Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como evaluación de expresiones algebraicas, términos semejantes, uso de paréntesis, sumas y multiplicaciones de polinomios, productos notables y factorización. Incluye definiciones, reglas y ejemplos para ilustrar cada uno de estos temas fundamentales de álgebra.

1. UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ÁLGEBRA
Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-02
EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos
dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre
paréntesis.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los
mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y
mantener su factor literal.
USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los
paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
 Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los
signos de los términos que están dentro del paréntesis.
 Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los
signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.
Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se
encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a
los paréntesis desde adentro hacia fuera.
EJEMPLOS
1. Si p = 3, q = -2 y r = 2, entonces -q2
+ pr2
: q =
A) -14
B) -10
C) -3
D) -2
E) 2

2. 2
2. -t – 4m + 2u – 6 – 2t + 3m – 3u + 7 =
A) -3t – m – u + 1
B) -3t – m + u – 1
C) -3t + m – u + 1
D) -3t + m + u + 1
E) -3t – m – u – 1
3. 1 –
2
5
x2
y2
– x2
y +
3
5
x2
y2
+
1
6
x2
y – 2 =
A)
1
5
x2
y +
5
6
x2
y2
– 1
B)
1
5
x2
y2
–
5
6
x2
y – 1
C)
1
5
x4
y4
–
5
6
x2
y – 1
D) -
1
5
x2
y2
+
5
6
x2
y2
– 1
E)
1
5
x2
y2
+
5
6
x2
y – 1
4. Si r = x – p, x = p – 1 y p = -2, entonces el valor de
r
x
p +
r p
 
 

 
es
A) -5
B) -1
C)
1
5
D) -
1
5
E) 1
5. 11x + [(7,2x – 1,3) – (6,1x – 2,6)] – 0,3 =
A) 12,1x – 1
B) 12,2x –1,6
C) 12,1x –4,2
D) 12,1x +1
E) 12,1x + 3,9

3. 3
OPERATORIA ALGEBRAICA
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios, se aplican todas las reglas de reducción de términos
semejantes y uso de paréntesis.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
 MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando
propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de
monomios, se multiplica sólo por uno de ellos.
Es decir: a · (b · c) = (a · b) · c
 MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Es decir: a(b + c + d) = ab + ac + ad
 POLINOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica cada término del primer polinomio, por cada término del segundo
polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.
EJEMPLOS
1. Si P = 5x2
+ 2x – 5 y Q = 3x2
– 4x – 3, entonces
1
2
(Q – P) =
A) x2
– 3x – 1
B) -x2
– x – 4
C) -x2
– 3x + 1
D) -x2
+ 3x – 1
E) -x2
– x + 4
2. Salvador compra 6x – y caramelos. Le regala a su tía Lorena y – x, luego se come
3x – y. ¿Cuántos caramelos le quedan a Salvador?
A) 8x – 3y
B) 4x – y
C) 9x – 3y
D) 2x – 3y
E) 2x – y

4. 4
3.
-2 4 2
17t r 36t r
-9 34
  
  
  
  
=
A) -2t-2
r3
B) -2t2
r-3
C) -2t2
r3
D) 2t2
r3
E) 2t2
r2
4. -3pq(pq2
– 2p3
q) =
A) -3p2
q3
+ 6p4
q2
B) -3pq3
+ 6p4
q2
C) 3pq3
+ 6p4
q2
D) 3pq3
– 6p4
q2
E) -3p2
q3
+ 6p3
q2
5. (a + 1)(a2
– a + 1) =
A) a3
– 2a2
– 2a + 1
B) a3
– 2a2
– 2a – 1
C) a3
+ 1
D) a3
– 1
E) a3
– a2
– a + 1

5. 5
PRODUCTOS NOTABLES
 CUADRADO DE BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el
doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del
segundo término.
EJEMPLOS
1. (2 + 3t)2
=
A) 4 + 9t2
B) 12t + 4 + 9t2
C) 4 + 6t + 9t2
D) 4 + 12t + 3t2
E) 4 + 6t + 3t2
2.
2
1
4
4m
 

