Sol08

8 REPRESENTACIÓN
DE FUNCIONES

Página 185

REFLEXIONA Y RESUELVE

Descripción de una gráfica

■ Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar
la gráfica que aparece al principio, representa esta función sobre unos ejes coor-
denados dibujados en papel cuadriculado.

(La solución está en el propio ejercicio).

■ Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva,
lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones:
• lím f (x) = – @
x 8 –@

• lím f (x) = 2
x 8 +@

• lím f (x) = – @
x 8 2–

• lím f (x) = +@
x 8 2+

• f (0) = 4; f' (0) = 0

• f (–5) = 0; f (1,75) = 0

• f es derivable en todo Á, salvo en x = 2.

4

1

–5 1

Unidad 8. Representación de funciones
1

■ Describe, con la menor cantidad de datos y de forma similar a la de los aparta-
dos anteriores, la siguiente función:

• lím f (x) = –1
x 8 –@
• lím f (x) = – @
x 8 +@

• lím f (x) = +@
x 8 – 3–

• lím f (x) = +@
x 8 – 3+

• f (–9) = 0; f (0) = 0; f (8) = 0
• f' (0) = 0
• f (4) = 4; f' (4) = 0

■ Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada por ti.
Descríbela en papel aparte. Dale la descripción a tu compañera o compañero
para que la represente.
Representa tú la suya.
Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferencias
que observéis.
¿Hay algún error en la representación? ¿Hay, acaso, error en la descripción?
¿Es todo correcto?

Por ejemplo:
• lím f (x) = – @; lím f (x) = 2
x 8 –@ x 8 +@

• lím f (x) = – @; lím f (x) = +@
x 8 – 4– x 8 – 4+
1
• f (–4) = 0; f' (–4) = 0
1 • f (1) = 0; f' (1) = 0

• f (0) = 1

2

UNIDAD 8

■ Observa esta gráfica:

• Halla la ordenada para las siguientes abscisas:
x = 0, x = 1, x = 3, x = –7, x = 12, x = – 400, x = 13, x = –199
• ¿En qué puntos no está definida esta función?
• ¿Qué tramo de la función te bastaría conocer para hacerte una idea exacta de
cómo es la gráfica?
• ¿Te sugiere esta curva algún tipo de simetría o periodicidad?

• f (0) = 0; f (1) = 1; f (3) = 1; f (–7) = 1
f (12) = 0; f (– 400) = 0; f (13) = 1; f (– 199) = 1
(En general, f (4k) = 0; f (4k + 1) = f (4k – 1) = 1 y no existe f (x) en x = 4k + 2,
con k é Z).

• La función no está definida en los puntos de la forma x = 4k + 2, con k é Z.

• Bastaría con conocer la función para x é [0, 2), si supiéramos que es par y que es
periódica de período 4.

• Simetría 8 Es una función par (simétrica respecto al eje Y ).
Periodicidad 8 Es periódica de período 4.

Página 186
1. Halla el dominio de estas funciones:
a) y = x 3 – 5x 2 + 7x + 3
3x 3 + 5
b) y =
x 2 – 5x + 4
x 3 + 2x
c) y =
x2 + 1

a) Dominio = Á
5 ± √ 25 – 16 5 ± √9 5±3 x=4
b) x 2 – 5x + 4 = 0 8 x = = =
2 2 2 x=1
Dominio = Á – {1, 4}

c) x 2 + 1 ? 0 para todo x 8 Dominio = Á

3

2. Halla el dominio de:
ex
a) y = √x 2 – 2x b) y = ln (x 2 + 1) c) y = ln (x 2 – 1) d) y =
x2
a) x 2 – 2x Ó 0 8 Dominio = (– @, 0] « [2, +@)
b) x 2 + 1 > 0 para todo x 8 Dominio = Á
c) x 2 – 1 > 0 8 Dominio = (– @, –1) U (1, +@)
d) x 2 = 0 8 x = 0 8 Dominio = Á – {0}

Página 187
3. Halla las simetrías y las periodicidades; di dónde son continuas y dónde deri-
vables:
a) y = 3x 4 – 5x 2 – 1 b) y = √x 2 – 2x
x3 x3 – 1
c) y = d) y =
x2 – 1 x2
e) y = sen x + 1/2 (cos 2x)

a) f (–x) = 3(–x) 4 – 5(–x) 2 – 1 = 3x 4 – 5x 2 – 1 = f (x)
Es una función par: simétrica respecto al eje Y.
No es periódica.
Es continua y derivable en Á.
b) Dominio = (– @, 0] « [2, +@)
f (–x) = √x 2 – 2x . No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni res-
pecto al origen de coordenadas.
No es periódica.
Es continua en su dominio.
Es derivable en (– @, 0) « (2, +@).
c) Dominio = Á – {–1, 1}
–x 3
f (–x) = = – f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.
x2 – 1
No es periódica.
Es continua y derivable en su dominio.
d) Dominio = Á – {0}
–x 3 – 1
f (–x) = . No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respec-
x2
to al origen de coordenadas.
No es periódica.
Es continua y derivable en su dominio.

4

UNIDAD 8

e) Dominio = Á
1
f (–x) = cos (–x) +
2
(cos (–2x)) = –sen x + 1 (cos (2x))
2
No es par ni impar.
Es periódica de período 2π.
Es continua y derivable en Á.

Página 188

4. Halla las ramas infinitas de:
x4
a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y =
x2 –1
x3
c) y = d) y = x 4 – 8x 2 + 7
(x – 2)2
e) y = ln (x 2 + 1) f ) y = 2x – 1

a) y = 3x 5 – 20x 3
• lím f (x) = – @
x 8 –@
Ramas parabólicas
• lím f (x) = +@
x 8 +@

x4
b) y =
x2 – 1
• Dominio = Á – {–1, 1}
f (x)
°
• lím f (x) = +@; lím § = –@
x 8 –@ x 8 –@ x §
§ Ramas parabólicas
¢
f (x) §
lím f (x) = +@; lím = +@ §
§
x 8 +@ x 8 +@ x £

• lím f (x) = +@; lím f (x) = – @ °
x 8 –1– x 8 –1+ §
¢ Asíntotas verticales: x = –1; x = 1
lím – f (x) = – @; lím + f (x) = +@ §
x81 x81 £

–1 1

5

c) y = x3 = x3 = x + 4 + 12x – 16
(x – 2)2 x 2 – 4x + 4 x 2 – 4x + 4
• Dominio = Á – {2}
• lím f (x) = – @; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@
y = x + 4 es una asíntota oblicua.
12x – 16 ° f (x) – (x + 4) > 0 si x 8 +@
f (x) – (x + 4) = 8 ¢ f (x) – (x + 4) < 0
x 2 – 4x + 4 £ si x 8 – @

• lím f (x) = +@ °
x 8 2– §
¢ x = 2 es asíntota vertical
lím f (x) = +@ §
x 8 2+ £

4

2

d) y = x 4 – 8x 2 + 7
• lím f (x) = +@
x 8 –@
Ramas parabólicas
• lím f (x) = +@
x 8 +@

e) y = ln (x 2 + 1)
• Dominio = Á
• lím f (x) = +@ °
x 8 –@ §
f (x) §
ln (x 2 + 1) 2x = 0 §
lím = lím = lím
x 8 –@ x x 8 –@ x x 8 – @ x2 + 1 §
§
¢ Ramas parabólicas
• lím f (x) = +@ §
x 8 +@ §
§
f (x) ln (x 2 + 1)
2x = 0 §
lím = lím = lím §
x 8 +@ x x 8 +@ x x 8 +@ x 2 + 1 £
• No hay asíntotas verticales.

