El documento presenta un modelo matemático de producción de Leontief para tres sectores de una economía (eléctrico, carbón y acero). Se construye un SEL para modelar la distribución de la producción entre los sectores. El SEL es resuelto analíticamente usando el método de Gauss-Jordan, encontrando que la solución es un espacio paramétrico definido por las ecuaciones del sistema.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO AERONÁUTICO
Introducción a las Matemáticas
Resolución de Actividades de Proceso
Actividad 3.a: modelar matemáticamente un SEL, paso a paso, una
situación problema.
Grupo integrado por Maximiliano Sebastián Ceballos y Cristian Javier
Bayon
Modelo de producción de Leontief.
Suponga que la economía de una nación se divide en muchos sectores, como manufactura,
comunicaciones, entretenimiento y servicios. Considere que se conoce la producción total anual de
cada sector y se sabe exactamente cómo esta producción se intercambia entre los otros sectores de la
economía. Al valor total de la producción de un sector (en una determinada moneda) se le llama
precio de esa producción. Leontief probó que existen precios para los cuales los ingresos se
equilibran con los egresos o gastos de cada sector. Encontrar los precios de equilibrio equivale a
resolver un SEL.
Enunciado 1
Una economía comprende las industrias carbonífera, eléctrica y de acero. La
producción de cada sector se mueve así:
· Sector eléctrico: el 40% de su producción va a la industria del carbón, el 50%
a la del acero y el porcentaje restante al propio sector eléctrico (este
porcentaje se lo trata como un gasto del sector eléctrico. Gasto en que se
incurre con la finalidad de operar su negocio). Así se distribuye o egresa lo
producido por este sector.
· Sector carbonífero: no distribuye nada para su propio sector, el 40% de su
producción va al sector del acero y el porcentaje restante al sector eléctrico.
Así se distribuye o egresa lo producido por este sector.
· Sector del acero: el 60% de su producción va a la industria del carbón, el
20% a la propia del acero y el porcentaje restante al sector eléctrico. Así se
distribuye o egresa lo producido por este sector.
Elabore la tabla de intercambio para esta economía y explique cómo se interpreta.
Determine los precios de cada sector (o producción de cada sector en millones de
pesos) con los cuales se equilibran sus ingresos y sus gastos.
a) Construya un SEL que describa el equilibrio de esta economía. Esto es, modelice
matemáticamente la situación. En particular y previamente explicite datos
conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos
conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL.

2. b) Resuelva el SEL por método de Gauss-Jordan usando los paquetes informáticos
OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram
Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz
%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, wiris https://www.youtube.com/watch?
feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y también
http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.
c) Construya la expresión paramétrica del conjunto solución y analice las
restricciones de los parámetros en el contexto del problema.
d) Identifique una solución particular. Verifique.
e) Analice si es posible determinar gráficamente la solución. Explique sus
conclusiones, grafique si es posible.
f) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el código de inserción y
embébalo en el foro de la actividad. Así compartirá con sus pares la respuesta.
Cuide de comunicar asegurando que el mensaje llegue de forma clara, correcta y
completa.
Resolución :
El modelo matemático del sistema tiene en cuenta que cada una de las economías en
los tres sectores, son dependientes entre sí, pero independientes de cualquier efecto
externo, por lo que es un modelo cerrado. Según el modelo de Leontief, la
producción de cada sector se equilibra, esto es que los egresos de cada sector serian
iguales a los ingresos.
Las ecuaciones planteadas para cada sector serian:
Las fracciones en la tabla indican los porcentajes que cada sector aporta (egresos) a
los demás. Suponiendo que cada economía es cerrada, por lo tanto la sumatoria de
los ingresos más los egresos es equivalente, también se puede armar una tabla que
muestre lo que cada sector consume:
Aportantes Aportes (egresos)
Sector eléctrico Sector carbón Sector acero
Sector eléctrico 0.1 0.4 0.5
Sector carbón 0.6 0 0.4
Sector acero 0.2 0.6 0.2
a- Construya un SEL que describa el equilibrio de esta economía. Esto es,
modelice matemáticamente la situación. En particular y previamente explicite
datos conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos
conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL.
Datos conocidos:
Ingresos de cada sector = egresos de cada sector,
Egresos de cada sector = 100% producción

