Algebra

Horas alumnos-docente: 28
Horas independientes: 28
Operaciones
fundamentales
del Álgebra
Bloque I

12
Álgebra I
Secuencia didáctica
Entiende la importancia de los números reales y las operaciones fundamentales del Álgebra y aplica
las propiedades de campo en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Competencia desarrollada al finalizar el bloque
Identifica los tipos de números que se aplican en las actividades cotidianas y las propiedades de
campo de los números reales. Distingue y aplica los algoritmos correspondientes de cada una de las
operaciones básicas del Álgebra.
Competencias disciplinares básicas
1. Construyeeinterpretamodelosmatemáticosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,
algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta
con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o
variacionales,mediante el lenguaje verbal,matemático y el uso de lasTecnologías de la Información
y la Comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y
las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos.
Competencias genéricas
Atributos
Se autodetermina y cuida de sí
1.1
2.1
3.3
Se expresa y comunica
4.1
4.5
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que
persigue.
Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.
Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo
rodean.
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Maneja lasTecnologías de la Información y la Comunicación para obtener información y expresar
ideas.

13
Álgebra I
Conocer
• Identifica qué es un
conjunto y las operaciones
de unión, intersección
y complemento de
conjuntos.
• Identifica los tipos de
números que se aplican en
las actividades cotidianas.
• Identifica las propiedades
del campo de los números
reales.
• Distingue los tipos y grado
de expresiones algebraicas.
• Identifica las operaciones
de suma, resta,
multiplicación y división de
polinomios.
• Identifica los distintos
productos notables.
Hacer
• Clasifica los distintos tipos
de números que se utilizan
en la vida diaria.
• Aplica las propiedades de
campo en las operaciones
algebraicas.
• Ejecuta sumas, restas,
multiplicaciones y
divisiones de expresiones
algebraicas relacionadas a
su entorno.
• Utiliza los productos
notables para simplificar la
multiplicación algebraica.
Ser
• Asistencia puntual a clases.
• Respeto al salón de clases,
compañeros y maestros.
• Trabajo colaborativo.
• Entrega en tiempo y forma
de actividades.
• Reconoce y aprende de sus
errores.
Valores:
• Respeto.
• Honestidad.
• Tolerancia.
Piensa crítica y reflexivamente
5.1
5.2
5.6
6.1
Aprende de forma autónoma.
7.1
Trabaja en forma colaborativa.
8.1
8.2
8.3
Cuadro de saberes
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de
sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
Ordena información de acuerdo con categorías, jerarquías y relaciones.
Utiliza las Tecnologías de la Información y la Comunicación para procesar e interpretar
información.
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre
ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.
Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un
curso de acción con pasos específicos.
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que
cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.

14
Álgebra I
Indicadores de desempeño
• Argumenta a qué subconjunto de los números reales pertenece un número dado.
• Utiliza las propiedades de campo de los números reales en las operaciones algebraicas.
• Utiliza los algoritmos de las operaciones de números reales, en las operaciones algebraicas.
• Utiliza las operaciones básicas del Álgebra en la solución de problemas teóricos o prácticos de su
entorno.
• Resuelve de forma colaborativa e individual los ejercicios propuestos.
• Comprueba las soluciones de las operaciones algebraicas utilizando medios computacionales.
Sugerencias de evidencias de aprendizaje
• Presenta en forma impresa o electrónica un portafolio de evidencias (carátula,índice,introducción,
mapa conceptual de los subconjuntos de los números reales, un mapa mental de las propiedades
de campo de los números reales, conclusión, bibliografía) de manera individual.
• Presenta en forma impresa o electrónica un problemario de operaciones algebraicas en forma
individual y en equipo.
• Elabora una lista de cotejo de las operaciones algebraicas.
• Realiza una presentación electrónica o dramatizada enfocada a las operaciones algebraicas.
• Evaluación parcial y final.
• Portafolio de evidencias.
Evaluación de los aprendizajes
- Evaluación diagnóstica
- Evaluación formativa
• Portafolio de evidencias
• Bitácora del alumno
• Lista de cotejo
- Evaluación
• Actividad integradora
• Rúbricas: Coevaluación, Metaevaluación y Heteroevaluación
• Examen de bloque

15
Álgebra I
Evaluación diagnóstica
La siguiente evaluación tiene como finalidad detectar tus fortalezas y áreas de
oportunidad para abordar con éxito este bloque.
Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)
r)
s)
t)