6

UNIDAD 8

f) y = 2 x – 1 > 0 para todo x.
• Dominio = Á
• lím f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal cuando x 8 – @.
x 8 –@
f (x)
• lím f (x) = +@; lím = +@
x 8 +@ x 8 +@ x

• No hay asíntotas verticales.

Página 189
5. Halla los puntos singulares y los puntos de inflexión de:
a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5 b) y = ln (x 2 + 1)

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5. Dominio = Á
• f' (x) = 3x 2 – 12x + 9
• f' (x) = 0 8 3(x 2 – 4x + 3) = 0

4 ± √ 16 – 12 4 ± √4 4±2 x=3
x= = =
2 2 2 x=1
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' > 0 Hay un máximo en (1, 9) y un mí-
1 3 nimo en (3, 5).

• f'' (x) = 6x – 12
f'' (x) = 0 8 6x – 12 = 0 8 x = 2

Signo de f'' (x):
f '' < 0 f '' > 0
Hay un punto de inflexión en (2, 7).
2

b) y = ln (x 2 + 1). Dominio = Á

• f' (x) = 2x
x2 + 1

f' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0
f'' (x) < 0 para x < 0 °
¢ Hay un mínimo en (0, 0).
f'' (x) > 0 para x > 0 £

7

2 2 2 2
• f'' (x) = 2(x + 1) – 2x · 2x = 2x + 2 – 4x = –2x + 2
(x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2

x = –1
f'' (x) = 0 8 –2x 2 + 2 = 0 8 x 2 = 1
x=1

Signo de f'' (x):

f '' < 0 f '' > 0 f '' < 0

–1 1

Hay un punto de inflexión en (–1, ln 2) y otro en (1, ln 2).

6. Halla los puntos singulares de:
x2
a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y =
x2–1
x3
c) y = d) y = √x 2 – 2x
(x – 2)2

a) y = 3x 5 – 20x 3. Dominio = Á
f' (x) = 15x 4 – 60x 2
x=0
f' (x) = 0 8 15x 2 (x 2 – 4) = 0 x = –2
x=2
Signo de f' (x):

f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–2 0 2

Hay un máximo en (–2, 64), un mínimo en (2, –64), y un punto de inflexión en
(0, 0).

b) y = x 2 . Dominio = Á – {–1, 1}
x2 –1
2 2 3 3
f' (x) = 2x (x – 1) – x · 2x = 2x – 2x – 2x = –2x
(x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2

f' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0
Signo de f' (x):
f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0

–1 0 1

Hay un máximo en (0, 0).

8

UNIDAD 8

c) y = x 3 . Dominio = Á – {2}
(x – 2) 2
2 2 3 2 3
f' (x) = 3x (x – 2) – x · 2(x – 2) = 3x (x – 2) – 2x =
(x – 2) 4 (x – 2) 3

3 2 3 3 2
= 3x – 6x – 2x = x – 6x
(x – 2) 3 (x – 2) 3

x=0
f' (x) = 0 8 x 2 (x – 6) = 0
x=6
Signo de f' (x):

f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 2 6

Hay un punto de inflexión en (0, 0) y un mínimo en 6, ( 27
2 )
.

d) y = √x 2 – 2x . Dominio = (– @, 0] « [2, +@)
2x – 2 x–1
f' (x) = =
2 √ x 2 – 2x √ x 2 – 2x
f' (x) = 0 8 x – 1 = 0 8 x = 1 è Dominio.
No hay puntos singulares.

Página 191
1. Representa estas funciones:
a) y = x 4 – 8x 2 + 7 b) y = 3x 4 + 4x 3 – 36x 2 c) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x

a) y = x 4 – 8x 2 + 7
• Simetrías:
f (–x) = x 4 – 8x 2 + 7 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
• Ramas infinitas:
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

• Puntos singulares:
f' (x) = 4x 3 – 16x
x=0
f' (x) = 0 8 4x (x 2 – 4) = 0 x = –2
x=2

Puntos singulares: (0, 7); (–2, –9); (2, –9)

9

• Cortes con los ejes:
— Con el eje Y 8 x = 0 8 y = 7 8 Punto: (0, 7)
— Con el eje X 8 y = 0 8 x 4 – 8x 2 + 7 = 0
–
8 ± √ 64 – 28 8 ± √ 36 8±6 x 2 = 7 8 x = ± √7
x2 = = =
2 2 2 x2 = 1 8 x = ± 1

Puntos: (– √7 , 0); (–1, 0); (1, 0); ( √7 , 0)

• Puntos de inflexión:
f'' (x) = 12x 2 – 16
4 2√3
f'' (x) = 0 8 12x 2 – 16 = 0 8 x 2 =
4
3
8 x=±
√ 3
=±
3

Puntos – ( 2 √ 3 –17
3
,
9 ) (y
2 √ 3 –17
3
,
9 )
• Gráfica:

7

2

–9

b) y = 3x 4 + 4x 3 – 36x 2
• Simetrías:
f (–x) = 3x 4 – 4x 3 – 36x 2. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y,
ni respecto al origen de coordenadas.
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f' (x) = 12x 3 + 12x 2 – 72x
x=0
f' (x) = 0 8 12x (x 2 + x – 6) = 0 x=2
–1 ± √ 1 + 24
x= = –1 ± 5
2 2 x = –3
Puntos: (0, 0); (2, –64); (–3, –189)


10

UNIDAD 8

— Con el eje X 8 y = 0 8 x 2 (3x 2 + 4x – 36) = 0

x2 = 0 8 x = 0
– 4 ± √ 16 + 432 – 4 ± √ 448 x ≈ 2,86
x= =
6 6 x ≈ – 4,19

Puntos: (0, 0); (2,86; 0); (– 4,19; 0)

f'' (x) = 36x 2 + 24x – 72
f'' (x) = 0 8 12(3x 2 + 2x – 6) = 0
– 2 ± √ 4 + 72 – 2 ± √ 76 x ≈ 1,12
x= =
6 6 x ≈ – 1,79

Puntos: (1,12; –34,82) y (–1,79; –107,22)

• Gráfica:

