Este documento describe las funciones cuadráticas. Explica que una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0. Su gráfica es una parábola simétrica con respecto a un eje de simetría. También define conceptos como vértice, ceros, dominio y recorrido de una función cuadrática. Proporciona ejemplos para ilustrar estas ideas.
Este documento contiene 12 preguntas sobre funciones cuadráticas. Las preguntas cubren temas como calcular valores de funciones, determinar intervalos de crecimiento, encontrar vértices de parábolas, identificar gráficas de funciones cuadráticas y simplificar funciones a la forma estándar. El objetivo es evaluar la comprensión del estudiante sobre conceptos clave de funciones cuadráticas.
Este documento contiene 8 preguntas de matemáticas y geometría. La primera pregunta trata sobre la altura de un faro. La segunda explica cómo Tales de Mileto midió la altura de las pirámides de Egipto usando sombras. La tercera pregunta trata sobre figuras semejantes y la razón entre sus lados.
Este documento presenta 30 problemas de matemáticas relacionados con potencias, ecuaciones exponenciales y funciones exponenciales. Los problemas abarcan una variedad de temas como operaciones con potencias, raíces, logaritmos, gráficos de funciones y ecuaciones exponenciales. El documento provee las respuestas correctas al final para que los estudiantes puedan revisar y evaluar su comprensión de los conceptos matemáticos cubiertos.
1) El documento presenta conceptos sobre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas, incluyendo sus raíces, discriminante, vértice y eje de simetría.
2) Se explican las características de las funciones cuadráticas y cómo los valores de sus coeficientes afectan la forma de la parábola asociada.
3) Se proveen ejemplos para ilustrar los diferentes conceptos teóricos sobre ecuaciones y funciones cuadráticas.
Este documento presenta información sobre fracciones algebraicas, incluyendo cómo simplificar, multiplicar, dividir, sumar y restar este tipo de expresiones. Explica que una fracción algebraica es una expresión de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Luego detalla los pasos para simplificar, multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones algebraicas, proporcionando ejemplos para ilustrar cada operación.
1. Dos torres de vigilancia de incendios están a 1.5 km de distancia entre sí y divisan un fuego en un punto C. Se pide calcular cuán lejos está el fuego de la Torre A.
2. Un hombre observa la altura de una torre de alta tensión de 10 metros y el ángulo de elevación del sol es de 30°. Se pide calcular la distancia entre el hombre y la torre.
3. Se pide calcular cuán lejos está un bote de pesca de la base de un risco de 60 metros de altura, si
El documento presenta una prueba de 15 preguntas de selección múltiple sobre el teorema de Tales. Cada pregunta contiene una figura geométrica y pregunta por algún valor desconocido basado en las relaciones de paralelismo y proporcionalidad entre los segmentos de las figuras.
Este documento explica conceptos básicos sobre funciones, incluyendo traslación, simetría, funciones pares e impares, función valor absoluto y función parte entera. Incluye ejemplos y gráficos para ilustrar estas nociones.
Este documento contiene 12 preguntas sobre funciones cuadráticas. Las preguntas cubren temas como calcular valores de funciones, determinar intervalos de crecimiento, encontrar vértices de parábolas, identificar gráficas de funciones cuadráticas y simplificar funciones a la forma estándar. El objetivo es evaluar la comprensión del estudiante sobre conceptos clave de funciones cuadráticas.
Este documento contiene 8 preguntas de matemáticas y geometría. La primera pregunta trata sobre la altura de un faro. La segunda explica cómo Tales de Mileto midió la altura de las pirámides de Egipto usando sombras. La tercera pregunta trata sobre figuras semejantes y la razón entre sus lados.
Este documento presenta 30 problemas de matemáticas relacionados con potencias, ecuaciones exponenciales y funciones exponenciales. Los problemas abarcan una variedad de temas como operaciones con potencias, raíces, logaritmos, gráficos de funciones y ecuaciones exponenciales. El documento provee las respuestas correctas al final para que los estudiantes puedan revisar y evaluar su comprensión de los conceptos matemáticos cubiertos.
1) El documento presenta conceptos sobre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas, incluyendo sus raíces, discriminante, vértice y eje de simetría.
2) Se explican las características de las funciones cuadráticas y cómo los valores de sus coeficientes afectan la forma de la parábola asociada.
3) Se proveen ejemplos para ilustrar los diferentes conceptos teóricos sobre ecuaciones y funciones cuadráticas.
Este documento presenta información sobre fracciones algebraicas, incluyendo cómo simplificar, multiplicar, dividir, sumar y restar este tipo de expresiones. Explica que una fracción algebraica es una expresión de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Luego detalla los pasos para simplificar, multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones algebraicas, proporcionando ejemplos para ilustrar cada operación.
1. Dos torres de vigilancia de incendios están a 1.5 km de distancia entre sí y divisan un fuego en un punto C. Se pide calcular cuán lejos está el fuego de la Torre A.
2. Un hombre observa la altura de una torre de alta tensión de 10 metros y el ángulo de elevación del sol es de 30°. Se pide calcular la distancia entre el hombre y la torre.
3. Se pide calcular cuán lejos está un bote de pesca de la base de un risco de 60 metros de altura, si
El documento presenta una prueba de 15 preguntas de selección múltiple sobre el teorema de Tales. Cada pregunta contiene una figura geométrica y pregunta por algún valor desconocido basado en las relaciones de paralelismo y proporcionalidad entre los segmentos de las figuras.
Este documento explica conceptos básicos sobre funciones, incluyendo traslación, simetría, funciones pares e impares, función valor absoluto y función parte entera. Incluye ejemplos y gráficos para ilustrar estas nociones.