16
Álgebra I
u) Un día Pedro se comió la mitad de un pastel. Al día siguiente se comió una tercera parte del pastel
y al día siguiente se comió la cuarta parte de lo que quedaba. ¿Qué fracción del pastel queda?
v) Escribe el nombre de la propiedad que establece que
w) El valor de en qué subconjunto de los números reales está incluido.
Autoevaluación actitudinal
¿Cómo te sentiste al desarrollar las preguntas de la evaluación diagnóstica?
¿Cuáles temas crees que tienes que repasar?
El maestro y el alumno definirán las estrategias que más se adapten a las necesidades. Ejemplos: ABP;
Proyectos, Análisis o Estudios de casos, Aprendizaje in situ, Aprender sirviendo, Aprender utilizando las TIC,
Simulación, Investigar con tutoría, Aprendizaje cooperativo, Reuniones de socialización, estudio independiente,
comunidades de diálogo, etcétera.
Indicador
Resuelve algunos ejercicios, no llega al resultado final de los mismos y los procedimien-
tos presentan deficiencias.
Nivel
Bajo
Medio
Alto
Muy
alto
Resuelve 50% de los ejercicios correctamente y escribe su procedimiento en forma clara
y ordenada.
Resuelve 80% de los ejercicios correctamente, escribe su procedimiento en forma clara,
ordenada y sin faltas de ortografía.
Resuelve más del 80% de los ejercicios correctamente, escribe su procedimiento en for-
ma limpia, clara, ordenada y sin faltas de ortografía.
¿Cómo aprendo mejor?
Estrategias de aprendizaje que requieres para reafirmar los temas que tienes que consolidar:
Estrategias de enseñanza
1.
2.
3.
Estrategias de aprendizaje
1.
2.
3.
Evaluación

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Álgebra I
Contenido
- División algebraica
- Productos notables
- Multiplicación algebraica
- Leyes de los exponentes
- Suma y resta algebraica
- Terminología algebraica
- Postulados de campo de los números reales
- Subconjuntos de los números reales
- Conjuntos y sus operaciones
Bloque I
Operaciones
fundamentales
del Álgebra
Introducción
En este bloque queremos brindarte un breve rescate de tus conocimien-
tos que has generado desde tu educación básica hasta llegar a tus inicios
del bachillerato universitario.
Una de las principales dificultades que enfrenta un estudiante con las
Matemáticas es la falta de vinculación de los temas con problemas de la
vida diaria, uno de los puntos que se aborda en esta guía es justamente
que el alumno se dé cuenta la gran aplicación que tienen los temas de
Matemáticas para resolver una gran cantidad de situaciones a las que se
enfrenta en la vida diaria.
Estas actividades que se tienen contempladas permiten generar una
aplicación de las principales operaciones de las ramas de las Matemáticas,
como la Aritmética y el Álgebra.
Esperamos que cambie tu percepción del Álgebra y puedas relacionar
los conocimientos previos que tienes en relación con la Aritmética, ya que
puedes darte cuenta que las letras representan números. Dichos números
forman parte del conjunto de los números reales y permiten la aplicación
de los postulados de orden. Dichas letras pueden representar monedas,
billetes, objetos, etc.; por ejemplo, si compras 5 cuadernos, lo puedes re-
presentar en lenguaje algebraico como 5 c y aplicarlo en la resolución de
alguna situación.
Las actividades que se te presentan sirven para reforzar los conocimien-
tos que tienes de la educación básica para encauzar hacia un nivel mayor
en tus conocimientos matemáticos que podrás aplicar en otras asignatu-
ras de tu bachillerato.

18
Álgebra I
¿Cuál es el la superficie de la caja original?
¿Cuál será la superficie ?
¿Cuál será la superficie ?
¿En cuál de las dos opciones se gastará más cartón?
¿Cuánto cartón se ahorraría?
Aplicación del Álgebra en situaciones cotidianas
Una fábrica elabora chocolates y debido al aumento de precios en el material
para su elaboración, decidió disminuir su costo de producción. Para no dejar de
producir un chocolate de buena calidad, decidió reducir el volumen ( ) del
empaque del chocolate en un , así que la caja tendrá un volumen de . La
finalidad es usar menos cartón para la elaboración del empaque. La caja tiene las
siguientes dimensiones: de largo, de ancho y de grosor. Se desea
conservar el grosor del empaque y lo que se desea reducir es el largo o el ancho.
Introduzcamos , y el ancho, largo y el grosor del empaque respectivamente.
El grupo de consultores de la empresa encontró dos opciones para reducir el
volumen, la primera opción es:
a) Reducir el largo en .
b) Reducir el ancho en .
La superficie (área) de la caja puede ser expresada como .
Entonces, las superficies de las cajas son:
, si se reduce el largo.
, si se reduce el ancho.
En pares realiza la siguiente actividad. Después
discutan la actividad con el resto del grupo.
Actividad 1 Confianza