50

3

–200

c) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x
• Simetrías:
f (–x) = x 4 + 4x 3 – 2x 2 – 12x.
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de
coordenadas.
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f' (x) = 4x 3 – 12x 2 – 4x + 12
f' (x) = 0 8 4(x 3 – 3x 2 – x + 3) = 0 8 4(x – 1)(x + 1)(x – 3) = 0
x=1 °
§
x = –1 ¢ Puntos (1, 7); (–1, –9); (3, –9)
§
x=3 £

11

— Con el eje X 8 y = 0 8 x(x 3 – 4x 2 – 2x + 12) = 0
x =0
x=2
x3 – 4x 2 – 2x + 12 = 0 8 (x – 2) (x 2 – 2x – 6) = 0 x ≈ 3,65
x ≈ –1,65
Puntos: (0, 0); (2, 0); (3,65; 0); (–1,65; 0)

f'' (x) = 12x 2 – 24x – 4
f'' (x) = 0 8 4(3x 2 – 6x – 1) = 0
6 ± √ 36 + 12 6 ± √ 48 x ≈ 2,15
x= =
6 6 x ≈ – 0,15

Puntos: (2,15; –1,83) y (–0,15; –1,74)

• Gráfica:

7

4

–9

2. Representa las siguientes funciones:

a) y = 3x 4 – 4x 3 – 16

b) y = x 3 – 3x

c) y = (1/4) x 4 – 2x 2

a) y = 3x 4 – 4x 3 – 16
• Simetrías:
f (–x) = 3x 4 + 4x 3 – 16. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y,
ni respecto al origen de coordenadas.
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

12

UNIDAD 8

f' (x) = 12x 3 – 12x 2
x=0
f' (x) = 0 8 12x 2 (x – 1) = 0
x=1
Puntos: (0, –16); (1, –17)
— Con el eje Y 8 x = 0 8 y = –16 8 Punto: (0, –16)
— Con el eje X 8 y = 0 8 3x 4 – 4x 3 – 16 = 0 8
x=2
3x 3 + 2x 2 + 4x + 8 = 0 8 tiene una sola raíz, que está entre –2 y –1;
pues, si g (x) = 3x 3 + 2x 2 + 4x + 8, g (–2) = –16 < 0 y g (–1) = 3 > 0.
Puntos (2, 0) y (k, 0), con k entre –2 y –1.
f'' (x) = 36x 2 – 24x
x=0
f'' (x) = 0 8 12x (3x – 2) = 0 2
x=—
3
Puntos: (0, –16) y ( 2 – 448
3
,
27 )
• Gráfica:

2

–20

b) y = x 3 – 3x
• Simetrías:
f (–x) = –x 3 + 3x = –f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f' (x) = 3x 2 – 3
x = –1
f' (x) = 0 8 3(x 2 – 1) = 0
x=1
Puntos: (–1, 2); (1, –2)

13

— Con el eje X 8 y = 0 8 x 3 – 3x = 0 8 x (x 2 –3) = 0

x= 0 °
– §
x= –√3 ¢ Puntos: (0, 0); (– √3 , 0); ( √3 , 0)
– §
x= √3 £

f'' (x) = 6x

f'' (x) = 0 8 6x = 0 8 x = 0 8 Punto (0, 0)
• Gráfica:

1

–2

1 4
c) y = x – 2x 2
4

• Simetrías:
1
f (– x) = x 4 – 2x 2 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
4

lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f' (x) = x 3 – 4x
x=0
f' (x) = 0 8 x (x 2 – 4) = 0 x = –2
x=2
Puntos: (0, 0); (–2, –4); (2, –4)


14

UNIDAD 8

— Con el eje X 8 y = 0 8 x 2 ( 1 2
4
x –2 =0)
x=0
x = –2√ 2
x2 = 8
x = 2√ 2

Puntos: (0, 0); (–2 √2 , 0); (2 √2 , 0)

f'' (x) = 3x 2 – 4
4 2√3

f'' (x) = 0 8 3x 2 – 4 = 0
x=–
√ 3
=–
3

4 2√3
x=
√3
=
3

Puntos: – ( 2√3
3
,–
20
9
; )( 2√3
3
,–
20
9 )
• Gráfica:

2

–4

Página 193
1. Representa:
x3
a) y =
1 – x2

x 2 – 2x – 8
b) y =
x

x3
a) y = = – x + x . Dominio = Á – {–1, 1}
1 – x2 1 – x2

• Simetrías:
–x 3
1 – x2

15

• Asíntotas verticales:
lím f (x) = +@ °
x 8 – 1– §
¢ Asíntota vertical en x = –1.
lím f (x) = – @ §
x 8 – 1+ £

lím f (x) = +@ °
x 8 1– §
¢ Asíntota vertical en x = 1.
lím f (x) = – @ §
x81 + £

• Asíntota oblicua:
x3
= –x + x 8 y = – x es asíntota oblicua.
1 – x2 1 – x2

Posición de la curva respecto a la asíntota:
f (x) – (– x) > 0 si x 8 – @ (curva por encima)
f (x) – (– x) < 0 si x 8 +@ (curva por debajo)

3x 2 (1 – x 2) – x 3 · (–2x) 3x 2 – 3x 4 + 2x 4 –x 4 + 3x 2
f' (x) = 2 )2
= 2 )2
=
(1 – x (1 – x (1 – x 2 ) 2

x=0 –
f' (x) = 0 8 x 2 (–x 2 + 3) = 0 x = –√3
–
x = √3

(
Puntos: (0, 0); – √3 ,
3√ 3
2 )(
; √3 , –
3√ 3
2 )
Corta a los ejes en (0, 0).

• Gráfica:

–1 1

16

UNIDAD 8

x 2 – 2x – 8 8
b) y = = x – 2 – . Dominio = Á – {0}
x x

• Simetrías:

x 2 + 2x – 8
f (–x) =
–x

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen.

lím f (x) = +@ °
x 8 0– §
lím f (x) = – @ §
x 8 0+ £

x 2 – 2x – 8 8
=x–2– 8 y = x – 2 es asíntota oblicua.
x x
f (x) – (x – 2) > 0 si x 8 – @ (curva por encima)
f (x) – (x – 2) < 0 si x 8 +@ (curva por debajo)


f' (x) = 1 + 8 > 0 para todo x del dominio.
x2
La función es creciente en todo su dominio. No tiene puntos singulares.

x = –2
— Con el eje X 8 y = 0 8 x 2 – 2x – 8 = 0
x=4
Puntos: (–2, 0) y (4, 0)
— No corta el eje Y, pues no está definida en x = 0.
• Gráfica:

–2 4

17

2. Representa:
x2 – 9 x 3 + 2x
a) y = b) y =
x2 – 4 x2 + 1

x2 – 9
a) y = . Dominio = Á – {–2, 2}
x2 – 4
• Simetrías:
x2 – 9
f (–x) = = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
x2 – 4
lím f (x) = – @ °
x 8 – 2– §
¢ Asíntota vertical en x = –2.
lím f (x) = +@ §
x 8 – 2+ £
lím f (x) = +@ °
x 8 2– §
lím f (x) = – @ §
x 8 2+ £

• Asíntota horizontal:
x2 – 9 5
2 – 4
=1– 8 y = 1 es asíntota horizontal.
x x 2 – 4

f (x) – 1 < 0 si x 8 – @ (curva por debajo)
f (x) – 1 < 0 si x 8 +@ (curva por debajo)

2x (x 2 – 4) – 2x (x 2 – 9) 2x (x 2 – 4 – x 2 + 9) 10x
f' (x) = 2 – 4) 2
= =
(x (x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2

f' (x) = 0 8 10x = 0 8 x = 0 8 Punto: 0, ( ) 9
4
— Con el eje Y 8 x = 0 8 y =
9
4
8 Punto: 0, ( ) 9
4
x = –3
— Con el eje X 8 y = 0 8 x 2 – 9 = 0
x=3
Puntos: (–3, 0) y (3, 0).

