Este documento presenta ejercicios de matemáticas para ser resueltos y enviados antes del 4 de septiembre de 2014. Incluye 4 ejercicios para hallar áreas de regiones delimitadas por curvas, volúmenes de sólidos de revolución, y longitudes de curvas. Se especifican instrucciones como transcribir los ejercicios en Word y no enviar escaneos, y que los archivos no deben pesar más de 2MB.

1. MATEMÁTICA II
Actividad Virtual V 15%
Nombres y Apellidos: Rosmary Díaz CI: 21.129.813 _
Sección: Saia 1 Fecha: 04/09/2014 _
EJERCICIOS
Facilitador: Prof. José E. Linárez
Reciban un cordial saludo los siguientes ejercicios propuestos deberán resolverlos y
enviarlos al link correspondiente hasta el 04/09/2014 deben transcribir cada uno de los
ejercicios en Word no se permitirá escaneos ni fotos.
1. No se revisara por ningún motivo trabajos fuera de la fecha así que tome sus
precauciones
2. Es recomendable que si envían las respuestas como una imagen estas sean
visibles y recomiendo comprimir el archivo ya que su tamaño no debe pesar
más de 2Mb.
3. Recuerda que el tamaño máximo permitido es de 2mb, si por casualidad tu
trabajo supera dicho peso, deberás publicar tu presentación en slideshare.
Para poder publicar debes registrarte en dicha página.
4. Finalmente publicar en el foro disponible en la plataforma SAIA la dirección
web de tu presentación para que pueda ser evaluado y visitado por todos.
Resolver los siguientes ejercicios (15 puntos, 1,5 puntos C/U)
1. Hallar el área de la región encerradas por los gráficos
a) 푓(푥) = 푥2 − 4, 푔(푥) = 푥 − 4
b) 푦 = 푥3, 푦 = 4푥
c) 푥 =
12
푦
, 푥 = 0, 푦 = 1, 푦 = 푒2
d) 푓(푥) = tan
푥
2
, 푒푙 푒푗푒 푥 푦 푙푎푠 푟푒푐푡푎푠 푥 = 0, 푥 =
1
2
휋
2. hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por las
curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas)

2. a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x
b) 푥 = 4푦, 푥 = √푦 3 , 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 8
c) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la elipse
푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1
d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por.
푦 = 4 − 푥2, 푒푗푒 푥, 푎푙 푔푖푟푎푟 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 3
3. Hallar la longitud de la curva dada
a) 푦 =
푥3
6
+
1
2푥
, 푑푒푠푑푒 푥 = 1 ℎ푎푠푡푎 푥 = 3
b) 푦 = 푙푛푠푒푐푥, 푑푒푠푑푒 푥 = 0, ℎ푎푠푡푎 푥 =
휋
3
Trabajos que sean copias no se evaluaran, así que evite pasar por inconvenientes
Éxitos en esta actividad!!!!!
 Hallar el área de la región encerradas por los gráficos
풇(풙) = 풙ퟐ − ퟒ, 품(풙) = 풙 − ퟒ
푥2 − 4 = 푥 − 4
푥2 − 4 − 푥 + 4 = 0
푥2 − 푥 = 0
푥(푥 − 1) = 0
푥(푥 − 1) = 0
푥 = 0 ; 푥 − 1 = 0
푥 = 1
X 푌 = 푥2 − 4 푌 = 푥 − 4
0 -4 -4
1 -3 -3
1.5 -1.75 -2.5
1
퐴 = ∫ [(푥 − 4) − (푥2 − 4)]
0
푑푥

3. 1
퐴 = ∫ [푥 − 4 − 푥2 + 4]
0
푑푥
1
퐴 = ∫ (푥 − 푥2)
0
푑푥
퐴 =
푥2
2
−
푥3
3
|
1
0
퐴 = [
12
2
−
13
3
] − [0]
퐴 =
1
2
−
1
3
=
1
6
푈푛푖푑푎푑푒푠2
풚 = 풙ퟑ, 풚 = ퟒ풙
푥3 = 4푥
푥3 − 4푥 = 0
푥(푥2 − 4) = 0
푥 = 0 ; 푥2 − 4 = 0
√푥2 = √4
푥 = 2
X 푌 = 푥3 푌 = 4푥
0 0 0
1 1 4
2 8 8
2
퐴 = ∫ [(4푥) − (푥3)]
0
푑푥
2
퐴 = ∫ [4푥 − 푥3]
0
푑푥
퐴 =
4푥2
2
−
푥4
4
|
2
0
퐴 = 2푥2 −
푥4
4
|
2
0

