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ÁLGEBRA SEM 9.pdf
- 2. DIVISIÓN DE POLINOMIOSI Teoría ÁLGEBRA Docente: Juan Gamarra Carhuas Semana 09
- 3. - ÁLGEBRA Objetivos: ✓ Comprenderel significado de dividir polinomios y sus condiciones a cumplir. ✓ Aplicar el método de Horner y la regla de Ruffini para dividir polinomios. ✓ Utilizar los criterios para dividir polinomios en la resolución de problemas.
- 4. - ÁLGEBRA ÍNDICE 1. Divisiónde Polinomios 3. Criterios para dividir polinomios 4. Método de Horner 2. Propiedades de la división 5. Regla de Ruffini
- 5. - ÁLGEBRA Contraseña secreta Manuelquiere entrar a un club privado, pero para hacerlo requiere una contraseña que desconoce. Entonces, se detiene a un lado y escucha a hurtadillas a miembros del club dando la contraseña al entrar. Cuando un miembro del club camina hasta la puerta, el guardia dice “dos”, y este responde “tres”, así que lo deja ingresar. Luego, otro miembro viene a la puerta; esta vez cuando el guardia dice “tres” el hombre responde “cuatro”, y entra. David esta seguro de que entiende el patrón y camina hacia la puerta. Entonces, el guardia dice “cuatro”, entonces David responde “cinco”. Para sorpresa de nuestro amigo, el guardia no lo deja entrar. Rpta: 1
- 6. - ÁLGEBRA DIVISIÓN DEPOLINOMIOS Es una operación donde a partir de dos polinomios: Dividendo "𝐷(𝑥)" y divisor "𝑑(𝑥)”, se hallan 2 polinomios únicos llamados cociente "𝑞 𝑥 " y residuo "𝑅 𝑥 ". Es decir: 𝐷 𝑥 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 𝑅 𝑥 Donde se cumple: 𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥 ° 𝐷 𝑥 ≥ ° 𝑑 𝑥 > ° 𝑅 𝑥 Además Ejercicio Calcule la suma de coeficientes del residuo de la división 3𝑥4 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 5 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 Resolución Piden: suma de coeficiente de 𝑅 𝑥 = 𝑅 1 Sabemos que: 𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥 𝑥 = 1: 𝐷 1 = 𝑑 1 𝑞 1 + 𝑅 1 3 + 2 − 7 + 5 = (2 − 3 + 1)𝑞(1)+𝑅 1 3 = 0. 𝑞 1 + 𝑅(1) 3 = 𝑅(1) 3. 14 + 2. 12 − 7.1 + 5 = 2. 12 − 3.1 + 1 𝑞 1 +𝑅 1
- 7. - ÁLGEBRA PROPIEDADES ° 𝑞𝑥 = ° 𝐷 𝑥 − ° 𝑑 𝑥 Ejemplo 3𝑥5 + 2𝑥3 + 5𝑥 + 4 𝑥2 − 6𝑥 + 2 ° 𝑞 𝑥 = 5 − 2 = 3 CLASES DE DIVISIÓN • División exacta si: 𝑅 𝑥 = 0 • División Inexacta si: 𝑅 𝑥 ≠ 0 Máx. ° 𝑅 𝑥 = ° 𝑑 𝑥 −1 Ejemplo 6𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 7 5𝑥2 − 𝑥 + 1 ° 𝑅 𝑥 podría ser 1 o 0 Como ° 𝑑 𝑥 = 2 • En la división: ° 𝐷 𝑥 = 5 ° 𝑑 𝑥 = 2 4𝑥2 + 𝑥7 + 𝑥 − 9 6𝑥3 − 8𝑥2 + 2 ° 𝑞 𝑥 = 7 − 3 = 4 • En la división: ° 𝐷 𝑥 = 7 ° 𝑑 𝑥 = 3 • En la división: → Máx. ° 𝑅 𝑥 = 2 −1 = 1