18

UNIDAD 8

• Gráfica:

1

–2 2

x 3 + 2x
b) y = . Dominio = Á
x2 + 1
• Simetrías:
– x 3 – 2x
x2 + 1
• No tiene asíntotas verticales.

x 3 + 2x
=x+ x 8 y = x es asíntota oblicua.
x2 + 1 x2 + 1

f (x) – x < 0 si x 8 – @ (curva por debajo)
f (x) – x > 0 si x 8 +@ (curva por encima)

(3x 2 + 2)(x 2 + 1) – (x 3 + 2x) · 2x 3x 4 + 3x 2 + 2x 2 + 2 – 2x 4 – 4x 2
f' (x) = 2 + 1) 2
= =
(x (x 2 + 1) 2

x4 + x2 + 2
=
(x 2 + 1) 2

–1 ± √ 1 – 8
f' (x) = 0 8 x 4 + x 2 + 2 = 0 8 x 2 = 8 No tiene solución.
2

No hay puntos singulares.

— Con el eje X 8 y = 0 8 x 3 + 2x = 0 8 x (x 2 + 2) = 0 8
8 x = 0 8 Punto: (0, 0)

19

(4x 3 + 2x)(x 2 + 1) 2 – (x 4 + x 2 + 2) · 2(x 2 + 1) · 2x
f'' (x) = =
(x 2 + 1) 4
(4x 3 + 2x)(x 2 + 1) – 4x (x 4 + x 2 + 2) 2x 3 – 6x 2x (x 2 – 3)
= 2 + 1) 3
= 2 + 1) 3
=
(x (x (x 2 + 1) 3

x=0 – °
f'' (x) = 0
– §
x = √3 £
§
( 4 )(
x = –√3 ¢ Puntos: (0, 0); – √3 , – 5 √ 3 ; √3 , 5 √ 3
4 )
• Gráfica:

1
1

Página 195
1. Representa:
2 ex
a) y = e 1 – x b) y = c) y = ln (x 2 + 4)
x2
2
a) y = e 1 – x
• Dominio: Á
• Simetría:
2
f (–x) = e 1 – x = f (x). Es una función par: es simétrica respecto al eje Y.
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
lím f (x) = lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@
2
y = 0 es asíntota horizontal. Además, como e 1 – x > 0 para todo x, la curva
se sitúa por encima de la asíntota.
2
f ' (x) = –2x · e 1 – x
f ' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0 8 Punto (0, e)
2 2 2
f '' (x) = –2e 1 – x + (–2x) · (–2x)e 1 – x = (–2 + 4x 2 )e 1 – x

20

UNIDAD 8

f ' (x) = 0 8 4x 2 = 2 8 x = ±
√
1
2
› 0,7 8 f ( )
1
√2
= e 1/2 › 1,65

Puntos de inflexión: (–0,7; 1,65), (0,7; 1,65)

• Gráfica:

4
3
2
1
– 4 –3 –2 –1 1 2 3 4

ex
b) y =
x2
• Dominio: D = Á – {0}
• No es simétrica.

lím f (x) = +@ °
§
x 8 0– §
¢ Asíntota vertical: x = 0.
lím f (x) = +@ §
§
x 8 0+ £
• lím f (x) = 0. Además, f (x) > 0 para todo x del dominio.
x 8 –@

y = 0 es una asíntota horizontal cuando x 8 –@.
f (x)
lím f (x) = +@; lím = +@. Rama parabólica.
x 8 +@ x 8 +@ x

e x · x 2 – e x · 2x x · e x (x – 2) e x (x – 2)
f ' (x) = = =
x 4 x4 x3
e2
f ' (x) = 0 8 x = 2 8 Punto 2, ( )
4
• Gráfica:

1
1

21

c) y = ln (x 2 + 4)

• Dominio:
Como x 2 + 4 > 0 para todo x, D = Á.

• Simetrías:
f (–x) = ln (x 2 + 4) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• No tiene asíntotas verticales.

lím f (x) = lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@
2x
——
f (x) ln (x 2 + 4) x 2 + 4
lím = lím = lím =0
x 8 +@ x x 8 +@ x x 8 +@ 1

Por tanto, no tiene asíntotas de ningún tipo.
Tiene ramas parabólicas.

2x
f ' (x) =
x2+4
f ' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0 8 Punto (0, ln 4)

2(x 2 + 4) – 2x · 2x 2x 2 + 8 – 4x 2 8 – 2x 2
f '' (x) = = =
(x 2 + 4)2 (x 2 + 4)2 (x 2 + 4)2

x = –2 °
f '' (x) = 0 8 8 – 2x 2 = 0 ¢ Puntos: (–2, ln 8) y (2, ln 8)
x=2 £
• Gráfica:

1
1

2. Representa:
a) y = ln (x 2 – 1) b) y = √3 sen x + cos x

a) y = ln (x 2 – 1)
• Dominio:
x 2 – 1 > 0 8 Dominio = (– @, –1) « (1, +@)

22

UNIDAD 8

• Simetrías:
f (–x) = ln (x 2 – 1) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
lím f (x) = – @; lím f (x) = – @
x 8 – 1– x 8 1+

x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales.

• lím f (x) = lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

—2x
f (x) ln (x 2 – 1) x2 – 1 = 0
lím = lím = lím
x 8 +@ x x 8 +@ x x 8 +@ 1

Tiene ramas parabólicas.


f' (x) = 2x
x2 – 1

f' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0
No tiene puntos singulares, pues la función no está definida en x = 0.

2 2 2 2
f'' (x) = 2(x – 1) – 2x · 2x = 2x – 2 – 4x = –2x – 2
(x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2
No tiene puntos de inflexión.

• Puntos de corte con los ejes:

— Con el eje X 8 y = 0 8 ln (x 2 – 1) = 0 8 x 2 – 1 = 1
x = –√ 2 °
x2 = 2 ¢ Puntos: (– √2 , 0) y ( √2 , 0)
x = √2 £

— No corta al eje Y, pues no existe f (0).