El documento define los poliedros regulares como aquellos en los que todas las caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Existen solo cinco poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. A continuación, presenta 15 problemas de cálculo relacionados con las medidas de estas figuras geométricas.
Este documento presenta 10 preguntas de trigonometría básica sobre triángulos rectángulos, tangentes, cosenos y senos. Las respuestas correctas son: 2) a, 3) b, 4) c, 5) c, 6) b, 7) c, 8) c, 9) b, 10) a.
Este documento presenta un examen de 12 preguntas sobre funciones cuadráticas y parábolas. Las preguntas requieren que los estudiantes identifiquen características como vértices, ejes de simetría, intersecciones con los ejes coordenados y concavidad de funciones dadas por sus gráficas o ecuaciones. El examen evalúa la comprensión de conceptos fundamentales de geometría como parábolas, funciones cuadráticas y sus propiedades.
El documento describe cómo modelar matemáticamente un rectángulo dada su altura y base. Explica que la altura es una función cuadrática de la base, donde la altura disminuye a medida que aumenta la base, de modo que se mantenga un perímetro constante. Proporciona tablas para calcular la altura y el área del rectángulo en función de los cambios en la base.
1. Se indica el orden de una matriz escribiendo el número de filas x el número de columnas.
2. Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual al número de columnas.
3. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se identifica como la traza.
Este documento presenta un análisis introductorio de conceptos vectoriales como vectores, vectores unitarios cartesianos, vectores unitarios direccionales, cosenos directores, producto escalar, producto vectorial y sus propiedades. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cada concepto.
Este documento contiene 30 preguntas de ejercicios de trigonometría sobre triángulos rectángulos y no rectángulos. Las preguntas involucran cálculos de senos, cosenos, tangentes y áreas de triángulos, así como también determinar medidas desconocidas en figuras geométricas usando relaciones trigonométricas. Al final se entregan las claves de respuestas a los ejercicios propuestos.
Este documento presenta el Teorema de Tales y los conceptos de división interior, exterior y armónica de segmentos. Explica cómo calcular longitudes desconocidas usando las razones dadas entre segmentos paralelos cortados por una transversal, y entre segmentos divididos interior, exterior o armónicamente. Incluye ejemplos para resolver.
Este documento presenta una guía de 30 ejercicios sobre logaritmos y la función logarítmica. Los ejercicios cubren temas como propiedades de los logaritmos, expresiones logarítmicas equivalentes, gráficos de funciones logarítmicas y determinación de valores numéricos de expresiones logarítmicas dados ciertos datos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen sus conocimientos sobre esta importante función matemática.
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la rectaantoniojesus96
Este documento contiene 47 ejercicios de álgebra sobre ecuaciones de rectas. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dados puntos, determinar pendientes y coeficientes de posición de rectas dadas sus ecuaciones, y resolver problemas gráficos identificando ecuaciones de rectas representadas en gráficas. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio de manera individual.
Este documento presenta un taller sobre funciones cuadráticas que incluye ejercicios para graficar funciones cuadráticas, identificar sus componentes como ceros, vértice y concavidad, y resolver ecuaciones cuadráticas. Los estudiantes deben seguir pasos ordenados para analizar las funciones dadas y determinar valores numéricos relacionados a sus gráficas.
El documento presenta un conjunto de ejercicios de matemáticas relacionados con las relaciones métricas en triángulos oblicuángulos. Se piden calcular longitudes desconocidas "x", altitudes "h", bisectrices y proyecciones en 17 ejercicios numéricos.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
1. El documento presenta 20 preguntas de álgebra de diferentes niveles de dificultad. Las preguntas incluyen temas como ecuaciones polinomiales, expresiones algebraicas y división de polinomios.
2. Las preguntas van desde operaciones básicas con polinomios hasta problemas más complejos que involucran raíces, progresiones aritméticas y conjuntos solución de ecuaciones paramétricas.
3. El documento provee una variedad de ejercicios de álgebra para practicar diferentes conceptos y niveles de d
Este documento trata sobre trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo y las funciones trigonométricas de ángulos. Además, describe los tres sistemas para medir ángulos - sexagesimal, centesimal y radial - y cómo convertir entre ellos. Finalmente, ofrece recomendaciones para resolver problemas de trigonometría.
55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadráticaMarcelo Calderón
Este documento presenta 30 preguntas sobre ecuaciones y funciones cuadráticas. Las preguntas abarcan temas como identificar ecuaciones de segundo grado, determinar valores para que una ecuación tenga ciertas raíces, analizar gráficos de funciones cuadráticas, y relacionar ecuaciones con sus correspondientes gráficos. El objetivo es evaluar la comprensión de conceptos fundamentales de las ecuaciones y funciones cuadráticas.
Este documento presenta 13 problemas relacionados con determinar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dadas. Los problemas involucran identificar pendientes, puntos y ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares basados en gráficos y datos numéricos provistos.
Este documento presenta una serie de ejercicios matemáticos que involucran operaciones con fracciones decimales y porcentajes, como hallar fracciones generatrizes, sumas, restas, divisiones y raíces cuadradas.
1. La función cuadrática se representa como f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.
2. La gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica con respecto a su eje de simetría, que es una recta paralela al eje de las ordenadas.
3. El documento proporciona ejemplos y explicaciones sobre las formas y propiedades de las funciones cuadráticas, incluyendo su vértice, raíces, concavidad y puntos
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas. Explica que una ecuación de segundo grado puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0, y que sus soluciones se calculan usando la fórmula x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. También define una función cuadrática como f(x) = ax2 + bx + c, cuya gráfica es una parábola. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
El documento define los poliedros regulares como aquellos en los que todas las caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Existen solo cinco poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. A continuación, presenta 15 problemas de cálculo relacionados con las medidas de estas figuras geométricas.