19
Álgebra I
1.1 Conjuntos y sus operaciones
Competencia específica
• Identificayaplicalanotacióndeconjuntos,
así como las operaciones de los mismos.
Empezaremos por ver un concepto que se encuentra en nuestra vida cotidiana y
que usamos todos los días. Hablamos del conjunto de amigos, el conjunto de tus
mensajes de correo electrónico, etc. El concepto de conjunto es la base en la que
se fundamenta gran parte de las matemáticas.
Conjunto: Es una colección de objetos (o elementos) bien definidos.
Para que un conjunto esté bien definido debe ser claro si un objeto (o elemento)
se encuentra o no en el conjunto. Los conjuntos se representan por letras mayús-
culas
Existen dos maneras de describir conjuntos.
1. Método de listado (por extensión): Se escribe cada uno de sus elementos del
conjunto entre llaves.
Ejemplo: es el conjunto de las vocales:
2. Método de descripción verbal (por comprensión): Se escribe un enunciado
entre llaves que nos describa claramente cada uno de sus elementos, de la si-
guiente forma:
Ejemplo: es el conjunto de las vocales:
El símbolo significa tal que . Este símbolo siempre tiene que ir en el método
descriptivo. En ocasiones en lugar de , se utiliza .
Para expresar que un elemento está o pertenece al conjunto se utiliza el sím-
bolo .
Ejemplo: .
La teoría moderna sobre
conjuntos fue creada
por el matemático
ruso George Cantor a
finales del siglo XIX y a
principios del XX. Pero
se cree que las nociones
respecto a los conjuntos
se empezaron a utilizar
en los siglos XVI y XVII.

20
Álgebra I
Para expresar que un elemento no está o no pertenece al conjunto se utiliza el
símbolo .
Ejemplo: .
Se dice que dos conjuntos son iguales si cada elemento de un conjunto es elemen-
to del otro y viceversa.
Ejemplo: Los siguientes conjuntos son iguales:
SUBCONJUNTO Y SUBCONJUNTO PROPIO
A continuación veremos dos conceptos importantes de la teoría de conjuntos.
Ejemplo:
Sean y . Observa que . Ya que
cada elemento de pertenece a .
Ejemplo:
Sean y . Observa que , ya que
y y .
CONJUNTO VACÍO Y CONJUNTO UNIVERSO
Ejemplo:
Sea ,yaque
no hay ningún número primo que sea mayor que y a la vez sea múltiplo de (no
sería primo porque se podría dividir entre ).
Observa que:
En particular dos conjuntos
iguales son subconjuntos
uno del otro.
Observa que:
es subconjunto de
cualquier conjunto.
Subconjunto:
Se dice que es subconjunto de y se denota como . Si todo elemento
de es un elemento de .
Subconjunto propio:
Se dice que es subconjunto propio de y se denota como . Si todo ele-
mento de es un elemento de y además existe un elemento de que no está
en . Es decir, y también existe un elemento de que no pertenece a .
Conjunto vacío:
Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se denota por el símbolo . También
recibe el nombre de conjunto nulo.

21
Álgebra I
Ejemplo:
Encuentra todos los subconjuntos y subconjuntos propios del conjunto
Solución.
Para esto analizamos la siguiente tabla:
Conjunto universal:
Es aquel conjunto que contiene todos los elementos que se van a analizar en
alguna situación especifica. Se representa por la letra .
Número de elementos del subconjunto Subconjunto
Cero elementos
Un elemento
Dos elementos
Todos los subconjuntos de .
Ahora, busquemos los subconjuntos propios, como debe haber algún elemento
de que no esté en el subconjunto para que pueda ser un subconjunto propio, de
nuestra tabla tenemos que quitar al conjunto . Así que los subconjuntos propios
de son , y .
Ejemplo: Decir si son falsos o verdaderos los siguientes enunciados:
a)
b)
Solución
a) Observa que lo que tenemos que checar es que los elementos del conjunto
que son el y el estén en el conjunto . De modo que es ver-
dadero.
b) Tenemos que ver que el conjunto sea un elemento del conjunto
. Lo cual es cierto y, por tanto, es verdadero.

22
Álgebra I
OPERACIONES DE CONJUNTOS
Así como existen las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de nú-
meros (reales), también existen operaciones con los conjuntos. Dichas operacio-
nes se describen en la siguiente tabla:
Operación Definición En Español Ejemplo
Union de
conjuntos
Intersección de
conjuntos
Complemento
de un conjunto
o
Complemento
de dos
conjuntos
(complemento
de respecto
de )
Para que un elemento
esté en la unión basta
que esté en alguno de
los dos conjuntos.
esté en la intersección
tiene que estar en los dos
conjuntos.
esté en debe estar en
el conjunto universal ( ) y
no pertenecer al conjunto
( ). Es decir, son todos los
elementos que le faltan a
para completar a .
Para que un elemento esté
en debe estar en el
primer conjunto ( ) y ade-
más no debe pertenecer al
segundo conjunto ( ).
Sean y
Entonces:
Sean y
Entonces:
Sean
y
Entonces:, donde
es el conjunto universo.
Sean y
Entonces:
Observa que:
a) .
b) .
Ejemplo: Sea y
Encuentra , y .
Solución
Como en la unión basta que el elemento esté en alguno de los dos conjuntos se
tiene que .

