El documento presenta varios ejercicios de transformación entre coordenadas polares y rectangulares. Primero, se convierten puntos entre los sistemas de coordenadas. Luego, se calculan áreas de curvas dadas por ecuaciones polares. Finalmente, se transforman ecuaciones entre los sistemas de coordenadas.

1. 1. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares
a. (2, 8)
r= √푥2 + 푦2 = √22 + 82 = √68 = 8,24
휃 = tan−1 8
= tan−1 4 = 75,9°
2
a.- Coordenadas polares (4,47, 75,9°)
b. (-5, -6)
r = √52 + (6)2= √25 + 36 = √61 = 7,81
휃 = tan−1 −6
= tan−1 1,2 = 50,1°
−5
b. -Coordenadas polares (7,81, 50°)
c. (√2 ,
1
5
)
r = √(√2)
2
+ (
1
5
2
= √51
)
25
= 1,42
휃 = tan−1
1
5
√2
= tan−1 1
5√2
= 8°
c.- coordenadas polares (1,42, 8°)
2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar r= 1+ sin∅
Tomamos el área comprendida entre θ = 0 ; θ = π
r π 2
0
a. A1= 2∫
1
2
dθ
(1 + sen θ)2 π
o
A1= 2∫
1
2
d휃
(1 + 2 푠푒푛∅ + 푠푒푛2 휋
0
A1= 2∫
1
2
휃) 푑휃
휋
0
A1= ∫ 푑휃
휋
0
+ 2 ∫ 푠푒푛
휃푑휃 + ∫
1−푐표푠휃
2
푑휃
휋
0
휋 − 2 푐표푠휃|0
A1= 휃|0
휋 +
1
2
휋 −
휃 |0
1
2
휋
푠푒푛휃|0
A1= 휋 − 0 − 2[cos 휋 − cos 0] +
1
2
[휋 − 0] −
1
2
[푠푒푛 휋 − 푠푒푛 0]
A1= 휋 − 2(−1 − 1) +
휋
2
−
1
2
(0)
A1= 휋 + 4 +
휋
2
A1 =
3
2
휋 + 4
El ejercicio anterior esta correspondido entre los 휃 valores
θ = π ; θ =
3
2
π
퐴2=
1
2
3
2
휋
∫ (1 + sen θ)2
휋

2. 퐴2=
1
2
3
2
휋
− 2 푐표푠휃|휋
[휃|휋
3
2
휋
+
1
2
3
2
휋
−
휃|휋
1
2
3
2
휋
]
푠푒푛휃|휋
퐴2=
1
2
[
3
2
3
2
휋] − [푐표푠 (
1
4
휋) − 푐표푠 휋]+
[
3
2
휋 − 휋] −
1
4
3
2
[푠푒푛 (
휋) 푠푒푛 휋]
퐴2=
1
4
휋 − 1 +
1
16
휋 +
1
4
퐴2=
5
16
휋 −
3
4
3. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares:
a. (2,
휋
4
)
b. (−8,
3휋
2
)
−1
2
c. (
,
5휋
4
)
a. (2,
휋
4
) → 푟 = 2 ; 휃 =
휋
4
cos 휃 =
푥
푟
휋
4
→ 푥 = 푟 cos 휃 ; 푥 = 2 . cos (
) = 1,41
푠푒푛 휃 =
푦
푟
→ 푦 = 푟 푠푒푛휃 = 2 푠푒푛
휋
4
= 1,41
a.- coordenadas rectangulares (1,41 ; 1,41)
b. (−8,
3휋
2
)
푟 = −8 ; 휃 =
3휋
2
푥 = cos 휃 = −8 . cos
3휋
2
= 0
푦 = 푟 푠푒푛 휃 = −8 . 푠푒푛
3휋
2
= 8
b.- coordenadas cartesianas (0, 8)
c. (
−1
2
,
5휋
4
)
푥 = 푟 cos 휃 =
−1
2
푐표푠 (
5휋
4
) = 0,35
푦 =
−1
2
푠푒푛 (
5휋
4
) = 0,35
c.- coordenadas rectangulares (0,35 ; 0,35)

3. 4. Calcular el área que encierra la cuerva de ecuación polar r = 4cos (2휃)
퐴 = 2 ∫
1
2
푟2 푑휃
휋
0
휋
퐴 = ∫ (4 cos 휃)2 푑휃
0
휋
퐴 = ∫ 16 푐표푠2휃 푑휃
0
휋
퐴 = 16 ∫ 푐표푠2 휃 푑휃
0
1 + cos 2 휃
= 16 ∫ (√
2
2
)
휋
0
푑푥 = 16 ∫
1 + 푐표푠2
2
휋
0
푑휃
휋
퐴 = 8 ∫ (1 + 푐표푠2휃)푑휃 = 8 (∫ 푑휃
0
휋
+ ∫ cos 2휃 푑휃
0
)
휋
0
휋 +
퐴 = [휃|0
1
2
휋 ]
푠푒푛2휃|0
퐴 = [(휋 − 0) +
1
2
(푠푒푛2휋 − 푠푒푛20)] = 8휋
5. Transformar la siguiente ecuación e variable polar a rectangulares r =
2cos(3휃)
Multiplicando ambos lados por r
푟(푟) = 푟(2 cos(3휃))
푟2 = 2 푟 푐표푠(3휃)
Tenemos que 푟2 = 푥2 + 푦2 sustituyendo tenemos
푥2 + 푦2 = 2푟 cos(3휃)
푥2 + 푦2 = 2푥
푥2 − 2푥 + 푦2 = 0
푥2 −
2
2
푥 + 12 − 1 + 푦2 = 0
(푥 − 1)2 + 푦2
6. Transformar la sigues de variables rectangulares a variable polares
푥2 − 2푦2 = 4(푥 + 푦)2
푥2 − 2푦2 = 4(푥2 + 2푥푦 + 푦2)
푥2 − 2푦2 = 4(푥2 + 푦2 + 2푥푦)
Tenemos que 푟2 = 푥2 + 푦2
x = cos휃 ; y = r sen휃
Sustituyendo en la ecuación tenemos
(푟 푐표푠휃)2 − 2(푟 푠푒푛휃)2 = 4(푟2 + 푟 푐표푠휃 . 푟 푠푒푛휃)
푟2푐표푠2휃 − 2푟2푠푒푛2휃 = 4푟2 + 4푟2푐표푠휃 . 푠푒푛휃
푟2. (푐표푠2휃 − 2푠푒푛2휃) 4푟2(1 + 푐표푠휃 . 푠푒푛휃)
푐표푠2휃 − 2푠푒푛2 = 4(1 + 푐표푠휃 . 푠푒푛휃)

4. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”
Barquisimeto. Edo-Lara
MatematicaIII
Integrante:
Edixon Lucena
C.I: 23.364.149
Seccion: S1