Este documento presenta 10 preguntas de trigonometría básica sobre triángulos rectángulos, tangentes, cosenos y senos. Las respuestas correctas son: 2) a, 3) b, 4) c, 5) c, 6) b, 7) c, 8) c, 9) b, 10) a.
Este documento presenta un examen de 12 preguntas sobre funciones cuadráticas y parábolas. Las preguntas requieren que los estudiantes identifiquen características como vértices, ejes de simetría, intersecciones con los ejes coordenados y concavidad de funciones dadas por sus gráficas o ecuaciones. El examen evalúa la comprensión de conceptos fundamentales de geometría como parábolas, funciones cuadráticas y sus propiedades.
El documento describe cómo modelar matemáticamente un rectángulo dada su altura y base. Explica que la altura es una función cuadrática de la base, donde la altura disminuye a medida que aumenta la base, de modo que se mantenga un perímetro constante. Proporciona tablas para calcular la altura y el área del rectángulo en función de los cambios en la base.
1. Se indica el orden de una matriz escribiendo el número de filas x el número de columnas.
2. Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual al número de columnas.
3. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se identifica como la traza.
Este documento presenta un análisis introductorio de conceptos vectoriales como vectores, vectores unitarios cartesianos, vectores unitarios direccionales, cosenos directores, producto escalar, producto vectorial y sus propiedades. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cada concepto.
Este documento contiene 30 preguntas de ejercicios de trigonometría sobre triángulos rectángulos y no rectángulos. Las preguntas involucran cálculos de senos, cosenos, tangentes y áreas de triángulos, así como también determinar medidas desconocidas en figuras geométricas usando relaciones trigonométricas. Al final se entregan las claves de respuestas a los ejercicios propuestos.
Este documento presenta el Teorema de Tales y los conceptos de división interior, exterior y armónica de segmentos. Explica cómo calcular longitudes desconocidas usando las razones dadas entre segmentos paralelos cortados por una transversal, y entre segmentos divididos interior, exterior o armónicamente. Incluye ejemplos para resolver.
Este documento presenta una guía de 30 ejercicios sobre logaritmos y la función logarítmica. Los ejercicios cubren temas como propiedades de los logaritmos, expresiones logarítmicas equivalentes, gráficos de funciones logarítmicas y determinación de valores numéricos de expresiones logarítmicas dados ciertos datos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen sus conocimientos sobre esta importante función matemática.
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la rectaantoniojesus96
Este documento contiene 47 ejercicios de álgebra sobre ecuaciones de rectas. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dados puntos, determinar pendientes y coeficientes de posición de rectas dadas sus ecuaciones, y resolver problemas gráficos identificando ecuaciones de rectas representadas en gráficas. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio de manera individual.
Este documento presenta un taller sobre funciones cuadráticas que incluye ejercicios para graficar funciones cuadráticas, identificar sus componentes como ceros, vértice y concavidad, y resolver ecuaciones cuadráticas. Los estudiantes deben seguir pasos ordenados para analizar las funciones dadas y determinar valores numéricos relacionados a sus gráficas.
El documento presenta un conjunto de ejercicios de matemáticas relacionados con las relaciones métricas en triángulos oblicuángulos. Se piden calcular longitudes desconocidas "x", altitudes "h", bisectrices y proyecciones en 17 ejercicios numéricos.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
1. El documento presenta 20 preguntas de álgebra de diferentes niveles de dificultad. Las preguntas incluyen temas como ecuaciones polinomiales, expresiones algebraicas y división de polinomios.
2. Las preguntas van desde operaciones básicas con polinomios hasta problemas más complejos que involucran raíces, progresiones aritméticas y conjuntos solución de ecuaciones paramétricas.
3. El documento provee una variedad de ejercicios de álgebra para practicar diferentes conceptos y niveles de d
Este documento trata sobre trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo y las funciones trigonométricas de ángulos. Además, describe los tres sistemas para medir ángulos - sexagesimal, centesimal y radial - y cómo convertir entre ellos. Finalmente, ofrece recomendaciones para resolver problemas de trigonometría.
55 ejercicios ecuación 2do grado y función cuadráticaMarcelo Calderón
Este documento presenta 30 preguntas sobre ecuaciones y funciones cuadráticas. Las preguntas abarcan temas como identificar ecuaciones de segundo grado, determinar valores para que una ecuación tenga ciertas raíces, analizar gráficos de funciones cuadráticas, y relacionar ecuaciones con sus correspondientes gráficos. El objetivo es evaluar la comprensión de conceptos fundamentales de las ecuaciones y funciones cuadráticas.
Este documento presenta 13 problemas relacionados con determinar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dadas. Los problemas involucran identificar pendientes, puntos y ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares basados en gráficos y datos numéricos provistos.
Este documento presenta una serie de ejercicios matemáticos que involucran operaciones con fracciones decimales y porcentajes, como hallar fracciones generatrizes, sumas, restas, divisiones y raíces cuadradas.
1. La función cuadrática se representa como f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.
2. La gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica con respecto a su eje de simetría, que es una recta paralela al eje de las ordenadas.