23
Álgebra I
En la intersección se debe cumplir que el elemento debe estar en los dos conjun-
tos; entonces,
Esto quiere decir que tiene que ser una rosa, pero además debe ser una flor de
color rojo; de modo que
Por último veamos quién es por definición debe estar en (debe ser una
rosa), pero no debe estar en (no debe ser una flor de color rojo); es decir,
debe ser una rosa pero no de color rojo, entonces ,
DIAGRAMAS DE VENN
Existe una manera de representar conjuntos, esta forma utiliza las figuras geomé-
tricas, por lo general se utiliza el rectángulo y el círculo. El rectángulo se utiliza
para representar al conjunto universal ( ) y el círculo para representar a un con-
junto. Veamos algunas representaciones; es decir, algunos diagramas de Venn.
Conjunto a representar Diagrama deVenn
Conjunto universal.
subconjunto de . ( ).
Un conjunto que es
subconjunto del conjunto
universal. ( ).
Dos conjuntos ( )
subconjuntos del conjunto
universal ( ).
Tres conjuntos ( y )
subconjuntos del conjunto
universal .

24
Álgebra I
También se pueden representar las operaciones de conjuntos utilizando los
diagramas de Venn. Analicemos el método con los siguientes ejemplos:
Ejemplo: Representa el conjunto utilizando los diagramas de Venn.
Solución.
Primero con líneas horizontales representemos uno de los conjuntos a intersectar
y con líneas verticales el otro.
Después, la región buscada es la región donde se encuentren líneas tanto hori-
zontales o verticales (todo lo que contenga líneas), ya que un elemento está en
la unión tiene que estar al menos en uno de los conjuntos. Así que la región que
representa es:
De manera similar se hace para la intersección, solo que la región sería en donde
se junten las líneas verticales y horizontales; es decir, la región tiene que contener
tanto líneas horizontales como verticales.
Ejemplo: Representa utilizando los diagramas de Venn.
Solución.
Primero con líneas horizontales representemos uno de los conjuntos a unir y con
líneas verticales el otro.
Entonces la región que representa la intersección es:
Ya que es la región donde se traslapan las líneas.
Para el caso de tres conjunto se hace de manera similar.

25
Álgebra I
Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6,
6.1, 7.1, 8.1, 8.2 y 8.3.
Realiza los siguientes ejercicios de forma individual.
Después comenten con ayuda de su maestro los
resultados con el resto del grupo.
Actividad 2
1. Decir si son falsos o verdaderos los siguientes enunciados.
Justifica tu respuesta.
a)
b)
c)
2. Sea Encuentra:
a)
b)
3. Sean y
. Encuentra:
a)
b)
4. Utiliza los diagramas de Venn para verificar las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. Sea y
. Encuentra:
a)
b)
Laboriosidad
Responsabilidad

26
Álgebra I
6. Sea el conjunto universo del cual es subconjunto. Encuentra el conjunto
señalado en términos de
a)
b)
7. Sabiendo que el número de elementos de son 15, el número de elementos
de son 5 y el número de elementos de son 30. Determina cuántos
elementos tiene . Sugerencia haz un diagrama de Venn.
8. Mediante un diagrama de Venn ilustra el siguiente conjunto
.
9. En una ENMS de la Universidad de Guanajuato, de una muestra de 100 estudian-
tes, se tiene que:
45 estudian Matemáticas, 41 Inglés, 47 Historia, 18 solamente Matemáticas e
Historia, 17 solamente Inglés e Historia y 7 los tres cursos. Nadie estudia sola-
mente Matemáticas e Inglés.
a) ¿Cuántos estudiantes estudian solamente Matemáticas?
b) ¿Cuántos estudiantes no estudian ninguno de los tres cursos?
10.Elabora un diagrama de Venn que nos represente el caso más general para cua-
tro conjuntos y . Cuántas regiones se formaron. (Sugerencia: empieza
por analizar cuántas regiones se forman para el caso de uno, dos y tres conjun-
tos).
11. Encuentra cuántos subconjuntos se pueden forman de un conjunto de cuatro
elementos. Además, da una fórmula para saber cuántos subconjuntos tiene un
conjunto de elementos.

27
Álgebra I
TIC Para practicar en forma individual, consulta la plataforma blackboard.
www.http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/tc5.htm#nivel_Ic
Autoevaluación
12. Investiga algunas aplicaciones sobre los conjuntos.
13. Investiga a quién se le atribuye la introducción de los conjuntos y explica en
qué consiste ésta.
14. Investiga qué significa que dos conjuntos son ajenos. Da un ejemplo.
Indicador
Resuelve algunos ejercicios, no llega al resultado final de
los mismos y los procedimientos presentan deficiencias.
Nivel
Bajo
Medio
Alto
Muy
alto
Resuelve 50% de los ejercicios correctamente y escribe su
procedimiento en forma clara y ordenada.
Resuelve 80% de los ejercicios correctamente, escribe su
procedimiento en forma clara, ordenada y sin faltas de or-
tografía.
Resuelve más del 80% de los ejercicios correctamente, es-
cribe su procedimiento en forma limpia, clara, ordenada y
sin faltas de ortografía.