4. 퐴 = [2(2)2 −
(2)4
4
] − [0]
퐴 = 8 −
16
4
= 8 − 4 = 4푈푛푖푑푎푑푒푠2
풙 =
ퟏퟐ
풚
, 풙 = ퟎ, 풚 = ퟏ, 풚 = 풆ퟐ
퐴 = ∫ [(
12
푦
) − (0)]
푒2
1
푑푦
퐴 = ∫
12
푦
푒2
1
푑푦
퐴 = 12 ∫
푑푦
푦
푒2
1
퐴 = 12(ln 푦)|
푒2
1
퐴 = 12(ln 푒2 − ln 1)
퐴 = 12(2) = 24푈푛푖푑푎푑푒푠2
풇(풙) = 퐭퐚퐧
풙
ퟐ
, 풆풍 풆풋풆 풙 풚 풍풂풔 풓풆풄풕풂풔 풙 = ퟎ, 풙 =
ퟏ
ퟐ
흅
휋
2
0 푑푥
퐴 = ∫ 푡푎푛
푥
2
퐴 = ∫
푠푒푛
푥
2
cos
푥
2
휋
2
0
푑푥
Aplicamos Cambio de Variable
푥
2
푢 = 푐표푠 (
)
푥
2
푑푢 = 푠푒푛 (
) ∗
1
2
푑푥
푥
2
−2푑푢 = 푠푒푛 (
) 푑푥
퐴 = −2 ∫
푑푢
푢
휋
2
0
퐴 = −2(ln 푢)|
휋
20
Devolvemos el Cambio

5. 퐴 = −2(ln 푐표푠
푥
2
)|
휋
2
0
퐴 = −2 (ln 푐표푠
휋
4
− ln 푐표푠
0
2
)
퐴 = −2 ln (
√2
2
) + 2 ln 1
Aplicando Propiedades del Logaritmo Neperiano
퐴 = 2 ln (
√2
2
)
−1
2
√2
퐴 = ln (
2
)
퐴 = ln
4
2
퐴 = ln 2 푈푛푖푑푎푑푒푠2
 Hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por las
curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas)
Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x
푦 = 푐표푠 2푥
퐿푖푚푖푡푒푠:
휋
4
푦
3휋
4
2
푏
푉 = 휋 ∫ (푓(푥))
푎
푑푥
3휋
4
휋
4
푉 = 휋 ∫ (푐표푠 2푥)2
푑푥
3휋
4
휋
4
푉 = 휋 ∫ (cos(푎푥 + 푏))2
푑푥
sen(2푥) ∗ sen(푎푥 + 푏)
푉 = 휋 [
2푎
+
푥
2
]
3휋
4휋
4
sen(2푥) ∗ cos(2푥)
푉 = 휋 [
4
+
푥
2
]
3휋
4휋
4

6. 푉 = 휋 [(
6휋
4
sen (
6휋
4
) ∗ cos (
)
4
+
3휋
4
2
) − (
2휋
4
sen (
2휋
4
) ∗ cos (
)
4
+
휋
4
2
)]
푉 = 휋 [(
6휋
4
sen (
6휋
4
) ∗ cos (
)
4
+
3휋
8
) − (
2휋
4
sen (
2휋
4
) ∗ cos (
)
4
+
휋
8
)]
푉 =
휋2
4
푈푛푖푑푎푑푒푠3
풙 = ퟒ풚, 풙 = √풚 ퟑ , 풂풍풓풆풅풆풅풐풓 풅풆 풍풂 풓풆풄풕풂 풙 = ퟖ
4푦 = 푦
1
3
푦 = 0
4푦 = 푦
1
3
4 =
1
3
푦
푦
= 푦
−2
3
푦 = 푦
−3
2 = 0.125
y 4푦 √푦 3
0 0 0
0.125 0.5 0.5
1 4 1
푅푎푑푖표 푚푎푦표푟: | √푦 3 − 8| = 8 − √푦 3
푅푎푑푖표 푚푒푛표푟: |4푦 − 8| = 8 − 4푦
2
0.125
푉 = 휋 ∫ (8 − 4푦)2 − (8 − √푦 3 )
0
푑푦
푉 = 휋 ∫ (64 − 64푦 + 16푦2 − 64 + 16푦
1
3 − 푦
2
3)
0.125
0
푑푦
푉 = 휋 ∫ 16푦2 − 64푦 + 16푦
1
3 − 푦
2
3
0.125
0
푑푦
16푦
3
푉 = 휋 [
3
− 32푦2 + 12푦
4
3 −
3
5
푦
5
3]
0.125
0

7. 푉 = 휋 [
16
3
4
3 −
(0.125)3 − 32(0.125)2 + 12(0.125)
3
5
5
3]
(0.125)
푉 =
29
120
휋푈푛푖푑푎푑푒푠3
 Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la elipse
풙ퟐ
풂ퟐ +
풚ퟐ
풃ퟐ = ퟏ
푙푖푚푖푡푒푠: 0 푦 푎
Caso 1 método del disco.
Para construir el sólido solo se debe hacer girar este alrededor del eje x. La elipse formada
corresponde al grafico de la función:
푓(푥) =
푏
푎
√푏2 − 푥2
2
푑푥
푎
0
푉 = 2휋 ∫ (푓(푥))
푉 = 2휋 ∫ (
푏
푎
2
푑푥
√푏2 − 푥2)
푎
0
푏2
푎2 (푏2 − 푥2)) 푑푥
푎
푉 = 2휋 ∫ (
0
푉 = 2휋
푏2
푎
∫ 푏2 − 푥2푑푥
푎2 0
푉 = 2휋
푏2
푎
(푏2 ∫ 푑푥
푎2 0
푎
− ∫ 푥2푑푥
0
)
Integrando.
푉 = 2휋
푏2
푎2 [푏2푥 −
푥3
3
]
푎
0
푉 = 2휋
푏2
푎2 (
3푎3 − 푎3
3
)
푉 = 2휋
푏2
푎2 푎3 (
3 − 1
3
)
2
3
푉 = 2휋 푏2푎 (
) =
4
3
휋푏2푎 푈푛푖푑푎푑푒푠3
 Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por.