3. El documento proporciona ejemplos y explicaciones sobre las formas y propiedades de las funciones cuadráticas, incluyendo su vértice, raíces, concavidad y puntos
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas. Explica que una ecuación de segundo grado puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0, y que sus soluciones se calculan usando la fórmula x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. También define una función cuadrática como f(x) = ax2 + bx + c, cuya gráfica es una parábola. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas. Explica que una ecuación de segundo grado puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0, y que sus soluciones se calculan usando la fórmula x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. También define una función cuadrática como f(x) = ax2 + bx + c, cuya gráfica es una parábola. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento presenta una guía de trabajo sobre funciones cuadráticas y raíces cuadradas para estudiantes de cuarto medio. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios sobre conceptos como parábolas, vértices, raíces y gráficas de funciones cuadráticas. El objetivo es que los estudiantes conozcan, comprendan y apliquen estos conceptos matemáticos.
Este documento presenta 30 preguntas sobre funciones, potencias, raíces, logaritmos y ecuaciones cuadráticas. Las preguntas abarcan temas como gráficos de funciones, dominios y recorridos, equivalencias algebraicas, raíces reales, discriminantes, vértices de funciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones. El documento proporciona las respuestas correctas al final para que el lector pueda revisar su comprensión de estos importantes conceptos matemáticos.
1. El documento trata sobre conceptos relacionados con funciones, como variable dependiente e independiente, dominio, codominio, ámbito, imagen y preimagen.
2. Incluye ejercicios sobre determinar la ecuación de funciones dadas gráficamente o a través de puntos, así como identificar elementos de funciones como su dominio máximo.
3. También cubre funciones lineales, incluyendo determinar la pendiente y ecuación de una recta a partir de puntos o su intersección con los ejes.
1) La función f(x) = x2 es estrictamente decreciente en el intervalo (1,1).
2) Para que la función g(x) = kx2 + 2x interseque al eje x en dos puntos, el valor de k debe pertenecer al intervalo (4,0).
3) El ámbito de la función f(x) = 5x2 – 30x + 1 con dominio R corresponde al intervalo (–∞, 3].
El documento presenta una prueba de matemáticas sobre funciones cuadráticas para el tercer año de colegio. La prueba contiene 27 preguntas de selección múltiple y desarrollo sobre conceptos como parámetros de funciones cuadráticas, intersección con los ejes, vértice, análisis de gráficos y ecuaciones. El estudiante debe responder las preguntas de forma ordenada sin usar calculadora.
Este documento describe las funciones y sus propiedades fundamentales. Define una función como una relación entre dos conjuntos A y B donde a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. Explica conceptos como dominio, codominio, imagen y preimagen. También cubre tipos de funciones como funciones reales, constantes, lineales y afines, así como la composición y representación gráfica de funciones.
1. El documento presenta los conceptos de traslación y simetría de funciones, explicando que la traslación de una función f(x) puede ocurrir en el eje x (f(x-h)) o en el eje y (f(x)+k), y la simetría puede ocurrir respecto al eje x (f(-x)) o al eje y (-f(x)).
2. También explica las propiedades de funciones pares e impares, y la composición de funciones f(g(x)).
3. Incluye ejemplos y gr
El documento presenta conceptos básicos sobre el producto cartesiano y las coordenadas de puntos en el plano cartesiano. Explica cómo graficar el producto cartesiano de dos conjuntos y define la distancia y coordenadas del punto medio entre dos puntos. Luego, introduce conceptos como la pendiente de una recta, ecuaciones de rectas que pasan por puntos y tienen cierta pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, y la ecuación general de una recta.
Este documento presenta conceptos sobre potencias y funciones exponenciales. Introduce las propiedades de las potencias como el producto y cociente de potencias de igual base, y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades. Luego explica ecuaciones exponenciales, funciones exponenciales y sus gráficas, y por último introduce funciones potencia para exponentes pares e impares.
Este documento define funciones y tipos de funciones como funciones continuas, crecientes y decrecientes. Explica que una función asigna un único elemento del conjunto B a cada elemento del conjunto A. Proporciona ejemplos de funciones afines, lineales y constantes, y aplicaciones de funciones lineales como modelos matemáticos de situaciones prácticas como costos de producción y relaciones entre temperaturas.
Este documento resume los elementos básicos de una función cuadrática. Explica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax^2+bx+c, donde a, b y c son constantes reales y a no es cero. Los elementos clave son: 1) El coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta el eje y. 2) El eje de simetría es la línea paralela al eje y que pasa por el vértice. 3) El vértice es el punto más alto o bajo de la parábola y sus coord
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones, incluyendo definiciones de dominio, recorrido, funciones crecientes, decrecientes y constantes. Explica traslaciones de funciones y evalúa funciones. También cubre funciones valor absoluto, parte entera y aplicaciones lineales. Finaliza con ejemplos y ejercicios prácticos sobre estos temas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones, incluyendo definiciones de dominio, recorrido, funciones crecientes, decrecientes y constantes. Explica traslaciones de funciones y evalúa funciones. También cubre funciones valor absoluto, parte entera y aplicaciones lineales. Finaliza con ejemplos y ejercicios para practicar los conceptos.
Este documento presenta una guía teórico-práctica sobre potencias, ecuaciones exponenciales y funciones exponenciales. Incluye propiedades de potencias, ejemplos de cálculo con potencias, resolución de ecuaciones exponenciales y gráficas y propiedades de funciones exponenciales de la forma f(x)=ax.
El documento presenta 30 preguntas sobre funciones y gráficos de funciones. Las preguntas abarcan temas como identificar funciones a partir de gráficos, calcular valores de funciones, determinar dominios y rangos, y analizar propiedades como paridad de funciones.
Este documento presenta problemas de geometría y álgebra relacionados con sistemas de coordenadas, funciones, ecuaciones de rectas y circunferencias. Contiene 25 problemas con sus respectivas opciones de respuesta.
