1. Se calcula la longitud del arco de una hélice cónica entre dos puntos. La longitud es igual a a√3. 2. Se calcula la longitud de un arco paramétrico entre dos valores de t. La longitud es igual a π√a2 + c2/2. 3. Se calcula la longitud de un arco definido por una función vectorial entre dos valores de t. La longitud involucra una integral que puede resolverse en términos de t1.

1. Pág. 48-53
1. Hallar la longitud de arco de la hélice cónica 𝑪: 𝒂( 𝒕) = [ 𝒂𝒆𝑪𝒐𝒔( 𝑻), 𝒂𝒆𝑺𝒆𝒏( 𝑻), 𝒂𝒆 𝒕] desde el
punto ( 𝟎, 𝟎, 𝟎) hasta el punto A ( 𝒂, 𝟎, 𝒂)
SOLUCION
La longitud de arcode una curva paramétrica
𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego: 𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝑒′ 𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑎𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑎𝑒′], 𝑡 ∈ (−∞,0)
𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝑒′ 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) − 𝑎𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝑡) − 𝑎𝑒𝑆𝑒𝑛( 𝑡) + 𝑎𝑒(cos( 𝑡) , 𝑎𝑒′]
𝐿 = ∫ √ 𝑎′𝑒′[ 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) − 2𝑆𝑒𝑛( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) + 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠2 + 2𝑆𝑒𝑛( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) + 𝐶𝑜𝑠2 + 1] 𝑑𝑡
0
−∞
𝐿 = ∫ √𝑎′ 𝑒′[1+1+1]
𝑑𝑡 = ∫ 𝑎𝑒 𝑡√3𝑑𝑡 = 𝑎𝑒 𝑡√3∫ = 𝑎√3
0
−∞
0
−∞
0
−∞
2. Calcular L, para la función vectorial definida por :
𝒂( 𝒕) = [ 𝒂𝑪𝒐𝒔( 𝒕), 𝒂𝑺𝒆𝒏( 𝒕), 𝒅𝒕] 𝒆𝒏 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝝅/𝟐
SOLUCION
La longitudde arcode una curva paramétrica:
𝐿 = ∫ ! 𝑓( 𝑡)! 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego
𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑑𝑡] 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2
𝑎′( 𝑡) = [−𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑐]
𝐿 = ∫ √[ 𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑡)]2 + [ 𝑎𝐶𝑜𝑠(𝑡)]2 + 𝑐2 𝑑𝑡 = √ 𝑎2 + 𝑐2 ∫ 𝑑𝑥 =
𝜋√𝑎2 + 𝑐2
2
𝑥
2
0
𝑋
2
0

2. 3. Encontrar la longitud de la curva definida por 𝒇( 𝒕) = [∫
𝑪𝒐𝒔(𝜽)
√𝜽
𝒅𝜽 , ∫
𝑺𝒆𝒏(𝜽)
√𝜽
𝒅𝜽, 𝟒√ 𝒕
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
]
entre 𝒕 = 𝟏 𝒚 𝒕 = 𝒕 , sabiendo que 𝒇(𝒕) es el punto donde 𝒇′(𝒕𝟏)es paralelo al plano YZ
⟨ 𝟏 < | 𝟏 < 𝟐⟩.
SOLUCION
La longitudde arcode la curva paramétrica:
𝐿 = ∫ || 𝑓(𝑡)|| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego:
𝑓(𝑡) = [∫
𝐶𝑜𝑠( 𝜃)
√ 𝜃
1
0
𝑑𝜃 ,∫
𝑆𝑒𝑛( 𝜃)
√ 𝜃
1
0
𝑑𝜃,4√ 𝑡 ]0 ≤ 𝑡 ≪ 𝑡1
𝑓′( 𝑡) = [
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
√ 𝑡
,
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
√ 𝑡
𝑑𝜃,
2
√2
]
𝐿 = √[
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
√ 𝑡
]
2
+ [
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
√ 𝑡
]
2
+
4
𝑡
𝑑𝑡 = ∫ √
𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑆𝑒𝑛( 𝑡) + 4
𝑡
𝑡1
1
𝑑𝑡 = ∫
√5
𝑡 𝑡1+1 𝑑𝑡
𝑡1
0
𝐿 =
√5𝑡
1
2⁄
∮ 2√5(√𝑡1− 1)
𝑡1
1
4. Una partícula se mueve en el plano XY según la ecuación 𝒙 = 𝒆−𝟐𝒕
𝑪𝒐𝒔( 𝟑𝒕), 𝒚 = 𝒆−𝟐𝒕
𝑺𝒆𝒏(𝟑𝒕)
encuentra la trayectoria desde t=0 a t=𝝅
SOLUCION
. La longitudde arcode la curva paramétrica:
𝐿 = ∫ ! 𝑓( 𝑡)! 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego
𝑓( 𝑡) = [ 𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡), 𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡)] 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
𝑓( 𝑡) = [−2𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) − 3𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡),−2𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡) + 3𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡)]