- 8. - ÁLGEBRA CRITERIOS PARADIVIDIR POLINOMIOS Si queremos efectuar la división de dos polinomios por cualquier método, el dividendo y el divisor deben estar completos y ordenados en forma descendente, donde los exponentes de la variable se reduce de 1 en 1; si faltan términos en forma práctica se completa con ceros Ejemplo: 1) Sea el polinomio 𝐷 𝑥 = 4𝑥3 − 3𝑥 + 5𝑥4 + 8𝑥2 − 1 Ordenando en forma descendente, tenemos: 𝐷 𝑥 = 2) Sea el polinomio 𝐷 𝑥 = 2𝑥5 − 6𝑥 + 9 − 3𝑥2 Ordenando en forma descendente, tenemos: 𝐷 𝑥 = 2𝑥5 − 3𝑥2 − 6𝑥 + 9 Completamos con ceros las potencias que faltan: 𝐷 𝑥 = 2𝑥5 3) En la división ordenarla y completarla con ceros: 𝐷 𝑥 𝑑 𝑥 5𝑥4 +4𝑥3 +8𝑥2 −3𝑥 −1 −3𝑥2 − 6𝑥 + 9 +0𝑥4 + 0𝑥3 = 𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 − 1 𝑥2 + 0𝑥 − 1 𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 − 1 𝑥2 + 0𝑥 − 1 𝑥5 − 1 𝑥2 − 1
- 9. - ÁLGEBRA MÉTODO DEHORNER Es un método general que permite la división de polinomios de cualquier grado. 𝑎0𝑥4 + 𝑎1𝑥3 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥 + 𝑎4 𝑏0𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2 Esquema 𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑏0 𝑏1 𝑏2 𝑞0 𝑞1 𝑞2 𝑟0 𝑟1 * * * * * * ÷,×, + Coeficientes del cociente Coeficientes del residuo Coeficientes del dividendo Coef. Divisor × −1 𝑞 𝑥 = 𝑞0𝑥2 + 𝑞1𝑥 + 𝑞2 𝑅 𝑥 = 𝑟0𝑥 + 𝑟1 − − Ejemplo: Efectué la siguiente división: Ordenando y completando, tenemos 4𝑥4 + 0𝑥3 − 23𝑥2 + 16𝑥 + 0 2𝑥2 + 5𝑥 − 1 Aplicamos el método de Horner 4 0 −23 16 0 2 −5 1 2 -5 2 1 2 -10 2 25 -5 -10 2 -10 4 ÷ ÷ ÷ 𝑞 𝑥 = 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 𝑅 𝑥 = 𝑥 + 2 ∧ Veamos: + ° 𝑑(𝑥) −23𝑥2 + 4𝑥4 + 16𝑥 5𝑥 + 2𝑥2 − 1 4𝑥4 + 0𝑥3 − 23𝑥2 + 16𝑥 + 0 2𝑥2 + 5𝑥 − 1
- 10. - ÁLGEBRA REGLA DERUFFINI Se aplica cuando el divisor es un polinomio lineal Ejemplo: Esquema 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥 = − 𝑁 𝑀 𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎0 𝑏0 𝑏1 𝑏2 𝑅 𝑀 𝑀 𝑀 𝑀 𝑞0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 divisor Coeficientes del dividendo Cociente falso Cociente real Resto 𝑞 𝑥 = 𝑞0𝑥3 + 𝑞1𝑥2 + 𝑞2𝑥 + 𝑞3 R 𝑥 = 𝑅 ∧ Efectué la división: 3𝑥 + 2 = 0 𝑥 = − 2 3 3 −1 4 9 1 4 3 −2 2 −4 0 −6 −3 6 0 9 −5 ÷ 3 Cociente falso Cociente real 3 3 3 3 3 1 −1 2 0 3 Entonces: 𝑞 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 +3 R 𝑥 = −5 ∧ 𝑎0𝑥4 + 𝑎1𝑥3 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥 + 𝑎4 𝑀𝑥 + 𝑁 Veamos: = 0 * * * * 3𝑥5 − 𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 + 9𝑥 + 1 3𝑥 + 2
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