1) Se calculan las áreas de varias regiones delimitadas por funciones mediante el cálculo de integrales. 2) Se calculan los volúmenes de sólidos de revolución generados por diferentes regiones usando los métodos del disco, arandelas y capas cilíndricas. 3) Se resuelven problemas de cálculo integral y de volúmenes de revolución.

1. Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Matemática II
Alumno:
Briggith Vargas
C.I: 25390081

2. 1. Hallar el área de la región encerradas por los gráficos
a) 푓(푥) = 푥 2 − 4, 푔(푥) = 푥 − 4
Solución:
Puntos de corte
푓(푥) = 푔(푥)
푥 2 − 4 = 푥 − 4
푥 2 = 푥
푥 2 − 푥 = 0
푥(푥 − 1) = 0
푥 = 0 푥 = 1
Se busca el vértice de la paralela.
푓(푥) = 푥 2 − 4
푦 = 푥 2 − 4 -4
푦 + 4 = 푥 2
V= (0, −4) se plantea la integral del área.
A= ∫ (푥 − 4 − 푥 2 + 4)푑푥 = ∫ (푥 − 푥 2)푑푥 = (푥2
) 1
0
2
− 푥3
3
1
0
∫ 1
0
= 12
2
− 13
3
= 1
2
− 1
3
= 1
6

3. x
y
2
b) 푦 = 푥 3, 푦 = 4푥
Solución:
Punto de corte. Se buscan los puntos de corte
푦 = 푦
푥 3 = 4푥
푥 3 − 4푥 = 0
푥(푥 − 2)(푥 + 2) = 0
푥 = 0
푥 = 2
푥 = −2
Se plantea la integral del área como las 2 aéreas son iguales se calcula una y se multiplican
las 2.
A= 2 ∫ (4푥 − 푥 3) 2
0
푑푥 = 2 (4푥2
2
−푥4
4
) ∫ 2
0
= 4. 22 −
24
2
= 16 − 8 = 8
-2

4. x
y
12
푦
X=
푦 = 푒2
X= 0
Y=1
c) 푥 = 12
푦
, 푥 = 0, 푦 = 1, 푦 = 푒2 se grafican las regiones
Se plantea la ecuación de área.
− 0) 푑푦 푒2
1
A= ∫ (12
푦
= 12 ∫ 푦−1 푑푦 푒2
1
Se integra y se evalúa.
= 12 ln|푦| ∫
푒2
1
0
= 12 ln|푒2| − 12 ln|1|
1
= 12.2 ln|푒| = 24

5. x
d) 푓(푥) = tan 푥
y
2
-휋 휋 휋
2
, 푒푙 푒푗푒 푥 푦 푙푎푠 푟푒푐푡푎푠 푥 = 0, 푥 = 1
2
휋
Se grafican las funciones
Se plantea la ecuación del área y se cambia la variable para resolver la integral.
A= ∫ tan (푥
2
) 푑푥
휋
⁄2
0
푢 = 푥
2
푤 = cos 푢
푑푢 = 1
2
푑푥 푑푤 = −푠푒푛 푢푑푢
2푑푢 = 푑푥 −푑푤 = 푠푒푛 푢푑푢
= 2 ∫ tan 푢푑푢
= 2 ∫
푠푒푛 푢
cos 푢
푑푢
= −2 ∫
푑푤
푤
= −2 ln|푤| + 푐
= 2 ln|cos 푢| + 푐
= 2 ln |cos
푥
2
| + 푐
A=∫ tan (푥
2
) 푑푥 = 2 ln |cos 푥
2
휋
⁄2
0
| ∫
휋
⁄2
0

6. x
y
1
1
−휋
4
휋
4
2 ln |cos
휋
⁄2
2
| − 2 ln |cos
0
2
|
0
2 ln |
√2
2
| − 2 ln|1|
√2
2
= 2 ln |
|
2. hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por las
curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas)
a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x
Se grafica la región
Se plantea la ecuación del volumen por el método del disco.
휋
⁄4
−휋
V= 휋 ∫ (cos 2푥)
⁄4
푑푥
휋
⁄4
= 2휋 ∫ cos 2
0
2푥 푑푥
Se aplica la identidad trigonométrica.
= 2휋 ∫
1+cos 4푥
2
휋
⁄4
0
푑푥
휋
⁄4
= 휋 ∫ (1 + cos 4푥)
0
푑푥
휋
⁄4
= 휋 ∫ 푑푥 + 1 ∫ cos 4푥 푑푥
0
휋
⁄4
0
Se cambia la variable y se resuelve.
푢 = 4푥
푑푢 = 4푑푥