• Gráfica:

–1
1

23

b) y = √3 sen x + cos x

• Está definida, y es continua y derivable en todo Á.

• Es periódica de período 2π 8 solo la estudiamos en [0, 2π].

• No existe lím f (x) 8 no tiene asíntotas ni ramas parabólicas.
x 8 ±@

• Puntos de corte con los ejes:

— Con el eje Y 8 x = 0 8 f (0) = 1 8 Punto (0, 1)

— Con el eje X 8 y = 0 8 √3 sen x + cos x = 0

–1 √3 5π 11π
√3 tg x + 1 = 0 8 tg x = =– 8 x= o x=
√3 3 6 6

Puntos ( )(
5π
6
,0;
11π
6
,0 )

f ' (x) = √3 cos x – sen x

f ' (x) = 0 8 √3 cos x – sen x = 0 8 √3 – tg x = 0 8

8 tg x = √3
π π
x = — 8 Punto —, 2
3 3 ( )
4π 4π
( )
x = — 8 Punto —, –2
3 3


f '' (x) = –√3 sen x – cos x = –f (x)

f '' (x) = 0 5 f (x) = 0

Los puntos de inflexión son los de corte con el eje X.

• Gráfica:

3
2
1

–2π –3π –π –π π π 3π 2π
— — — —
2 2 2 2
–2

24

UNIDAD 8

Página 197
1. Representa:

a) y = x – | x – 3| + | x + 1|
x 2 + 3x
b) y =
|x| + 1

c) y = | x – 5| x

a) Intervienen dos valores absolutos, | x + 1| y | x – 3| , que cambian de signo en las
abscisas x = –1 y x = 3, respectivamente.

Por tanto:

x < –1, | x + 1| = –x – 1 y | x – 3| = –x + 3 8 y = x + x – 3 – x – 1 = x – 4

–1 Ì x < 3, | x + 1| = x + 1 y | x – 3| = –x + 3 8 y = x + x – 3 + x + 1 = 3x – 2

x Ó 3, | x + 1| = x + 1 y | x – 3| = x – 3 8 y = x – x + 3 + x + 1 = x + 4

Representamos, pues, esta función:

°x – 4 si x < –1
§
y = x – | x – 3| + | x + 1| = ¢ 3x – 2 si –1 Ì x < 3
§
£x + 4 si x Ó 3

Y
4
–
4

x
+

=
x

y
=
y

1
1 X
2
3x –
y=

25

b) El único valor absoluto que interviene es | x | . La abscisa en donde cambia de
signo x es 0. Por tanto:
x 2 + 3x
x < 0, | x | = –x 8 y =
–x + 1

Y

x2 + 3x
y = ———
–x + 1

1
1 X

x 2 + 3x
x Ó 0, | x | = x 8 y =
x+1

Y

x2 + 3x
y = ———
x+1

1
1 X

Representamos, pues, esta función: Y

° x 2 + 3x
x2 + 3x §— –x + 1
si x < 0
y= =¢ 2 x2 + 3x
|x | + 1 §—x + 3x y = ———
si x Ó 0 |x| + 1
£ x+1
1
1 X

26

UNIDAD 8

c) El único valor absoluto que interviene es | x – 5| . La abscisa donde cambia de sig-
no x – 5 es 5. Por tanto, analizamos cómo queda la función a la izquierda y a la
derecha de 5:
x < 5 8 | x – 5| = –x + 5 8 y = (–x + 5)x = –x 2 + 5x
x Ó 5 8 | x – 5| = x – 5 8 y = (x – 5)x = x 2 – 5x

° –x 2 + 5x si x < 5
y = | x – 5| x = ¢ 2
£ x – 5x si x Ó 5

Y

1
1 X
5x
x –

y = –x +
y= 2

2 5x

27

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

Descripción de una gráfica
1 Representa una función continua y derivable en Á tal que:

lím f (x) = +@, lím f (x) = – @, f ' (2) = 0
x 8 +@ x 8 –@

f (2) = 1, f ' (x) Ó 0 para cualquier x.

1
2

2 De una función y = f (x) tenemos esta información:

D = Á – {1, 4}; lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 1– x 8 1+

lím f (x) = –@; lím f (x) = +@; lím f (x) = 0
x 8 4– x 8 4+ x 8 ±@

(si x 8 +@, f (x) > 0; si x 8 – @, f (x) < 0)

f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1

Represéntala.

–1
1 4
–1

28

UNIDAD 8

s3 Dibuja la gráfica de una función de la que se conocen las siguientes propie-
dades:
lím f (x) = – @, lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f ' (x) = 0 si x = –2, x = 0, x = 3, x = 4

f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

5

3

s4 Describe las siguientes funciones indicando sus asíntotas y ramas infinitas,
sus puntos singulares y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

a) b)

2
–2 2

–1 1

c) d)
x
=
y

1
2

a) • Asíntotal horizontal: y = 2. Asíntota vertical: x = 0
lím f (x) = 2; lím f (x) = 2
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) < 2; si x 8 +@, f (x) < 2)

lím f (x) = – @; lím f (x) = – @
x 8 0– x 8 0+

• f (x) no tiene puntos singulares.
• Decrece en (– @, 0) y crece en (0, +@).

29

b) • Asíntotal horizontal: y = –2. Asíntota vertical: x = –2
lím f (x) = –2; lím f (x) = –2
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) > –2; si x 8 +@, f (x) > –2)
lím f (x) = +@; lím f (x) = – @
x 8 –2 – x 8 –2+

• Puntos singulares: f' (0) = 0; f (0) = –1. Máximo en (0, –1)
• Creciente en (– @, –2) « (–2, 0) y decreciente en (0, +@).
c) • Asíntota horizontal si x 8 +@: y = 0
lím f (x) = +@; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 +@, f (x) > 0)
f' (0) = 0; f (0) = 0. Mínimo en (0, 0)
f' (2) = 0; f (2) = 1. Máximo en (2, 1)
• Decreciente en (– @, 0) « (2, +@) y creciente en (0, 2).
d) • Asíntota vertical: x = 2
lím f (x) = +@; lím f (x) = – @
x 8 2– x 8 2+
• Asíntota oblicua: y = x
(si x 8 – @, f (x) > x; si x 8 +@, f (x) < x)
• No tiene puntos singulares.
• Creciente en (– @, 2) « (2, +@).

