El presente material de apoyo contiene resumen de conceptos de centroides, momentos de inercia, vigas y bastidores

1. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
CONCEPTOS QUE DEBE SABER PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE
CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA.
CENTROIDE
El centroide es útil en el cálculo de momento de inercia, cargas distribuidas sobre
elementos estructurales y se puede definir como el centro geométrico de una figura
plana homogénea, depende de la forma a diferencia de centro de masa que depende
de la distribución de la materia.
CENTROIDE PARA LINEAS:
Las coordenadas del centroide de una línea compuesta se pueden
determinar así:
∑
∑
∑
∑
CENTROIDE PARA AREAS COMPUESTAS:
Las coordenadas del centroide de una figura plana compuesta se pueden
determinar así:
∑
∑
∑
∑
CENTROIDE PARA VOLUMENES COMPUESTOS:
Las coordenadas del centroide de un VOLUMEN compuesto se pueden
determinar así:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
MOMENTO DE INERCIA PARA FIGURAS PLANAS: El Momento de inercia se
puede definir como la capacidad que tiene un cuerpo a oponerse a la rotación
respecto a un eje. En el curso de Física 1 se impartió el cálculo de momento de
inercia para masas, análogamente se calculará ahora para áreas de figuras planas.
Para masas ∫ Para áreas ∫
La unidad de medida es [ ] en el SI es [ ]
Y x
y
x
MOMENTO DE INERCIA:
Respecto al eje x Respecto al eje y
∫ ∫
La unidad de medida es [ ] en el SI es [ ]
1

2. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
TEOREMA DE EJES PARALELOS PARA MOMENTO DE INERCIA PARA
FIGURAS PLANAS:
Y C: ES EL CENTROIDE DE LA FIGURA
X
DONDE;
ES EL MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE x
ES EL MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE x QUE PASA
POR EL CENTROIDE DE LA FIGURA.
ES EL AREA DE LA FIGURA.
DISTANCIA PERPENDICULAR DEL EJE x AL EJE xC CENTROIDAL.
ANALOGAMENTE RESPECTO AL EJE y:
PRODUCTO DE INERCIA PARA FIGURAS PLANAS:
Y C: ES EL CENTROIDE DE LA FIGURA
X
∫
PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES x E y
Si la figura plana no tiene simetría respecto al menos a un eje, el producto
de inercia se determina así:
Donde;
PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES x E y.
PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES xc E yc centroidales.
Coordenadas del centroide de la figura.
2
C
C

3. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
ES CERO SI LA FIGURA PLANA TIENE SIMETRIA AL MENOS
RESPECTO A UN EJE.
EJEMPLO:
La Figura tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales por lo
tanto el
La Figura tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales por lo
tanto el
La Figura no tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales
por lo tanto el
MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES PARA FIGURAS PLANAS:
√( ) ( )
3
C

4. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
PROBLEMA 1
Para el alambre doblado que se muestra en la
figura, encuentre las coordenadas del centroide
C.
RESOLUCION:
El alambre se compone de 3 partes, A, B y
C, cada uno tiene una longitud y centroide
como se muestra.
Resumen de la información:
i e i se miden respecto al origen:
Li i(m) i(m) i Li i Li
A 3 1.5 0 4.5 0
B 3.637 1 11.43 3.14
D 3 3 3.5 9 10.5
∑
9.14
∑
24.9
∑
13.64
∑
∑
∑
∑
3m 1 m
x(+) 0 A 1m
B
2.5m C 1m
y(+)
3 m
D
1.5 m
A

 Longitud de la
semicircunferencia es: R =
(1) =
 De la tabla de centroides para
líneas, el centroide de la
semicircunferencia es:
Respecto al origen es:
3 m = 3.637 m
1 m
3m 0.637m
PROBLEMA 2
Para la figura plana que se muestra en la figura,
encuentre las coordenadas del centroide.
Y 0.848 m
4 m
=
x
2 m 2 m
1 m
2 + 0.848
de la tabla de centroides para áreas
para un semicírculo, su centroide es:
A B
+ 2m
= 0.848 m
Área del semicírculo es:
= =2
4
9

5. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
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CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
Las coordenadas del centroide de la figura
compuesta por un rectángulo y un círculo,
se puede resumir en la siguiente tabla.
∑
∑
∑
∑
Ai i(m) i(m) i Ai i Ai
A 8 1 2 8 16
B 2 2.848 2 17.89 12.56
∑
14.28
∑
25.89
∑
28.56
∑
∑
m
∑
∑
PROBLEMA 3
Para el tanque que se muestra en la figura,
encuentre las coordenadas del centroide.
z(+)
x(+)
y(+)
Tome h = 4 m, r = 2 m
Continua problema 3
De la tabla de centroides para
volúmenes, el centroide para un
cono se localiza:
H/4 = 4/4 = 1 m
VOLUMEN DEL CONO:
+
VOLUMEN DEL cilindro:
La figura compuesta tiene simetría, por
lo cual su centroide se localiza en el
origen en :
El centroide es:
∑
∑
.
Su cálculo se resume en la
siguiente tabla.
H / 4 = 1
m
H/2 = 2 m
5

6. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
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CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
∑
∑
⁄
Vi i(m) i Vi
cono 5 83.75
cilindro 2 100.5
∑
67.01
∑
184.25
PROBLEMA 4
La figura muestra una lamina homogénea
de espesor constante, determine:
 Momento de inercia respecto a los
ejes x e y.
 El producto de inercia respecto a los
ejes x e y.
 Los momentos de inercia principales.
y(+)
4p
x(+)
8 p 6 p
 La lámina está compuesta por un
rectángulo y un triángulo, es
equivalente a sumarlos.
A
2p
4 p
+ B
4/3
8 p 2 p
 Momento de inercia
respecto al eje x de toda la
lámina.
Rectángulo:
En la tabla de momentos de inercia
para áreas el eje x del rectángulo
coincide con el eje x de la figura
compuesta, por lo tanto no se utiliza el
teorema de ejes paralelos.
Triángulo:
En la tabla de momentos de inercia
para áreas el eje x del triangulo
también coincide con el eje x de la
figura, por lo tanto no es necesario usar
el teorema de ejes paralelos.
Finalmente para toda la la
figura:
 Momento de inercia
respecto al eje y de toda la
lámina.
1/33 m,
6

7. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
Rectángulo:
En la tabla de momentos de inercia para áreas el
eje y del rectángulo coincide con el eje y de la
figura, por lo tanto no es necesario utilizar el
teorema de ejes paralelos.
Triángulo:
En la tabla de momentos de inercia para áreas el
eje y del triangulo no coincide con el eje y de la
figura compuesta, por lo tanto es necesario usar
el teorema de ejes paralelos, es decir trasladarlo
del eje yc al eje y.
Finalmente para toda la la figura:
1907
 El producto de inercia respecto a los
ejes x e y.
El producto de inercia de la figura
compuesta es:
Rectángulo:
Un rectángulo tiene simetría respecto a los
dos ejes centroidales, por lo cual el
producto de inercia es cero respecto a
estos.
=
= (2)= 256 p4
√( ) ( )
Triángulo:
Un Triángulo no tiene simetría
respecto a ningún eje centroidal,
por lo cual el producto de inercia
no es cero respecto a estos. De la
tabla de productos de inercia
respecto a los ejes centroidales
es: , el signo negativo es
porque el triángulo tiene una pendiente
negativa.
=
=
Finalmente :
 Los momentos de inercia
principales.
Datos:
1907 ,
Al sustituir estos datos en la formula
anterior obtenemos:
7

8. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
PROBLEMA 5
La figura muestra una lamina homogénea
de espesor constante, determine:
 Momento de inercia respecto a los
ejes x e y.
 Los momentos de inercia respecto a
los ejes xC e yC (CENTROIDALES DE
TODA LA FIGURA).
y(+) B
1”
7”
A
x(+)
Figura 1
2” 6”
 Momento de inercia respecto al eje x
de toda la lámina.
Rectángulo A:
En la tabla de momentos de inercia para áreas el
eje x del rectángulo coincide con el eje x de la
figura compuesta, por lo tanto no se utiliza el
teorema de ejes paralelos.
Rectángulo B:
En la tabla de momentos de inercia para áreas el
eje x del rectángulo no coincide con el eje x de la
figura compuesta, por lo tanto se utilizará el
teorema de ejes paralelos para trasladarlo de xc
al eje x.
5”
1”
3.5” 6.5”
Figura 2
En la figura se muestra la posición del
centroide de cada figura:
 Momento de inercia
respecto al eje y de toda la
lámina.
Rectángulo A:
En la tabla de momentos de inercia
para áreas el eje y del rectángulo
coincide con el eje y de la figura
compuesta, por lo tanto no se utiliza el
teorema de ejes paralelos.
Rectángulo B:
En la tabla de momentos de inercia
para áreas el eje y del rectángulo no
coincide con el eje y de la figura
compuesta, por lo tanto se utilizará el
teorema de ejes paralelos para
trasladarlo de yc al eje y.
8

9. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
 Coordenadas del centroide de la
figura completa.
∑
∑
∑
∑
 Los momentos de inercia respecto a
los ejes xC e yC (CENTROIDALES DE
TODA LA FIGURA).
Para determinar de toda la figura
conocemos:
,
Utilizamos el teorema de ejes paralelos
para trasladarlo del eje x al eje xc.
Sustituyendo
Despejando , obtenemos :
Para determinar de toda
la figura conocemos:
,
Utilizamos el teorema de ejes paralelos
para trasladarlo del eje y al eje yc.
Sustituyendo
Despejando , obtenemos :

10. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
VIGAS:
SON ELEMENTOS ESTRUCTURALES QUE SOPORTAN
CARGAS ESTATICAS (ACTÚAN PERMANENTEMENTE
SOBRE LA VIGA, EJEMPLO SU PROPIO PESO, EL PESO
DE LA LOSA ETC.) DINAMICAS, (ACTÚAN
TEMPORALMENTE SOBRE LA VIGA, EJEMPLO: PESO
DE PERSONAS ESCRITORIOS).
W
W: Representa la carga por unidad de
longitud.* +
F W
F: La fuerza debida a la carga distribuida actúa
en el centroide, y es igual:
F =∫ = área bajo la curva entre w y x.
PROBLEMA 1
Para la viga mostrada calcule las reacciones en A
y B.
W1 = 800
W2 = 500
A 2 m B 1 m
F1 F2
By
A
,
F = área bajo la curva entre w y x, el
área de un triángulo para estos casos.
F1 = ( )
F2 = ( )
∑ +
∑ +
Sustituyendo ,
obtenemos:
Problema 2
Para el marco mostrado determine las
reacciones en los pasadores A,B,C,
despreciando los pesos de los
elementos.
80 lb/p
B
200 lb 5 p
10 p
A C
12 p
10

11. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
( )
Primero, se elabora un diagrama de las fuerzas
que actúan sobre todo el bastidor. En A y C son
dos reacciones debido a que son pasadores.
1/3 (12) = 4 p
F
80 lb/p
B
5 p
200 lb
10 p
A Ax Cx
Ay Cy
12 p
F es el area triangular
F = ( )
Luego aplicamos las condiciones de equilibrio:
∑ +
∑ +
Sustituyendo , obtenemos:
Posteriormente, el bastidor se compone de dos
elementos AB y BC, se analizan por separado y se
elabora el diagrama de fuerzas que actúan sobre
cada elemento, aplicando las condiciones de
equilibrio.
ELEMENTO AB.
8 p
F
B
BX
By
200 lb
A Ax
Ay =
Luego aplicamos las condiciones de
equilibrio:
∑ +
∑ +
Sustituyendo ,
obtenemos:
∑ +
Sustituyendo ,
obtenemos:
11

12. CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA
MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
ELEMENTO BC.
Bx=0 lb
Cx = 0 lb
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