1. La ecuación de una circunferencia dada es (x + 5)2 + (y + 3)2 = 16. El centro es (-5, -3) y el radio es 4.
2. Se proporciona información sobre circunferencias, rectas, polígonos regulares, áreas y perímetros.
3. Se analizan funciones, gráficas de funciones, composición de funciones, funciones exponenciales y logarítmicas.
Este documento trata sobre la toma de decisiones financieras y económicas. Explica cómo comparar ofertas comerciales para elegir la mejor opción mediante el cálculo de porcentajes y precios unitarios. Proporciona ejemplos de cómo analizar ofertas promocionales que incluyen descuentos para determinar cuál es la más conveniente.
1) El documento describe la homotecia de figuras planas, que es una transformación geométrica que amplía o reduce las figuras manteniendo su forma.
2) La homotecia se define multiplicando todos los vectores desde un punto fijo (centro de homotecia) por un número real llamado razón de homotecia.
3) Si la razón es mayor que 1 amplía la figura, si es menor que 1 la reduce, y si es igual a 1 no cambia su tamaño.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones cuadráticas. Explica que una ecuación cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Ofrece ejemplos de identificar ecuaciones cuadráticas y resolverlas mediante factorización o la fórmula cuadrática. También cubre propiedades de las raíces como su suma y producto, y cómo usarlas para escribir la ecuación cuadrática correspondiente. Finalmente, presenta algunos problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas.
Este documento define los logaritmos como la operación inversa de la exponenciación. Explica que el logaritmo de un número en una base dada es el exponente a la que se debe elevar dicha base para obtener el número. Presenta algunas propiedades básicas de los logaritmos como el logaritmo de un producto y de un cociente. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar el concepto y aplicar las propiedades.
El documento trata sobre conceptos básicos de análisis combinatorio como permutaciones, variaciones, combinaciones y factoriales. Explica que el análisis combinatorio estudia las distintas ordenaciones y agrupaciones posibles de los elementos de un conjunto. Luego define técnicas de conteo y principios como el multiplicativo y aditivo para calcular las posibles formas en que pueden ocurrir eventos. Finalmente, incluye ejemplos ilustrativos de cada concepto.
El documento presenta información sobre diagramas de Venn, que son una forma de representar gráficamente conjuntos y subconjuntos mediante círculos. Explica que los círculos muestran las relaciones entre conjuntos y cómo se superponen para indicar subconjuntos comunes. Incluye un ejemplo de un diagrama de Venn que representa personas en un tour turístico que hablan diferentes idiomas.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo la unidad imaginaria i, cuyo cuadrado es -1. Explica cómo calcular potencias de i y raíces cuadradas de números negativos. Luego define números complejos como la suma de una parte real y una parte imaginaria, y muestra cómo representarlos gráficamente y realizar operaciones como suma y resta con ellos. Finalmente, presenta ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento define la raíz y función raíz, y presenta sus propiedades y ejemplos. Explica que la raíz n-ésima de un número real positivo a es el único número real y positivo b tal que bn = a, y que la raíz de un número real cualquiera a solo es real si n es impar. Además, muestra cómo racionalizar fracciones y trabajar con funciones raíz.
Este documento resume conceptos fundamentales de álgebra y funciones como productos notables, cuadrados y cubos de binomios, factorización de polinomios, ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones lineales y conceptos geométricos como rectas y sus elementos. Se explican los pasos para resolver diferentes tipos de problemas matemáticos como de edades, trabajos, mezclas, entre otros.
Este documento presenta nociones elementales sobre probabilidad, incluyendo definiciones de experimento, experimento aleatorio, espacio muestral, evento, eventos mutuamente excluyentes e independientes. Explica cómo calcular probabilidades clásicas y da ejemplos de problemas de probabilidad. También introduce el triángulo de Pascal y la ley de los grandes números.
El documento describe diferentes tipos de funciones como funciones inyectivas, epiyectivas, biyectivas y funciones inversas. También explica conceptos como traslación y simetría de gráficas de funciones, funciones pares e impares y la función parte entera. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos sobre variables aleatorias discretas y continuas. Introduce las funciones de probabilidad y distribución de probabilidad acumulada para variables aleatorias discretas y continuas. Explica que una variable aleatoria discreta puede tomar valores de un conjunto finito o infinito numerable, mientras que una variable continua puede tomar cualquier valor real en un intervalo. También presenta ejemplos de distribución normal y sus intervalos.
Este documento trata sobre números complejos. Explica que el módulo de un número complejo z = a + bi es igual a √a2 + b2 y representa la longitud del vector que representa a z en el plano de Argand. También define el conjugado de un complejo z como z* = a - bi y explica cómo multiplicar, dividir y calcular el recíproco de números complejos. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta información sobre diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, decimales e irracionales. Explica las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división para números enteros y racionales. También cubre conversiones entre fracciones y decimales, aproximaciones mediante redondeo y truncamiento, y prioridad de operaciones. Finalmente, ofrece ejemplos numéricos para ilustrar los diferentes conceptos.
El documento trata sobre conceptos básicos de análisis combinatorio como permutaciones, variaciones, combinaciones y factoriales. Explica que el análisis combinatorio estudia las distintas ordenaciones y agrupaciones posibles de los elementos de un conjunto. Luego define técnicas de conteo y principios como el multiplicativo y aditivo para calcular las posibles formas en que pueden ocurrir eventos. Finalmente, incluye ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Este documento define la semejanza de figuras planas y sus propiedades. Explica que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, y que en figuras semejantes los lados y ángulos homólogos son proporcionales y congruentes respectivamente. También establece que las áreas de figuras semejantes están en la misma proporción que el cuadrado de la razón de semejanza de sus lados.
