Este documento contiene un índice de 8 capítulos sobre álgebra. El capítulo I trata sobre la división de polinomios usando el método de Horner. El capítulo II explica la división de polinomios usando el método de Ruffini y el teorema del resto. El capítulo III cubre el MCD y MCM de polinomios. Los capítulos restantes abordan fracciones algebraicas, factoriales, el binomio de Newton y un repaso general.

1. Capítulo Pág.
I División de polinomios: Horner .......................................................................................... 37
II División de polinomios: Ruffini - Teorema del Resto ............................................................. 43
III M.C.D. - M.C.M. de polinomios .......................................................................................... 49
IV Fracciones algebraicas ..................................................................................................... 55
V Factorial - Combinatorio ................................................................................................... 61
VI Binomio de Newton I ........................................................................................................ 67
VII Binomio de Newton II ....................................................................................................... 73
VIII Repaso ........................................................................................................................... 79
Álgebra
ÍNDICE
B lackames

2. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
División de polinomios:
Horner
Capítulo I
para: x = 1 2 inexacta
División de polinomios
Identidad fundamental
la
Propiedades Clases de división
Es aquella operación algebraica que tiene como objetivo
encontrar dos únicos polinomios llamados cociente entero q(x)
y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamados
dividendo D(x) y divisor d(x).
D(x)
R(x)
d(x)
q(x)
es 1 exacta
El grado del dividendo es mayor
o por lo menos igual al grado
del divisor: D° d°
D(x) d(x).q(x) + R(x)
d(x) 0


R(x) 0
para: x = 0 3
El grado del cociente es igual
al grado del dividendo menos
el grado del divisor: q° = D° - d°
D(1) d(1).q(1) + R(1)
R(x) 0Suma de coeficientes
del dividendo
El grado máximo del resto es
igual al grado del divisor
disminuido en 1: R° = d° - 1max.
D(0) d(0).q(0) + R(0)
Término independiente
del dividendo
Para todos los métodos es necesario que el dividendo y
divisor estén ordenados y completos en forma descendente,
si falta algún término completar con el cero.
Por ejemplo, así en la división:
6x-x2
1-x3x2
23
25


completando con ceros se tiene:
6x0x-x2
1-0xx3x0x0x2
23
2345


Método de Horner
Para este método sólo se utilizarán coeficientes empleando
el siguiente esquema:
D I V I D E N D O
C O C I E N T E R E S I D U O
D
I
V
I
S
O
R
Con
signo
cambiado
Con su
mismo signo
1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma
horizontal.
2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en forma
vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y
los restantes se colocan con signo cambiado.
3. La línea que separa el cociente del resto se traza de
acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de
derecha a izquierda tantos lugares cómo lo indica el
número que representa el grado del divisor.
4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y
divisor, siendo este el primer coeficiente del cociente.
5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los
términos que cambiaron de signo y los resultados se
escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce
los coeficientes de la segunda columna dividiendo este
resultado entre el primer coeficiente del divisor, el
resultado es el segundo coeficiente del cociente.
6. Se continuará hasta completar los coeficientes del
cociente y residuo.

3.  Problemas resueltos
1. Dividir:
13x-x2
1x-12x13x12x-4x
2
2345


Solución:
Utilizando el esquema de Horner:
2
3
-1
4
2
-12
6
-3
13
-2
-9
1
12
3
3
9
-1
-1
27
25
1
-9
-8
- El divisor:
2x2 - 3x + 1
es de grado: d° = 2, entonces separamos dos
columnas para el residuo.
-





2d
5D
 q° = 5 - 2 = 3; R°  1
- Finalmente:
q(x) = 2x3 - 3x2 + x + 9
R(x) = 25x - 8
2. La siguiente división:
2
45
1)-x(
1bxax 
; x  IR - {1}
es exacta. Hallar “a” y “b”.
Solución:
En toda división exacta se establece que es posible
invertir los coeficientes del dividendo y divisor y ésta
seguirá siendo exacta.
Ordenando y completando se tiene:
12x-x
1x0x0x0bxax
2
2345


Utilizando el esquema de Horner:
1
2
-1
1
1
0
2
2
0
-1
4
3
0
-2
6
4
b
-3
8
(b + 5)
a
-4
(a - 4)
En la columna del residuo:
b + 5 = 0  b = - 5
a - 4 = 0  a = 4
3. La siguiente división:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ÷ (x2 - 2)
es exacta. Calcular el valor de: ad2 + b2e
Solución:
Utilizando el esquema de Horner:
1
0

2
a
a
b
0
b
c
a
0
c+a
2

2
d
b
0
0

2
e
c +a
0
2

4
En el residuo:
- d + b2 = 0  2 = -
b
d
... (1)
- e + c2 + a4 = 0 ... (2)
Reemplazando (1) en (2):
e + c 





b
d
- + a
2
b
d
- 





= 0
e -
b
cd
+ 2
2
b
ad
= 0
Transformando:
eb2 - cbd + ad2 = 0
 ad2 + b2e = cdb
4. Determinar “” para que el polinomio:
x4 + y4 + z4 - (x2y2 + y2z2 + x2z2)
sea divisible por (x + y + z).
Solución:
Calculando el residuo de la división:
- Se iguala el divisor a cero:
x + y + z = 0
- Con la anterior, se cumple:
x4 + y4 + z4 = 2(x2y2 + y2z2 + x2z2)
- Reemplazando en el dividendo:
R = 2(x2y2 + y2z2 + x2z2)
- (x2y2 + y2z2 + x2z2)
- Como es divisible entonces: R  0
2(x2y2 + y2z2 + x2z2)  (x2y2 + y2z2 + x2z2)
Finalmente:  = 2
1. Dividir:
3x7-x5
12-36x37x-x6x10
2
234


e indicar el resto.
a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 3x + 1
d) 3x - 1 e) 3x - 3
2. Dividir:
12x-x4
46x-15x14x-12x
2
234


e indicar la suma de coeficientes del cociente.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Problemas para la clase

4. 3. Calcular “m.n”, en la siguiente división exacta.
1x3-x4
n-mx23x-6x8x
2
234


a) 15 b) 19 c) 11
d) 48 e) 60
4. Calcular “m + n + p”, si la división:
3xx2
pnxmx4x8x
23
235


deja como resto:
R(x) = 5x2 - 3x + 7
a) 32 b) 23 c) 21
d) 15 e) 12
5. En la división:
3x3
a3ax12x-6x
2
23


el residuo toma la forma “mx + m”. Calcular “m + a”.
a) 21 b) - 21 c) 30
d) - 30 e) 9
6. Calcular “a - b” en la siguiente división exacta.
7x-x3
1419x4x-bxax
2
234


a) 13 b) - 13 c) 7
d) - 7 e) 3
7. En la siguiente división exacta:
5x4x3
3B-7x-Bx11x6x
2
234


Hallar el valor de “B”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Calcular “A - B” si la división es exacta:
1xx
BAxx
2
7


a) 3 b) - 2 c) 2
d) 1 e) - 1
9. Si la división:
2-x2x
BAx4x-3x-3xx
2
2345


deja por resto: 2x - 1, calcular “A + B”.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 23 e) 24
10.En la división:
1x-x
AAxx5x2
2
34


el residuo es un término constante, indique dicho resto.
a) -1 b) -4 c) -2
d) -8 e) -3
Comparación cuantitativa
A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación
entre ambos, considerando las siguientes alternativas :
A. La cantidad en A es mayor que en B.
B. La cantidad en B es mayor que en A.
C. La cantidad en A es igual a B.
D. No se puede determinar.
E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN!
Preg. Información Columna A Columna B
11
Al dividir:
2x3x2
53x-6x13x6x
2
234


se obtiene:
q(x) = cociente
R(x) = residuo
q(2) R(-1)

5. Preg. Información Columna A Columna B
Dividir:
1-xx2
5-8x3x4x
2
24


La división:
2-x2x
BAx4x-3x-3xx
2
2345


deja como resto “2x - 1”.
Dada la división exacta:
2xx4
nmx7x2x-8x
2
234


Al dividir:
1-2x3x
DCxBxAx6x
2
234


se obtiene un cociente cuyos coeficientes son
números enteros consecutivos y un resto igual a
“2x + 7”.
12
Suma de
coeficientes
del cociente
Término
independiente
del residuo
13
25-B-A
BA  B2
14
m
n-m
n
m-n
15 A - C B - D
Suficiencia de Datos
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos
datos o dos series de datos para resolverlo. Debe
determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a
estas alternativas:
A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es.
B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.
C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.
D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente.
E. Se necesitan más datos.
16.En la división:
3x-x3
cx5bx2ax-6x
2
245


Hallar:
3
cba 333

I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2.
II. El residuo es un polinomio de grado 0.
17.El residuo en la siguiente división:
2-x-x2x
3-5x-2xcxbxax
23
2345


es: 7x2 + 8x - 3. Calcular “a + b + c”.
I. D(x) = d(x) q(x) + R(x)
II. q(x) = x2 - 5x + 2
18.Si:
P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + 3x + 1
se divide por: x2 - x + 1.
Calcule “a + b + c”.
I. Suma de coeficientes del cociente es 22.
II. Suma de coeficientes del residuo es 9.
19.Si la siguiente división:
3x2x2
3)-(B1)x(A3x2x
2
24


deja como residuo: R(x) = x + 3.
Hallar “A.B”
a) 9 b) - 9 c) 0
d) 11 e) 21
20.En la división indicada:
5x-x
4-x25x-x
3
26

Hallar el residuo.
a) 4 - x b) 4x c) x
d) x + 4 e) x - 4

6. 21.Si: {m; n}  ZZ y al efectuarse la división:
nmxx
x-x
2
3

se obtiene como resto 6.
Calcular “m + n”.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 5 e) 4
22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente división:
2x-x2
5-17xpxnxmx
2
234


tiene residuo:
R(x) = 6x - 3
y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.
a) 10 b) 70 c) - 70
d) 100 e) - 7
23.Calcular “b - a” si al dividir:
7x-x3
1813xbxax
2
34


se obtiene como resto “2x - 3”.
a) 10 b) 4 c) 6
d) 3 e) N.A.
24.Al efectuar:
K4x-3xx
15x3x-x7x2
23
345


se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dicho
resto.
a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4
d) 13x + 3 e) 12x + 3
25.En la división:
2-x-2x-3x
43x-axx-6x
23
2345

se obtiene como resto: bx + c.
Indique “a + b + c”.
a) 3 b) - 4 c) - 2
d) - 1 e) 2
26.En la división:
b-ax3x
9aabx3b)x(a6ax9x
2
22234


el resto obtenido es: 6ab + b2.
Calcular:
2
22
a
ba3 
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
27.Si la división:
23x-4x
9-15xBx7x-Ax
2
234


deja como residuo: 2x - 3
Hallar “A - B”.
a) 12 b) - 14 c) 28
d) - 12 e) 14
28.En el esquema de Horner mostrado:
1
m
2
3
n
a
9
-2
1
d
e
p
b
f
g
4
c
h
-3
Determinar:
(m +n + p) - (a + b + c)
a) 12 b) 18 c) 14
d) 17 e) N.A.
29.Si el polinomio:
ax7 + bx5 - 1
es divisible por:
mx5 + nx4 + px3 - x - 1
calcular el valor de “ab + mn + p”.
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
30.En el esquema de Horner mostrado:
3 A1 A2 A3 A4 A5
K1
K2
2
4
3
-12
6
-7
-18
-14
6
42
8
se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo.
a) 10 b) 8 c) 4
d) 6 e) N.A.

7. 1. Dividir:
1x2x
27x-6x4xx
2
234


Indicar el resto.
a) 1 - 10x b) 1 + 11x c) 1 - 11x
d) 10x - 2 e) 4x - 1
2. Calcular “a + b” si la siguiente división:
1-x2x
1)(bax13x-4x5x
2
234


deja como residuo a: -12.
a) 2 b) 3 c) - 3
d) - 2 e) 1
3. Calcular (mn)2 si la siguiente división:
3xx2
3n-2mx5x6x
2
34


es exacta.
Autoevaluación
a) - 25 b) 25 c) 24
d) 21 e) 0
4. Calcular “ab” si la división:
3xx3
310x7xbxax
2
234


es exacta.
a) 1 b) 27 c) 16
d) 4 e) 2
5. Si:
2-x2x
)1B(1)x-(A4x-3x-3xx
2
2345


deja como resto 4x - 10, calcular “A + B”.
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0

8. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
División de polinomios:
Ruffini - Teorema del Resto
Capítulo II
Método de Ruffini
Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado
de la forma:
ax + b ; a  0
Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes
cumpliendo el siguiente esquema:
D I V I D E N D O
C O C I E N T E R E S T O
ax + b = 0
x = -
b
a
 Problemas resueltos
1. Dividir:
2-x
15x11x-7x2x-3x 2345

Solución:
Por Ruffini:
x - 2 = 0
x = 2
3
3

-2
6
4
7
8
15
-11
30
19
5
38
43
1
86
87
resto
Como:
q° = 5 - 1 = 4
q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43
R(x) = 87
Observación: Si el divisor: ax + b; a  1, luego de dividir
por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre
“a” para obtener el cociente correcto.
2. Dividir:
1-x3
78x17x-5x3x 234

Solución:
Por Ruffini:
3x - 1 = 0 3
3


1
5
1
6

2
-17
2
-15
-5

8
-5
3
1

7
1
8
x =
1
3
Coeficientes del cociente
Como:
q° = 4 - 1 = 3
q = x3 + 2x2 - 5x + 1
R = 8
Teorema del Resto
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la
división, se aplica cuando el divisor es un polinomio de
primer grado de la forma: ax + b, y en algunos casos
especiales.
Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x)
por (ax + b) donde: a  0, viene dado por P 





a
b
-
Demostración:
Sea la división: P(x) ÷ (ax + b), de residuo “R”.
De la identidad fundamental, se tiene:
P(x)  (ax + b)q(x) + R
En esta identidad “R” se obtiene cuando: x = -
a
b
P 





a
b
- =





0
b
a
b
-a 









q 





a
b
- + R  P 





a
b
- = 0 + R
Finalmente:
R = P 





a
b
-
Regla para calcular el Resto
- Se iguala el divisor a cero.
- Se calcula el valor de la variable que aparece con
frecuencia en el dividendo.
- El valor obtenido se reemplaza en el dividendo.