3. Entonces:
x1= Producción sector eléctrico,
x2=Producción sector carbón,
x3=Producción sector acero,
Se plantean las ecuaciones teniendo en cuenta lo que gasta cada sector
(gastos, o egresos, o precio)
(0.1)x1 + (0.6)x2 + (0.2)x3 = (1)x1
(0.4)x1 + 0 x2 + (0.6)x3 = (1)x2
(0.5)x1 + (0.4)x2 +(0.2)x3 = (1)x3
Igualando las tres ecuaciones a cero se tiene:
(0.1-1)x1 + (0.6)x2 + (0.2)x3 = (1)x1-(1)x1
(0.4)x1 + (0-1) x2 + (0.6)x3 = (1)x2-(1)x2
(0.5)x1 + (0.4)x2 +(0.2-1)x3 = (1)x3-(1)x3
(-0.9)x1 + (0.6)x2 + (0.2)x3 = 0
(0.4)x1 + (-1) x2 + (0.6)x3 = 0
(0.5)x1 + (0.4)x2 +(-0.8)x3 = 0
0.625x+0.5y
Teniendo los términos independientes definidos, y con los coeficientes de
cada variable completos en cada ecuación, se puede armar la matriz ampliada
del sistema:
0.9 0.6 0.2 0
0.4 1 0.6 0
0.5 0.4 0.8 0
æ - ö
ç - ¸ ç ¸
çè - ø¸
b- Resolución del SEL por método Gauss-Jordan usando el paquete
informático:
-0.9 0.6 0.2 0
0.4 -1 0.6 0
0.5 0.4 -0.8 0
Multiplicamos por -9 (opuesto de -0.9) la primera fila
1 -2/3 -2/9 0
0.4 -1 0.6 0
0.5 0.4 -0.8 0
Sumamos a filas 2 y 3, la fila 1 multiplicada por -0.4 y -0.5 respectivamente
1 -2/3 -2/9 0
0 -11/15 31/45 0

4. 0 11/15 -31/45 0
Multiplicamos por -15/11 la fila 2 (opuesto de 11/15)
1 -2/3 -2/9 0
0 1 -31/33 0
0 11/15 -31/45 0
Sumamos a filas 1 y 3, la fila 2 multiplicada por 2.3 y -11/15 respectivamente
1 0 -28/33 0
0 1 -31/33 0
0 0 0 0
Resultado:
x1 + (-28/33)x3 = 0
x2 + (-31/33)x3 = 0
c- La expresión paramétrica de la solución sería:
S= {(x1 , x2 , x3) / x1 = 28/33u, x2 = 31/33u, x3 = u, u∈ℝ}
d- Solución particular: Se obtiene asignando a una variable libre un valor
paramétrico, para definir las variables principales en función de esta.
Ejemplo de solución particular:
u = 0
x1 = (28/33)(0) = 0
x2 = (31/33)(0) = 0
x3 = 0
Reemplazando en las ecuaciones originales:
(-0.9)0 + (0.6)0 + (0.2)0 = 0
(0.4)0 + (-1) 0 + (0.6)0 = 0
(0.5)0 + (0.4)0 +(-0.8)0 = 0
La n-upla (0,0,0) es solución del sistema.
Ejemplo de solución particular:
u = 33
x1 = (28/33)(10) = 28

5. x2 = (31/33)(0) = 31
x3 = 33
Reemplazando en las ecuaciones originales:
(-0.9)28 + (0.6)31 + (0.2)33 = 0 Satisface la igualdad
(0.4)28 + (-1) 31 + (0.6)33 = 0 Satisface la igualdad
(0.5)28 + (0.4)31 +(-0.8)33 = 0 Satisface la igualdad
La n-upla (28,31,33) es solución del sistema.
Probamos si es solución particular la n-upla (80/45, 2, 2)
(-9/10)(80/45) + (6/10)2 + (2/10)2 = 0
(2/5)(80/45) + (-1)2 + (3/5)2 = 0.08888 No satisface la igualdad
(1/2)(80/45) + (2/5)2 + (-4/5)2 = 0.08888 No satisface la igualdad
Probamos si es solución particular la n-upla (80/45, 2, 2)
(-9/10)(80/45) + (6/10)2 + (2/10)2 = 0
(2/5)(80/45) + (-1)2 + (3/5)2 = 0.08888 No satisface la igualdad
(1/2)(80/45) + (2/5)2 + (-4/5)2 = 0.08888 No satisface la igualdad
e- La solución puede ser graficada, y el sistema es compatible determinado,
tiene infinitas soluciones, porque los planos se intersectan en una recta
solución.
Sistema graficado con Winplot:
Sistema graficado con Autograph: