Este documento introduce los números complejos, incluyendo la unidad imaginaria i, cuyo cuadrado es -1. Explica cómo calcular potencias de i y raíces cuadradas de números negativos. Luego define números complejos como la suma de una parte real y una parte imaginaria, y muestra cómo representarlos gráficamente y realizar operaciones como suma y resta con ellos. Finalmente, presenta ejercicios para practicar estos conceptos.

1. UNIDAD: NÚMEROS
NÚMEROS COMPLEJOS I ()
Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-03
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA
El cuadrado de un número real siempre es no negativo. Por ejemplo, no existe ningún
número real x para el cual x2
= -1.
Para remediar esta situación, introducimos un número llamado unidad imaginaria, que
denotamos con i y cuyo cuadrado es -1.
i2
= -1 /
POTENCIAS DE i
Si calculamos los valores de las potencias de i, encontramos que:
Se tiene que i4n
= 1, con n  0

, entonces i4n+p
= i4n
 ip
= 1  ip
= ip
, por tanto
con n  0

y 0  p < 4
OBSERVACIÓN:
 i0
= 1
 La suma de cuatro potencias consecutivas de i es 0.
 El producto de cuatro potencias consecutivas de i es -1.
RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS
Para todo a  lR+
se tiene: -a = (-1) × a = -1 × a = i a
Ejemplos:
a) -9 = 9 -1 = 9 -1 = 3i
 
b) -28 = -1 18 = -1 28 = i 4 7 = i 4 7 = 2i 7
     
i1
= i i5
= i i9
= i
i2
= -1 i6
= -1 i10
= -1
i3
= i2
 i = -1  i = -i i7
= -i i11
= -i
i4
= i2
 i2
= -1  -1 = 1 i8
= 1 i12
= 1
i = -1
i4n + p
= ip

2. 2
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones no tiene solución en los números reales?
I) x2
+ 9 = 0
II) x4
+ 16 = 0
III) x2
– 25 = 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
2. El número
3
-8 + -25 se puede representar como
A) 2 – 5i
B) -2 + 5i
C) -2 – 5i
D) 2 + 5i
E) -7
3. El número -81 + 2 -36 3 -1 8i
  es equivalente a
A) 0
B) 10 i
C) -10 i
D) 21 i
E) 1 + i
4. La expresión i235
+ i29
equivale a
A) i + 1
B) -1 + i
C) 1 – i
D) i
E) 0
5. La expresión i + i2
+ i3
+ … + i99
+ i100
+ i101
equivale a
A) -1
B) -i
C) 1
D) i
E) 0

3. 3
DEFINICIÓN NÚMERO COMPLEJO ()
Un número de la forma z = a + bi, se llama número complejo, en donde a y b son números
reales. Esta forma de representar al número complejo se le denomina forma binomial o
algebraica.
Si z = a + bi es un número complejo, entonces:
a : corresponde a la parte real y se denota como Re(z).
b : corresponde a la parte imaginaria y se denota como Im(z).
Ejemplo: En el número complejo z = 3 + 5i se tiene:
Re(z) = 3 (parte real de z)
Im(z) = 5 (parte imaginaria de z)
OBSERVACIÓN:
En el complejo z = a + bi
 Si b = 0, z se denomina Complejo Real o Real Puro
 Si a = 0 y b 0
 , z se denomina Complejo Imaginario Puro
A la expresión binomial, también se le denomina “forma canónica” del número complejo.
EJEMPLOS
1. La parte imaginaria del complejo z = 1 – 2i es
A) -2i
B) -1
C) -i
D) 1
E) -2
2. Si z = 5i, entonces Re(z) es
A) 5
B) 5i
C) 0
D) -5
E) otro valor.
3. La suma de los cuadrados de parte real y la parte imaginaria del número complejo
z = 3 – i es
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) Otro valor

4. 4
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y también sus partes
imaginarias, respectivamente.
Si z1= a + bi y z2 = c + di, con z1 = z2, entonces se cumple que a = c y b = d.
EJEMPLOS
1. El valor de x en la igualdad 7 + 8i = y + (x + 2)i es
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
2. Para que se cumpla la igualdad -3x + 7i = 6 + (5y + 2)i, los valores de x e y deben
ser, respectivamente,
A) -2 y 1
B) -2 y
9
5
C) -2 y -1
D) 2 y -1
E) 2 y 1
3. Los valores de x e y en la igualdad 2x + y – 2i = 1 – (3x + y)i son, respectivamente,
A) -1 y 3
B) 1 y -1
C) -1 y -3
D) 1 y -3
E) 1 y 2
a + bi = c + di  a = c y b = d

5. 5
EXPRESIÓN BINOMIAL Y CARTESIANA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Cualquier número complejo a + bi también se puede considerar como un par ordenado
(a, b) de números reales, donde la segunda componente del par ordenado corresponde al
coeficiente de la unidad imaginaria i, entonces:
La expresión cartesiana del número complejo z = a + bi corresponde a z = (a, b)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMERO COMPLEJO
El complejo z = (a, b) puede ser representado en un gráfico de Argand, mediante un vector
anclado en el origen cuyo punto final tiene coordenadas (a, b).
EJEMPLOS
1. La expresión binomial del complejo (5, -2), está dada por
A) 5 + 2i
B) -5 – 2i
C) -2 + 5i
D) 2 + 5i
E) 5 – 2i
2. El complejo u = 1 – 2i está representado por
A) B) C)
D) E)
x
y
a
b z
EJE IMAGINARIO
EJE REAL
x
y
2
1
-1
-2 u
-2
-1
1 2 x
y
2
1
-1
-2
u
-2
-1
1 2 x
y
2
1
-1
-2
u
-2
-1
1 2
x
y
2
1
-1
-2
u
-2
-1
1 2 x
y
2
1
-1
-2
u
-2
-1
1 2