28
Álgebra I
1.2 Subconjuntos de los números reales
Competencias específicas
• Reconoce e identifica los subconjuntos de
los números reales, así como las distintas
formas de representarlos en situaciones
teóricas o prácticas.
• Clasificaloselementosdelossubconjuntos
de los números reales.
LA BURGUESÍA DE LOS NÚMEROS REALES
No cabe duda que esto de las clases sociales está en todas partes, incluso hasta
en las Matemáticas.
Existen varias clases sociales en los números, la primera es la clase de números
que utilizamos para contar, estos números reciben el nombre de los números na-
turales y se representa por la letra .
.
Como en toda clase social, para que un individuo pertenezca a esa clase se debe
cumplir con algunos requisitos. Notemos que al sumar dos números naturales nos
da otro número natural , . Pero al restar dos números na-
turales el resultado podría no ser un número natural, , entonces el
no pertenece a esta clase. Por esta razón surge la clase social de números que se
llama números enteros y se representa por la letra .
Al sumar y restar números enteros nos vuelve a dar otro número entero. Pero al
dividir dos números enteros nos puede dar un número el cual podría no ser ente-
ro, por ejemplo Esto, da lugar a una clase muy distinguida la cual llamaremos
números racionales ; es decir, un número racional es aquel que se puede expre-
sar en forma de fracción.
.
Aprecia que los números , y el son nú-
meros racionales porque se pueden expresar como una división de dos números
enteros de acuerdo al siguiente algoritmo:
El sistema de los números
reales tiene su inicio
al menos en la antigua
Babilonia (1800 a. C.). Su
sistema de numeración
era muy similar al que
utilizamos, su sistema se
basaba en el 60, mientras
que el nuestro se basa en
el 10.

29
Álgebra I
Caso I) Parte decimal finita Caso II) Parte decimal infinita, pero periódica
Para este caso contamos los
decimales que tiene el número.
Y hacemos la división entre el
número que se forma al recorrer
el punto decimal hasta el final
entre el uno agregándole la
cantidad de ceros como sus
decimales.
Ejemplo:
Tiene cuatro cifras
decimales. Entonces:
Debemos ver cuántos números se están repitiendo
(periodo). Después, resolver la siguiente expresión
, donde es el número racional.
Despejamos y obtenemos la fracción.
Ejemplo:
. Observemos que el periodo es , ya que es el
número el que se repite; entonces
Siguiendo los algoritmos anteriores tenemos que y representan res-
pectivamente los números , y el .
Esta es una característica de los números racionales: si un número tiene parte deci-
mal finita o infinita pero periódica, se puede expresar en forma de fracción; es decir,
es un número racional. Algunos ejemplos de números racionales:
Como es de esperarse hay números que no se pueden expresar mediante una
fracción. Estos números reciben el nombre de números irracionales y se represen-
tan por la letra . Los números que tienen parte decimal infinita y no periódica, no
se pueden expresar en forma de fracción; es decir, son números irracionales. Ejem-
plos de números irracionales:
Observemos que la clase de los números está incluida a la clase de los .
La barra horizontal de
las fracciones (de origen
árabe) ya era usada por
Fibonacci en el siglo XIII,
aunque no se generalizó
hasta el siglo XVI.

30
Álgebra I
También la clase de esta incluida a la clase de , ya que si es un número entero,
lo podemos expresar como . Así que . De lo anterior concluimos que
La clase de los números no pertenece a ninguna de las anteriores, pero todas
las clases de números pertenecen a una sola la clase de los números reales, los
números reales se definen como la unión de los conjuntos y .
Diagrama de los números reales:
GLOSARIO
El símbolo significa que un
elemento no pertenece a un
conjunto.
El símbolo representa la
unión entre conjuntos.
El símbolo significa sub-
conjunto propio.
TIC Investiga en internet, si existen otras clases de números, y ¿cuál es el conjunto de
Cantor?.
6.1, 7.1, 8.1, 8.2 y 8.3.
Después compara tus resultados con el resto del
grupo.
Actividad 3
1. Califica si es falso o verdadero cada expresión. Justifica tu respuesta.
a)
b)
c)
d)
Se cree que el símbolo
para el cero por primera
vez lo inventó un hindú,
el cual se llamó sunya.
Los árabes lo llamaron
sifr. Pero Ptolomeo de
Alejandría comenzó a
utilizar el o (ómicron) que
significa nada en griego.
Empatía
Comunicación

31
Álgebra I
2. Escribe el número que corresponde a cada pregunta y clasifícalo (naturales,
enteros, racionales e irracionales).
a) Número de alumnos del grupo es __________ __________
b) El promedio que obtuviste de secundaria fue de __________ __________
c) Tu estatura en metros es __________ __________
d) El precio de la gasolina por litro es __________ __________
e) Si el área de un cuadrado es 2 unidades cuadradas, la longitud de cada lado
corresponderá a un valor de __________ __________. Toma en cuenta que la
fórmula del área de un cuadrado es lado al cuadrado.
3. Considera el siguiente conjunto:
Escribe los elementos de los conjuntos que son:
a) Naturales
b) Enteros
c) Irracionales
d) Racionales
4. Redacta una situación práctica en la que distingas cada uno de los subconjuntos
a)
b)
c)
d)
5. Encuentra la fracción que representa los números racionales.
a)
b)
c)
d)
6. Con tus propias palabras define:
a) Número entero:

32
Álgebra I
b) Número racional:
c) Número irracional:
7. Elabora un mapa conceptual sobre el conjunto de los números reales.
Autoevaluación
Indicador
Nivel
Bajo
Medio
Alto
Muy
alto
tografía.

