algebra

1. DIVISIÓN ALGEBRAICA
ÁLGEBRA
COII2X1
PAMER CATÓLICAREGULAR 2015-II TEMA 11
I. DEFINICIÓN
Es aquella operación donde a partir de dos polinomios
llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos
polinomios llamados cociente y residuo; donde éstos
cuatro polinomios cumplen la identidad:
D(x) d(x).q(x) R(x) +
Identidad fundamental de la división
Donde:
D(x) = Polinomio dividendo
d(x) = Polinomio divisor
q(x) = Polinomio cociente
R(x) = Polinomio resto o residuo
A. Propiedades del grado
• GA[D(x)]  GA[d(x)]
• Máximo GA[R(x)] = GA[d(x)] – 1
• GA[q(x)] = GA[D(x)] – GA[d(x)]
B. Clasificación de la división
1. División exacta
R(x) 0
identicamente nulo
D(x)
q(x)
d(x)
 
2. División inexacta
R(x)  0
como: D(x) d(x).q(x)+R(x)
D(x) R(x)
q(x)
d(x) d(x)
  +
Importante:
Los polinomios dividiendo, divisor cociente y residuo
deberán de encontrarse completos (caso contrario
completar con ceros) y por lo general ordenados
en forma descendente.
II. MÉTODOS PARA DIVIDIR
POLINOMIOS
A. Método de Horner
Se emplea para dividir polinomios de cualquier
grado:
Esquema básico:
con
signo
cambiado
coeficiente del D(x)
coef. del q(x) coef. de R(x)
©
o
e
f.
d
e
d(x)
Línea de acuerdo
al grado el divisor.
Importante:
El número de columnas que presenta el resto es
numéricamente igual al grado del divisor contado
de derecha a izquierda.
B. Método de Ruffini
Es una regla de práctica para obtener el cociente
y el resto de la división de un polinomio P(x) entre
un polinomio de la forma (x ± b).
P(x) (x ±b).q(x)=
Esquema:
DESARROLLO DEL TEMA

2. Exigimos más!
DIVISIÓN ALGEBRAICA
PAMER CATÓLICAREGULAR 2015-II TEMA 12
III.TEOREMA DEL RESTO
Tiene como finalidad obtener el resto de una división
sin necesidad de efectuar la división:
A. Enunciado
Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de
dividir P(x) por (x – n) viene dado por P(n).
Ejemplos:
Problema 1
Halle el residuo de dividir:
4 2
2
9x 2x 5x 6
3x x 2
+ + –
+ –
Nivel fácil
A. 0 C. 2
B. 1 D. 5
Resolución
Luego:
q(x) = 3x2
– x + 3; R(x)  0
Respuesta: A. 0
Problema 2
Dividir:
5 3
2x 15x 20x 8
x 3
– – +
+
y dar
por respuesta el resto.
Nivel intermedio
A. 10 C. 12
B. –11 D. –15
Resolución
Por Ruffini:
Luego: q(x)  2x4
– 6x3
+ 3x2
– 9x + 7;
R(x) = –13
Respuesta: D. –15
Problema 3
Hallar el resto de:
6
2x 10x 80
x 1
+ +
–
Nivel difícil
A. 85 C. 92
B. 60 D. 90
Resolución
Por el Teorema del resto
• x – 1 = 0
P(x)
Resto P(5)
x – 5
= ;
Q(x)
–Resto Q( 7)
x 7


=
B. Regla práctica
• El divisor se iguala a cero: x – n = 0
• Se despeja la variable: x = n
• Se reemplaza en el dividendo (P(n))
obteniéndose el resto.
• x – 1
• Resto = 2(1)6
+ 10(1) + 80 = 92
Respuesta: C. 92
Problema 4
Hallar el resto de:
2n 1 2n n 1 n
n
x 7x 2x 5x 6x 4
x 1
+ +
– + + + +
+
Nivel difícil
A. 4x – 5 C. 3x – 1
B. 5x – 8 D. 2x – 5
Resolución
• xn
+ 1 = 0
• xn
= –1 (se despeja con su
mismo exponente)
• Dando forma al dividendo:
(xn
)2
. x – 7(xn
)2
+ 2(xn
)x +
5(xn
) + 6x + 4
Reemplazando xn
= 1
R = (–1)2
. x – 7(–1)2
+ 2(–1) .
x + 5(–1) + 6x + 4
R = 5x – 8
Respuesta: B. 5x – 8
problemas RESUELTOS
problemas de clase
NIVEL I
1. Dividir:
4 3
2
8x 6x 12x 9
4x x 3
– + –
+ –
e indicar el residuo.
A. 4x + 1
B. 4x – 3
C. 3x + 2
D. 3x – 2
2. De la división:
7 5 4 2
3
2x 3x x 2x 4
x 2x 3
– – – +
– +
da como respuesta el producto de
los grados del cociente y el residuo.
A. 16
B. 8
C. 2
D. 6
3. Dividir:
4 3 2
3
8x 6x 13x 19x 21
2x x 3
– – + –
+ –
Da como respuesta el producto
de las sumas de coeficientes de
Q(x) y R(x).
A. 12
B. –15
C. –13
D. 10

3. Exigimos más!
DIVISIÓN ALGEBRAICA
PAMER CATÓLICAREGULAR 2015-II TEMA 13
4. Hallar el coeficiente del término
cuadrático del cociente, en la
división:
5 4 2
3x 4x 7x 5x 9
x 2
– – + –
+
A. 5 C. –10
B. –6 D. 20
5. Efectuar la división:
4 3 2
x 3x x 4x 5
x 2
– + + –
–
Da como respuesta el cociente.
A. x3
– x2
– x – 2
B. x3
+ x2
– x + 2
C. x3
– x2
– x + 2
D. x3
– x2
+ x + 2
6. Sea Q(x) el cociente de:
4 3 2
3x x 3x x 6
x 1
– + – +
–
Calcula Q(–1).
A. –1 C. 4
B. 5 D. –2
NIVEL II
7. Calcula el valor de |a – b| si la
siguiente división:
4 3 2
2
x 2x 3x ax b
x 2x 5
+ – + –
+ –
es exacta.
A. 4 C. 6
B. 3 D. 5
8. Calcular "abc" si el polinomio:
2x4
+ 3x3
+ ax2
+ bx + c, es
divisible por x3
+ 2x2
– x – 2.
A. 15 C. 27
B. 24 D. 8
9. Hallar "2n – 3m" si la división es
exacta:
4 3
2
x 3x mx 2n
x 2x 4
– + –
– +
A. 0 C. 4
B. 5 D. 8
10. Calcular "a.b" si la división:
4 3 2
2
5x 11x 15x ax b
5x x 2
– + + –
– –
Deja por resto 2x – 3.
A. 16 C. 27
B. 18 D. 24
11. Hallar el valor de "m + n + p".
Sabiendo que la división:
6 5 4 3 2
3 2
6x 11x 10x 8x mx nx p
3x x x 2
+ – + + + +
+ + +
Deja resto x2
+ 1.
A. –1 C. 3
B. –2 D. –4
12. Calcula el residuo en:
3 2
2x 9x 8x 16
x 4
– + –
–
A. 1 C. 3
B. –2 D. 0
13. Halle el resto de dividir:
7 2 8
(x 3) (x x 7) x 2
x 2
+ + – – – –
+
A. 4 C. 0
B. 2 D. 3
14. Determinar "mn" sabiendo que el
polinomio:
mx4
+ nx3
– 7x2
+ 16x + 15 es
divisible por: x2
– 3x + 5.
A. 0 C. 6
B. 4 D. 2
15. Dados los polinomios:
 
 
2
3
P x 1 3x 4x 5
Q x 2 2x x 7
– – +=
+ – –=
Calcula el resto de la siguiente
division
   3 2
P x Q x 1
x 1
–
+
A. 128 C. –128
B. –126 D. 64
16. El residuo que resulta de dividir
   34 3 2
x 3x ax bx c 2 x 1– + + + + –
 2
bx c+ . Halla el minimo valor de
J = 9a + 3b + c.
A. 24 C. 26
B. 25 D. 30
NIVEL III
17. Si x4
+ mx2
+ n es divisible entre
x2
+ 1, calcula el valor de m – n.
A. 3 C. 0
B. 4 D. 1
18. Determina la suma de
coeficientes del cociente de la
siguiente division exacta:
   7 2
x 1 Ax B x x 2  
  
– + + – –
A. –93 C. –71
B. –35 D. –21