3. 𝐿 = ∫ √[−2𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) − 3𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡)]1 + [ −2𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡) + 3𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑋
0
𝐿 = ∫ √ 𝑒−2𝑡[4𝐶𝑜𝑠2(3𝑡) + 12𝑆𝑒𝑛(3𝑡) 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) + 9𝑆𝑒𝑛2(3𝑡)] 𝑑𝑡
𝑋
0
𝐿
= ∫ √𝑒−2𝑡[[4𝐶𝑜𝑠2(3𝑡] + 12𝑆𝑒𝑛(3𝜋) 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) + 9𝑆𝑒𝑛′(3𝜋)4𝑆𝑒𝑛′(3𝜋)− 12𝑆𝑒𝑛(3𝜋) 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) + 9𝐶𝑜𝑠′(3𝜋)]
𝑋
0
𝑑𝑡
𝐿 = ∫ √ 𝑒−4𝑡(4 + 9)𝑑𝑡 = √13∫ 𝑒−2𝜋 𝑑𝑡 =
√13
2
𝑒−2𝑡
𝜋
0
|
𝜋
0
=
√13
2
(1 − 𝑒−2)
𝜋
0
5. Considere la curva descrita por 𝒇( 𝒕) = [𝒕, 𝒂𝑪𝒉(
𝒕
𝒂
) , 𝒂𝑺𝒉(
𝒕
𝒂
)] demuestre que la distanciaa lo
largo de la curva desde (0, a, 0) hasta Pº en la curva es proporcional a la distancia de Pº al plano
XY.
SOLUCION
La longitudde arcode una curva paramétrica
𝐿 = ∫ || 𝑓(𝑡)|| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego
𝑓( 𝑡) = [ 𝑡, 𝑎𝐶ℎ(
𝑡
𝑎
), 𝑎𝑆ℎ (
𝑡
𝑎
)] 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑝º
𝑓′( 𝑡) = [1, 𝑆ℎ (
𝑡
𝑎
), 𝐶ℎ(
𝑡
𝑎
)]
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑆ℎ (
𝑡
𝑎
)]
1
+ [ 𝐶ℎ(
𝑡
𝑎
)]
−2
𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑆ℎ(
𝑡
𝑎
)]
1
+ [ 𝐶ℎ(
𝑡
𝑎
)]
2
𝑑𝑡
𝑃º
0
𝑃º
0
𝐿 = √2 ∫ 𝑆ℎ (
𝑡
𝑎
)
𝑃º
0
𝑑𝑡 = 𝑎√2𝑆ℎ(
𝑡
𝑎
){
𝑃º
0
= 𝑎√2𝑆ℎ(
𝑃º
𝑎
)