9.  Problemas resueltos
1. Hallar el resto de dividir:
1-2x
35x2x2

Solución:
Siguiendo la regla antes mencionada:
- 2x - 1 = 0
- x =
2
1
- Resto = 2
2
2
1






+ 5 





2
1
+ 3
Resto =
2
1
+
2
5
+ 3  Resto = 6
2. Calcular el residuo en la división:
)10-x)(9x(
18)-7)(x5)(x-4)(x2)(x-1)(x(x


Solución:
Multiplicando convenientemente se tiene:
90-x-x
156)-x-20)(x-x-2)(x-x-(x
2
222

Hacemos el cambio: x2 - x = y
90-y
156)-20)(y-2)(y-(y 
- y - 90 = 0  y = 90
- Resto = (90 - 2)(90 - 20)(90 - 56) + 1
- Resto = (88)(70)(34) + 1 = 210 441
3. Calcular el resto en:
2-y
12y3yy-y21y-2y
2
4781013

Solución:
Aplicando la regla:
- y2 - 2 = 0  y2 = 2
Dando forma al dividendo:
2(y2)6y - 21(y2)5 + (y2)4 - (y2)3y + 3(y2)2 + 2y + 1
Reemplazando: y2 = 2
- Resto = 2(2)6y - 21(2)5 + (2)4 - (2)3y + 3(2)2 + 2y + 1
Resto = 128y - 672 + 16 - 8y + 12 + 2y + 1
Resto = 122y - 643
4. Hallar el residuo en:
12-x
7222)x-2(3x 35


Solución:
Por Ruffini, ordenando y completando:
x - 2 + 1 = 0
x = 2 - 1
1 0 (3 2 - 2) 0 0 (2 2 + 7)
1 3 - 2 22 - 1
1 2 - 1 1 10
(3 - 2 2)
(1 + 2)
2 - 1
2 - 1

resto
Finalmente: R(x) = 10
5. Hallar el residuo en la siguiente división:
86x-x
2)-(x4)-(x
2
54


Solución:
Aplicando la identidad fundamental:
D(x)  d(x).q(x) + R(x)
Donde: R°máx. = d° - 1
Reemplazando datos:
(x - 4)4 + (x - 2)5  )86x-x(
gradodo2
2
  q(x) + 
gradoer1
)x(R
* 1er grado  R(x) = ax + b
(x - 4)4 + (x - 2)5  (x2 - 6x + 8)q(x) + ax + b
Para: x = 4

0
4
4)-(4 + (4 - 2)5 =
  
0
2
8)6(4)-(4  q(4) + 4a + b
 32 = 4a + b ...... (1)
Para: x = 2
(2 - 4)4 +

0
5
2)-(2 =   
0
2
8)6(2)-(2  q(2) + 2a + b
 16 = 2a + b ...... (2)
De (1) y (2):






......(2)16b2a
......(1)32b4a
Restando: 2a = 16  a = 8; b = 0
Luego: R(x) = ax + b = 8x
Problemas para la clase
1. Dividir:
1-2x
43x-x4x 24

e indicar el producto de coeficientes del cociente.
a) 2 b) - 2 c) 4
d) - 4 e) 6

10. 2. Hallar el residuo en la siguiente división:
3x
28x-16x5x 34


a) 1 b) - 2 c) - 1
d) 4 e) 10
3. Hallar el residuo en:
1-5x
17x9x-8x-15x 234

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Calcular el valor de “a”, si la división:
3-a-x
a-2ax-ax-x 223
da residuo: 7a + 2
a) 8 b) 5 c) - 5
d) 6 e) - 6
5. Hallar el resto en la división:
2x
x4

a) 16 b) - 16 c) 0
d) 1 e) 1024
6. Calcular el resto de la división:
2x
6x-3)(x3)(2x 45


a) 1 b) - 6 c) - 3
d) 12 e) 40
7. Calcular el resto en la siguiente división:
2x
18x4x 3940


a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Calcular el resto de:
11x8x
47)5)(x3)(x1)(x(x
2


a) - 9 b) - 10 c) - 11
d) - 12 e) - 13
9. Hallar el resto en la división:
56x-x
14-6x)-2(x-4)6x-(x6)6x-(x
6
62003620026


a) - 4 b) 4 c) - 6
d) - 24 e) - 2
10.Al dividir:
6-x
mx6-1)x-3(2-x22-x3 234

se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular “m”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11.Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división:
(n  IR)
1-n-x
8n-8nx-3)x-(5nn)x-n-(3nx 22324

si el resto es 64.
a) 50 b) 53 c) 51
d) 52 e) 60
12.Hallar el resto en la división:
1-x
4xx5x2x3x
3
3467

a) 9x + 1 b) 7x + 9 c) 7x + 2
d) 4x + 14 e) 9x + 7
13.Hallar el resto en:
1x
7xxxx
10
20406070


a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) 6
14.Hallar el resto en:
13x-x
1415x-1)5(x3)-(xx
2
233


a) 14 b) 8 c) 26
d) 15 e) 13
Comparación cuantitativa
A continuación se propone en cada pregunta, dos
expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar
la relación entre ambos, considerando las siguientes
alternativas :
A. La cantidad en A es mayor que en B.
B. La cantidad en B es mayor que en A.
C. La cantidad en A es igual a B.
D. No se puede determinar.
E. ¡ N O DEBE USAR ESTA OPCIÓN!

11. Preg. Información Columna A Columna B
En la siguiente división:
1-x
5bxx2 32

la suma de coeficientes del cociente entero es
64.
Efectúe la siguiente división:
12-x
7222)x-2(3x 35


En la siguiente división:
2-x3
2n-9nx4nx-1)x-2(2n3)x(n3nx 2345

se obtiene un cociente entero cuya suma de
coeficientes es igual al duplo del resto.
Al efectuar la división por la regla de Ruffini, se
obtuvo el siguiente esquema:
2
x
4
4

-3
8a
b
-b
c
d
a
m
n
* “R1” es el residuo de dividir:
(3x3 - 5x - 8)2 - 4(x + 3) + 7
entre: (x - 2)
* “R2” es el residuo de dividir:
x300 - 25x298 + x2 + x + 9
entre: (x - 5)
15.
16.
17.
18.
19.
Residuo b
Suma de coeficientes
del cociente Residuo
Grado del polinomio
cociente n
a + b + c n + d
R1 R2
Suficiencia de datos
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos
datos o dos series de datos para resolverlo. Debe
determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a
estas alternativas:
A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es.
B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.
C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.
D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente.
E. Se necesitan más datos.
20.Hallar el término independiente del polinomio P(x); si:
P(x + 2) = P(x + 4) + 4 + P(x)
I. Al dividir P(x) ÷ (x - 2) se obtuvo “5” como residuo.
II. Al dividir P(x) ÷ (x - 4) se obtuvo “4” como residuo.
21.Hallar el resto en la siguiente división:
86x-x
2)-(x4)-(x
2
54


I. D(x)  d(x).q(x) + R(x); R° < d°
II. q(x) = x2 + x + 2
22.En la división:
[x3 - (m - 1)x2 + 2m] ÷ (x - 1)
el resto obtenido es nulo. Hallar “m”.
a) - 1 b) - 2 c) - 3
d) - 4 e) - 5
23.Hallar el valor de “a”, si al dividir:
1-x
1xx...xxx 215a16a17a
 
se observa que la suma de los coeficientes del cociente
es igual a 90 veces su resto.

12. a) 161 b) 162 c) 163
d) 164 e) 165
24.Del esquema de Ruffini:
-1
A
e
B
1
d
C
3
c
D
5
b
E
7
a
F
9
0
Determinar la suma de coeficientes del polinomio
dividendo.
a) 10 b) - 40 c) 40
d) 50 e) - 50
25.Hallar el resto de dividir:
1x-x
1x2
2
120


a) 2x - 3 b) - 2x + 3 c) x - 3
d) 3x + 3 e) 5x - 1
26.Calcular el valor de:
R = 2-n
2n
2

si el residuo de la división:
n21-n2
1n2
2x
x


es 256.
a)
8
1
b)
4
1
c)
2
1
d) 1 e) 2
27.Dado el polinomio:
P(x) = ( 2 + 1)x4 + 2 2 x - 3 2
Evaluar:
P( 2 - 1)
a) 1 b) 2 + 1 c) 2 - 1
d) - 2 e) - 3
28.Determine el valor de “m” para que la división:
zyx
yzmx)z-y)(xzy-(x 2222222


arroje como residuo un polinomio idénticamente nulo.
a) - 6 b) - 2 c) - 3
d) - 4 e) - 5
29.Calcular el residuo de dividir:
1x2x2
7x-1)(x
2
88


a) 1 b) 3 c) 7
d) x + 1 e) x - 1
Autoevaluación
1. Hallar el cociente en la división:
1x3
1-x5x6xx3 234


a) x3 + 2x + 1 b) x3 + 2x - 1
c) x3 + 2x2 + 1 d) x3 + 2x2 - 1
e) x3 + x2 + 2x - 1
2. Hallar el residuo en la división:
1-x8
42x-16xx-8x 2345

a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
3. Determinar el residuo en la siguiente división:
2-x
5-4x32x-8x128x-2x 13152430

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Hallar el resto en:
5-x
1-x4)-(x4)-(x 1020

a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
5. Hallar el resto en la división:
2x
x5

a) - 32 b) 32 c) 31
d) - 31 e) 1

13. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
M.C.D. - M.C.M. de
polinomios
Capítulo III
M.C.D. y M.C.M. de polinomios
Máximo común divisor (M.C.D.)
M.C.D. de dos o más polinomios
es otro polinomio que tiene la
característica de estar contenido
en cada uno de los polinomios.
Obtiene factorizando los polino-
mios
viene expresado por la multipli-
cación de los factores primos
comunes afectados de sus
menores exponentes.
Mínimo común múltiplo (M.C.M.)
M.C.M. de dos o más polinomios
es otro polinomio que tiene la
característica de contener a cada
uno de los polinomios.
Obtiene factorizando los polino-
mios
viene expresado por la multipli-
cación de los factores primos
comunes y no comunes afectados
de sus mayores exponentes.
el
se
y
el
se
y
Propiedades
Dos o más polinomios son primos
entre sí, si su M.C.D. es ±1.
Únicamente para dos polinomios
A(x), B(x) se cumple:
MCD(A;B). MCM(A;B) = A(x).B(x)
A(x) y B(x) son polinomios no
primos entre si. Entonces:
1 posibilidad:
A(x) - B(x) = MCD
2 posibilidad:
A(x) - B(x) = contiene al MCD
ra
da
1
2
3
 Problemas resueltos
1. Encontrar el MCD de:
P1(x) = kx2 + (k + 1)2x + k + 2
P2(x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1)
Solución:
Factorizando ambas expresiones:
I. P1(x) = kx2 + (k + 1)2x + k + 2
kx 1
1x (k + 2)
 (kx + 1)(x + k + 2)
II. P2(x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1)
Operando:
x2 - k2 - 4k - 4
Agrupando un T.C.P.
x2 - (k2 + 4k + 4)
x2 - (k + 2)2
Diferencia de cuadrados:
[x + (k + 2)][x - (k + 2)]
 (x + k + 2)(x - k - 2)
 luego: MCD = (x + k + 2)
2. El MCD de los siguientes polinomios:
E = m3 - n2 - 4m + 4
F = m5 - 2m3 + 2m2 - 2m + 1
Solución:
Factorizando cada polinomio:
I. E = m3 - m2 - 4m + 4
Agrupando:
E = (m3 - m2) - (4m - 4)
E = m2(m - 1) - 4(m - 1)
E = (m - 1)(m2 - 4)
 E = (m - 1)(m + 2)(m - 2)
II. F = m5 - 2m3 + 2m2 - 2m + 1
Por divisores binómicos:
para: m = 1
 F(1) = 1 - 2 + 2 - 2 + 1 = 0
un factor es (m - 1) y el otro lo obtenemos dividiendo
por Ruffini. Así:
m-1=0 1 0 -2 2 -2 1
m=1  1 1 -1 1 -1
1 1 -1 1 -1 0
F = (m - 1)(m4 + m3 - m2 + m - 1)
 El MCD(E; F) = (m - 1)
3. Sea:
P1(x) = Ax2 + 2x - B
P2(x) = Ax2 - 4x + B
Si (x - 1) es el MCD de P1  P2, hallar el cociente
A
B
.

