3)2(22 2 =′=       −−=−− − uu ttseneu dt du dt ud t π δ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ⇒− ++ +=+−⇒ ⇒− ++ +=−−⇒ ⇒− ++ =−−−⇒ ⇒            −−=−′−′′⇒ ⇒            −−=−′−′′ − − − − − s s s t t e s uLss e s uLss e s uLusLuLs tLtseneLuLuLuL ttseneLuuuL 2 2 2 2 2 2 2 2 3 41 2 212 3 41 2 22 3 41 2 22 2 3)2(2 2 3)2(2 π π π π δ π δ
97 [ ] ( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )       −−      − −−− −− − +−+−−=⇒ ⇒ + + − − − ++ + ++ − + − − =⇒ ⇒ +− − +−++ + +− =⇒ 22 2 2 22 22 2 2 )2cos( 26 3 )2( 13 1 6 5 39 28 )( 1 1 2 1 4126 3 41 2 13 1 1 1 6 5 2 1 39 28 12 3 1241 2 12 2 ππ ππ π tt tttt ss s eetetseneeetu e s e s s s sss uL e sssssss uL
98 Ejercicio: Obtener la transformada de Laplace de la función )5()3()( 3 tshtchttf = [ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       + − − + + − − = =      + − − + + − − = − = −+−= =−+−= =      −+ = −− −− −− 4444 4444 4 3 83232383 82283 5533 33 8 1 2 1 2 1 8 1 2 3 8 !3 2 !3 2 !3 8 !3 4 1 )( !3 4 1 4 1 22 )5()3( ssss ssss tfL as etL etLetLetLetL eeeetL eeee tLtshtchtL t tttt tttt tttt α

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