El documento trata sobre la división de polinomios. Explica las reglas y el algoritmo para realizar divisiones de polinomios. Incluye ejemplos como dividir (x3 + 4x2 - 5) entre (x + 5) y calcular valores de 'a' para que divisiones sean exactas.

1. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1
TEMA 3
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS

2. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2
TEMA 3.4 * 1º BCS
DIVISIÓN DE
POLINOMIOS

3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
• El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí
no siempre va a ser un monomio o un polinomio.
• Ejemplos:
• 6.x4 : 2.x = (6/2).x3 = 3.x3 , que es un monomio.
• 6.x : 3.x2 = 2 / x , que no es un monomio.
• (6.x4 - 2.x) : 2.x = 3.x3 - 1, que es un polinomio
• (4.x - 6.x4 ) : 3.x = (4/3) – 2.x3 , que es un polinomio
• (6.x4 - 2.x) : x2 = 6.x2 - 2/x, que no es un polinomio

4. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4
• DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS
• Las reglas operativas son :
• 1.- Reducir dividendo y divisor.
• 2.- Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente.
• 3.- Si el dividendo es incompleto, dejar huecos.
• 4.- Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir.
• 5.- Terminar cuando el grado del resto sea menor que el
grado del divisor.
• 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá:
• D(x) = d(x).c(x) + r(x).
DIVISIÓN ENTERA

5. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5
• ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
• Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
Lo que da es el primer término del cociente.
• Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo
que da hay que restárselo al dividendo.
• Obtenemos así un nuevo dividendo.
• Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes
términos del cociente.
• DIVISIÓN EXACTA
• Si el resto se anula, es cero, la división se llama exacta.
• El polinomio dividendo habrá quedado factorizado: D(x) = d(x) . c(x)
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

6. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6
Ejemplo_1 de división de polinomios
• Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5
• y Q(x) = x + 5
• Hallemos P(x) : Q(x)
• 1.- Están ya ambos reducidos.
• 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente.
• 3.- El dividendo es incompleto, luego hay que dejar
hueco en el término de x.
• 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

7. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7
• x3 + 4.x2 - 5 x + 5
• x2
• Pues x3 : x = x2
• x3 + 4.x2 - 5 x + 5
• - x3 - 5.x2 x2
• Pues se multiplica x2. (x +5)
• Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia
de signo.

8. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8
• x3 + 4.x2 - 5 x + 5
• - x3 - 5. x2 x2
• - x2 - 5
• Se repite las operaciones:
• x3 + 4.x2 - 5 x + 5
• - x3 - 5. x2 x2 – x + 5
• - x2 - 5
• x2 + 5.x - 5
• 5.x - 5
• - 5.x - 25
• - 30

9. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9
• 5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que
el divisor (x + 5) se habrá terminado la división.
• c(x) = x2 - x + 5
• r(x) = - 30
• 6.- Se comprueba que
• D(x) = d(x).c(x)+r(x)
• x3 + 4.x2 - 5 = (x + 5).(x2 - x + 5) + (-30)
• x3 + 4.x2 - 5 = x3 - x2 + 5.x + 5.x2 - 5.x + 25 -30
• x3 + 4.x2 - 5 = x3 + 4.x2 - 5

10. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10
Ejemplo 2 de división de polinomios
• Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5
• y Q(x) = x2 + 5
• Hallemos P(x) : Q(x)
• 1.- Están ya ambos reducidos.
• 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente.
• 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que
dejar huecos.
• 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

11. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• x
• Pues x3 : x2 = x
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x
• Pues se multiplica x. (x2 +5)
• Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia
de signo.

12. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x
• 4.x2 - 7.x + 5
• Se repite las operaciones:
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x + 4
• 4.x2 - 7.x + 5
• - 4.x2 - 20
• - 7.x - 15

13. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x + 4
• 4.x2 - 7.x + 5
• - 4.x2 - 20
• - 7.x - 15
• 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor
que el dividor (x2 + 5) se habrá terminado la
división.
• C(x) = x+4
• R(x) = - 7.x – 15
• 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)

14. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 14
Problemas
• PROBLEMA 1
• Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta:
• 2.x3 + 4.x2 - 5.x + a : x2 + x
• 2.x3 + 4.x2 - 5.x + a x2 + x
• - 2x3 - 2x2 2.x + 2
• 2.x2 -5.x
• - 2.x2 - 2.x
• - 7.x + a
• Para a = 0 el resto es R(x) = - 7.x
• Para a <> 0 el resto es R(x) = - 7.x + a
• Luego no hay ningún valor de a que haga R(x) = 0

15. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 15
Problemas
• PROBLEMA 2
• Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta:
• 2.x3 + 4.x2 - 5.x + a : x + 5
• 2.x3 + 4.x2 - 5.x + a x + 5
• - 2x3 – 10.x2 2x2 – 6.x + 25
• - 6.x2 - 5.x
• + 6.x2 +30.x
• 25.x + a
• - 25.x - 125
• a – 125
• Para a = 125 el resto es R(x) = 0  División exacta

16. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 16
Problemas
• PROBLEMA 3
• Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta:
• x3 + 4.x2 - a.x + 5 : x2 + 5
• x3 + 4.x2 - a.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x + 4
• 4.x2 - (5+a).x + 5
• - 4.x2 - 20
• - (5+a).x - 15
• Para a = - 5 el resto es R(x) = - 15
• Para a <> - 5 el resto es R(x) = - (5+a).x - 15
• Luego no hay ningún valor de a que haga R(x) = 0

17. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 17
Problemas
• PROBLEMA 4
• Hallar el valor de a y de b para que la siguiente división sea exacta:
• x3 + 4.x2 - b.x + a : x – 1
• x3 + 4.x2 – b.x + a x – 1
• – x3 + x2 x2 + 5.x + (5 – b)
• 5.x2 – b.x
• – 5.x2 + 5.x
• (5 – b).x + a
• – (5 – b).x + (5 – b)
• a + 5 – b
• R(x) = 0  División exacta  a – b + 5 = 0  b – a = 5