14. Solución:
(x - 1) deberá ser divisor de P1(x) y P2(x), entonces:
P1(1) = 0  P2(1) = 0.
Redundando en el Teorema del Resto:
P1(1) = A + 2 - B = 0 .... ()
P2(1) = A - 4 + B = 0 .... ()
Resolviendo el sistema:
A - B = - 2
A + B = 4
 A = 1; B = 3
Piden:
A
B
=
1
3
= 3
4. El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente:
MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1)
MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Si uno de los polinomios es:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
hallar el otro polinomio.
Solución:
Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad:
MCD(A; B).MCM(A; B) = A(x).B(x)
Por el dato del problema y adecuando la igualdad
tenemos:
B(x) = )x(A
)MCM)(MCD(
Reemplazando valores:
B(x) = )3x)(2x)(1x(
)3x)(2x)(1x)(5x)(1x)(2x(


B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5)
5. Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:
a- 1.xn - 1; b- 1.xn - 2; c- 1.xn - 3
Solución:
MCD = xn - 3
MCM = a- 1.b- 1.c- 1.xn - 1
piden:
MCD
MCM
= 3-n
1-n-1-1-1
x
.x.c.ba
=
abc
x2
6. Si el MCD de los polinomios:
H(a) = a4 - 9a2 + ma + n
G(a) = a4 +2a3 - 7a2 + pa + q
es: (a - 2)(a - 3). Calcular el MCM de dichos polinomios.
Solución:
Dividiendo por el método de Horner en ambos
polinomios, así:
a. H(a) ÷ (a - 2)(a - 3)
1
5
-6
1
1
0
5
5
-9
-6
25
10
m
-30
50
0
n
-60
0
q(a)
Luego: H(a) = (a - 2)(a - 3)q(a)
 H(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10)
b. G(a) ÷ (a - 2)(a - 3)
1
5
-6
1
1
2
5
7
-7
-6
35
22
p
-42
110
0
q
-132
0
q(a)
Luego: G(a) = (a - 2)(a - 3)q(a)
 G(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 7a + 22)
Finalmente, MCM(H; G):
(a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10)(a2 + 7a + 22)
7. Hallar el MCM de:
x2 - 4x + 3
x2 + 4x + 3
x4 - 10x2 + 9
x3 - 9x + x2 - 9
Solución:
Factorizando:
I. x2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) ... ()
II. x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) ... ()
III. x4 - 10x2 + 9 = (x2 - 9)(x2 - 1)
= (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) ... ()
IV. x3 - 9x + x2 - 9 = x(x2 - 9) + (x2 - 9)
= (x2 - 9)(x + 1)
= (x + 3)(x - 3)(x + 1) ... ()
De (), (), () y () se tiene:
MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1)
= (x2 - 9)(x2 - 1)
8. Si el MCD de:
x(x + 1)(x - 2)(x - 1) - 24
y:
x3 - 3x + 2
se iguala a cero, entonces “x” es igual a:
Solución:
Factorizando cada expresión:
I. x(x + 1)(x - 2)(x - 1) - 24
multiplicando en la forma indicada:
(x2 - x)(x2 - x - 2) - 24

15. Efectuando:
(x2 - x)2 - 2(x2 - x) - 24
x2 - x -6
x2 - x 4
(x2 - x - 6)(x2 - x + 4)
 (x - 3)(x + 2)(x2 - x + 4)
II. x3 - 3x + 2
1
1
1

0
1
1
-3
1
-2
2
-2
0
 (x - 1)(x2 + x - 2)
x 2
x -1
 (x - 1)2(x + 2)
 MCD = x + 2  x + 2 = 0  x = -2
1. Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 9)4
B(x) = (x + 10)3(x - 7)2(x + 6)3
a) x + 9 b) x + 10
c) (x - 7)(x + 6) d) (x - 7)2(x + 6)2
e) (x - 7)3(x + 6)3
2. Hallar el MCM de los polinomios:
F(x) = (x + 5)4(x - 6)2(x + 9)3(x - 1)4
S(x) = (x + 5)2(x - 6)4(x + 7)2(x - 1)3
a) (x +5)(x - 6)(x - 1)
b) (x + 5)2(x - 6)2(x - 1)3
c) (x + 5)4(x - 6)4(x - 1)4(x + 9)3(x + 7)2
d) (x + 1)(x - 2)(x + 9)
e) (x - 1)3(x - 6)4
3. Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4
B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2
C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2
a) (x - 1)(x + 2) b) (x + 1)(x + 3)
c) (x - 1)2(x + 2)2 d) (x + 2)2
e) (x - 1)2
4. Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3
F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2
S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2
a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8
b) (x + 7)4(x + 6)8
c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3
d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2
e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3
Problemas para la clase
5. Dados los polinomios:
A(x; y; z) = x4y3z6
B(x; y; z) = x5y4z10
C(x; y; z) = x6y2z5
Indicar:
S = C)B;MCD(A;
C)B;MCM(A;
a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5
d) xyz4 e) xyz
6. Señale el MCD de los polinomios:
A(x) = x4 - 1
B(x) = x2 - 3x + 2
a) x - 2 b) x - 1 c) x2 + 1
d) x - 5 e) 1
8. Dados los polinomios:
A(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
B(x) = x3 + x2 - x - 1
Indicar el MCM.
a) (x + 1)2 b) (x + 1)3
c) (x + 1)2(x - 1) d) (x + 1)3(x - 1)
e) (x - 1)
9. Hallar el MCM de:
P(x; y) = x2 - y2
F(x; y) = x2 - 2xy + y2
S(x; y) = x2 + 2xy + y2
a) x - y b) (x + y)3
c) (x2 - y2)2 d) (x2 - y2)3
e) (x - y)3
10.El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el cociente
de su MCM y MCD es (x - 1)2. Calcular el MCD.
a) x + 1 b) x2 + 1 c) (x + 1)2
d) (x - 1)2 e) x - 1
Comparación cuantitativa
A continuación se propone en cada pregunta, dos
expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar
la relación entre ambos, considerando las siguientes
alternativas :
A. La cantidad en A es mayor que en B.
B. La cantidad en B es mayor que en A.
C. La cantidad en A es igual a B.
D. No se puede determinar.
E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN!

16. Preg. Información Columna A Columna B
A(x) = (x + 7)3(x + 8)5(x - 9)
B(x) = (x + 7)4(x + 8)6(x + 12)
A(x; y) = x3 - xy2 + x2y - y3
B(x; y) = x3 - xy2 - x2y + y3
A = 23.32.(x - 1)3(x + 2)2
B = 22.33.(x - 1)2(x + 2)3
C = 20.32.(x - 1)2(x + 2)
A(x) = x2 + 4x + 3
B(x) = x4 - 10x2 + 9
C(x) = x3 - 9x + x2 - 9
11.
12.
13.
14.
Grado del
MCD
Grado del
MCM
MCD(A; B) MCM(A; B)
Término independiente
del MCD
Suma de
coeficientes
del MCM
Residuo que se
obtiene al dividir MCD
entre (x - 3)
Residuo que se
obtiene al dividir
MCM entre (x - 4)
15.Hallar el MCD de los polinomios:
P(x; y) = x3 - xy2 + x2y - y3
F(x; y) = x3 - xy2 - x2y + y3
C(x; y) = x4 - 2x2y2 + y4
a) x + y b) x - y
c) x2 - y2 d) (x + y)(x - 3y)
e) x2 - y4
16.Se tienen dos polinomios cuyo MCD es:
x2 + 2x - 3
si uno de los polinomios es:
P(x) = 2x4 + 3x3 - 2x2 + Ax + B
entonces “A + B” es:
a) 33 b) - 3 c) 12
d) - 6 e) 1
17.Si el MCD de:
P(x) = x3 - 6x2 + 11x - m
Q(x) = x3 + 2x2 - x - n
es (x - 1). Hallar “m + n”.
a) - 8 b) 8 c) 4
d) 6 e) 2
18.El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su
MCM por su MCD es:
2x3(x + y)2
entonces uno de los polinomios es:
a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2
d) x + y e) 2x + 2y
19.Señale el MCD de los polinomios siguientes:
A(x; y) = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3
B(x; y) = 3x3 + 10x2y + 9xy2 + 2y3
C(x; y) = x4 - 5x2y2 + 4y4
a) x2 + 2xy + 4y2 b) x2 - xy - 2y2
c) x2 + 5xy + 6y2 d) x2 + 3xy + 2y2
e) x2 - 5xy + 4y2
20.El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto
de su MCM por su MCD es:
x6 - 2x4 + x2
Hallar la suma de factores primos del MCM.
a) 2x b) 4x - 1 c) 3x
d) 2x + x2 e) 3x + 1
21.Indique el MCD de:
P(x; y) = x3 + x2y + xy2 + y3
Q(x; y) = x3 - x2y + xy2 - y3
R(x; y) = x4 - y4
a) x2 + y2 b) x2 - y2 c) x2 + 1
d) y2 + 1 e) x + y
22.Indique el MCD de:
P(x) = 3x3 + x2 - 8x + 4
Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4
a) 3x2 + 4x - 4 b) 3x2 - 4x + 4
c) 3x2 + x - 4 d) x2 - 4x + 4
e) x + 2
23.Si el MCD de:
P(x) = x3 - 7x2 + 16x - m
F(x) = x3 - 8x2 + 21x - n
es (x2 - 5x + 6). Hallar “m + n”.
a) 30 b) 20 c) - 30
d) 40 e) - 40
24.Si el MCM de “A” y “B” es xay4 y el MCD de los mismos
es x5yb. Calcular:
E =
nm-
m-a
b
b


Siendo:
A = 12xn - 1.ym + 1
B = 16xn + 1.ym - 1

17. a)
15
17
b)
17
11
c)
15
16
d)
17
12
e)
15
18
25.Si el MCM de los polinomios:
x2 + x - 2
x4 + 5x2 + 4
x2 - x - 2
es equivalente a:
x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D
Determinar “A + B + C + D”
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
26.¿Cuál es el grado del MCM de los siguientes polinomios?
P = 1 + x + x2 + ... + x5
Q = 1 + x + x2 + ... + x7
R = 1 + x + x2 + ... + x11
a) 23 b) 25 c) 15
d) 18 e) 12
27.Proporcionar el MCD de:
P(x) = x5 + x4 + 1
Q(x) = (x + 1)[x4 - 1] + x2(x -1)
a) x2 + x + 1 b) x2 - x + 1
c) x3 - x + 1 d) x3 + x + 1
e) x3 - x2 + 1
28.Si el MCM de dos polinomios A(x) y B(x) es:
x40 + x20 + 1
y su MCD es:
x30 + x20 - x10 + 2
Hallar el número de factores del producto de dichos
polinomios.
a) 4 b) 3 c) 5
d) 6 e) N.A.
29.El producto de dos polinomios es:
(x6 + 1)2 - 4x6
y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es:
(x2 + 1)2 - 4x2
luego el MCD es:
a) (x + 1)(x3 - 1)
b) (x - 1)(x3 + 1)
c) (x2 + x + 1)(x + 1)
d) (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
e) (x2 + x + 1)(x2 - 1)
30.Hallar el MCD de los polinomios:
F(x; y) = (x + 2y)(x2 + 4xy) + 4y2(x + 2y)
Q(x; y) = x3 + 2x2y - 4xy2 - 8y3
a) x + 8y b) x + 2y c) (x + 2y)3
d) (x + 2y)2 e) x - 3y
1. El MCD de un cierto número de polinomios es
(2x2 + x - 1). Si uno de esos polinomios es:
P(x) = 4x3 + mx + n
Calcule “m + n”.
a) - 1 b) - 2 c) - 3
d) - 4 e) - 5
2. Hallar el MCD de los polinomios:
P(x) = (x + 1)4(x + 2)3(x - 3)5(x - 1)2
Q(x) = (x + 8)4(x + 2)(x - 3)5(x - 2)2
R(x) = (x - 2)2(x + 2)2(x - 3)(x + 7)6
a) x + 2 b) x2 - x - 6 c) x2 + x - 6
d) x - 3 e) x + 8
3. Hallar el MCM de los polinomios:
A(x) = x4(x + 1)2
B(x) = x2(x + 1)5(x + 6)
C(x) = x3(x + 1)7(x - 7)
a) x4(x + 1)7(x + 6)(x - 7)
b) x4(x + 1)7
c) x4(x + 1)7(x + 6)
d) x4(x + 1)2(x + 6)(x - 7)
e) x2(x + 1)2(x + 6)(x - 7)
4. Hallar “MCM ÷ MCD” de:
P(x; y; z) = x2.y7.z8
Q(x; y; z) = x4.y3.z9
R(x; y; z) = x5.y2.z10
a) x3yz2 b) x3y5z c) xyz
d) x3y5z2 e) x4y5z9
5. Señale el MCD de:
P(x) = x3 + x2 - x - 1
Q(x) = x4 - 1
a) x2 - 1 b) x2 + 1 c) x - 1
d) x + 1 e) x
Autoevaluación

18. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Fracción algebraica
Así a la división indicada de dos polinomios en
donde por lo menos el denominador es diferente
de una constante no nula.
llamamos
regla
práctica
Ejemplo
fracción
algebraica
F(x) =
x - 5x + 6
x - 3x + 2
2
2
Numerador: x - 5x + 6
Denominador: x - 3x + 2
2
2
fracción no
algebraica
F(x) =
x + 7x + 6
3
2
Aquí el denominador es
una constante.
Simplificación de fracciones
debemos
ejemplo
F(x) =
(x -9)(x - 1)
x - 6x + 11x - 6
2
3 2
Simplificar:
Factorizar el numerador y
denominador para luego
eliminar los factores
comunes siempre que sean
distintos de cero.
Factorizando y simplificando
se tiene:
F(x) =
(x + 3)(x - 3)(x - 1)
(x - 1)(x - 2)(x - 3)
F(x) =
x + 3
x - 2
Adición y sustracción
fracciones
homogéneas
Multiplicación
a
d
b
d
c
d
a + b - c
d
+ - =
fracciones
heterogéneas
a
b
c
d
e
f
adf + cbf - bde
bdf
+ - =
a
b
c
d
ad ± bc
bd
± =
a
b
c
d
ac
bd
=
Operaciones con fracciones
División
a
b
c
d
=÷
a
b
d
c
extremos y
medios
inversa
a
b
c
d
=
ad
bc
Fracciones algebraicas
Capítulo IV
Teorema
Si la fracción:
F(x; y) = 22
22
pymxynx
cybxyax


es independiente de “x” e “y” o tiene un valor constante
para todos los valores reales de “x” e “y”. Entonces:
n
a
=
m
b
=
p
c
Demostración:
Si la fracción adopta un valor constante: x; y  IR, se
tiene:
22
22
pymxynx
cybxyax


 k
Transformando:
ax2 + bxy + cy2  knx2 + kmxy + kpy2
igualando coeficientes:
a = kn  k =
n
a
...... ()
b = km  k =
m
b
...... ()
c = kp  k = p
c
...... ()
De (), () y () se tiene:
n
a
=
m
b
=
p
c
l.q.q.d.
 Problemas resueltos
1. Si la fracción:
22
22
5)y-n(xy6x3
10y1)xy(m2x


es independiente de “x” e “y”.
Calcular “m - n”.

19. Solución:
Utilizando el teorema se tiene:
3
2
=
6
1m 
=
5-n
10
I II III
De I y II:
3
2
=
6
1m 
 m = 3
De I y III:
3
2
=
5-n
10
 n = 20
Piden calcular:
m - n = - 17
2. Simplificar la fracción:
22
2
x)(a-ax)(1
a-1

Solución:
Factorizando los dos términos de la fracción se tiene:
Numerador:
(1 + a)(1 - a)
Denominador:
(1 + ax + a + x)(1 + ax - a - x)
[(1 + x) + a(1 + x)][(1 - x) - a(1 - x)]
(1 + x)(1 + a)(1 - x)(1 - a)
La fracción equivale a esta otra:
a)-x)(1-1)(a1)(x1(
a)-a)(1(1


Cancelando los factores comunes, queda:
x)-1)(x1(
1
 ó 2
x-1
1
3. Simplificar la fracción:
)b-xy(a)y-x(ab
)bxy(a)yab(x
2222
2222


Solución:
Efectuando las operaciones indicadas en el numerador
y denominador, se tiene:
2222
2222
xyb-xyaaby-abx
xybxyaabyabx


Reagrupando para factorizar:
=
xy)b(aby-xy)axab(
xy)b(abyyx)a(abx
2222
2222


=
bx)by(ay-bx)ax(ay
bx)by(aybx)ax(ay


by)-bx)(ax(ay
by)bx)(ax(ay


= by-ax
byax 
4. Hallar el resultado de:
1-3x
2x 
+
2x-3
1x 
+
311x-6x
3x6x4
2
2


Solución:
La operación propuesta equivale a esta otra:
=
1-3x
2x 
-
3-2x
1x 
+
1)-3)(3x-(2x
3x6x4 2

Dando un común denominador, se tiene:
=
1)-3)(3x-x2(
36x4x1)-1)(3x(x-3)-2)(2x(x 2

efectuando y reduciendo:
=
1)-3)(3x-x2(
2-5x3x2

factorizando el numerador:
= 1)-3)(3x-(2x
2)1)(x-(3x 
simplificada se convierte en:
3-x2
2x 
5. Realizar la siguiente operación:
b
1
a
1
1
1


- b)1a(1
1)ab1(aab2


Solución:
Transformando la fracción compleja, la operación se
reduce a:
1bab
1ab


-
b)1a(1
1ab)a(12ab


De la cual resulta:
-
1bab
)1bab(a


Simplificando queda: - a
6. Efectuar:
25-y
1513y-2y
2
2

÷ 5y
y

Solución:
2y -3
y -5

20. =
5)-y)(5y(
1513y-2y2


÷ 5y
y

= 5)-5)(y(y
5)-3)(y-(2y
 ÷ 5y
y

Simplificando queda:
= 5y
3-2y
 ÷ 5y
y

=
2y - 3
y + 5
y
y + 5
 y)5y(
5)3)(y-(2y


Finalmente queda: y
3-2y
7. Efectuar:
4-2x
3
-
2x
1

-
8-2x
10x
2

Solución:
La expresión dada se puede escribir en la forma:
= 2)-2(x
3
-
2x
1

- 2)2)(x-2(x
10x


El MCM es pues: 2(x - 2)(x + 2), de modo que se puede
escribir:
= 2)2)(x-x(2
10)(x-2)-2(x-2)3(x


efectuando las operaciones indicadas en el numerador.
= 2)2)(x-x(2
10-x-42x-6x3


= 2)2)(x-x(2
0

Luego la fracción es nula, es decir “0”.
Problemas para la clase
1. Simplificar:
22
2
x-a
ax-a
a) 1 +
x
a
b) 1 -
x
a
c)
xa
a

d) 1 e) a + x
2. Efectuar:
2
2
aab
bab


+
ab-a
b-ab
2
2
a)
a
b2
b)
a2
b
c)
a
b
d) b e) a
3. Efectuar:
4
2-x
-
6
2x 
a)
6
2x 
b)
12
10-x
c)
2
45x 
d)
2
6x 
e) -
0,1
2x
4. Simplificar:
8-2xx
65x-x
2
2


a)
1-x
1x 
b)
3-x
2x 
c)
4x
3-x

d) x e) 1
5. Reducir:
2-a-a
65a-a
2
2

+
4-3a-a
20-aa
2
2

a)
1a
2

b)
3-a
2
c)
1a
2a


d) 3 e) 2
6. Efectuar:
M =
1x
x2

-
1-x
x2
2
3
+
1-x
x2
a) 0 b) 1 c) 2
d) x e)
2
x
7. Simplificar:
2acb-ca
2abc-ba
222
222


Indique la suma del numerador y denominador.
a) 2c b) 2b c) 2a
d) 2 e)
a
2
8. Reducir:
1-x
x3
+
x-1
1
-
1x
x2

+
x1
1

a) x2 + 1 b) x2 + 2 c) x2 + 3
d) x2 + 4 e) x2 + 5
9. Si la fracción:
y3x4
myx2


es independiente de “x” e “y”, hallar “m”.

21. a) 6 b)
6
1
c)
2
3
d) 4 e) 1
10.Simplificar:













2
2
a
b
-1
b-a
ab
a
a) a - b b) a c) ab
d) a + b e) a2 + b
11.Si:
20-x-x
23x
2

=
5-x
A
+
4x
B

Hallar “A + B”
a) 8 b) 4 c) - 6
d) 12 e) N.A.
12.Muestre el producto resultante:




























nx
1
1...
2x
1
1
1x
1
1
x
1
1
a)
n
nx 
b)
x
1nx 
c)
n
n-x
d)
x
1n-x 
e) N.A.
13.Reducir:
b-1
1
-1
1
-1
1
-b
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
14.Efectuar:
2
23
b)-(a
ba-a
- 22
33
b-a
ba 
a) - a b) - b c) a
d) b e) 1
15.Reducir:
y
x
-1
1
-1
1
-1
a) y
x
b)
x
y
c) y
d) 1 - x e) y
y-x
16.Simplificar:
M = )b-a(b)ca(c
b)-b(cc)a(a


a)
ba
a

b)
bc
ba


c)
c-b
b-a
d)
ba
c-2

e)
c
ba 
17.Simplificar:
c)-ba)(cb(
babcbc-2abcaac-ba 322222


a) a b) b c) a + b
d) a - b e) 1
18.Si:
ab + bc + ac = 0
Calcular el valor de la fracción:
bc-xa
cbxa
4
3

a) a-1 b) b-1 c) c-1
d) a e) 1
19.Simplificar:
mn
1
-
n
1
m
1
nm
mn
m
n
n
m
22
22
















a) mn b) (mn)2 c)
n
m
d)
m
n
e) m + n
20.Calcular la suma de la serie de Stirling mostrada:
2
1
+
6
1
+
12
1
+ ... +
nn
1
2

a)
1-n
n
b)
1n
n

c)
2-n
1-n
d)
2n
1n


e) N.A.

22. 21.Dado:
A = 1 +



...
1
1
1
1
1
B = 2 +



...
1
1
1
1
1
Calcular “A2 - B”
a) - 1 b) 0 c) 1
d)
2
3
e)
4
5
22.Reducir:
)2ax)(1ax(
1
 + )3ax)(2ax(
1
 +
+ ... + )1nax)(nax(
1

y señalar el numerador.
a) 2ax + 2 b) ax + 1 c) n
d) ax + n + 1 e) 1
23.Si:
am = bn = cp
Calcular:
E = )npmpmn)(pnm(abc
bc)acc)(abbmnp(a


a) 1 b) 2 c) am
d) abc e) mnp
24.Si:
M = 1-1-1-
-1-2-2
)b(a
)b-(a

; N = 1-2-2-
-1-1-1
)b-(a
)b-(a
Hallar “M.N”
a) 22
a-b
1
b) 22
ba
ab

c)
ab
b-a 22
d)
a-b
ab 
e)
ab-a
ba 
25.Simplificar:
22
22
22
22
ba
a
a
b-a
b
b
ba
b
b
b-a
a
a






a) 1 b)
a
b-a
c)
b-a
ba 
d)
ba
b

e) N.A.
26.Calcular “
b
a ”, si:
a =





...
1
n
1
m
1
n
1
m
b =





...
1
m
1
n
1
m
1
n
a) 1 b)
m
n
c) n
d) m e)
n
m
27.Simplificar:
4
3x-1
x1313
3x-1
x1
3
4-
3x-1
3x3
3x-1
x1
2
2





 





 





 





 
a) 0 b) 1 c) x + 1
d) x e) x + 2
28.Si:
a + b + c = 0
Calcular:
)cba(abc
)cacbb2(a-cba
222
444444888


Dar como respuesta la suma de términos de la expresión
reducida.
a) a2 + b2 + c2 b) a2 + b + c2
c) 8 + a + b + c d) a + b + c
e) 6 + a2 + b2 + c2
29.Sabiendo:
x- 1 + y- 1 + z- 1 = 0 ; xyz  0
Hallar:
M =
yz-x3
)zy(x
2
334

+
xz-y3
)zx(y
2
334

+
xy-z3
)yx(z
2
334

a) 0 b) 3 c) - 3
d) (x + y + z)5 e) x5 + y5 + z5

23. 30.Si:
b
a
+
c
b
+
a
c
=
2
7
a
b
+
b
c
+
c
a
=
2
5
Hallar:


















 1
a
c
1
c
b
1
b
a
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
Autoevaluación
1. Simplificar:
22
22
y-x
3y4xy-x 
a) yx
3y-x
 b) y-x
3y-x
c) 3y-x
yx 
d) 3y-x
y-x
e)
y
x
2. Simplificar:
3)-2x-8)(x6x-x(
6)5x-4)(x-3x-(x
22
22


a) 0 b) 1
c)
3-x
1x 
d)
1x
2)-3)(x-(x

e) - 1
3. Simplificar:
22
aax2x
2a-2x

÷
ax
a-x

a)
ax
2

b)
ax
a-x

c)
a-x
2
d) a)-2(x
ax 
e) 1
4. Efectuar:
3-x2x
2-xx
2
2


+
9x6x
12x7x
2
2


a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
5. Simplificar:
1x
1

+
1-x
1
+
1-x
2
2
a)
1-x
1
b)
1-x
2
c)
1x
1

d)
1x
2

e) x + 1

24. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Factorial - Combinatorio
Capítulo V
Propiedad degradativa
a! = (a - 1)!a
4
Si: a! = 1
a = 0 a = 1 
3
Si: a! = b! a = b
a; b 0; 1