 
 
=
A) 16 +
2
2 1
+
m 16m
B) 16 –
2 1
+
m 16
m2
C) 16 –
2
2 1
+
m 16m
D) 16 +
2
2 1
+
m 4m
E) 16 –
2
1
16m
3. (5 – 2 3 )2
=
A) 31 – 20 3
B) 37 – 20 3
C) 37 – 10 3
D) 37
E) 13
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2

6. 6
 SUMA POR DIFERENCIA
El producto de la suma por la diferencia entre dos términos, es igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo término.
 BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común,
más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos términos, más
el producto de los términos no comunes.
EJEMPLOS
1. El producto entre (3 – 3 ) y ( 3 + 3) es
A) 6
B) -6
C) 6 + 3 3
D) 9 + 3 3
E) 2 3
2.
2 2
1 5 1 5
· +
2y 2y
x x
   

   
   
   
=
A)
4 2
1 25
x 2y

B)
4
1 25
4y
x

C)
4 2
1 25
x 4y

D)
2 2
1 25
x 4y

E)
4 2
1 5
x 4y

3. (x – 6) (x + 2) =
A) x2
+ 4x – 12
B) x2
– 4x + 12
C) x2
– 4x – 12
D) x2
– 12
E) x2
– 4x
(x + y)(x – y) = x2
– y2
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab

7. 7
 CUADRADO DE TRINOMIO
 CUBO DE BINOMIO
EJEMPLOS
1. (3x – y + z)2
=
A) 9x2
+ y2
+ z2
B) 9x2
+ y2
+ z2
– 6xy – 6xz – 2yz
C) 9x2
+ y2
+ z2
– 6xy + 6xz – 2yz
D) 9x2
– y2
+ z2
– 6xy + 6xz + 2yz
E) 9x2
+ y2
+ z2
+ 6xy + 6xz + 2yz
2. (b + 5)3
=
A) b3
+ 125
B) b3
+ 15b2
– 75b + 125
C) b3
– 15b2
+ 75b – 125
D) b3
+ 15b2
+ 75b + 125
E) b3
– 15b2
+ 25b + 125
3.
3
m
+ 1
3
 
 
 
=
A)
3 2
m m
+
27 3
+ m + 1
B)
3 2
m m
+
27 9
+ m + 1
C)
3 2
m m
+
9 3
+ 3m + 1
D)
3 2
m m
+
9 9
+ 3m + 1
E)
3
m
27
– 1
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a  b)3
= a3
 3a2
b + 3ab2
 b3

8. 8
FACTORIZACIÓN
FACTORIZAR
Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores.
 FACTOR COMÚN
MONOMIO:
BINOMIO
EJEMPLOS
1. Al factorizar 4x2
y2
– 16x4
y2
– 12x3
y4
se obtiene
A) 4x2
y(y – 4x2
y + 3xy3
)
B) 4x2
y2
(1 – 4x2
– 3xy2
)
C) 2x(2xy – 8x2
y2
– 6x2
y3
)
D) x2
y2
(4 – 16x2
– 12x)
E) 4xy(xy – 4x3
y – 3x2
y)
2. 3(a + b) – t(a + b) =
A) (a + 3)(t – b)
B) (a + b)(3 – t)
C) -3t(a + b)
D) ab(3 – t)
E) ab(t – 3)
3. m – 1 – x(m – 1) =
A) -x
B) -x(m – 2)
C) (x – 1)(m – 1)
D) (1 – x)(m – 1)
E) (1 + x)(m + 1)
ac + ad = a(c + d)
(a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)

