Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones cuadráticas. Explica que una ecuación cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Ofrece ejemplos de identificar ecuaciones cuadráticas y resolverlas mediante factorización o la fórmula cuadrática. También cubre propiedades de las raíces como su suma y producto, y cómo usarlas para escribir la ecuación cuadrática correspondiente. Finalmente, presenta algunos problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas.

1. UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-08
Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma
ax2
+ bx + c = 0, con a, b y c coeficientes reales y a  0.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de segundo grado?
I) x2
– 5 = 0
II) (x + 1)2
= 3 – x2
III) (x + 1)2
= (x – 1)2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es de segundo grado?
A) x2
– 2x = 0
B) x +
2
x
+ 3 = 0
C) (2x + 1)2
= 4 x2
D) (x + 3) (x – 3) = 2x
E) (x + 1) (-x + 2) = 0
3. ¿Qué valores deben tener los coeficientes de la ecuación en x,
(a – 1)x2
+ (b + 3)x + c = 0, para que sea de segundo grado?
A) a  1, b = 3 y c = i
B) a = 1, b y c, cualquier real.
C) a  1, b y c, cualquier real.
D) a  1, b  3 y c, cualquier real.
E) a, b y c, cualquier real.

2. 2
La ecuación de segundo grado ax2
+ bx + c = 0 siempre tiene dos soluciones (o raíces).
Estas soluciones (o raíces) se las designa usualmente por  y , ó bien, por x1 y x2.
Una forma de solucionar una ecuación cuadrática es factorizando el trinomio, para luego
igualar a cero los factores y de esta manera determinar las soluciones.
1
2
2
m
ax + m = 0 x =-
(ax + m)(ax + n) a
ax + bx + c = 0 = 0
a n
ax + n = 0 x =-
a




 
 


, con y m n =
m+n=b a c
 
EJEMPLO:
EJEMPLOS
1. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación (2x – 1)(x + 3) = 0?
A)
1
2
y 3
B)
1
2
y -3
C) -
1
2
y 3
D) -
1
2
y -3
E) 1 y -3
2. La ecuación cuadrática x2
+ 5x – 24 = 0 es equivalente con
A) (x + 3)(x + 8) = 0
B) (x – 3)(x – 8) = 0
C) (x – 3)(x + 8) = 0
D) (x + 3)(x – 8) = 0
E) ninguna de las anteriores.
3. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2
+ 3 = x + 3 es
A) {0,-1}
B) {0}
C) {1}
D) {0,1}
E) ninguna de las anteriores.

3. 3
Para determinar las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado
ax2
+ bx + c = 0, también su puede utilizar la siguiente fórmula:
x =
Siendo las soluciones,
2 2
1 2
y x =
-b + b 4ac -b b 4ac
x =
2a 2a
  
EJEMPLOS
1. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación 2x2
+ 5x = 3 es
A)
1
3, -
2
 
 
 
B)
1
-3, -
2
 
 
 
C)
1
3,
2
 
 
 
D)
1
-3,
2
 
 
 
E)
3
-1, -
2
 
 
 
2. Las raíces o soluciones de la ecuación 4x2
+ 9 = 12x son
A) -3 y 3
B)
3 3
y
2 2
C)
3 3
- y -
2 2
D)
3 3
- y
2 2
E) 3 y 3
3. Las raíces o soluciones de la ecuación 2x = 10 + x2
son
A) -4 y 2
B) -4 y -2
C) 1 + 3i y 1 – 3i
D) -1 – 3i y -1 + 3i
E) 1 – 3i y -1 + 3i

4. 4
En la ecuación de segundo grado ax2
+ bx + c = 0, se llama discriminante, y se
simboliza por , al número real b2
– 4ac
Dependiendo del discriminante, las soluciones de la ecuación pueden ser:
* Reales e iguales, si  = 0
* Reales y distintas, si  > 0
* Complejas conjugadas, si  < 0
EJEMPLOS
1. ¿Cuál es el valor del discriminante de la ecuación x2
+ 5x – 2 = 0?
A) -3
B) 17
C) 13
D) 27
E) 33
2. Si el discriminante de la ecuación cuadrática 3x2
– 4x + k = 0 es igual a 4, entonces el
valor de k es
A) -
5
3
B) -1
C) 0
D) 1
E)
5
3
3. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones, las raíces son reales y distintas?
A) x2
– x + 12 = 0
B) x2
+ 3x + 5 = 0
C) x2
– 4x + 3 = 0
D) x2
+ 5x + 7 = 0
E) x2
– 2x + 8 = 0
4. Si las raíces de la ecuación x2
– 6x + t = 0 son reales e iguales, entonces t =
A) 9
B) 3
C) 0
D) -3
E) -9