2
División
representación
Factorial de un número ZZ+
Así al producto que resulta de multiplicar todos los
números enteros y positivos consecutivos desde la
unidad hasta el número considerado inclusive.
Ejemplos
n!
n
Se lee: Factorial de "n"
o "n" factorial
2! = 2 = 1×2 = 2
3! = 3 = 1 2 3 = 6
4! = 4 = 1 2 3 4 = 24
5! = 5 = 5 = 120
6! = 6 = 6 = 720
7! = 7 = 6×7 = 5040
...
en general:
n! = n = 1.2.3.....(n - 2)(n - 1)n
× ×
× × ×
1×2×3×4×
1×2×3×4×5×
1×2×3×4×5×
Está definido el
factorial para
números enteros
y positivos
Ejemplos
8! sí existe
(-6)! no existe
-5! sí existe
! no existe1
4
Operaciones
que no se
cumplen son:
Adición y sustracción
a ± b a ± b
ab a b
Multiplicación

a
b
a
b
Propiedades
Por definición: 1! = 1
Por acuerdo: 0! = 1
1
llamamos
superior
C = C
n
k
n - 1
k
n
n - k
inferior
suma de combinatorios
igualdad
C = C
n
p
n
q
ejemplos complementarios
Número combinatorio
Definición matemática
su
Regla práctica Propiedades
Representación del número de combinaciones de
"n" elementos tomados de "k" en "k". Notación:
es es
C ; n ZZ k k n +  ZZ+
 
n
k
C =
n
k
n
k n - k
C =
4
2
4
2 4 - 2
= = 6
24
2.2
C =7
3
7
3 4
= = 35
7.6.5. 4
6. 4
C =
50
48
50
48 2
= = 1225
50.49. 48
48 2
C =
n
k
n
k n - k
=
n(n-1)(n-2)...(n-k+1)
1.2.3.....k
n-k
n-k
"k" factores
"k" factores
C =
7
3
C =
4
2
C =
7
4
7.6.5
1.2.3
= 35
4.3
1.2
= 6
7.6.5.4
1.2.3.4
= 35
C = 1
n
0
C = n
n
1
C = 1
n
n
C = C
n
k
n
n - k
son
1 posibilidad: p = q
2 posibilidad: p + q = n
ra
da
C + C = C
n
k
n
k + 1
n + 1
k + 1
Degradación
superior e inferior
C = C
n
k
n - 1
k - 1
n
k
C = C
n
k
n
k - 1
n - k + 1
k
ejemplos
la las
reglas de
0

25.  Problemas resueltos
1. Si:
A =
8!7!
9!

B =
!4!.3!.2
6!5!4! 
Calcular: B
A
Solución:
Reduciendo cada uno por la propiedad degradativa.
- A =
8.7!!7
!7.8.9

=
.7!9
!7.8.9
= 8
- B =
!4.6.2
6.5.4!5.4!4! 
=
!4.12
6.4!3
= 3
Luego:
B
A = 3
8 = 2
2. Señale el equivalente de:
K = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n!
Solución:
Por inducción matemática se tiene:
Para un sumando:
1.1! = 1 = 2! - 1
Para dos sumandos:
1.1! + 2.2! = 1 + 4 = 5 = 3! - 1
Para tres sumandos:
1.1! + 2.2! + 3.3! = 23 = 4! - 1
Para cuatro sumandos:
..... = 5! - 1
Para “n” sumandos:
1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n!
= (n + 1)! - 1
3. Reducir la siguiente expresión:
R =
-1
!9
1
8!7!
1








Solución:
Dando común denominador:
R =
-1
).9!8!(7!
8!7!9!








Invirtiendo:
R =
8!7!9!
).9!8!(7!


Degradamos:






9.8.7!9!
8.7!!8
Reemplazando:
R =
8.7!7!9.8.7!
).9!7!.8(7!


R =
8)1(727!
).9!8(17!


=
81
9.9!
=
9
9!
Luego: R = 8!
4. Simplificar:
T =
x!1)!(x2)!(x
.x!2)(x 3


Solución:
Degradamos:
(x + 2)! = x!.(x + 1)(x + 2)
(x + 1)! = x!.(x + 1)
Reemplazando en el denominador:
T =
!x)1x!.(x)2x)(1x!.(x
!x.)2x( 3


Factorizando “x!” en el denominador:
T =
]1)1x()2x)(1x[(!x
!x.)2x( 3


T =
2x2x3x
)2x(
2
3


T =
4x4x
)2x(
2
3


= 2
3
)2x(
)2x(


Luego: T = x + 2
5. Reducir:
S = 12
5
11
4
10
3
9
2
8
1
7
0
CCCCCC 
Solución:
Transformando:
7
0
C a 7
0
C = 8
0
C
Reemplazando y sumando de 2 en 2 se tiene:
S = 12
5
11
4
10
3
9
2
8
1
8
0
CCCCCC 

S =
12
5
11
4
10
3
9
2
9
1 CCCCC 

S = 12
5
11
4
10
3
10
2
CCCC 

S = 12
5
11
4
11
3
CCC 

S =

12
5
12
4 CC  = 13
5C

26. 6. Resolver:
x
0
C + x
1C + x
2
C + x
3
C =
6
3-6xx3

x  IR
Solución:
1 + x +
2
1)-x(x
+
6
2)-1)(x-x(x
=
6
3-6xx3

Por 6:
6+6x+3x(x-1)+x  
23x-2x
2)-1)(x-(x

= x3+6x-3
6 + 6x + 3x2 - 3x + x3 - 3x2 + 2x = x3 + 6x - 3
x3 + 5x + 6 = x3 + 6x - 3
x = 9
7. Hallar el valor de:
E = 7
3
7
4
7
3
C4
C3C 
Solución:
Notamos que 7
4C y 7
3
C son complementarios. Luego se
cumple:
7
4C = 7
4-7C = 7
3
C
Reemplazando en “E”:
E = 7
3
7
3
7
3
C4
C3C 
= 7
3
7
3
C4
4C
= 1
8. Calcular:
K = 245
8
46
9
245
8
46
9
245
8
245
9
]C-[C-]C[C
][C-][C

Solución:
El numerador se pasa a una suma por diferencia, en el
denominador se aplica Legendre:
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
K = 45
8
46
9
45
8
45
9
45
8
45
9
C4C
]C-][CC[C 
Aplicamos la propiedad de suma:
45
9
C + 45
8
C = 46
9
C ...... ()
Degradamos la parte interior de 45
9
C :
45
9
C - 45
8
C =
9
37 45
8
C - 45
8
C
=
9
28 45
8
C ...... ()
Reemplazando “” y “” en K:
K = 45
8
46
9
45
8
46
9
C4C
C
9
28
)(C 



=
9.4
28
Luego: K =
9
7
9. Calcular “m + n”, si:
m
5C + 2 m
6
C + m
7C + 2m
8
C 
= 10
3-n
C
Solución:
Descomponiendo:
2 m
6
C = m
6
C + m
6
C
Reemplazando y sumando combinatorios convenien-
temente:
10
3-n
2m
8
m
7
m
6
m
6
m
5 CCCCCC  

10
3-n
2m
8
1m
7
1m
6
CCCC  
  
10
3-n
2m
8
2m
7 CCC  
  
3m
8
C 
= 10
3-n
C
Primer caso:
m + 3 = 10  8 = n - 3
m = 7  n = 11  m + n = 18
Segundo caso:
m + 3 = 10  8 + (n - 3) = 10
m = 7  n = 5  m + n = 12
10.Calcular el valor de “p”, si:
1-n
1-p
1n
1p
2n
p
1-n
1-p
n
p
1n
1p
1-n
1-p
CC-)C(
CC-CC




= 8
Solución:
Para el numerador extraemos el factor: 1-n
1-pC . En el
denominador degradamos superior e inferior.
- ( n
pC )2 = n
pC . n
pC = p
n 1-n
1-pC n
pC
- 1n
1pC 
 = 1p
1n

 n
pC
Reemplazando se tiene:
 

1-n
1-p
n
p
n
p
1-n
1-p
n
p
1n
1p
1-n
1-p
CC
1p
1n
-CC
p
n
C-CC





27.  








1p
1n
-
p
n
CC
C-CC
1-n
1-p
n
p
n
p
1n
1p
1-n
1-p
= 8
Ahora: n
p
1n
1p C-C 
 es equivalente a n
1pC  .
Luego, degradando la parte interior en el numerador:







1p
1n
-
p
n
C
C
n
p
n
1p
= 8







)1p(p
p-n
C
C
1p
11)(p-n
n
p
n
p
=
)1p(p
p-n
1p
p-n


= 8
Finalmente reduciendo: p = 8
Problemas para la clase
1. Calcular el valor de “n” en:
(4n - 6)! = 1
a)
4
7
b)
2
3
c)
4
1
d) a y b e) a o b
2. Calcular el valor de “n”:
(n - 10)! = 120
a) 1 b) 2 c) 10
d) 14 e) 15
3. Reducir:
S =
8!.18!
9!.17!
a) 1 b) 2 c)
2
1
d)
4
1
e) 6
4. Si:
A =
7!6!
8!7!6!


B =
70!69!
!71

Calcular “A.B”
a) 56 b) 560 c) 65
d) 650 e) 1
5. Calcule el valor de “x”.
5)!5(x)!6x(
11)!(x5)!(x


= 20!
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
6. Calcule el valor de:
8
2
8
5
C
C
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
7. Sumar:
7
0
C + 6
1C + 7
2
C + 8
3
C + 9
4C +
10
5C
a) 10
2
C b)
10
5C c) 11
5C
d)
11
6
C e) c o d
8. Calcular:
2003
0
C + 2003
1C + 2003
2
C - 2003
2001
C
a) 2002 b) 2003 c) 2004
d) 2005 e) 2006
9. Calcular el valor de “n”:
8
2
C + 8
3
C + 9
4C + 10
5C = 11
nC
a) 5 b) 6 c) 7
d) a o b e) a y b
10.Indique la suma de los valores de “x” que verifican la
ecuación:
35
2x
C = 35
x2
C
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
11.Sabiendo que:
3 77
k7
C = 11 76
1-k7
C
k  ZZ+. Calcular:
!k
)!!k(
a) 1 b) 20 c) 120
d) 160 e) 180

28. 12.Si:
A = 1)!-(nn!
1)!-1)(n-(n-)2(n!

n  ZZ+. Entonces podemos afirmar que:
a) A < 0 b) A > 2 c) A > 3
d) A  ZZ e) A  1
13.Hallar el valor de “a” sabiendo que:
)!5a()!6a(
5)!(a7)!(a


= 15!
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
14.Indicar el valor de “n” que verifica:
[(2n - 1)! - 113]! = 5 040
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
15.Simplificar:
21
13
21
8
20
8
19
7
18
6
18
5
CC
CCCC


a) 1 b)
2
1
c) 2
d) - 3 e) 4
16.Calcular:
10
0
C + 10
1C + 10
2
C + ... + 10
10
C
a) 4 320 b) 1 280 c) 1 024
d) 2 048 e) 4 096
17.Calcular el valor de “n” en:
1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
18.Hallar el valor de “x + y” si se cumple que:
3x
10
C 
+ 1x
7C 
+ 2 1x
8
C 
+ 1x
9
C 
= 2y
3-y
C 
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
19.Hallar “n” en:
5n
1-nC 
= 7 3n
1-nC 
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
20.Reducir:
A =
9!
10!-11!
+
8!
9!-10!
+
7!
8!-9!
+ ...
a) 380 b) 385 c) 386
d) 387 e) 400
21.Simplificar:
2n
1-2n
2n
5
2n
3
2n
1
2n
2n
2n
4
2n
2
2n
0
C...CCC
C...CCC


n  ZZ+
a) 1 b)
1n
n

c) 2
d)
1-2n
n2
e)
n2
1-2n
22.Hallar la suma de todas las soluciones de:
]x
3
C[x
2
]C[ = 36x - 2
a) 1 b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
23.Dado:
1m
1-nC  =
2
x
...... (1)
2 1m
nC 
= x ...... (2)
m - n = 2 ...... (3)
Calcular el valor de “
2
x ”..
a) 10 b) 30 c) 35
d) 70 e) 80
24.Reducir:
S =
20)9x-4)(x4x-(x
2)!-(x3)!-(x4)!-(x
22


x  2; 4; 5
a) (x - 2)! b) (x - 3)! c) (x - 5)!
d) (x - 6)! e) (x - 8)!
25.La suma de valores de “x” que satisface la igualdad:
(x-6)!+(x-5)!+(x-4)! = x3-14x2+64x-96
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
26.Hallar “x” en:
1024.(x - 1)![1.3.5.7....(2x-3)] = (2x - 2)!