Funciones polinómicas

5 Estudia las ramas infinitas y los puntos singulares de las siguientes funcio-
nes, y represéntalas:
3x 2 – 12x
a) y = –x 2 + 3x + 10 b) y =
4
c) y = (x + 1)2 + 3 d) y = –2x 2 + 12x – 9
e) y = x 3 – 9x f) y = –x 3 – 6x 2

a) y = –x 2 + 3x + 10
lím f (x) = lím (–x 2 + 3x + 10) = –@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (–x 2 + 3x + 10) = –@
x 8 –@ x 8 –@

30

UNIDAD 8

3 49
y ' = –2x + 3; y ' = 0 8 –2x + 3 = 0 8 x = , y=
2 4

y '' = –2 < 0. Máximo: ( 3 49
,
2 4 )
• Representación:

12

10

–2 1 2 5

3x 2 – 12x
b) y =
4
3x 2 – 12x
lím f (x) = lím = +@
x 8 +@ x 8 +@ 4
3x 2 – 12x
lím f (x) = lím = +@
x 8 –@ x 8 –@ 4

6x – 12 12 – 24
y' = ; y ' = 0 8 6x – 12 = 0 8 x = 2, y = = –3
4 4
3
y '' = > 0. Mínimo: (2, –3)
2

1
2 4

–3

31

c) y = (x + 1)2 + 3
lím f (x) = lím (x + 1)2 + 3 = +@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (x + 1)2 + 3 = +@
x 8 –@ x 8 –@

y ' = 2(x + 1); y ' = 0 8 2(x + 1) = 0 8 x = –1, y = 3
y '' = 2 > 0. Mínimo: (–1, 3)

4

–1 1

d) y = –2x 2 + 12x – 9
lím f (x) = lím (–2x 2 + 12x – 9) = –@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (–2x 2 + 12x – 9) = –@
x 8 –@ x 8 –@

y ' = –4x + 12; y ' = 0 8 –4x + 12 = 0 8 x = 3, y = 9
y '' = –4 < 0. Máximo: (3, 9)

9

3

1
3

32

UNIDAD 8

e) y = x 3 – 9x


lím f (x) = lím (x 3 – 9x) = +@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (x 3 – 9x) = –@
x 8 –@ x 8 –@

— —
x = √ 3, y = –6√ 3
y' = 3x 2 – 9; y ' = 0 8 3x 2 –9=0 8 x2 =3 — —
x = –√ 3, y = 6√ 3

— — — —
y '' (√ 3) = 6√ 3 > 0. Mínimo: (√ 3, –6√ 3)
y '' = 6x — — — —
y '' (–√ 3) = –6√ 3 < 0. Máximo: (–√ 3, 6√ 3)


10

2

–2 2

–10

f) y = –x 3 – 6x 2


lím f (x) = lím (–x 3 – 6x 2) = –@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (–x 3 – 6x 2) = +@
x 8 –@ x 8 –@

33

y ' = –3x 2 – 12x; y ' = 0 8 –3x 2 – 12x = 0 8
x = 0, y = 0
8 –3x (x – 4) = 0
x = –4, y = –32
y '' (0) = –12 < 0. Máximo: (0, 0)
y '' = –6x – 12
y '' (–4) = 12 > 0. Mínimo: (–4, –32)

4
2
– 6 – 4 –2 2 4
–2
–4

–32

6 Estudia y representa las siguientes funciones:
x4 9 2
a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5 c) y = – x + 10
4 2
5x 4 – x 5
d) y = e) y = x 5 – 5x 3 f) y = (x – 1)3 – 3x
64
a) y = x 3 + 3x 2
lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 +@ x 8 –@

f ' (x) = 3x 2 + 6x; 3x 2 + 6x = 0 8 x (3x + 6) = 0
x = 0, f (0) = 0 8 (0, 0) es un mínimo.
x = –2, f (–2) = –8 + 3 · 4 = 4 8 (–2, 4) es un máximo.

34

UNIDAD 8


4

–2

b) y = x 3 – 3x 2 + 5
lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 +@ x 8 –@

f (x) = 3x 2 – 6x; 3x 2 – 6x = 0 8 x (3x – 6) = 0
x = 0, f (0) = 5 8 (0, 5) es un máximo.
x = 2, f (2) = 1 8 (2, 1) es un mínimo.

5

1
2

x4 9 2
c) y = – x + 10
4 2
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 +@ x 8 –@

4x 3 9
f ' (x) = – · 2x = x 3 – 9x; x 3 – 9x = 0 8 x (x 2 – 9) = 0
4 2

x = 0, f (0) = 10 8 Máximo en (0, 10).
x = –3, f (–3) = –41/4 8 Mínimo en (–3, –41/4).
x = 3, f (3) = –41/4 8 Mínimo en (3, –41/4).

35


10

–3 3

5x 4 – x 5
d) y =
64
lím f (x) = –@; lím f (x) = +@
x 8 +@ x 8 –@

1 1
f ' (x) = (20x 3 – 5x 4); (20x 3 – 5x 4) = 0 8
64 64

x = 0, f (0) = 0 8 Mínimo en (0, 0).
8 x 3(20 – 5x) = 0
x = 4, f (4) = 4 8 Máximo en (4, 4).

4

4

e) y = x 5 – 5x 3
lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 +@ x 8 –@

f ' (x) = 5x 4 – 15x 2; 5x 4 – 15x 2 = 0 8 5x 2(x 2 – 3) = 0
x = 0 8 f (0) = 0
— — — — — — —
x = √3 8 f (√3) = √ 35 – 5√ 33 = 9√3 – 15√3 = –6√3
— — — — — — —
x = –√3 8 f (–√3) = –√ 35 + 5√ 33 = –9√3 + 15√3 = 6√3

36

UNIDAD 8

— — — —
Tiene un máximo en (–√3, 6√3 ), un mínimo en (√3, –6√3 ) y un punto de
inflexión en (0, 0).

10

–1

f) y = (x – 1)3 – 3x
lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 +@ x 8 –@

f ' (x) = 3(x – 1)2 – 3; 3(x – 1)2 – 3 = 0 8
x = 0, f (0) = –1 8 Máximo en (0, –1)
8 (x – 1)2 = 1
x = 2, f (2) = –5 8 Mínimo en (2, –5)

2

–5

7 Estudia las ramas infinitas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,
máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones.
Represéntalas gráficamente:
a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4
c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3

a) y = 3 + (2 – x)3

lím f (x) = –@
x 8 +@
• Ramas infinitas
lím f (x) = +@
x 8 –@

37

f ' (x) = –3(2 – x)2; –3(2 – x)2 = 0 8 x = 2; f (2) = 3

f' < 0 f' < 0
Signo de f ' : 2

f es decreciente en Á.
No tiene máximos ni mínimos.
Puntos de inflexión:
f '' (x) = 6(2 – x); 6(2 – x) = 0 8 x = 2; f (2) = 3

f '' > 0 f '' < 0
Signo de f '': 2

El punto (2, 3) es un punto de inflexión con tangente horizontal ( f '' (2) = 0
y f ' (2) = 0).
• Gráfica:
Y

3

2 X

b) y = 2 – (x – 3)4

lím f (x) = –@
x 8 +@
• Ramas infinitas
lím f (x) = –@
x 8 –@

f ' (x) = –4(x – 3)3; –4(x – 3)3 = 0 8 x = 3; f (3) = 2

f' > 0 f' < 0
Signo de f ' : 3

f es creciente en (–@, 3) y decreciente en (3, +@).
Tiene un máximo en (3, 2).