7. X=8
1
⁄2
1
⁄8
−1
⁄8
−1
⁄2
푑푢
4
= 푑푥
= 휋 ∫ 푑푥 + 휋 ∫
cos 푢 푑푢
4
휋
⁄4
0
휋
⁄4
0
= 휋 푥 ∫ + 휋
4
휋
⁄4
0
휋
⁄4
0
푠푒푛4푥 ∫
0 0
= 휋. 휋
4
+ 휋
4
푠푒푛 4. 휋
4
− 휋
4
푠푒푛 (4.0)
=
휋 2
4
b) 푥 = 4푦, 푥 = 3√푦, 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 8
Se grafica la región.
Punto de corte.
푥 = 푥
3
(4푦)3 = ( 3√푦)
64푦3 = 푦
64푦3 − 푦 = 0
푦(64푦2 − 1) = 0
푦 = 0 U 64푦2 − 1 = 0
푦2 =
1
64
푦 = ±
1
8

8. Se plantea la ecuación de volumen por el método de la arandela, quedando así 2 volúmenes.
V= 푉1 + 푉2
2
) 푑푦
1
⁄8
푉1 = 휋 ∫ ((푦 − 8)2 − ( √푦 − 8 3 )
0
2
− (4푦 − 8)2) 푑푦
0
푉2 = 휋 ∫ (( √푦 − 8 3 )
−1
⁄8
푉1 = 휋 ∫ (16푦2 − 64푦 + 64 − 푦
2
⁄3 + 16푦
1
⁄3− 64)
1
⁄8
0
푑푦
= 휋 ∫ (16푦2 − 64푦 − 푦
2
⁄3 + 16푦
1
⁄3)푑푦
1
⁄8
0
= 휋 (
16푦3
3
−
64푦2
2
−
푦
5
⁄3
5
3
+
4
⁄3
4
3
16푦
)∫
1
⁄8
0
= 휋 (16.
(
1
8
)
3
3
− 32 (
1
8
)
2
−
3
5
3 5
√(
1
8
)
3 4
+ 12 √(
1
8
)
)
= 휋 (
1
32
3
− 32
1
64
−
3
5
.
1
32
− 12
1
16
)
= 휋 (
1
96
−
1
2
−
3
160
+
3
4
)
=
29
120
휋
푉2 = 휋 ∫ (푦
2
⁄3 − 16푦
1
⁄3+ 64 − 16푦2 + 64푦 − 64푦)푑푦
0
−1
⁄8

9. x
y
푎
b
−푎
= 휋 ∫ (푦
2
⁄3 − 16푦
1
⁄3− 16푦2 + 64푦)
0
−1
⁄8
푑푦
= 휋 (
푦
5
⁄3
5
3
−
4
⁄3
4
3
16푦
−
16푦3
3
+
64푦2
2
) ∫
0
−1
⁄8
= 휋 (0 −
3
5
√(
−1
8
)
5
+
3 48
4
√(
−1
8
)
4
+
16
3
3
(
−1
8
)
3
− 32 (
−1
8
)
2
)
= 휋 (
3
160
+
3
4
−
1
96
−
1
2
) =
31
120
휋
푉푇 =
29
120
휋 +
31
120
휋 =
휋
2
c) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la elipse
푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1
Se despeja la y para que sea más fácil plantear el volumen por el método del disco.
푦2
푏2 = 1 −
푥 2
푎2
푦2 = 푏2 (1 − 푥2
푎2) Se grafica la elipse y su revolución.
푦 = ±√푏2 (1 − 푥2
푎2)
Se plantea la ecuación del volumen.
2
푑푥 푎
−푎
푉 = 휋 ∫ (√푏2 (1 − 푥2
푎2))
= 2휋 ∫ 푏2 (1 −
푥 2
푎2 ) 푑푥
푎
0