Este documento describe diferentes medidas de posición y dispersión estadísticas. Explica que las medidas de posición como cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen una distribución de datos en partes iguales. También describe cómo calcular estas medidas y representarlas gráficamente usando diagramas de caja. Finalmente, introduce las medidas de dispersión como rango, desviación estándar y varianza, las cuales indican qué tan dispersos están los datos respecto a su valor central.
Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad. Explica que una variable aleatoria asocia números reales a los resultados de un experimento aleatorio. Se definen variables aleatorias discretas y su recorrido. Luego introduce la función de probabilidad para variables discretas y la distribución binomial, con ejemplos. Finalmente, cubre conceptos como esperanza matemática y su aplicación a juegos de azar.
Este documento define la semejanza de figuras planas y sus propiedades. Explica que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, y que en figuras semejantes los lados y ángulos homólogos son proporcionales y congruentes respectivamente. También establece que las áreas de figuras semejantes están en proporción al cuadrado de la razón de semejanza de sus lados. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como evaluación de expresiones algebraicas, términos semejantes, uso de paréntesis, sumas y multiplicaciones de polinomios, productos notables y factorización. Incluye definiciones, reglas y ejemplos para ilustrar cada uno de estos temas fundamentales de álgebra.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
1. UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-09
FUNCIÓN CUADRÁTICA
A la función de segundo grado f(x) = ax2
+ bx + c, siendo a, b, c coeficientes reales y
a 0 se le denomina función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con
respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje
de simetría.
Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola.
INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
La parábola asociada a la función y = f(x) = ax2
+ bx + c, intersecta al eje y en el punto (0,c), ya que
f(0) = c.
x
y
c
Si a 0, la parábola tiene sus ramas hacia
abajo.
x
y
Eje de simetría
x
y
f(x) = ax2
+ bx + c
Parábola
x
y
Si a 0, la parábola tiene sus ramas hacia
arriba.
2. 2
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una función cuadrática?
A) f(x) = (x2
– 4) – (x2
+ 2x)
B) f(x) = -3x + x3
C) f(x) = x + 4
D) f(x) = (x + 2)(x – 2) – x2
E) f(x) = (-2x + 1)2
2. En la figura adjunta se muestra el gráfico de la función cuadrática
f(x) = (q – 5)x2
+ bx + c. Luego, se cumple que
A) q > 5
B) q = 5
C) q < 5
D) q es cualquier real distinto de cero.
E) q es cualquier número real.
3. Con respecto a la función f(x) = 3x2
+ 13x – 10, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Su concavidad está orientada hacia arriba.
II) El punto de intersección con el eje y es (0, -10).
III) f(-5) = 0
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
4. En la figura adjunta, el gráfico de f(x) = x2
– 6x – 2 intersecta al eje de las ordenadas
en el punto
A) (2,0)
B) (-2,0)
C) (6,0)
D) (0,-2)
E) (0,2)
y
x
y
x
3. 3
CEROS DE LA FUNCIÓN
Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los cuales
y = 0 (f(x) = 0).
DISCRIMINANTE
La expresión b2
– 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las
raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2
+ bx + c.
Si Si Si
EJEMPLOS
1. Los ceros de la función y = 3x2
– 12 son
A) 2 y -12
B) -3 y 12
C) 4 y 0
D) 2 y -2
E) 2 y -4
2. El discriminante de la función f(x) = (x – 3)(x + 2) es
A) igual a 3.
B) igual a -2.
C) igual a -25.
D) igual a 25.
E) igual a -6.
b2
– 4ac 0 b2
– 4ac = 0 b2
– 4ac 0
La parábola intersecta al eje x
en dos puntos, por lo tanto
tiene 2 soluciones (raíces
reales distintas).
La parábola es tangente al eje
x, por lo tanto tiene sus
soluciones idénticas (una única
solución real).
La parábola no intersecta al
eje x, no tiene solución
real.
x1 x2 x1 x2
y
x
x1 = x2
x1 = x2
y
x
y
x
x
y
x1 x2
4. 4
3. Si en la función y = ax2
+ bx + c sus ceros son de igual signo y su discriminante mayor
que cero, ¿cuál de los siguientes gráficos no correspondería a la función?
A) B)
C) D)
E)
4. Con respecto de la función asociada al gráfico de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I) Tiene 2 ceros.
II) El discriminante es mayor a cero.
III) f(0) = -2
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
y
x
-2 5
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
5. 5
EJE DE SIMETRÍA
El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas”
congruentes.
VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.
EJEMPLOS
1. El eje de simetría de la parábola asociada a la función y = -2x2
– 20x – 62 es
A) x = -
5
12
B) x = 5
C) x = -5
D) x = -2
E) x = -7
x = 1 2
x + x
2
x =
-b
2a
V =
2
-b 4ac b
,
2a 4a
Eje de simetría:
o
x2
x1 x
y
Eje de Simetría
x
Vértice
x
y
Eje de simetría
V =
-b -b
, f
2a 2a
6. 6
2. En la parábola de la figura adjunta, la ecuación del eje de simetría es
A) x = 2
B) y = 2
C) x = -2
D) y = -2
E) x = 0
3. La función y = -x2
+ 2x – 1 alcanza su máximo valor en
A) x = 0
B) x = -1
C) x = -2
D) x = 1
E) x = 2
4. La función cuadrática correspondiente a la parábola de la figura adjunta es
A) y = x2
+ 2x – 3
B) y = x2
– 2x – 3
C) y = x2
+ 4x – 3
D) y = x2
– 4x – 3
E) y = x2
– x – 3
x
y
-2
2
x
y
-3
2
-4
-1
-3 1 3
7. 7
FUNCIONES DE LA FORMA
La figura muestra las gráficas de
y = x2
, y =
1
2
x2
, y = -x2
e y = -
1
2
x2
.