6. 6
ADICIÓN DE COMPLEJOS
Sean z1= a + bi y z2 = c + di.
Entonces,
SUSTRACCIÓN DE COMPLEJOS
Sean z1 = a + bi y z2 = c + di.
Entonces,
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dados dos números complejos z1 y z2:
a) La adición z1 + z2 queda representada en un plano de Argand por la diagonal del
paralelogramo cuyos lados son los vectores z1 y z2.
OP = z1
OR = z1 + z2
OQ = z2

b) La sustracción (resta) z1 – z2, queda representada por la suma de z1 con el opuesto del
vector z2, z1 + (-z2)
OP = z1
OT = z1 – z2
OS = -z2
OBSERVACIÓN:
 El neutro aditivo es el complejo (0, 0) = 0 + 0i.
 El inverso aditivo u opuesto de z es –z. Si z = a + bi, entonces –z = –a – bi.
z1+ z2 = (a + c) + (b + d)i
z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i
x
y P
O
Q
R
z1
z2
z1 + z2
Q
x
y
S
P
O
T
z1
z2
z1 – z2
-z2

7. 7
EJEMPLOS
1. Si u = 2 + 3i y v = -5 + 4i, entonces u + v =
A) 2 + 4i
B) -5 + 9i
C) 3 + 7i
D) -3 + 7i
E) -10 + 12i
2. Si z1 = 2 + i, z2 = -4 + 5i y z3 = 3 – 4i, entonces z1 + z2 + z3 =
A) 1 + 2i
B) 3 + 10i
C) -5 + 10i
D) -1 – 10i
E) 3 – 2i
3. Sean a y b números complejos, con a = (5, -4) y b = (-6, -5), entonces a – b =
A) 11 – 9i
B) -1 – 9i
C) 11 + i
D) -1 + i
E) 11 – i
4. La suma de los complejos u = 2 + 3i y w = -5 + 6i, respectivamente, está
representada en
A) B) C)
D) E)
x
y
7
2
-3 3
-6
5
x
y
9
3
-3 2
-5
6
x
y
4
-5
-2
-8
6
x
y
9
-3
-5
2
3 6
x
y
7
-3
-6
3
2 5

8. 8
EJERCICIOS
1. 2 -9 + 3 -16 -4
 =
A) 16
B) -16
C) 16i
D) 20i
E) -5i
2. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a un número complejo imaginario puro?
A) -3 + 2i
B) 5
C)
3
-8
D) 8
E) -3i
3. Sean a = 3 – 5i y b = 12 + 3i, entonces Im (a) + Im(b) =
A) -2
B) 15
C) 9
D) 7
E) -2i
4. La diferencia de los cuadrados entre la parte real y la parte imaginaria del complejo
z = 4 – 3i es igual a
A) 25
B) 7
C) 1
D) -1
E) -7
5. La expresión cartesiana del complejo z = a + b, donde a = 1 – 2i y b = -2 + 3i es
A) ( 1,-1)
B) (-1,-1)
C) ( 1, 1)
D) (-1, 1)
E) ( 4, -4)

9. 9
6. Si z1 = 5 – 3i, z2 = 2 + 4i y z3 = 8 – i, entonces Re(z1) + 3 · Im(z3) – Im(z2) =
A) -2
B) -1
C) 0
D) 4
E) 12
7. Dados los números complejos u = 2(3 + i) – i + 5a y w = 5(5 + i) + bi – 3. Si u = w,
entonces los valores de a y b, son respectivamente,
A)
16
5
y 6
B) 3 y 6
C) 3
1
5
y 4
D)
16
5
y -4
E) 3
2
5
y -4
8. La gráfica del complejo 3 – 4i, está representada en la opción
A) B) C)
D) E)
x
y
3
-4
4
-3
x
y
3
-3
4
-4 x
y
4
-3
4
-3
x
y
4
-3
4
-4
x
y
4
-3
4
-4

10. 10
9. El valor de la expresión (i17
+ i5
)3
es igual a
A) 0
B) -1
C) 8
D) -8i
E) -8
10. Si z1 = 5 + 18i y z2 = 12 – 7i, entonces z1 – z2 es igual a
A) 17 + 11i
B) 25i – 7
C) 7 – 25i
D) 25i + 17
E) -12 + 30i
11. 3 (7 + -16 ) – 9 + 5i – 3 -64 =
A) -12 + i
B) -12 – i
C) 12 – 7i
D) 12 – 13i
E) -4 – 16i
12. Si w-9
= -i, entonces un posible valor para w2
es
A) i
B) -1
C) -i
D) 1
E) 0

11. 11
13. Si u = 2a – 8i y v = 8 + 24bi, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) Si a = 4 y b =
1
3
, entonces u = v.
II) Si a = 4 y b = -
1
3
, entonces v = -u.
III) Si a = 2 y b = -
2
3
, entonces u =
v
2
.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Ninguna de ellas.
14. Sean u = 4 + 7i y v = a + bi, se puede determinar que u = v, si:
(1) El conjugado de v es (4, -7).
(2) El módulo de v es 65 .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
15. El producto de (in + 1
)2
· im + 1
es igual a -1, si:
(1) 2n + m = 3
(2) n =
1
2
y m = 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

12. 12
RESPUESTA EJEMPLOS
RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. 8
MT-03
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Ejemplos
Págs.
1 2 3 4 5
2 D B B E D
3 E C C
4 E A B
5 E A
7 D A C A
1. C 6. A 11. C
2. E 7. D 12. B
3. A 8. C 13. C
4. B 9. D 14. A
5. D 10. B 15. D