10. -2
4
푎
2 3 4 8
= 2푏2 휋 (∫ 푑푥 −
1
푎2
푎
0
∫ 푥 2
0
푑푥)
= 2푏2 휋 (푥 −
1
푎2
푥 3
3
) ∫
푎
0
2푏2휋 (푎 −
푎3
푎23
)
2푏2휋 (푎 −
푎
3
)
2푏2휋 (
2푎
3
)
4푎푏2 휋
3
d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por.
푦 = 4 − 푥 2, 푒푗푒 푥, 푎푙 푔푖푟푎푟 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 3
Se busca el vértice de la paralela y se grafica.
Se plantea la ecuación del volumen por el método de la capa climática.
2
푉 = 2휋 ∫ (3 − 푥)
−2
(4 − 푥 2)푑푥
Se distribuye
2
= 2휋 ∫ (12 − 3푥 2 − 4푥 + 푥 3)
−2
푑푥

11. Se integra
= 2휋 (12푥 −
3푥 3
3
−
4푥 2
2
+
푥 4
4
) ∫
2
−2
Se evalúa.
= 2휋 (12.2 − 23 − 2. 22 +
24
4
) − 2휋 (12(−2) − (−2)3 − 2(2)2 +
(−2)4
4
)
= 2휋(12) − 2휋(−20)
= 24휋 + 40휋 = 64휋
3. Hallar la longitud de la curva dada
a) 푦 = 푥3
6
+ 1
2푥
, 푑푒푠푑푒 푥 = 1 ℎ푎푠푡푎 푥 = 3
Se deriva la función
푦 =
3푥 2
6
+
1
2
(−1)푥 −2
=
푥 2
2
−
1
2푥 2
Se plantea la integral de la longitud
3 2
푥 2
2
퐿 = ∫ √1 + (푦1)2푑푥 = ∫ 1 + (
−
1
2푥 2)
1
3
1
Se resuelve el producto notable
= ∫ √(1 +
푥 4
4
−
2푥 2
2
.
1
2푥 2 +
1
4푥 4) 푑푥
3
1
= ∫ √(푥4
3
+ 1
+ 1
) 4
2
4푥2 1
dx

12. Se factoriza.
2
푑푥 3
1
= ∫ √(푥2
2
+ 1
2푥2 )
Se simplifica
푥 2
2
= ∫ (
+
1
2푥 2)
3
1
푑푥
Se integra
=
1
2
3
∫ 푥 2
1
푑푥 +
1
2
3
∫ 푥 −2
1
푑푥
=
1
2
.
푥 3
3
∫ +
1
2
3
1
.
푥 −1
−1
∫
3
1
Se evalúa
=
3
6
−
13
6
−
1
2.3
+
1
2.1
=
14
3
b) 푦 = 푙푛푠푒푐푥 , 푑푒푠푑푒 푥 = 0, ℎ푎푠푡푎 푥 = 휋
3
Se deriva la función
푦 =
1
sec 푥
. sec 푥 . tan 푥
푦 = tan 푥
Se arma la integral de longitud
휋
⁄3
퐿 = ∫ √1 + (푦)2 푑푥 =
0
휋
⁄3
∫ √(1 + tan 2 푥)
0
푑푥
Se aplica la identidad trigonométrica

13. 휋
⁄3
0
= ∫ √sec 2 푥
휋
⁄3
0
푑푥= ∫ sec 푥
푑푥
Se simplifica y se integra
= ∫
sec 푥(sec 푥 + tan 푥)
sec 푥 + tan 푥
휋
⁄3
0
푑푥
= ∫
sec2 푥 + sec 푥 . tan 푥
sec 푥 + tan 푥
휋
⁄3
0
푑푥
푢 = sec 푥 + tan 푥
푑푢 = (sec 푥 . tan 푥 + sec2 푥)푑푥
= ∫ 푑푢 = ln|푢| + 푐
= ln|sec 푥 + tan 푥| + 푐
= ln|sec 푥 + tan 푥| ∫ = ln|sec 휋
⁄3 + tan 휋
⁄3|− ln|sec 0 + tan 0|
휋
⁄3
0
0
= ln|2 + √3 | − ln|1 + 0| = ln|2 + √3 |