OBSERVACIONES:
Si a 1, la gráfica de y = ax2
visualmente es más “angosta” que la
gráfica de y = x2
.
Si 0 a 1, la gráfica de y = ax2
visualmente es más “ancha” que la
gráfica de y = x2
.
FUNCIONES DE LA FORMA
La figura muestra las gráficas de
y = x2
, y = x2
+ 2 e y = x2
– 3.
OBSERVACIONES
Si c 0, la parábola se desplaza
c unidades hacia arriba con
respecto al origen.
Si c 0, la parábola se desplaza
c unidades hacia abajo con
respecto al origen.
EJEMPLOS
1. En la figura adjunta, se muestran tres gráficas de funciones cuadráticas. ¿Cuál(es) de
las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I) a b
II) a = c
III) b c
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
y = ax2
-2
-2 2
-4
y = -
1
2
x2
y = -x2
4
x
y
2
y = x2
y =
1
2
x2
y = ax2
+ c
6
-3
x
y
y = x2
+ 2
y = x2
y = x2
– 3
2
0
x
y
y = ax2
y = bx2
y = cx2
8. 8
2. Al desplazar la parábola asociada a la función y = x2
+ 2, cinco unidades hacia abajo
se obtiene la función
A) y = x2
– 5
B) y = -x2
+ 5
C) y = x2
– 3
D) y = x2
+ 3
E) ninguna de las anteriores.
3. El gráfico de la figura adjunta, podría corresponder a la función
A) f(x) = -x2
+ 2x – 3
B) f(x) = -x2
+ 2x + 3
C) f(x) = -x2
– 2x – 3
D) f(x) = -x2
– 2x + 3
E) f(x) = -x2
– 3x + 4
4. En la figura adjunta, la función f(x) = ax2
+ c es de segundo grado, entonces ¿cuál es
la ecuación correspondiente a la figura?
A) f(x) = x2
– 2
B) f(x) = -x2
– 2
C) f(x) = -x2
+ 2
D) f(x) = -x2
– 4
E) f(x) = -x2
+ 4
-3 1
y
x
x
4
2
-2
f(x)
9. 9
FUNCIONES DE LA FORMA
La parábola se traslada h unidades en el eje X, si h > 0 se desplaza en sentido positivo
del eje X y si h < 0 en el sentido negativo. Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido
positivo del eje Y, si k < 0 es en el sentido negativo.
(h, k) corresponde a las coordenadas del vértice de la parábola.
EJEMPLOS
1. Si f(x) = (x + 2)2
+ 1, su gráfico está representado por
A) B)
C) D)
E)
f(x) = a(x – h)2
+ k
k
h x
y
y
x
-2
-1
y
x
-1
2
y
x
1
2
y
x
2
1
1
y
x
-2
10. 10
2. Una función cuadrática cuya parábola tiene vértice (2, -3) puede ser
A) f(x) = (x + 2)2
+ 3
B) f(x) = (x – 2)2
+ 3
C) f(x) = 3(x – 2)2
– 3
D) f(x) = 3(x + 2)2
– 3
E) f(x) = 3(x + 2)2
+ 3
3. Dada la parábola de ecuación y = -(x – 3)2
– k, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) Si k = 2, la parábola intersecta al eje y en (0, -2).
II) Si k = -3, la parábola tiene eje de simetría y = 3.
III) Si k = 1, la parábola tiene vértice (3, -1).
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) I, II y III
4. ¿Cuál de las siguientes parábolas puede ser la representación gráfica de la función
f(x) = -(x – 2)2
– 3?
A) B) C)
D) E)
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
11. 11
DOMINIO Y RECORRIDO
DOMINIO: Es el conjunto de todos los valores reales que puede tomar la variable x para que
la función f(x) exista.
RECORRIDO: Es el conjunto de los valores reales que toma la función f(x), se tienen dos
casos para esto:
Si a > 0 Si a < 0
Rec f(x): k,+¥
é
ë
é
ë
Rec f(x): - ,k
EJEMPLOS
1. El dominio de la función f(x) = x2
– 4, es el conjunto de
A) los números enteros mayores que 2.
B) los números enteros mayores que 4.
C) los números racionales mayores que 2.
D) los números reales mayores que 4.
E) los números reales.
2. ¿Cuál es el recorrido de la función f(x) = -12 – 4x – x2
?
A) [-8, +[
B) ]-, -8]
C) ]-, -24]
D) [-24, +[
E) ]-, -16]
x
f(x)
h
k
x
f(x)
h
k
12. 12
EJERCICIOS
1. Si 3 es un cero de la función f(x) = 2x2
– 5x + m – 3, entonces el valor de m es
A) -3
B) -1
C) 1
D) 3
E) 0
2. Si f(x) = x2
+ 3x – 4, entonces el valor de f(x + 1) es igual a
A) x2
+ 3x – 2
B) x2
+ 5x – 3
C) x2
+ 5x – 2
D) x2
+ 5x
E) x2
+ 3x
(Fuente: DEMRE admisión 2013)
3. Si f(x) = x2
+ mx + 6 y f(-4) = 2, entonces m es igual a
A) 5
B) 3
C) 2
D) -2
E) -3
4. Si f(x) = x2
– ax + 5ab – a2
, entonces f(b – a) es igual a
A) (a – b)2
B) (a + b)2
C) a2
– b2
D) a2
+ b2
E) b2
– a2
13. 13
5. De las gráficas siguientes, ¿cuál(es) de ellas pertenece(n) a la gráfica de una función
cuadrática?