33
Álgebra I
1.3 Postulados de campo de los números reales
• Reconoce e identifica las propiedades
• Utiliza las propiedades de los números
reales para realizar operaciones
aritméticas.
EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
En los números reales están definidas las operaciones de suma, resta, multiplica-
ción y división. Pero en realidad podemos considerar dos como las operaciones
fundamentales: la adición, la cual incluye a la suma y a la resta, y el producto, que
involucra a la multiplicación y división que ya conoces.
Estas dos operaciones tienen propiedades importantes que seguramente ya las
has utilizado. Estas propiedades son la base para el Álgebra. Analizaremos estas
propiedades a continuación.
3
-2.5
5
7
0.3
3
2
5

34
Álgebra I
Nombre de la
propiedad
Propiedades de
la adición Ejemplo En Español
Propiedad de
cerradura para
la adición
Propiedad
conmutativa
para la adición
Propiedad
Asociativa para
la adición
Existencia del
neutro aditivo
Existencia del
inverso aditivo
Si ; entonces
Y este
resultado es único.
Si ; entonces
Sean , y ;
entonces y
Sea ; entonces,
Si ; entonces existe
, tal que
Sean y ;
entonces . Y
además, es único.
Sean y ;
entonces
Sean , y
; entonces
Existe un número real
único denotado por
el , tal que para todo
se tiene que
Para todo número ,
existe un número que de-
notaremos por , el
cual llamamos el inverso
aditivo tal que
Si sumamos dos
números reales la suma
vuelve a dar un número
real único.
Si sumamos dos
números, el orden de
cómo los sumemos no
altera el resultado de la
suma.
Si asociamos los
sumandos de una suma
en varias formas el
resultado no se altera.
Existe un número que
llamamos el cero tal
que si se suma con
cualquier número
real, este número no
se altera. Además
no hay otro número
que cumpla con esta
propiedad más que el
cero.
Para todo número real
, existe otro número
real llamado el
inverso aditivo, que
tiene la propiedad de
que al sumarlo con
ese número da por
resultado el neutro
aditivo; es decir, el
número cero.

35
Álgebra I
Nombre de la
propiedad
Propiedades de la
multiplicación Ejemplo En Español
Propiedad de
cerradura para
el producto
Propiedad
conmutativa
para el producto
Propiedad
asociativa para
el producto
Existencia
del neutro
multiplicativo
Existencia
del inverso
multiplicativo
Si ; entonces
. Y el
resultado es único.
Si ; entonces
Sean ,
y ; entonces
y
Sea ;entonces
Si ; entonces
existe , tal que
Sean y ;
entonces .
Y además, es único.
Sean y
; entonces
Sean ,
y ; entonces
Existe un número real
único denotado por
el , tal que para todo
se tiene que
Para todo número
con existe un
número que denotare-
mos por , el cual
llamamos el inverso
multiplicativo tal que
Si multiplicamos dos
números reales el
producto vuelve a dar
un número real único.
Si multiplicamos
dos números, el
orden de cómo los
multipliquemos no
altera el producto.
Si asociamos factores
de un producto de
varias formas el
resultado no se altera.
Existe un número que
llamamos el uno tal
que si se multiplica
con cualquier número
real, este número no
se altera. Además
no hay otro número
que cumpla con esta
propiedad más que el
uno.
Para todo número
real distinto de cero,
existe otro número real
llamado el inverso
aditivo, que tiene la
propiedad de que al
multiplicarlos nos da
por resultado el neutro
multiplicativo; es decir,
el uno.

36
Álgebra I
Existe otra propiedad que relaciona a las dos operaciones fundamentales:
Nombre de la
propiedad
Propiedad de suma y
multiplicación
Ejemplo
Propiedad
distributiva
Sean ,
y ; entonces
Sean ,
y ; entonces
y
TIC Investiga en internet si existe algún otro conjunto de números que forman un
campo.
Cualquier conjunto que cumpla con las 11 propiedades anteriores, se dice que el
conjunto forma un campo. De manera que los números forman un campo.
6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.
Y para finalizar con ayuda de tu maestro comenten
los resultados con el resto del grupo.
Actividad 4
1. Relaciona ambas columnas.
a)
b)
c)
d)
2. Menciona la propiedad que se está utilizando y completa lo que falta.
e) Propiedad:
f) Propiedad:
3. Menciona si los números enteros impares (positivos y negativos, incluyendo al
cero) forman un campo. Justifica tu respuesta.
( ) Propiedad distributiva
( ) Es un campo
( ) Propiedad asociativa del producto
( ) Propiedad de cerradura del producto
Comunicación

37
Álgebra I
4. Distingue qué propiedad está asociada en las siguientes expresiones y aplica
dicha propiedad.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. Define con tus propias palabras las siguientes propiedades de los números
reales y escribe un ejemplo en cada una.
a) Propiedad conmutativa de la suma:
b) Propiedad asociativa de la multiplicación:
c) Propiedad distributiva:
d) Propiedad de cerradura de la multiplicación:
Autoevaluación
Indicador
Nivel
Bajo
Medio
Alto
Muy
alto
tografía.