38

UNIDAD 8

f '' (x) = –12(x – 3)2; –12(x – 3)2 = 0 8 x = 3; f (3) = 2

f '' < 0 f '' < 0
Signo de f '': 3

• Gráfica:
Y

2

3 X

c) y = (x + 1)6 – 5

lím f (x) = +@
x 8 +@
• Ramas infinitas
lím f (x) = +@
x 8 –@

f ' (x) = 6(x + 1)5; 6(x + 1)5 = 0 8 x = –1; f (–1) = –5

f' < 0 f' > 0
Signo de f ' : –1

Decreciente en (– @, –1). Creciente en (–1, +@).
Mínimo en (–1, –5).
f '' (x) = 30(x + 1)4; 30(x + 1)4 = 0 8 x = –1; f (–1) = –5

f '' > 0 f '' > 0
Signo de f '': –1


39

• Gráfica:
Y

–1 X

–5

d) y = 3 – (1 – x)3
lím f (x) = +@
x 8 +@
• Ramas infinitas
lím f (x) = –@
x 8 –@

f ' (x) = 3(1 – x)2; 3(1 – x)2 = 0 8 x = 1; f (1) = 3

f' > 0 f' > 0
Signo de f ' : 1

f es creciente en Á.
No tiene máximos ni mínimos.
f '' (x) = –6(1 – x); –6(1 – x) = 0 8 x = 1; f (1) = 3

f '' < 0 f '' > 0
Signo de f '': 1

(1, 3) es un punto de inflexión con tangente horizontal, puesto que f ' (1) = 0.
• Gráfica:
Y

3

1 X

40

UNIDAD 8

Funciones racionales
8 En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de la
curva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos:
1 –1 x
a) y = b) y = c) y =
x2 – 1 x2 + 1 x2 – 1
x2 – 1 x x2 – x + 1
d) y = e) y = f )y =
x 1 + x2 x2 + x + 1

a) y = 1
x2 –1

• Dominio: Á – {–1, 1}
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

y = 0 es asíntota horizontal.
(si x 8 – @, f (x) > 0; si x 8 +@, f (x) > 0)
lím f (x) = +@ °
x 8 – 1– §
¢ x = –1 es asíntota vertical.
lím f (x) = – @ §
x 8 –1 +
£
lím f (x) = – @ °
x 8 1– §
¢ x = 1 es asíntota vertical.
lím f (x) = +@ §
x81 +
£
• Gráfica:

1
–1 1

b) y = –1
x2 + 1

• Dominio: Á
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) < 0)

41

• Gráfica:

–1 1

–1

c) y = x
x2 – 1

• Dominio: Á – {–1, 1}
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) > 0)
lím f (x) = – @ °
x 8 – 1– §
lím f (x) = +@ §
x 8 – 1+ £
lím f (x) = – @ °
x 8 1– §
lím f (x) = +@ §
+
x81 £
• Gráfica:

–1
1

x2 – 1 1
d) y = =x–
x x

• Dominio: Á – {0}
• Asíntotas:
lím f (x) = +@ °
x 8 0– §
lím f (x) = – @ §
x80 +
£

42

UNIDAD 8

y = x es asíntota oblicua.
(si x 8 – @, f (x) > x; si x 8 +@, f (x) < x)

• Gráfica:

2

2

e) y = x
1 + x2

• Dominio: Á
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) > 0)

• Gráfica:

1

–1 1

2
f) y = x – x + 1
x2 + x + 1

• Dominio:
–1 ± √ 1 – 4
x2 + x + 1 = 0 8 x = 8 No tiene solución.
2
D=Á
• Asíntotas:
lím f (x) = 1; lím f (x) = 1
x 8 –@ x 8 +@

(si x 8 – @, f (x) > 1; si x 8 +@, f (x) < 1)

43

• Gráfica:

3

–1

9 Representa estas funciones estudiando previamente su dominio, asíntotas,
posición y extremos relativos:
8 2x x3 x 2 – 2x + 2
a) y = 2x + b) y = c) y = d) y =
x (x + 1)2 x2 – 4 x–1

8
a) y = 2x +
x
• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 0– § x = 0 es asíntota vertical.
¢
lím f (x) = +@ §
x80 +
£
y = 2x es asíntota oblicua.
(si x 8 – @, f (x) < 2x; si x 8 +@, f (x) > 2x)

• Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos:

f' (x) = 2 – 8
x2

2x 2 – 8 = 0 8 x 2 = 4 x = –2
f' (x) = 0 8
x2 x=2

Signo de la derivada:
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–2 0 2

f (x) es creciente en (– @, –2) « (2, +@).
es decreciente en (–2, 0) « (0, 2).
tiene un máximo en (–2, –8).
tiene un mínimo en (2, 8).

44

UNIDAD 8

• Gráfica:

8

2

b) y = 2x
(x + 1) 2

• Dominio: Á – {–1}

• Asíntotas:

lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) > 0)


lím f (x) = – @ °
x 8 –1 – §
lím f (x) = – @ §
x 8 –1+ £

2
f' (x) = 2(x + 1) – 2x · 2(x + 1) = (x + 1)(2x + 2 – 4x) = –2x + 2
(x + 1) 4 (x + 1) 4 (x + 1) 3

f' (x) = 0 8 –2x + 2 = 0 8 x = 1

Signo de f' (x):

f' < 0 f' > 0 f' < 0

–1 1

f (x) es decreciente en (– @, –1) « (1, +@).

es creciente en (–1, 1).

tiene un máximo en 1, ( )
1
2
.

45

• Gráfica:

–1

c) y = x3 = x + 4x
x2–4 x2 – 4
• Dominio: Á – {–2, 2}
• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 –2 – §
lím f (x) = +@ §
x 8 –2+ £
lím f (x) = – @ °
x 8 2– §
lím f (x) = +@ §
x 8 2+ £
y = x es asíntota oblicua.
(si x 8 – @, f (x) < x; si x 8 +@, f (x) > x)

2 2 3 4 2 4 4 2 2 2
f' (x) = 3x (x – 4) – x · 2x = 3x – 12x – 2x = x – 12x = x (x – 12)
(x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2

x=0 –
f' (x) = 0 8 x 2 (x 2 – 12) = 0 x = –√ 12
–
x = √ 12
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–√12 –2 0 2 √12

f (x) es creciente en (– @, – √12 ) « ( √12 , +@).
es decreciente en (– √12 , –2) « (–2, 2) « (2, √12 ).
tiene un máximo en (– √12 , –3 √3 ).
tiene un mínimo en ( √12 , 3 √3 ).