I) II) III)
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
6. La gráfica de la función f(x) = (-3x + 2)(1 – x) intersecta al eje y en el punto
A)
3
0,
2
B) (-2, 0)
C) (0, -2)
D) (2, 0)
E) (0, 2)
7. Con respecto a la gráfica asociada a la función f(x) = x2
– 2x – 7, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Intersecta al eje de las abscisas en dos puntos.
II) Sus ramas abren hacia arriba.
III) f(-2) = 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA con respecto a la función f(x)= -(x2
– 4),
cuando x recorre todos los números reales?
A) La función toma un valor máximo.
B) Las ramas de la parábola asociada a la función se abren hacía abajo.
C) La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,-4).
D) La gráfica de la función intersecta al eje de las abscisas en los puntos (2,0) y
(-2,0).
E) El eje de simetría de la gráfica de la función es el eje y.
(Fuente: DEMRE admisión 2013)
y
x
y
x
y
x
14. 14
9. La figura adjunta, muestra la parábola correspondiente a la función f(x) = x2
– 8x + 15.
¿Cuáles son las coordenadas del vértice P?
A) (1, -4)
B) (3, -5)
C) (4, -1)
D) (4, 15)
E) (-4, -1)
10. Respecto a la parábola correspondiente a la función f(x) = x2
– 9x + 14, ¿cuál(es) de
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) Sus ceros son x1 = 7 y x2 = 2.
II) Intersecta al eje y en (0, 14).
III) Su eje de simetría es x = 4.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
11. ¿Cuál es la función cuadrática cuya representación gráfica es la parábola de la figura
adjunta?
A) y = 3x2
+ 3
B) y = 3x2
– 3
C) y = x2
+ 3
D) y = x2
– 3
E) y = x2
– 1
12. Si la parábola f(x) = ax2
+ 7x + c intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,3) y
al eje de las abscisas en el punto (-1,0), los valores de a y c son
A) 4 y 3
B) -4 y 3
C) -4 y
3
4
D)
3
4
y 4
E) -3 y -4
x
y
P
-1
-3
y
x
1
15. 15
13. Si f(x) = x2
– 5, su gráfico es
A) B) C)
D) E)
14. El gráfico de la figura adjunta, podría corresponder a la función cuadrática
A) f(x) = x2
+ 2x
B) f(x) = 3 + 2x – x2
C) f(x) = x2
– 2x + 3
D) f(x) = x2
+ 2x – 3
E) f(x) = x2
– 2x
15. ¿Cuál es la función representada en el gráfico de la figura adjunta?
A) y = x2
B) y = 3x
C) y = -3x2
D) y = 3x2
E) y = 3x4
y
x
5
y
x
-5
y
x
5
x
y
1 2
3
12
y
x
5
x
y
Eje de simetría
y
x
-5
16. 16
16. ¿Cuál de las gráficas siguientes representa a la función cuadrática y = 3(x – 2)2
?
A) B) C)
D) E)
17. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función y = -(x + 1)2
?
A) B)
C) D)
E)
2 x
y
-2 x
y
2
x
y
-2
x
y
-2
x
y
y
x
1
y
x
-1
y
x
-1
y
x
-1
y
x
-1
17. 17
18. ¿Cuál(es) de las siguientes parábolas tiene eje de simetría negativo?
I) y = 2(x – 3)2
– 1
II) y = 3(x + 1)2
– 2
III) y = -2(x – 2)2
+ 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
19. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a las funciones f(x) = 2x + 1
y g(x) = x2
+ 1?
A) B) C)
D) E)
20. Respecto a la parábola asociada a la función cuadrática f(x) = x2
+ 2x + c, ¿cuál(es) de
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) Si c > 1, no intersecta al eje x.
II) Si c 1, siempre intersecta al eje x.
III) Si c > 0, siempre intersecta al eje x.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) Ninguna de ellas.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
18. 18
21. Con respecto al gráfico de la figura adjunta, que corresponde a la función cuadrática
h(t) = 8t – t2
(h : altura en metros, t : tiempo en segundos, 0 t 8), ¿cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I) Los ceros de la función son t1 = 0 y t2 = 8.
II) A 3 segundos corresponde una altura de 12 metros.
III) La altura máxima se obtiene a los 4 segundos.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
22. Dada la parábola y = x² + bx + c. Se puede determinar los valores de b y c, si:
(1) La función asociada a la parábola es y = (x – 3)2
– 5.
(2) Intersecta al eje y en (0,4) y tiene vértice (3,-5).
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
23. Se puede determinar el eje de simetría de la parábola correspondiente a la función
f(x) = ax2
+ bx + c, si se conocen los valores de:
(1) b y c
(2) a y b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
t
h
19. 19
24. La gráfica de la parábola asociada a f(x) = ax2
– 2x + c, es tangente el eje x, si:
(1) a · c = 1
(2) a = 2 y c > 0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
25. Dada la función f(x) = x2
+ bx + c. Se puede determinar las coordenadas del vértice,
asociada a la función, si:
(1) Intersecta al eje x en x1 = 2 y x2 = 3.
(2) b = -5 y c = 1 – b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
20. 20
RESPUESTAS EJEMPLOS
RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. 12
MT-09
1. E 6. E 11. B 16. A 21. D
2. D 7. E 12. A 17. C 22. D
3. A 8. C 13. B 18. B 23. B
4. B 9. C 14. E 19. C 24. A
5. B 10. C 15. D 20. A 25. D
Ejemplos
Págs.
1 2 3 4
2 E A E D
3 y 4 D D C B
5 y 6 C C D A
7 y 8 A C D E
9 y 10 D C C E
11 E B
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