8. 풚 = ퟒ − 풙ퟐ, 풆풋풆 풙, 풂풍 품풊풓풂풓 풂풍풓풆풅풆풅풐풓 풅풆 풍풂 풓풆풄풕풂 풙 = ퟑ
푦 = 4 − 푥2
푥 = 3
퐿푖푚푖푡푒푠 푆푢푝푒푟푖표푟 = 2
퐿푖푚푖푡푒푠 퐼푛푓푒푟푖표푟 = −2
푓(푥) = 4 − 푥2
푔(푥) = 0
2
푉 = 2휋 ∫ (3 − 푥)4 − 푥2푑푥
−2
2
푉 = 2휋 ∫ 12 − 3푥2 − 4푥 + 푥3푑푥
−2
2
푉 = 2휋 ∫ 푥3 − 3푥2 − 4푥 + 12푑푥
−2
푥4
4
푉 = 2휋 [
− 푥3 − 2푥2 + 12푥]
2
−2
(2)4
4
푉 = 2휋 [(
(−2)4
− (2)3 − 2(2)2 + 12(2)) − (
4
− (−2)3 − 2(−2)2 + 12(−2))]
푉 = 2휋(4 − 8 − 8 + 24 − 4 − 8 + 8 + 24)
푉 = 2휋(32) = 64휋 푈푛푖푑푎푑푒푠3
 Hallar la longitud de la curva dada
풚 =
풙ퟑ
ퟔ
+
ퟏ
ퟐ풙
, 풅풆풔풅풆 풙 = ퟏ 풉풂풔풕풂 풙 = ퟑ
Derivadas de 푦 =
푥3
6
+
1
2푥
푦′ =
3푥2
6
+ (−1)2푥−2
푦′ =
1
2
푥2 −
1
2푥2
푦′ =
2푥4 − 2
4푥2
Factor Común:

9. 푦′ =
2(푥4 − 1)
2(2푥2)
푦′ =
푥4 − 1
2푥2
Ahora
퐿 = ∫ √1 + (
푥4 − 1
2푥2 )
2
푑푥
3
1
퐿 = ∫ √1 + (
푥8 − 2푥4 + 1
4푥4 ) 푑푥
3
1
4푥4 + 푥8 − 2푥4 + 1
퐿 = ∫ √
4푥4 푑푥
3
1
푥8 − 2푥4 + 1
퐿 = ∫ √
4푥4 푑푥
3
1
(푥4 + 1)2
(2푥2)2 푑푥
3
퐿 = ∫ √
1
퐿 = ∫
푥4 + 1
2푥2 푑푥
3
1
퐿 = ∫ (
푥4
2푥2 +
1
2푥2) 푑푥
3
1
퐿 = ∫ (
푥2
2
+
1
2푥2) 푑푥
3
1
퐿 = [
1
6
푥3 −
1
2푥 ]
3
1
27
6
퐿 = [(
−
1
6
1
6
) − (
−
1
2
)]
9
2
퐿 = [(
−
1
6
) − (−
4
12
)]

10. 52
12
퐿 = (
−
4
12
)
퐿 =
13
3
+
1
3
퐿 =
42
9
=
14
3
푈푛푖푑푎푑푒푠
풚 = 풍풏풔풆풄풙, 풅풆풔풅풆 풙 = ퟎ, 풉풂풔풕풂 풙 =
흅
ퟑ
Derivadas de 푦 = 푙푛푠푒푐(푥)
푦′ =
푠푒푐(푥) 푡푎푛(푥)
푠푒푐(푥)
푦′ = 푡푎푛(푥)
퐿 = ∫ √1 + (푡푎푛(푥))
2
푑푥
휋
3
0
휋
3
퐿 = ∫ √1 + 푡푎푛2푥푑푥
0
Aplicamos Identidades Trigonométricas
1 + 푡푎푛2푥 = 푠푒푐2푥
휋
3
퐿 = ∫ √푠푒푐2푥푑푥
0
휋
3
퐿 = ∫ 푠푒푐푥 푑푥
0
퐿 = [푙푛|푠푒푐푥 + 푡푎푛푥|]
휋
3
0
휋
3
퐿 = 푙푛 |푠푒푐 (
) + 푡푎푛 (
휋
3
)|
퐿 = 푙푛|2 + √3|