29. a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
27.Hallar “n” en:
!2
C2CC 1-n
2-n
1-n
3-n
1-n
4-n









= 120
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
28.Después de efectuar:
S = n
1C - 2 n
2
C + 3 n
3
C - ... + (-1)n-1.n n
nC
donde: n > 15, se obtiene:
a) 0 b) 1 c) n
d) - n e) n - 1
29.Hallar “n”:
n
n
n
3
n
2
n
1
n
n
n
2
n
1
n
0
nC...C3C2C
1)C(2n...5C3CC


=
11
23
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
30.La suma:
S = ( n
1C )2+2( n
2
C )2+3( n
3
C )2+...+n( n
nC )2
es igual a:
a) 2
]1)!-[(n
1)!-(2n
b) 2
)(n!
(2n)!
c) 2
]1)![(n
1)!(2n


d) 1)!-(n
1)!-(2n
e)
1)!-(n
]1)!-[(2n 2
Autoevaluación
1. Dado:
A =
!0!2
!3
B =
!1!3
!2
Calcular: BA 
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
2. Calcular “x”:
8
2
C + 8
3
C + 9
4C + 10
5C = 11
xC
siendo: x > 5
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
3. Calcular el valor de “n”:
(n - 1)! + n! = 0,2(n + 1)!
a) 8 b) 7 c) 6
d) 5 e) 4
4. Sumar:
9
2
C + 9
6
C + 10
6
C + 11
6
C + 12
6
C
a) 12
7C b) 13
7C c) 14
7C
d) 15
7C e) 16
7C
5. Calcular el valor de “n”, si:
3 77
nC = 11 76
1-nC
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24

30. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Binomio de Newton I
Capítulo VI
Introducción al Binomio de Newton
(para exponente entero y positivo ZZ+)
Teorema
Sean: x; a  0 y n  ZZ+
(x + a)n =
n
0k
 n
k
C xn - k.ak
Desarrollando los binomios:
(x + a)1 = x + a
(x + a)2 = x2 + 2xa + a2
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4
(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
...
En forma general:
(x + a)n = n
0
C xn + n
1C xn -1a + n
2
C xn - 2a2 + ... + n
nC an
donde:
x: primera base
a: segunda base
n  ZZ+
Nota: Los coeficientes de los términos equidistantes son
iguales.
Observación:
[x + (- a)]n = (x - a)n = n
0
C xn - n
1C xn - 1a + n
2
C xn - 2a2 -
n
3
C xn - 3a3 + ... + n
nC an(- 1)n
Triángulo de Pascal
Es una disposición o arreglo triangular de números cuyo
vértice superior y los lados están formados por la unidad,
así mismo a partir de la segunda fila, determina los
siguientes elementos comprendidos entre los lados.
(x + a)0 1
(x + a)1 1 1
(x + a)2 1 2 1
(x + a)3 1 3 3 1
(x + a)4 1 4 6 4 1
(x + a)5 1 5 10 10 5 1
... ... ... ... ... ... ... ...
Propiedades
1. El desarrollo del binomio (x + a)n tiene (n + 1) términos:
N° de términos = Exponente + 1
Ejemplo:
P(x; a) = (10x + 3a)5 tiene:
5 + 1 = 6 términos
2. Cálculo del término general (tk + 1 = ???)
Sea: P(x; a) = (x + a)n
a. Contado de izquierda a derecha:
tk + 1 = n
k
C xn - k.ak
Donde: “tk + 1” es el término de lugar (k + 1).
Ejemplo:
En el desarrollo de: P(x; a) = (x2 + a3)6, determine
el tercer término.
Solución:
t3 = t2 + 1 = 6
2
C (x2)4(a3)2 = 6
2
C x8.a6
b. Contado de derecha a izquierda:
tk + 1 = n
k
C xk.an - k
Ejemplo:
En el desarrollo de P(x; a) = (x3 + a2)5 determine el
término de lugar 4 con respecto al final.
Solución:
t4 = t3 + 1 = 5
3
C (x3)3(a2)2 = 5
3
C x9a4
3. Término central
a. El desarrollo del binomio tendrá un único término
central si “n” es par, luego la posición que ocupa
este término es:
2
n
+ 1
tc =
1
2
nt

= 2
n
2
n
n
2
n
a.x.C
Ejemplo:
Determinar el término central del desarrollo de:
P(x; a) = (x2 + a)6

31. Solución:
tc =
1
2
6t

= 6
3
C (x2)3.(a)3 = 6
3
C .x6.a3
b. Si “n” es impar existen dos términos centrales.
2
1nt  
1
2
1nt


Ejemplo:
Determinar los términos centrales del desarrollo de:
P(x; a) = (x2 + a3)7
Solución:
Calculamos el primer término central para: n = 7
t1° central =
2
17t  = t3 + 1 = 7
3
C (x2)4.(a3)3
 t1° central = 7
3
C x8.a9
Calculamos el segundo término central:
t2° central =
1
2
17t

 = t4 + 1 = 7
4C (x2)3(a3)4
 t2° central = 7
4C .x6.a12
4. La sumatoria de coeficientes al desarrollar el binomio:
P(x; a) = (x + a)n
n  ZZ+, se obtendrá si: x = a = 1
n
0
C + n
1C + n
2
C + n
3
C + ... + n
nC = 2n
Ejemplo:
Hallar la suma de coeficientes del binomio:
B(x; y) = (3x3 + 2y2)60
Solución:
Para: x = y = 1
 de coeficientes = [3(1)3 + 2(1)2]60 = 560
Ejemplo:
Dado:
A = 15
0
C + 15
1C + 15
2
C + ... + 15
15C
B = 12
0
C + 12
1C + 12
2
C + ... + 12
12
C
Calcular:
B
A
Solución:
A = 15
0
C + 15
1C + 15
2
C + ... + 15
15C = 215
B = 12
0
C + 12
1C + 12
2
C + ... + 12
12
C = 212
Luego:
B
A
= 12
15
2
2
= 23 = 8
5. Propiedad adicional:
n
0
C + n
2
C + n
4C + ... = 2n - 1
n
1C + n
3
C + n
5C + ... = 2n - 1
Ejemplo:
Sumar cada uno:
- 10
0
C + 10
2
C + 10
4C +... = 210 - 1 = 29 = 512
- 7
1C + 7
2
C + 7
3
C +... = 27 - 1 = 26 = 64
Fórmula de Leibnitz
Para obtener el desarrollo de un trinomio con exponente
natural usaremos la fórmula de Leibnitz:
(x + y + z)n = 
 ;; !!.!.
n!
xyz
Donde: “”, “”, “” y “n”  ZZ+
Además:  +  +  = n, donde la suma se realiza
para todos los valores que pueda tomar
“”, “”, “”.
Ejemplo:
Hallar el coeficiente de “x5” en el desarrollo de:
(a + bx + cx2)9
Solución:
El término general del desarrollo es:
!.!.!
!9
 (a)(bx)(cx2)
Reduciendo:
!.!.!
!9
 a.b.c.x + 2
Donde:  +  +  = 9 ...... (1)
Por condición:  + 2 = 5 ...... (2)
Resolviendo (1) y (2) tomando en cuenta que: “”, “”, “”
 ZZ+. Las soluciones son:
- Primera solución:  = 5;  = 3;  = 1
- Segunda solución:  = 6;  = 1;  = 2
- Tercera solución:  = 4;  = 5;  = 0
El coeficiente de “x5” se obtiene realizando la suma para
los tres trios de valores encontrados “”, “”, “”.
coef(x5) =
5!.3!.1!
!9
a5b3c +
6!.1!.2!
!9
a6bc2 +
4!.5!.0!
!9
a4b5
Finalmente:
coef(x5) = 504a5b3c + 252a6bc2 + 126a4b5

32.  Problemas resueltos
1. Hallar el término que ocupa el lugar 103 en el desarrollo
de:
(x3 - 3 y )104
Solución:
t103 = t102 + 1 = 104
102
C (x3)104 - 102(- 3 y )102
t103 = 104
102
C x6y34
Pero:
104
102
C = 104
102-104
C = 104
2
C
=
2.1
103.104
= 5356
Reemplazando:
t103 = 5356x6y34
2. Desarrollando la expresión:
(a2 + a)n.(a2 - 1)n + 2.(1 - a- 1)n
se obtiene 21 términos en total. Hallar el segundo
término.
Solución:
Agrupando convenientemente:
n
2
a
1-a
a)(a 








 (a2 - 1)n + 2
[a2 - 1]n(a2 - 1)n + 2 = (a2 - 1)2n + 2
Del dato:
2n + 2 + 1 = 21  n = 9
Calculando “t2”:
t2 = t1 + 1 = 20
1C (a2)20 - 1.(-1)1 = - 20a38
3. Hallar “n” para que el “t25” del desarrollo de:
2n522
x
y
y
x










contenga a “x” con exponente 44.
Solución:
Calculamos “t25”:
t25 =
24224-25n2
2n5
24
x
y
y
x
C


















el exponente de “x” debe ser según el problema 44.
2(5n + 2 - 24) -
2
1
(24) = 44
10n + 4 - 48 - 12 = 44
10n = 48 + 12 + 44 - 4
10n = 100
n = 10
4. Calcular el valor de “k” en el desarrollo de
(1 + x)43 si se sabe que los coeficientes de los términos
de lugares (2k + 1) y (k + 2) son iguales.
Solución:
Calculamos el término (2k + 1):
t2k + 1 = 43
k2
C (1)43 - 2k(x)2k
 t2k + 1 = 43
k2
C ...... (1)
Calculamos el término (k + 2):
tk + 2 = 43
1k
C 
(1)43 - k - 1(x)k + 1
 tk + 2 = 43
1k
C 
... (2)
(1) y (2) son iguales por condición:
43
k2
C = 43
1k
C 
se cumple:
2k + k + 1 = 43
Luego: k = 14
5. En el desarrollo de (a2 + b - a)8, hallar los coeficientes
de los términos de la forma: a10.bk, donde “k” es el
número par no nulo.
Solución:
Aplicando la fórmula de Leibnitz, el coeficiente de: a10bk,
será:
 !!.!.
!8
 (a2)(b)(-a)
Reduciendo:
 !!.!.
!8
 a2 + .b
Donde:
 +  +  = 8 ...... (1)
Por dato:
2 +  = 10 ...... (2)
k =  (par no nulo) ...... (3)
Como:
 +  +  = 8
  
4 2 2
2 4 2
1 6 1
0 8 0
Donde el único trio de valores que cumple con (1), (2) y
(3) es:
 = 4;  = 2;  = 2
Luego:
4!.2!.2!
!8
(a2)4(b)2(-a)2 = 420a10b2
 el coeficiente de a10b2 es 420.

33. Problemas para la clase
1. Hallar el cuarto término de:
(x2 + 2y)4
a) -30x3y2 b) 32xy2 c) 32x2y3
d) 28xy3 e) -28x2y3
2. Calcular el penúltimo término en el desarrollo de:
(3x2 - y3)12
a) 36x2y33 b) -36x2y33 c) 24x3y2
d) -24x3y2 e) -12xy2
3. Calcular el cuarto término de:
6
x
2
-
2
x






a) 10 b) - 10 c) 20
d) - 20 e)
2
x
4. Calcular el término de lugar 13 en el desarrollo de:
P(x) =
15
5
2
x
1
x 






a) 252x61 b) 455x-54 c) 125x-8
d) 30x6 e) 4x10
5. Si el décimo término del desarrollo de (xb + xc)d es x18,
calcular “c + d”.
a) 1 b) 2 c) 9
d) 11 e) 13
6. Calcular el número de términos que tendrá el desarrollo
de:
P(x; y) = (x + y2)n
si se cumple que los términos de lugares 4 y 5 tienen el
mismo coeficiente.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
7. Señale el término central de:
8
2
x
1
-x 





a) 70x4 b) - 70x c) 70x2
d) - 70 e) 70
8. Hallar el término independiente en el desarrollo de:
(x3 + x- 1)4n
n  ZZ+
a) n4
nC b) n4
n2
C c) n4
n3
C
d) n4
1nC  e) n4
1n2
C 
9. Hallar el lugar del término independiente del desarrollo
de:
P(x) =
n
5
5
x
1
x 






siendo “n” par.
a)
2
n
+ 1 b)
2
n
c)
2
n
- 1
d) n + 2 e) n - 2
10.Sabiendo que el desarrollo de:
n
3
3
x
1
x 






tiene 15 términos. Hallar el sexto término.
a) 720x4 b) 125x c) 840
d) 360x3 e) N.A.
11.Indicar el valor de “n”, si la expansión de (x3 + y2)n,
contiene a: x18y16.
a) 6 b) 8 c) 14
d) 12 e) 15
12.Calcule el coeficiente de “x6” en el desarrollo de:
(x2 - 2x + 1)5
a) 320 b) 420 c) 210
d) 120 e) 360
13.¿Qué lugar ocupa el término de grado 48 en el desarrollo
de: (x2 + y3)18?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
14.Calcular el valor de “n” para que el término doceavo del
desarrollo de:
n
3
5
x
1
x 






contenga a: x12.
a) 15 b) 20 c) 22
d) 25 e) 28
15.Si el grado absoluto del séptimo término del desarrollo
de:
P(a; b; c) = (a2b + c)n
es 30. Hallar el grado de su término central.