5. 5
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Si  y  son las soluciones (o raíces) de la ecuación de 2º grado ax2
+ bx + c = 0, entonces
siempre se cumple que:
EJEMPLOS
1. La suma de las raíces de la ecuación 2x2
– 6x +
1
3
= 0 es
A)
1
6
B) -
1
6
C)
2
3
D) 3
E) -3
2. ¿Cuál es el producto de las soluciones de la ecuación 3x2
– 6 = x + 8?
A)
14
3
B)
2
3
C)
1
3
D) -
1
3
E) -
14
3
3. ¿Cuál es la suma de las raíces o soluciones de la ecuación 2x-2
– 3x-1
+ 5 = 0?
A) -
3
5
B)
3
5
C) -
3
2
D)
3
2
E)
3
4
b
= -
a
  
c
=
a
  

6. 6
Si  y  son las soluciones (o raíces) de una ecuación de 2º grado, entonces la ecuación se
puede determinar mediante la relación:
2
x ( )x 0
        
EJEMPLOS
1. ¿Cuál es la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 5 y -11?
A) x2
– 6x + 55 = 0
B) x2
– 6x – 55 = 0
C) x2
+ 6x – 55 = 0
D) x2
+ 6x + 55 = 0
E) x2
– 16x – 55 = 0
2. ¿Cuál es la ecuación de segundo grado cuyas raíces o soluciones son
y
1 + 2 1
2
2
2

?
A) 4x2
– 4x + 1 = 0
B) 4x2
– 4x – 1 = 0
C) 4x2
+ 4x + 1 = 0
D) 2x2
+ 4x – 1 = 0
E) 2x2
– 4x + 1 = 0
3. La ecuación de segundo grado cuyas raíces son 5 – 2i y 5 + 2i es
A) x2
– 10x + 29 = 0
B) x2
– 10x + 21 = 0
C) x2
+ 10x + 29 = 0
D) x2
+ 10x + 21 = 0
E) x2
– 10x – 29 = 0

7. 7
PROBLEMAS
El planteamiento de algunos problemas muchas veces conlleva a una ecuación de segundo.
Para determinar la solución del problema es necesario resolver la ecuación cuadrática
resultante.
EJEMPLOS
1. La ecuación que determina un número x cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a
diez veces, el número aumentado en 8, es
A) x2
+ 119 = 10(x – 8)
B) x2
– 119 = 10(x + 8)
C) x2
+ 10x – 39 = 0
D) x2
– 10x + 39 = 0
E) x2
+ 10x + 39 = 0
2. La suma de dos números es 2 y la suma de sus cuadrados es 34. Si uno de los
números es x, ¿cuál de las ecuaciones permite determinar su valor?
A) x2
+ (2 + x)2
= 34
B) x2
– (2 + x)2
= 34
C) x2
+ (2 – x)2
= 34
D) x2
– (2 – x)2
= 34
E) x2
+ (x2
– 2)2
= 34
3. Los lados y diagonales de un rectángulo son 3 números naturales consecutivos. ¿Cuál
es el área del rectángulo?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 12
E) 15

8. 8
EJERCICIOS
1. ¿Qué valor debe tener p en la ecuación px2
+ 2x – 5 = 0, para que una de las
soluciones sea 1?
A) -3
B) -1
C) 1
D) 3
E) 5
2. Si t es la menor de las soluciones de la ecuación x(x – 2) – x = 2(x – 2), entonces 3t =
A) -12
B) -3
C) -1
D) 1
E) 3
3. La mayor de las soluciones de la ecuación (2x + 1)(x – 3) = 0 es
A) un número entero positivo.
B) un número entero negativo.
C) un número irracional negativo.
D) un número racional negativo.
E) un número irracional positivo.
4. Las soluciones de la ecuación 2x2
+ 5x = 6x + 15, son números
A) enteros de distinto signo.
B) enteros de igual signo.
C) racionales de distinto signo.
D) irracionales de igual signo.
E) no reales.

9. 9
5. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones, el producto de las soluciones es igual a cero?
A) x2
– x – 5 = 0
B) x2
+ x + 2 = 0
C) (x – 3)(x – 2) = 0
D) (x + 1)(x + 2) = 3
E) (x + 2)(x + 3) = 6
6. Si las raíces de la ecuación x2
+ ax + b = 0 son -4 y 8, entonces a – b =
A) 28
B) 5
C) -4
D) -28
E) -36
7. El discriminante de la ecuación cuadrática 5x2
– 2x – 1 = 0 es igual a
A) 25
B) 24
C) 22
D) 16
E) -16
8. ¿Cuál es el valor de la suma de los discriminantes de las ecuaciones x +
1
x
= 0 y
x(x – 2) = 0?
A) 0
B) 8
C) -8
D) -3
E) 5