38
Álgebra I
1.4 Terminología algebraica
• Identifica una expresión algebraica.
Identifica y clasifica los polinomios.
• Reconoce la importancia de las
propiedades de los números reales, para
la suma y resta de polinomios.
• Realiza operaciones de suma y resta de
polinomios.
Expresión algebraica
Una expresión algebraica es aquélla en la cual uno o más números o literales
(símbolos o letras que representan números) son combinados por medio de una
suma, resta, multiplicación y división.
Ejemplos de expresiones algebraicas:
a)
b)
c)
Un monomio es la expresión algebraica más simple que sólo contiene un producto
deunnúmerorealporunaomásliterales(letras)quetienenexponentespositivos.
Un polinomio es una suma finita de monomios. En particular, una suma de dos mo-
nomios se le conoce como binomio, una suma de tres monomios recibe el nombre
de trinomio; es decir, los monomios, binomios y trinomios son casos particulares
de polinomios.
Monomios
Binomios
Trinomios
Polinomios
Se cree que la palabra
álgebra se derivó de
un libro escrito por
Mohammed ibn Musa al-
Khowarizmi llamado Hisak
al-jabr w’almuqabala.

39
Álgebra I
En una expresión algebraica cada monomio junto con su signo recibe el nombre
de término de la expresión.
Grado de un polinomio
Los polinomios se clasifican de acuerdo con su grado.
Si el polinomio tiene una sola variable, el grado del polinomio es el exponente más
grande de cualquiera de sus monomios (términos) que lo forman.
Ejemplo: el grado del polinomio , es , ya que es el exponente
más grande.
El grado de una constante distinta del cero, tendría grado cero. Si el polinomio es
la constante cero, se dice que este polinomio no tiene grado.
Si el polinomio tiene varias variables, el grado del polinomio puede ser respecto a
una de las variables o referente al producto de sus variables. El grado del polino-
mio referente al producto de varias variables queda establecido como la mayor
suma de exponentes de sus monomios (términos) que contengan alguna o todas
las variables.
Ejemplo: Sea el polinomio de varias variables.
a) ¿Cuál es el grado del polinomio en las variables ?
Como lo queremos en las tres variables, sumemos en cada termino los expo-
nentes de .
Término Grado
Como el más grande es 9, el grado es 9.
b) ¿Cuál es el grado del polinomio en las variables ?
Término Grado
Como el más grande es 5, el grado es 5.

40
Álgebra I
c) ¿Cuál es el grado del polinomio en las variables ?
Término Grado
Como el más grande es 9, su grado es 9.
d) ¿Cuál es el grado del polinomio en las variables ?
Término Grado
Como el más grande es 3, su grado es 3.
Antes de ver la suma entre polinomios, necesitamos un concepto muy importante
que es el de términos semejantes.
Empezaremos con definir coeficiente numérico, el coeficiente numérico de un
monomio (un término) es simplemente el número que está multiplicando a las
variables (letras o símbolos).
Ejemplos:
Monomio Coeficiente numérico
Ahora sí estamos listos para definir los términos semejantes. Dos términos se di-
cen que son semejantes si tienen las mismas variables (símbolos o letras) con sus
mismos exponentes. Es decir, los términos sólo pueden ser distintos en sus coefi-
cientes numéricos.

41
Álgebra I
Términos
semejantes
Términos no semejantes
y
y (ya que, aunque tienen las mismas
literales, los exponentes de la literal no son
iguales).
y (ya que no coinciden en sus variables).
y (ya que no coinciden en sus
variables).
y
y
6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.
Junto con otro compañero, realicen los siguientes
ejercicios. Después con ayuda de su maestro
discutan las respuestas con el resto del grupo.
Actividad 5
1. De la siguiente tabla completa lo que se te pide.
Expresión algebraica Número de términos Grado en Grado en
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Diálogo
Empatía

42
Álgebra I
2. Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas.
a)
Monomio
Coeficiente
numérico
a) c)b) d)
b) De los monomios anteriores, ¿existen términos semejantes?
c) ¿Cuáles son?
3. Escribe un polinomio de una variable que tenga grado cinco y todos sus coefi-
cientes numéricos de cada término sean números enteros.
4. Explica con tus propias palabras los siguientes conceptos y da un ejemplo.
a) Expresión algebraica:
b) Término semejante:
c) Coeficiente numérico:
d) Trinomio:
5. En las siguientes figuras se tiene la expresión del área de las mismas. Identifica
el coeficiente numérico de las mismas:
a)
b)

43
Álgebra I
c)
6. Un derrame de petróleo en el Golfo de México se desplaza de acuerdo con la
siguiente expresión: ( es el tiempo en días).
a) ¿Cuántos términos tiene la expresión?
b) ¿Qué tipo de expresión es?
c) ¿Cuál es el grado de la expresión?
d) Los coeficientes de cada término son:
Autoevaluación
Indicador
Nivel
Bajo
Medio
Alto
Muy
alto
tografía.