34. a) 16 b) 24 c) 28
d) 31 e) 47
16.Si en la expansión del desarrollo de:
n
2
x
x
1







x  IR+, el término de lugar 17 es de la forma:
T17 = n
16
C x2. Calcular el valor de “n”..
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
17.Calcular “n” si al desarrollar:
F(x) = (x6 - 1)4(x4 + x2 + 1)2n(x2 - 1)2n
se obtienen 25 términos.
a) 8 b) 10 c) 12
d) 18 e) 20
18.Determinar “m + n” si el cuarto término del desarrollo
de: (x + 2)n, es: 80xm.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
19.Indicar el valor de “k” si en el desarrollo de: (x + 1)36,
los términos de lugar (k - 4) y k2 tienen coeficientes
iguales.
a) 7 b) 6 c) 5
d) 9 e) 10
20.De las siguientes afirmaciones:
I. El número de términos del desarrollo de (a + b)n es
“n + 1”. (n  IN)
II. Los términos equidistantes de los extremos en la
expansión de (a + 2b)n poseen coeficientes iguales.
(n  IN)
III. El lugar que ocupa el término central del desarrollo
de (a + b)2n es: n + 1. (n  IN)
Indicar cuál es falsa.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) II y III e) N.A.
21.Indicar “tk” en el desarrollo de (x + y)10, tal que:
2k
1k
t
t


= y3
x8
siendo “tk” término de lugar “k”.
a) 210x4y6 b) 200x4y6 c) 190x4y6
d) 20x4y6 e) 211x4y6
22.En el desarrollo de:
F(a) = (a2 + a)n(a2 - 1)n + 2
n
a
1
-1 





se obtienen 21 términos. Halle el segundo término.
a) 20a38 b) - 20a38 c) 5a28
d) - 5a28 e) 1
23.¿Cuál es el número de términos en el desarrollo de:
n
yx
8
n





 
si los coeficientes de los términos de lugares 7 y 8 son
iguales?
a) 45 b) 46 c) 47
d) 48 e) 49
24.En el desarrollo de:
n
7
5
3 2
x
y
y
x









existen dos términos consecutivos, el primero
independiente de “x” y el segundo independiente de “y”.
Indique el número de términos del desarrollo.
a) 54 b) 60 c) 61
d) 62 e) 63
25.Hallar “n” (n  ZZ+) para que uno de los términos del
desarrollo de:
n
y
y
x







sea de la forma: m(xy)p; si se sabe que el término
anterior a éste, es independiente de “y”.
a) 4 b) 7 c) 6
d) 8 e) 9
26.Determinar el coeficiente del término del desarrollo de:
12
243
zy
4
1
-x2 





en el que los exponentes de “x”; “y”; “z”, en ese orden,
forman una progresión aritmética.
a) 376 b) 495 c) 572
d) 396 e) 478
27.Si el tercer término del desarrollo del binomio:
(n + x3)n
es “nk” veces el cuarto término del desarrollo de
(x + x2)n. Hallar “n”, si k  ZZ+.

35. a)
k
2k-3
b)
k
k1 
c)
k
k32 
d)
k
k3 
e)
k
k23 
28.¿Cuál es el valor de “m” si el cuarto término del
desarrollo de (a2 - b)m, contiene la décima potencia de
“a”?
a) 5 b) 8 c) 10
d) 13 e) 16
29.Determinar “a + b” en la expansión de:
P(x; y) =
b
2
b
5-b
2a
2x
y
-
y
4x








de modo que admita un solo término central cuya parte
literal es: x24y15.
a) 5 b) 6 c) 11
d) 12 e) 13
30.Si un término del desarrollo de:
B(x) =
m4
4
4
4
4
4
x
1
-x-
x
1
x





















es igual a: 3×213. Calcular el valor de “m”.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
Autoevaluación
1. Hallar el cuarto término del siguiente desarrollo:
(x2 + 2y)5
a) 80x4y3 b) 60x4y3 c) 40x4y3
d) 20x4y3 e) x4y3
2. En el desarrollo del binomio:
6
x
2
2
x





 
indique el término central.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
3. Señale el lugar del término independiente del desarrollo
de:
(x2 + x- 3)55
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
4. Si:
n
k
C = n
k-n
C ...... (1)
además el binomio:
(x2 + y)19 ...... (2)
Calcular:
12
9
t
t
a) 3
6
y
x
b) 3
4
y
x
c) 3
2
y
x
d) y
x
e) 6
3
x
y
5. Calcular el décimo término del desarrollo de:
(x5 + x - 1)12
a) 220x6 b) 220x4 c) 220x3
d) 220x2 e) 220x

36. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Binomio de Newton II
Capítulo VII
Propiedades adicionales
1. La suma de coeficientes en el desarrollo del binomio
(ax + by)n es:
x = y = 1 (a + b)n
donde “x” e “y” son las variables.
2. La suma de exponentes en el desarrollo del binomio
(x + y)n es:
2
)1n)(n)(( 
3. El coeficiente del valor máximo en el desarrollo de
(x + a)n es el término central si “n” es par y los dos
términos centrales si “n” es impar.
Si: (x + y)2n
 coef. máx.: n2
nC
Si: (x + y)2n + 1
 coef. máx.: 1n2
nC  y 1n2
1nC 

4. El número de términos del desarrollo del trinomio
(x + y + z)n es:
2
)2n)(1n( 
; n  ZZ+
5. En general, el número de términos del desarrollo de:
(x1 + x2 + x3 + ... + xr)n es:
1)!-(rn!
1)!-r(n 
; n  ZZ+
 Problemas resueltos
1. Hallar el número de términos en el desarrollo de:
(x2 + y5)n
si la suma de los exponentes de todos los términos es
igual a 252.
Solución:
La suma de exponentes será:
2
)1n(n)52( 
= 252
Reduciendo:
n(n + 1) = 72
n (n + 1) = 8 × 9
De aquí: n = 8
El número de términos es 9.
2. Determinar “a” y “b” en la potencia:
bb
5-b
a
x
y
y
x









de modo que admita un término central de la forma:
b
2
b
C x3y15
Solución:
Como hay un término central, el lugar es:
2
b
+ 1.
2
b
b2
b
-b
5-b
a
b
2
b1
2
b
x
y
y
x
Ct


















2
b
2
2b
2
b
5)-b(
2
b
a
b
2
b1
2
b
x
y
.
y
x
Ct








5)b-b(
2
b
)1-a(
2
b
b
2
b1
2
b y.xCt



(I)...y.xCt
5)(
2
b
)1-a(
2
b
b
2
b1
2
b 

Como:
(II)...y.xCt 153b
2
b1
2
b 

(I) = (II)
153b
2
b
5)(
2
b
)1-a(
2
b
b
2
b
y.xCy.xC 
Identificando exponentes de “x” e “y”:
-
2
b
(a - 1) = 3; b(a - 1) = 6

37. -
2
b
(5) = 15; b = 6
Resolviendo: a = 2; b = 6
3. Hallar el exponente de “a” en el término independiente
de “x” en el desarrollo del binomio:
nm
n
m
m
x
a
x










Solución:
Cálculo del término general:
tk + 1 = nm
k
C 
(xm)m + n - k
k
n
m
x
a








si es independiente de “x”, el exponente de “x” debe ser
cero, luego:
m(m + n - k) - nk = 0
m(m + n) - mk - nk = 0
m(m + n) = (m + n)k  k = m
4. ¿Cuál es el número de términos en el desarrollo de:
n
yx
8
n





 
si los coeficientes de los términos de lugares 7 y 8 son
iguales?
Solución:
Cálculo del “t7”:
t7 = n
6
C .
6-n
x
8
n






.(y)6
 el coeficiente del “t7” es:
n
6
6-n
C.
8
n






Cálculo del “t8”:
t8 = n
7C .
7-n
x
8
n






.(y)7
 el coeficiente del “t8” es:
n
7
7-n
C.
8
n






Por condición del problema:
n
6
6-n
.C
8
n






=
n
7
7-n
.C
8
n






Simplificando se tiene:
n
6
.C
8
n






=
n
7C
Desarrollando:
6)!-6!.(n
n!
.
8
n






= 7)!-7!.(n
n!
Descomponiendo los factores:
(n - 6)!  7!






8
n
7)!.6!-6)(n-(n
1
= 7)!-7.6!.(n
1
Simplificando:
48-8n
n
=
7
1
7n = 8n - 48
n = 48
 Número de términos: 48 + 1 = 49
5. Si:
(1 + x)n = C0 + C1x + C2x2 + ... + Cnxn
Hallar el valor de:
C0 + 2C1 + 3C2 + 4C3 + ... + (n + 1)Cn
Solución:
C0 + 2C1 + 3C2 + 4C3 + ... + (n + 1)Cn
Descomponiendo convenientemente:
)Cn...CC2C()
2
C...CCC(
n...
2.1
2)-1)(n-n(n
1)-n(nn
n321
n
n210     


Factor común: “n”
2n + n 



 1...
2.1
2)-1)(n-(n
1)-(n1
2n + n(1 + 1)n - 1
2n + n.2n - 1
1. En el binomio:
P(x; y) = (x2 + 2y3)n
la suma de los coeficientes es 243. Calcular el número
de términos del desarrollo del binomio.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
2. La suma de coeficientes de:
P(x; y) = (3n + ny)n
Q(x; y) = (5nx - 3ny)n
están en la relación de 128 : 1. Encontrar “n”.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
3. En el desarrollo de:
(4x + y)n
la suma de exponentes es 110. Hallar “n”.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
4. Si: n  ZZ+, calcular:
R = n
n
n
2
n
1
n
0
1n
1n
1n
2
1n
1
1n
0
C...CCC
C...CCC

 


Problemas para la clase

38. a) 2n b) 2n + 1 c) 2
d) 1 e) 0
5. Calcular:
n
1C + n
2
C + n
3
C + ... + n
1-nC ; n  ZZ+
a) 2n - 1 - n b) 2n + 1 - n c) 2n - 2
d) 2n + 2 e) 2n
6. Calcule el valor de “n” para que se verifique:
3-n
1C + 3-n
2
C + 3-n
3
C + ... + 3-n
4-nC = 6
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
7. Si:
A = m
1C + 2 m
2
C + 3 m
3
C + ... + m m
mC
B = 2 m2
1C + 4 m2
2
C + 6 m2
3
C + ... + 4m m2
m2
C
Hallar:
A
B
a) 4m + 2 b) 4m + 1 c) 2m + 2
d) 2m + 1 e) 2m
8. Si el desarrollo del binomio para exponente natural es:
(x + a)n = n
0
C xn + n
1C xn - 1a + n
2
C xn - 2a2 + ... + n
nC an
Calcular:
2003
0
C - 2003
1C + 2003
2
C - ...+ 2003
2002
C - 2003
2003
C
a) 1000 b) 2003 c) 0
d) 2001 e) 2000
9. Calcular el valor de:
E = n
0
C + 3 n
1C + 9 n
2
C + 27 n
3
C +... (n + 1) sumandos
a) 5n + 1 b) 4n c) 6n
d) 6n + 1 e) 6n - 1
10.Calcular el valor de:
M = n
0
C + 5 n
1C + 25 n
2
C + 125 n
3
C +... (n + 1) sumandos
a) 1024 b) 625 c) 125
d) 520 e) N.A.
11.Calcular el equivalente reducido de:
n
1C + 2 n
2
C + 3 n
3
C +... + n n
nC
a) 2n - 1 b) 2n c) n.2n - 1
d) n2.2n e) n.2n
12.A partir de:
S = 1-n
0
C +
1-n
1C
2
1
+
1-n
2
C
3
1
+ ... +
1-n
1-nC
n
1
obtener “nS”
a) 2n - 1 b) 2n c) 2n + 1
d) 2n - 1 e) 2n + 1
13.Determinar el término racional en el desarrollo de:
( 2 + 3
2 )5
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
14.¿Cuántos términos racionales enteros posee el desarrollo
de:
72
x
y
y
x








 ?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15.Dado el binomio:
120
3
5
x
1
x 








¿cuántos términos racionales e irracionales tiene el
desarrollo?
a) 9; 112 b) 10; 111 c) 11; 110
d) 12; 109 e) 13; 108
16.Simplificar:
S = n
0
C - 3 n
1C + 32 n
2
C - 33 n
3
C +...- 3- 3n n
nC
a) - 3n b) - 2n c) 2n
d) 2n - 1 e) 3n - 1
17.Encontrar el lugar que ocupa el término independiente
obtenido al desarrollar:
15
4
6
x
2
3
x









a) 7 b) 10 c) 13
d) 16 e) No existe tal término
18.Para qué valor de “n” en el desarrollo de:
n
3
x
1
x 




 
el séptimo término es independiente.
a) 8 b) 6 c) 10
d) 12 e) 14

39. 19.¿Qué lugar ocupa el término independiente en el
desarrollo de:
6
2
4
x
1
x 





 ?
a) segundo b) tercero c) cuarto
d) quinto e) sexto
20.Si el producto de la suma de los coeficientes de los
desarrollos de:
(a + b)m; (c + d)n; (a + 1)p
es 4096 siendo “m”, “n” y “p” pares consecutivos, hallar el
valor de:
mn + np + pm
a) 48 b) 44 c) 12
d) 38 e) 60
21.Cuántos términos fraccionarios admite en su desarrollo:
P(x) =
100
3
x
1
x 




 
a) 15 b) 25 c) 50
d) 65 e) 75
22.Calcular el coeficiente del término cuya parte literal es
x6y4 en el desarrollo de:
(x2 - xy + 2y2)5
a) 99 b) 105 c) 124
d) 130 e) 143
23.Indicar el coeficiente del término en “x10” del desarrollo
de:
(1 + 3x2 + 3x4)7
a) 807 b) 918 c) 1254
d) 19278 e) 15362
24.La suma de coeficientes de los términos obtenidos en la
expansión de:
[( x + y )4 - ( x - y )4]4n
es 264. Calcular:
13
5
t
t
a) y
x
b)
6
y
x






c)
2
y
x






d)
4
y
x






e)
5
y
x






25.Calcular el coeficiente de “x5” en el desarrollo de:
P(x) = (1 + 2x - x2)5
a) - 10 b) 120 c) - 80
d) 30 e) - 30
26.Un término que se obtiene en el desarrollo de:
P(x; y; z; w) = (x + y + z + w)6
es: mx2y2zw. Hallar “m”.
a) 120 b) 180 c) 170
d) 162 e) 163
27.Calcular:
S =
1
C30
0 +
2
C30
1 +
3
C30
2 + ... +
31
C30
30
a)
30
230
b)
30
1-230
c)
31
1-231
d)
31
231
e) 231
28.Calcular “n” en:
n
n
n
3
n
2
n
1
n
n
n
2
n
1
n
0
nC...C3C2C
C)1n2(...C5C3C