9. 9
 DIFERENCIA DE CUADRADOS:
 DIFERENCIA DE CUBOS:
 SUMA DE CUBOS:
EJEMPLOS
1. 100 – t2
=
A) (t – 10)(t + 10)
B) (10 – t)(10 + t)
C) (10 – t)(10 – t)
D) (10 + t)(10 + t)
E) (10 – t)2
2. 9m2
– 16n2
=
A) (9m + 16n)(9m – 16n)
B) (16n + 9m)(16n – 9m)
C) (3n + 4m)(3n – 4m)
D) (3m + 4n)(3m – 4n)
E) (3n – 4m)(3n – 4m)
3. a3
+ 1 =
A) (1 – a)(1 – a + a2
)
B) (1 + a)(1 + a + a2
)
C) (1 + a)(a2
– a + 1)
D) (1 – a)(1 + a + a2
)
E) (1 – a)2
(1 – a)
4. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a x3
– 125?
I) (x – 5)(x2
+ 5x + 25)
II) (x – 5)3
III) (x2
– 5)(x + 25)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Ninguna de ellas
a2
– b2
= (a + b) (a – b)
a3
– b3
= (a – b) (a2
+ ab + b2
)
a3
+ b3
= (a + b) (a2
– ab + b2
)

10. 10
 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
 TRINOMIO DE LA FORMA:
 TRINOMIO DE LA FORMA:
EJEMPLOS
1. 9a2
– 30ab + 25b2
=
A) (3a – 5b)2
B) (3a + 5b)2
C) (5a + 3b)2
D) (9a – 25b)2
E) (25a – 9b)2
2. Al factorizar x2
+ 2x – 35 se obtiene
A) (x – 7)(x + 5)
B) (x – 7)(x – 5)
C) (x + 7)(x + 5)
D) (x + 1)(x – 35)
E) (x + 7)(x – 5)
3. 5a2
+ 3a – 2 =
A) (a + 1)(5a – 2)
B) (a – 1)(5a – 2)
C) (2a + 1)(5a + 2)
D) (a – 1)(5a + 3)
E) (a + 1)(5a – 3)
a2
 2ab + b2
= (a  b)2
x2
+ px + q = (x + a) (x + b) con p = a + b, q = ab
ax2
+ bx + c =
(ax + p)(ax + q)
a
con b = p + q, ac = pq

11. 11
EJERCICIOS
1. Si a = 1, b = -1 y c = -2, entonces -a4
+ b3
– 3c2
=
A) -14
B) -12
C) 10
D) 12
E) 14
2. a – [2a – (b – a)] – 3(a + b) =
A) -3a + 2b
B) -3a – 2b
C) -5a + 2b
D) -5a – 2b
E) -5a + 4b
3. Si en la sucesión: a – 2, 3(2a + 4), 5(3a – 6), 7(4a + 8),..., se suman el quinto y sexto
término, resulta
A) 133a + 46
B) 111a + 222
C) 111a – 222
D) 111a – 42
E) 111a + 42
4. (2 – 3 )2
=
A) 7 – 2 3
B) 1
C) 4 – 2 3
D) 7 – 4 3
E) 1 – 4 3

12. 12
5. La figura está formada por dos rectángulos. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) el perímetro de la región achurada?
I) 2x + 2(x +z)
II) 2x + 2z + 2w
III) x + y + 2(z + w)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
6. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) con (2 – 5x)2
?
I) (5x – 2)2
II) (5x + 2)2
– 40x
III) 4 – 25x2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
7. (a 2n
– a-2n
)2
=
A) 2a4n
B) a4n
+ a-4n
C)
2 2
4n -4n
a + a 2

D) a4n
+ a-4n
– 2
E) a4n
– a-4n
– 2
y
z
x
w

13. 13
8. Para obtener un trinomio cuadrado perfecto a partir de la expresión -
4
5
x + x2
se debe
sumar
A)
5
2
B)
25
2
C)
25
4
D) -
5
4
E) -
25
16
9. (2z + 1)
1
2z
2
 

 
 
=
A) 4z2
+ z –
1
2
B) 2z2
+ z –
1
2
C) 4z2
+
2
1
z –
1
2
D) 4z2
– z –
1
2
E) 4z2
–
1
2
10. (5m
– 2n
)(5m
+ 2n
) =
A) 52m
– 42n
B) 252m
– 42n
C) 52m
– 2n
D) 252m
– 22n
E) 25m
– 22n
11. (x2
– y2
)3
=
A) x6
– y6
B) x6
– x4
y2
+ x2
y4
– y6
C) x6
– 3x4
y2
+ 3x2
y4
– y6
D) x5
– 3x4
y2
+ 3x2
y4
– y5
E) x6
– 3x2
y + 3xy2
– y6

