El documento explica el triple producto escalar y vectorial. El triple producto escalar es igual al volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores y su orden no importa, excepto en el signo. El triple producto vectorial da el vector perpendicular al plano formado por dos de los vectores. Se demuestra que el triple producto vectorial es igual al determinante formado por los componentes de los tres vectores usando la identidad de Jacobi.

1. El triple producto escalar Nota: si los tres vectores son coplanares CALCULO VECTORIAL b x c b x c = Sn S = área del paralelogramo formado por b y c a h c f n b V es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores a, b y c

2. El triple producto escalar Y esta expresión nos confirma que el orden de los vectores es irrelevante, excepto en el signo (siempre el resultado numérico será el volumen). Esto es

3. El triple producto vectorial El vector b x c es es perpendicular al plano formado por los vectores b y c, y puesto que el vector a x (b x c) es perpendicular al vector b x c, entonces necesariamente a x (b x c) pertenece al plano formado por b y c. b x c b x c a a c c a x (b x c) b b

4. El triple producto vectorial En rigor Mientras que las componentes de están dadas por La i – ésima componente de está dada por Comparando cuidadosamente componente a componente, se observa que la igualdad se cumple.

5. Demostración de la identidad de Jacobi Utilizando la caracterización del triple producto vectorial, tenemos que Sumando estas tres igualdades y considerando que el producto punto es conmutativo, se tiene la igualdad de Jacobi