46

UNIDAD 8

• Gráfica:

2

2 4

x 2 – 2x + 2 1
d) y = =x–1+
x–1 x–1


• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 1– §
lím f (x) = +@ §
x 8 1+ £
y = x – 1 es asíntota oblicua.
(si x 8 – @, f (x) < x – 1; si x 8 +@, f (x) > x – 1)

2 2
f' (x) = 1 – 1 = (x – 1) – 1 = x – 2x + 1 – 1 =
(x – 1) 2 (x – 1) 2 (x – 1) 2

= x 2 – 2x = x (x – 2)
(x – 1) 2 (x – 1) 2

x=0
f' (x) = 0 8 x(x – 2) = 0
x=2
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

0 1 2

f (x) es creciente en (– @, 0) « (2, +@).
es decreciente en (0, 1) « (1, 2).
tiene un máximo en (0, –2).
tiene un mínimo en (2, 2).

47

• Gráfica:

2

2

Página 205
Funciones “a trozos”
10 Representa esta función:
° –x 2 – 2x + 2 si x < 0
f (x) = ¢ 2
£ x – 2x + 2 si x Ó 0
Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus extremos
relativos. ¿Tiene algún punto de inflexión?

° –x 2 – 2x + 2 si x < 0
f (x) = ¢ 2
£ x – 2x + 2 si x Ó 0
• Si x < 0, es una parábola abierta hacia abajo:
Vértice: f ' (x) = –2x – 2; –2x – 2 = 0 8 x = –1, f (–1) = 3
2 ± √4 + 8
Cortes con el eje X : –x 2 – 2x + 2 = 0 8 x 2 + 2x – 2 = 0 8 x = –
2
x › 0,73 (no vale por ser 0,73 > 0)
x › –2,73
• Si x Ó 0, es una parábola abierta hacia arriba:
Vértice: f ' (x) = 2x – 2; 2x – 2 = 0 8 x = 1, f (1) = 1
2 ± √4 – 8
Cortes con el eje X : x 2 – 2x + 2 = 0 8 x = 8 No tiene solución.
2
No corta al eje X .
Corte con el eje Y : 0 – 2 · 0 + 2 = 2 8 (0, 2)
• Crecimiento y decrecimiento:
° –2x – 2 si x < 0
f ' (x) = ¢
£ 2x – 2 si x > 0
f ' (0–) = –2 = f ' (0+) Es derivable en x = 0.

48

UNIDAD 8

• Signo de f ' (x):
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–1 0 1

Crece en (– @, –1) « (1, +@).
Decrece en (–1, 1).
Tiene un máximo en (–1, 3) y un mínimo en (1, 1).


° –2 si x < 0
f '' (x) = ¢
£2 si x > 0
f '' (0–) ? f '' (0+). No existe f '' (0).
Signo de f '' (x):

f '' < 0 f '' > 0

0

La función es convexa en (–@, 0) y cóncava en (0, +@).
En (0, 2) tiene un punto de inflexión.


2

–1 1

11 Representa las siguientes funciones. Indica, en cada caso, los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos, si los hay:
° –x 2 si x Ì 1 ° x2 – 1 si x < 1
a) f (x) = ¢ 2 b) f (x) = ¢ —
£x – 4 si x > 1 £√ – 1
x si x Ó 1

° 2x si x Ì 1 ° e –x + 1 si x < 1
§ d) f (x) = ¢
c) f (x) = ¢ 2 si x Ó 1
§— si x > 1 £ 2x – 2
£x

° –x 2 si x Ì 1
a) f (x) = ¢ 2
£x – 4 si x > 1

49

f es continua si x ? 1 porque son continuas las funciones que la definen.
No es continua en x = 1, porque lím f (x) = –1 ? lím f (x) = –3.
x 8 1– x 8 1+

° –2x si x < 1 No es derivable en x = 1,
f ' (x) = ¢
£ 2x si x > 1 porque no es continua.

f ' (x) = 0 8 –2x = 0, 2x = 0 8 x = 0
Signo de f ' :

f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 1

Crece en (– @, 0) « (1, + @) y decrece en (0, 1).
Máximo: (0, 0)
Representación:

1

–3

° x2 – 1 si x < 1
b) ¢ —
£ √x – 1 si x Ó 1

f es continua si x ? 1 porque son continuas las funciones que la definen.
En x = 1:
lím f (x) = lím (x 2 – 1) = 0 °
x 8 1– x81 §
§
lím f (x) = lím √x – 1 = 0 ¢ f es continua en x = 1.
x81 + x81 + §
§
f (1) = 0 £

° 2x si x < 1 No es derivable en x = 1,
f ' (x) = §
¢— 1 si x > 1 porque no existe f ' (1+).
§ 2√—
£ x–1
f ' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0
Signo de f ' :

f' < 0 f' > 0 f' > 0

0 1

50

UNIDAD 8

Crece en (0, +@) y decrece en (– @, 0).
Mínimo: (0, –1)
Representación:

1
–1 1

° 2x si x Ì 1
c) f (x) = § 2
¢—
§x si x > 1
£

f es continua si x ? 1, porque lo son las funciones que la definen.
En x = 1:
lím f (x) = lím 2x = 2 °
x 8 1– x 8 1– §
§
2 f es continua en x = 1.
lím f (x) = lím =2 ¢
x 8 1+ x 8 1+ x §
§
f (1) = 2 £

° 2x ln 2 si x < 1
§ No es derivable en x = 1, porque
f ' (x) = ¢ 2
§–— si x > 1 f ' (1–) ? f ' (1+).
£ x2

No hay puntos en los que f ' (x) = 0.
Signo de f ' :

f' > 0 f' < 0

1

Crece en (– @, 1) y decrece en (1, +@).
Máximo: (1, 2) (no es derivable en ese punto).
Representación:

2

1

51

° e –x + 1 si x < 1
d) f (x) = ¢
£ 2x – 2 si x Ó 1

f es continua en x ? 1, porque lo son las funciones que la definen.
En x = 1:
lím f (x) = lím e –x + 1 = 1 °
x 8 1– x 8 1– § Como lím f (x) ? lím f (x),
§ x 8 1– x 8 1+
lím f (x) = lím (2x – 2) = 0 ¢
x 8 1+ x 8 1+ § f no es continua en x = 0.
§
f (1) = 0 £

° –e –x + 1 si x < 1 No existe f ' (1), porque f es
f ' (x) = ¢
£2 si x > 1 discontinua en x = 1.

No existen puntos en los que f ' (x) = 0.
Signo de f ' :

f' < 0 f' > 0

1

Decrece en (– @, 1) y crece en (1, +@).
Representación:

3

1
1

12 Representa la siguiente función:

° x 3 – 3x + 1 si x < 0
f (x) = ¢
£ (x – 1)2 si x Ó 0

Estudia sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, sus extremos re-
lativos y su curvatura.

° x 3 – 3x + 1 si x < 0
f (x) = ¢
£ (x – 1)2 si x Ó 0

• Continuidad:
Si x ? 0, f es continua por estar definida por polinomios.

52

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