44
Álgebra I
1.5 Suma y resta algebraica
• Reconoce la importancia de los las
propiedades de los números reales, para
la suma y resta de polinomios.
• Realiza operaciones de suma y resta de
polinomios.
Para sumar polinomios se utilizan la propiedad distributiva y la propiedad con-
mutativa para la adición de los números reales. La propiedad conmutativa nos
permite agrupar los términos semejantes y la propiedad distributiva nos permite
sumarlos. Es decir, sólo se pueden sumar términos semejantes.
Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones de polinomios.
a)
b)
c)
Recuerda
a) Propiedad distributiva:
b) Propiedad conmutativa:
Resta de polinomios
Para restar polinomios, lo único que tienes que recordar es que al polinomio que
vamos a restar se le cambia de signo; es decir, a todos sus términos que lo forman
se les debe cambiar el signo, después se hace de manera similar que una suma.
Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones.
a)
Johann Widman,
alrededor de 1489, publicó
la aritmética comercial
Rechenung auff allen
Kauffmanschafft, el cual es
el trabajo más antiguo en
el que aparecen los signos
+ y -, utilizados al principio
para indicar excesos y
deficiencias.

45
Álgebra I
Observa que
Para sumar o restar
polinomios basta que
agrupes los términos
semejantes y realices las
sumas o restas (según el
caso) entre ellos.
Observa el inciso a) y b) de
la resta de polinomios.
b)
TIC Para practicar en forma individual.
http://ponce.inter.edu/cremc/ejleccion1.htm
5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.
Después compara y discute tus resultados con
otro compañero. Y para finalizar con la ayuda de
tu maestro discutan las respuestas con el resto del
grupo.
Actividad 6
1. Realiza las siguientes sumas o restas de polinomios:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Confianza

46
Álgebra I
i)
j)
k)
2. Determina una expresión polinomial para calcular el perímetro de las siguientes
figuras.
a) Rectángulo
b) Hexágono regular
3. Efectúa las operaciones indicadas.
a) De , restar
b) Restar de
4. Efectúa las operaciones siguientes.
a) +
b)
_
Perímetro:
Perímetro:

47
Álgebra I
5. Completa la siguiente tabla:
6. Completa la siguiente tabla:
Autoevaluación
Indicador
Nivel
Bajo
Medio
Alto
Muy
alto
tografía.

48
Álgebra I
1.6 Leyes de los exponentes
• Identifica y reconoce una expresión
algebraica con exponentes enteros.
• Diferencia las leyes de los exponentes
enteros.
• Utiliza las leyes de los exponentes enteros
para simplificar expresiones algebraicas.
Para poder multiplicar polinomios requerimos de las leyes de los exponentes.
Primero recordemos el significado de potencia de un número; es decir, de , con
.
y , donde
, de modo que
A la letra se le conoce como base y a la como su exponente.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
Ahora, veamos la definición de , con y .
Ejemplos:
a)
b)
c)

49
Álgebra I
d)
Las siguientes leyes se obtienen fácilmente de la definición. Son válidas para todo
y .
Ley Observación Ejemplo
1.
2.
3.
4.
Observa que es una
multiplicación de potencias de
la misma base. En este caso
los exponentes se suman.
Observa que es una división
de potencias que tienen la
misma base. En este caso
los exponentes se restan. El
exponente del número de
arriba (numerador) se le resta
el exponente del número de
abajo (denominador).
Observa que es un exponente
elevado a otro exponente. En
este caso los exponentes se
multiplican.
Observa que es una potencia
de una multiplicación.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
a)
b)
c)
a)
b)
c)

50
Álgebra I
5. , con Observa que es una potencia
de una división.
a)
b)
Ejemplos: Transforma a exponentes positivos y simplifica.
a)
Por la ley 5.
Por definición de
TIC Observa el siguiente video
http://www.youtube.com/watch?v=-8CEhrkH5aU mayo 2011.
Investiga en internet qué leyes son verdaderas si el exponente fuera un número
racional en lugar de un número entero.
b)
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Por la ley 1.
Por definición

51
Álgebra I
c)
Observa que
El inciso c) se puede
resolver de varias formas.
Se pudo haber elevado
primero la potencia y al
final haber realizado la
división.
6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.
Con ayuda de tu maestro formen equipos de
tres personas, resuelvan los siguientes ejercicios.
Posteriormente discutan los ejercicios con el resto
del grupo.
Actividad 7
1. Encuentra el valor de la expresión en cada uno de los incisos. Expresa el resul-
tado sin exponentes.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2. Resuelve las operaciones, simplifica y expresa el resultado sin exponentes ne-
gativos.
a)
Solidaridad

52
Álgebra I
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)

53
Álgebra I
3. Escribe falso o verdadero, para todos números reales y .
a)
b) , con
c) , con
d)
Autoevaluación
Indicador
Nivel
Bajo
Medio
Alto
Muy
alto
tografía.

Algebra

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