14. 14
12. El asta de una bandera de x centímetros de largo se pintó de tres colores: blanco, rojo
y azul. El primer segmento de (x – p) centímetros se pintó de rojo, el segundo
segmento de (2x – q) centímetros se pintó blanco y el resto del asta se pintó de azul.
¿Cuántos centímetros mide el segmento pintado de azul?
A) 3x – p – q
B) 2x + p + q
C) 2x – p – q
D) -2x – p – q
E) -2x + p + q
13. El largo de un rectángulo es 12 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo
es x – 4 metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es
A) (2x + 8) metros
B) (2x + 16) metros
C) (4x + 8) metros
D) (4x + 16) metros
E) (4x + 24) metros
14. Si x = 2 , entonces el valor de la expresión (x – 2)2
(x – 1)2
(x + 1)2
(x + 2)2
es
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
15. Una factorización para el polinomio a2
– a – 6 es
A) (a + 1)(a – 6)
B) (a – 1)(a + 6)
C) (a + 2)(a – 3)
D) (a – 2)(a – 3)
E) (a – 2)(a + 3)
16. Si el área de un rectángulo es 9x2
- 9x – 4 y su largo es (3x – 4), entonces su ancho es
A) (3x – 1)
B) (1 + 3x)
C) (1 – 3x)
D) (x + 1)
E) (3x – 4)

15. 15
17. Si 15x2
+ 14x – 8 = (5x + a)(3x + b), entonces los valores de a y b son,
respectivamente
A) -1 8
B) 8 -1
C) 2 4
D) -2 4
E) 2 -4
18. b3
+ 8c3
=
A) (b + 2c)(b2
– 2bc + 4c2
)
B) (b – 2c)(b2
– 2bc + 4c2
)
C) (b + 2c)(b – 2bc + 2c)
D) (b + 2c)(b2
– 2bc + 2c2
)
E) (b + 2c)2
(b + 2c)
19. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) divisor(es) de la expresión algebraica
3x2
– 9x – 12?
I) 3
II) (x + 1)
III) (x – 4)
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
20. Si u + v = -4 y uv = 4, entonces el valor de u3
+ v3
es igual a
A) –64
B) –16
C) 64
D) 16
E) No se puede determinar.

16. 16
21. x4
– 20x2
+ 64 =
A) (x + 4)(x + 4)(x + 2)(x + 2)
B) (x – 4)(x – 4)(x – 2)(x – 2)
C) (x – 4)(x + 4)(x – 2)(x – 2)
D) (x – 4)(x + 4)(x + 2)(x + 2)
E) (x – 4)(x + 4)(x – 2)(x + 2)
22. Si x = 1742
+ 2 · 174 · 3 + 32
, y = 175 · 179 y z = 1772
– 32
, entonces ¿cuál de las
siguientes relaciones es verdadera?
A) y < x < z
B) x < y < z
C) z < y < x
D) z < x < y
E) y < z < x
23. Si p + q = 5 y pq = 3, entonces (p – q)2
=
A) -1
B) 1
C) -7
D) 7
E) 5
24. Se puede determinar el valor numérico de 7a – 2b + 6, si se sabe que:
(1) 7a = 2b
(2) a = 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

17. 17
25. La expresión 9a2
+ 12ab + xb2
es un trinomio de cuadrado perfecto, si:
(1) x2
= 16
(2) x es un número entero positivo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adiciona
MT-02
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5
1 y 2 B A B D D
3 y 4 C B C A C
5 B C B
6 A C C
7 C D A
8 B B D
9 B D C A
10 A E A
RESPUESTAS EJEMPLOS
RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. 11
1. A 6. C 11. C 16. B 21. E
2. D 7. D 12. E 17. D 22. C
3. E 8. C 13. C 18. A 23. C
4. D 9. A 14. C 19. E 24. A
5. B 10. E 15. C 20. B 25. C
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