10. 10
9. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en el conjunto de los números
reales?
A) x2
– 10x + 3 = 0
B) x2
+ 10x – 3 = 0
C) x2
– 3x – 10 = 0
D) x2
+ 3x – 10 = 0
E) x2
– 3x + 10 = 0
10. La ecuación de segundo grado x2
+ ax + b = 0 tiene raíces reales distintas si
A) a2
> 2b
B) a2
> -4b
C) a2
> 4b
D) 4a2
> b
E) 4a2
> -b
11. Las soluciones de la ecuación 2
(2x 6) = 5
 son
A) ± 5 + 3
B) ± 5 3

C)
5
± + 3
2
D)
5
± 3
2

E)
5
3
2

12. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene por soluciones 1 + 3 y 1 – 3 ?
A) x2
– 2x – 2 = 0
B) x2
– 2x + 2 = 0
C) x2
+ 2x – 2 = 0
D) x2
– 2x + 1 – 3 = 0
E) x2
– x – 3 x – 2 = 0

11. 11
13. La suma de las raíces (soluciones) de la ecuación x-2
– x-1
= 2 es
A) -1
B) 1
C) -2
D) -
2
1
E)
2
1
14. Si la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado tienen el
mismo valor, la ecuación puede ser
A) x2
– 2x + 1 = 0
B) x2
+ 2x + 1 = 0
C) x2
– x – 1 = 0
D) x2
+ x + 1 = 0
E) x2
– x + 1 = 0
15. Si  y  son las soluciones (raíces) de la ecuación x2
– 3x +
1
5
= 0, el valor de la
expresión
2 2
1
 
es
A) 5
B) 25
C) 9
D)
25
1
E)
9
1
16. Si  es una raíz de la ecuación ax2
+ bx + a = 0, entonces la otra raíz es
A) 2
B) 2
C)
2

D)
1

E) No se puede determinar.

12. 12
17. Si 2 – 7i es solución de una ecuación de segundo grado con coeficientes reales,
entonces la otra solución es
A) -2 + 7i
B) -1 – 7i
C) 2 – 7i
D) 2 + 7i
E) No se puede determinar.
18. Si 7 + 3i es solución de la ecuación de segundo grado x2
+ px + q = 0, donde p y q son
números reales, entonces los valores de p y q, son respectivamente,
A) -14 y 58
B) 14 y 58
C) 14 y -58
D) -14 y -58
E) Otro valor.
19. La ecuación de segundo grado que tiene por raíces o soluciones  = 2 + 5 y
 = 2 – 5 es
A) x2
– 4x + 1 = 0
B) x2
– 4x – 1 = 0
C) x2
– 5x + 1 = 0
D) x2
– 5x – 1 = 0
E) x2
+ 4x + 1 = 0
20. El conjunto solución de la ecuación x4
– 13x2
+ 36 = 0 es
A) {2}
B) {3}
C) {2, 3}
D) {4, 9}
E) {2, 3, -2, -3}
21. La diferencia entre los números x e y es 6 y la suma de sus cuadrados es 410. ¿Cuál de
las siguientes ecuaciones permite determinar el valor de x?
A) x2
– (x + 6)2
= 410
B) x2
+ (x + 6)2
= 410
C) x2
– (x – 6)2
= 410
D) x2
+ (x – 6)2
= 410
E) x2
– (x2
+ 36) = 410

13. 13
22. Las raíces de la ecuación de segundo grado x2
– px + q = 0 son reales e iguales, si:
(1) p = 2
(2) q = 1
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
23. Se puede conocer el valor del producto de las soluciones de la ecuación de segundo
grado x2
– tx + r = 0, si se sabe que:
(1) r2
= 4 y r > 0
(2) 1 < r < 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
24. En la ecuación 8x2
– kx + 3 = 0, se pueden determinar sus raíces, si:
(1) k2
= 16
(2) k = 4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

14. 14
25. La ecuación cuadrática 8x2
+ 21x + 15 = 0 es equivalente a 2ax2
+ 3bx + 15 = 0, si:
(1) a = 4
(2) b = 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS EJEMPLOS
MT-08
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web
http://www.pedrodevaldivia.cl/
Ejemplos
Págs.
1 2 3 4
1 D C C
2 B C D
3 D B C
4 E D C A
5 D E B
6 C B A
7 B C D
RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. 8
1. D 6. A 11. C 16. D 21. D
2. E 7. B 12. A 17. D 22. C
3. A 8. A 13. D 18. A 23. A
4. C 9. E 14. E 19. B 24. B
5. E 10. C 15. B 20. E 25. C