4. 6. Sea la función 𝒓 = 𝒈(𝜽) con derivada continua en 𝒕 ∈ ⟨ 𝒂| 𝒃⟩. Demuestre que la longitud de la
curva es 𝑳 = ∫ √𝑺 𝟐 + ( 𝑺 𝟐) 𝟐 𝒅𝒕
𝒃
𝒂
SOLUCION
La longituddarco de una curva paramétrica:
𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑋`′(𝑡)]2 +
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
[ 𝑌′(𝑡)]2 𝑑𝑡
Luego 𝑦 = 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) , 𝑥 = 𝑟𝐶𝑜𝑠( 𝜃)
𝑌 = 𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) ; 𝑥′ = 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃)
Arreglándolosegúnlaexpresióndada:
(𝑥)2 + (𝑦)2 = [ 𝑟′ 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)]2 + [ 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)]2
(𝑥)2 + (𝑦)2 = (𝑟′)2 𝐶𝑜𝑠2( 𝜃) − 𝑟′𝑆𝑒𝑛(𝜃) [ 𝑟′ 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)]2 + [ 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)]2
𝑟𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝜃) 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) + ( 𝑟)2 𝐶𝑜𝑠2(𝜃)
(𝑥)2 + (𝑦)2 = (𝑟′)2 + 𝑟2
Luego:
𝐿 = ∫ √[ 𝑟′]2 + [ 𝑟]2𝑏
𝑎 𝑑𝑡 = ∫ √𝑔2 + [ 𝑔′2]
𝑏
𝑎 𝑑𝑡 Demostrado
7. Se la elipse descrita por 𝒙 = 𝒂𝑪𝒐𝒔( 𝒕), 𝒚 = 𝒃𝑺𝒆𝒏( 𝒕), 𝒕 ∈ [ 𝟎, 𝟐𝒙], 𝟎 < 𝒃 < 𝒂 . demuestra que la
longitud de la elipse es 𝑳 = 𝟒𝒂∫ √ 𝟏 − 𝒆 𝟐(𝒕)
𝝅
𝟐⁄
𝒖
𝒅𝒕 donde 𝒆 es la excentricidad de la elipse.
SOLUCION
La longitudde arcode una curva paramétrica:
𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego 𝑦 = 𝑏𝑆𝑒𝑛( 𝑡) , 𝑥 = 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡)
𝑦 = 𝑏𝐶𝑜𝑠( 𝑡) , 𝑥′ = 𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡) , Pero 𝑒 =
𝑐
𝑎
, 𝑐 = 𝑒𝑎 , 𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2
𝑎2 = 𝑒2 + 𝑎2 + 𝑏2 𝑏2 = 𝑎2 + (1 − 𝑒2)

5. Arreglandosegúnlaexpresióndada:
( 𝑥2)+ ( 𝑦2) = [ 𝑏𝐶𝑜𝑠(𝑡)]2 + [−𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑡)]2
( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑏2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑎2 𝑆𝑒𝑛2( 𝑡) = 𝑎2(1 − 𝑒2) 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡)+ 𝑎2 𝑆𝑒𝑛2( 𝑡)
( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑎2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) − 𝑎2 𝑒2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑎2[1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑡)]
( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑎2 − 𝑎2 𝑒2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) = 𝑎2[1− 𝐶𝑜𝑠2(𝑡)]
Luego:4 regionessi se considera 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
2⁄
𝐿 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= 4 ∫ √𝑎2[1 − 𝑒2𝐶𝑜𝑠2(𝑡)] 𝑑𝑡
𝜋
2⁄
0
Demostrado
𝐿 = 4∫ √𝑎2[1 − 𝑒2𝐶𝑜𝑠2(𝑡)] 𝑑𝑡
𝜋
2⁄
0
8. Hallar la longitud de arco de la línea 𝑪: 𝒙 𝟐
= 𝟑𝒚, 𝟐𝒙𝒚 = 𝟗𝒛 desde el punto ( 𝟎, 𝟎, 𝟎)hasta el
punto (𝟑, 𝟑, 𝟐)
SOLUCION
Parametrizamoslasecuacionesdadas:x=t,
𝑦 =
𝑡2
3
, 𝑧 =
2𝑡𝑡2
3(9)
=
2𝑡2
27
La longitudde arcode una curva paramétrica
𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]−2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Luego
𝑥 = 1 𝑦 =
𝑡2
3
; 𝑧 =
2𝑡2
27
; 0 ≤ 𝑡 ≤ 3
𝑥′ = 1 𝑦′ =
𝑡2
3
; 𝑧′ =
2𝑡2
27
𝐿 = ∫ √1 + (
2𝑡
3
)
2
+ (
2𝑡
9
)
23
0
𝑑𝑡 = ∫ √
81 + 36𝑡2 + 4𝑡4
81
𝑑𝑡 =
3
0
∫ √
(2𝑡2 + 9)2
81
𝑑𝑡
3
0
𝐿 = ∫ √
(2𝑡2 + 9)2
81
𝑑𝑡
3
0
=
2𝑡3
27
+ 𝑡 {
3
0
= 2 + 3 = 5