=
25
51
a) 44 b) 49 c) 50
d) 51 e) 52
29.Calcular:
S = 1 + n
2
C + n
4C + n
6
C + ...
a) 2n b) n.2n c) 2n - 1
d) n.2n - 1 e) No se puede determinar
30.En el siguiente binomio:
B(x) =
84
4
3
x
1
x 






Calcular el número de términos racionales, irracionales,
enteros y fraccionarios en ese orden. Indique la
respuesta correcta.
a) 8; 77; 5; 3 b) 7; 78; 4; 3
c) 6; 79; 2; 3 d) 2; 83; 1; 1
e) 6; 78; 5; 3

40. 1. La suma de los coeficientes en el desarrollo de:
P(a; b) = (2a + 3b)5
es:
a) 3072 b) 32 c) 1024
d) 243 e) 3125
2. Calcular:
n
1C + 2 n
2
C + 3 n
3
C + ... + n n
nC
a) 2n - 1 b) n.2n - 1 c) n.2n
d) 2n e) n.2n + 1
3. Calcular:
10
0
C + 10
1C + 10
2
C + ... + 10
10
C
Autoevaluación
a) 1024 b) 1023 c) 1022
d) 1021 e) 1020
4. En el desarrollo de:
(2x + y)n
la suma de exponentes es 30. Hallar “n2”.
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
5. Calcular “n” para que se verifique:
n
1C + n
2
C + n
3
C + ... + n
nC = 127
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 9

41. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Repaso
Capítulo VIII
el
el
además
Propiedades generales
Análisis de términos
el
Dado: P(x; a) = (x + a); n ZZn +
desarrollo del binomio
(x + a) tiene (n + 1)
términos.
n
Los coeficientes de los
términos equidistantes
son iguales.
contado
Término general
contado
n
k
de izquierda a derecha:
t = C x .ak + 1
n - k k
n
k
de derecha a :
t = C a .x
izquierda
k + 1
n - k k
exponente impar
Término central
exponente par
t n
2
+1
= C x .an
2
n
n
2
n
2
t n + 1
2
y t n + 1
2
+ 1
también
Suma de coeficientes
para: x = a = 1
Adicionales
la
C + C + C + ... + C = 2
n
0
n
1
n
2
nn
n
C + C + C + ... = 2
n
0
n
2
n
4
n - 1
C + C + C + ... = 2
n
1
n
3
n
5
n - 1
Suma de exponentes en el
desarrollo del binomio:
(x + y )
es:
 
( + )(n)(n + 1)
2
 
Número de términos del
desarrollo del trinomio:
(x + y + z)
es:
n
(n + 1)(n + 2)
2
Coeficiente del valor máximo en el desarrollo de (x + a) es el término
central si "n" es par y los dos términos centrales si "n" es impar.
n
n
 Problemas resueltos
1. Hallar el lugar en el que se ubica el término del desarrollo
del binomio:
210
a
b
b
a









a; b  IR - {0}, que contiene a “a” y “b” elevados al
mismo exponente.
Solución:
tk+1 = 210
k
C . k-2104
1
-
2
1
)b.a( .
k4
1
-
2
1
)a.b(
tk+1 = 2
k
4
k210-
4
k
-
2
k-210
210
k
b.b.a.a.C

Reduciendo:
tk+1 = 4
210-3k
4
3k-420
210
k
b.a.C
por condición los exponentes son iguales.
4
3k-420
=
4
210-3k
Resolviendo: k = 105
El lugar pedido es “k + 1”: 106
2. Hallar el coeficiente de “xr” en el desarrollo de la
expresión:
n
3
2
x
1
x 






Solución:
Supongamos que “xr” se encuentra en la posición: k + 1
tk+1 = n
pC .(x2)n - p.
p
3
x
1






= n
pC x2n - 5p
Pero como este término contiene a “xr” y por tanto:
2n - 5p = r
p =
5
r-n2
El coeficiente buscado es “ n
pC ”..

42. Es decir: n
5
r-2n
C
Desarrollando el combinatorio será:
!
5
r-2n
-n!
5
r-2n
!n












Reduciendo:
n
pC =
!
5
r3n
!
5
r-2n
!n





 






3. Dado el binomio:
120
3
1
5
1
x
1
x











determinar:
I. El número de términos racionales e irracionales que
tiene el desarrollo.
II. ¿Cuántos términos enteros y fraccionarios existen?
Solución:
El término general de este desarrollo es:
t
k + 1 = 120
k
C
k
3
1
k-1205
1
x
1
)x(










tk + 1 = 3
k
-
5
k-120
120
k
.xx.C
tk + 1 = 15
8k
-24
120
k
x.C
I. Para que sean racionales:
24 -
15
k8
= número entero
esto cumple para: k = 0; 15; 30; 45; 60; 75; 90;
105; 120; lo cual indica que hay 9 términos racionales
y como el desarrollo tiene 121 términos, los
irracionales son 112.
II. Para que sean enteros:
24 -
15
k8
= Número entero y positivo
Esto se cumple para k = 0; 15; 30; 45; hay 4 términos
enteros y como existen 9 racionales hay 5
fraccionarios.
4. Hallar el décimo término del desarrollo del binomio:
12
5
x3
1
x27 




 
Solución:
t10 = t9 + 1 = 12
9
C (27x5)12 - 9
9
x3
1






Pero:
12
9
C = 12
9-12
C = 12
3
C =
3.2.1
10.11.12
= 220
t10 = 220(33x5)3(3- 1.x- 1)9
Efectuando se tiene:
t10 = 220x6
5. Siendo “A”, “B” y “C” los coeficientes de tres términos
consecutivos del desarrollo de (a + b)n. Además:
A + 2B + C = 20
10
C
Hallar “n”.
Solución:
Sea “tr + 1” el primer término:
 tr + 1 = n
rC .an - r.br
Luego: A = n
rC
Sea “tr + 2” el segundo término:
 tr + 2 = n
1rC  an - (r + 1)br + 1
Luego: B = n
1rC 
Sea “tr + 3” el tercer término:
 tr + 3 = n
2r
C 
an - (r + 2)br + 2
Luego: C = n
2r
C 
De la condición:
A + 2B + C = 20
10
C
n
rC + 2 n
1rC  + n
2r
C  = 20
10
C
20
10
n
2r
n
1r
n
1r
n
r CCCCC  

20
10
1n
2r
1n
1r CCC  




20
10
2n
2r
CC 

De la igualdad: n + 2 = 20  n = 18

43. 1. Hallar “A + B”, en la siguiente división exacta.
1x5x
BAx8x2x9x2
2
234


a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. El residuo de la siguiente división:
2
234
)1x(
)3b(x)2a(x6x4x


es : - (27x+11), indicar “a + b”
a) - 3 b) 0 c) 3
d) 4 e) 5
3. Indicar el resto :
3x
)37(x5x3x2x3 234


a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
4. Hallar el resto en la división :
5x6x
14)x6x(2)4x6x()6x6x(
6
62003620026


a) - 4 b) 4 c) - 6
d) - 24 e) - 2
5. Hallar el residuo en la siguiente división :













 





 

ba
)ba(
x
ab2
)ba)(ba(
x
a
b
x
b
a
x
ab2
ba
22
2
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
6. Indique el M.C.D. de:
P(x,y) = x3 + x2y + xy2 + y3
Q(x,y) = x3 - x2y + xy2 - y3
R(x,y) = x4 - y4
a) x2 + y2 b) x2 - y2 c) x2 + 1
d) y2 + 1 e) x + y
7. Indique el M.C.D. de:
P(x) = 3x3 + x2 - 8x + 4
Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4
a) 3x2 + 4x - 4 b) 3x2 - 4x + 4
c) 3x2 + x - 4 d) x2 - 4x + 4
e) x2 + 4x - 4
Problemas para la clase
8. Simplificar:


















1-
b-a
a2
ba
b-a
bab-a
ab2
1
E
33
33
22
)b,a(
a)
2
1
b) 1 c)
b
a
d)
a
b
e) 0
9. Reducir:
)bc)(ac(
1
)cb)(ab(
1
)ca)(ba(
1
S






a) 0 b) 1 c) 2abc
d) abc e) -a-b-c
10.Simplificar:
1a;
a1
a
1
1
1S 



a) a b) 2 c) 0
d) -a e)
a
1
11.Efectuar:





































x
1
2
1
1
1
x
1
1
1
1
1
E
a) 1 b) x c) x2
d) 0 e) -x
12.Simplificar:
)1nn()1n(
)1n()1n(
Q 242
6



a) 1 b) 0 c)
n
1
d) n - 1 e) n + 1
13.Reducir:
)cb(
1
)ba(b)ca(c
)bc(b)ca(a
A











44. a) 1 b) a - b c) a + b
d) 0 e)
b
a
14.Efectuar:
3a;
a3a
8a2
1
3a
2
2a
R
2







a) a - 1 b) a2 c) a
d) 1 e) 0
15.Efectuar:





















 22
22
2
2
cx
bx
acx)ca(x
abx)ba(x
K
a) bx
cx


b) cx
bx


c) bx
ax


d) ax
bx


e) 1
16.Calcular el penúltimo término en el desarrollo de:
5
2
x
-3 





a)
8
9
x5 b) x5 c)
8
7
x4
d)
16
15
x4 e) x4
17.Determine el valor de:
M =
n
0
C + 6 n
1C + 36 n
2
C + 216 n
3
C +...(n + 1) sumandos
a) 5n b) 6n c) 7n
d) 8n e) 9n
18.Hallar “n” en:
...
5)!-n!.(5
1
3)!-n!.(3
1
1)!-n!.(1
1

... !n
4096
!1)!.1-n(
1

a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
19.Indicar el penúltimo término en el desarrollo de:
14
x
1
x 




 
a) x6 b) x- 6 c) 14x
d) 14x- 12 e) 12x
20.Halle el noveno término de la expansión:
(2x5 + y3)11
a) 1230x16y25 b) 1023x15y28
c) 2130x16y24 d) 3210x15y25
e) 1320x15y24
21.Hallar el término central del desarrollo del binomio:
10
3
8
b
-a4 





a) -
8
63
a15b5 b)
8
63
a15b5 c)
8
63
a5b15
d) -
8
63
a5b15 e)
8
63
a15b10
22.¿Cuál es el término que contiene a “x5” en el desarrollo de:
13
5
x
1
x3 




  ?
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 11
23.Calcular el menor valor de “a + b”, si:
32
1C + 2 32
2
C + 3 32
3
C + ... + 32 32
32
C = ab
a) 38 b) 22 c) 25
d) 20 e) 18
24.En el desarrollo de cada una de las potencias:
(ax5 + by3)3; (ax7 - by2)2
se observa que la suma de coeficientes es igual al triple
de la suma de exponentes. Hallar “
b
a ”, siendo (a > b)
a) - 27 b) - 5 c) 8
d) 15 e) 18
25.Hallar la relación entre “r” y “n” para que los coeficientes
de los términos de lugares (3r) y (r + 2) del desarrollo
de (1 + x)2n sean iguales.
a) n =2r b) r = 2n c) r =
4
n
d) 4n = r e) r > n + 1
26.Se sabe que en el desarrollo de:
P(x; y) =
n5222
x
y
y
x










el: t25 = yx44. Halle “n + 2”.

45. a) 2 b) 8 c) 10
d) 18 e) 12
27.Si: mxay; nx10y-b; son términos del desarrollo de:
822
x2
y
y
x2









entonces “m + n” es:
a) 204 b) 256 c) 412
d) 672 e) 704
28.Calcular el valor de “n” si el quinto término del desarrollo
de:
Q(x; y; z) = (t3 + t5)6
presenta la siguiente forma:
Ax20y10z10
además “t3” y “t5” son el tercer y quinto término del
desarrollo de:
P(x; y; z) = (x2 + yz )n
x; y; z  IR+
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
29.Si el máximo término en el desarrollo de:
(1 + 4x)8
para: x =
3
1
, tiene la forma:
2k
8
k n
m
C





Calcular:
m
1kmn 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
30.El coeficiente del término de la forma:
x4y2
en el desarrollo de:
P(x; y) = (1 + 2xy + 3x2)7
es:
a) 1260 b) 630 c) 315
d) 60 e) 32
Autoevaluación
1. La siguiente división:
1xx
nmxx
2
24


es exacta. Calcular “m + n”.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
2. 1-1-
-2-2
yx
yx


es igual a:
a)
yx
)xy( 22


(xy) b)
)yx)(xy(
yx 22


c)
)yx(yx
yx
22
22


d)
)yx(xy
yx
22


e)
yx
yx 22


3. Reducir:
25
6
C + 2 25
7C + 25
8
C
a) 26
8
C b) 26
7C c) 27
8
C
d) 27
6
C e) 27
7C
4. Sumar:
1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + 15.15!
a) 15! b) 16! c) 15! - 1
d) 16! - 1 e) 15.15!
5. Simplificar:
8
8
8
7
8
2
8
1
8
0
11
11
11
10
11
2
11
1
11
0
CC...CCC
CC...CCC


a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11