Este documento presenta información sobre diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, decimales e irracionales. Explica las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división para números enteros y racionales. También cubre conversiones entre fracciones y decimales, aproximaciones mediante redondeo y truncamiento, y prioridad de operaciones. Finalmente, ofrece ejemplos numéricos para ilustrar los diferentes conceptos.

1. UNIDAD: NÚMEROS
NÚMEROS ENTEROS ()
Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-01
NÚMEROS NATURALES (lN)
Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} se denominan “números
naturales”
NÚMEROS ENTEROS ()
Los elementos del conjunto  = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan “números
enteros”.
OPERATORIA EN 
ADICIÓN
 Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el
signo común.
 Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de
menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto.
OBSERVACIÓN: El valor absoluto de un número es el mismo número si el número es mayor
o igual a cero, y el opuesto si el número es menor que cero. El valor absoluto de +5 ó de -5
es 5.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
 Si se multiplican o dividen dos números de igual signo el resultado es positivo.
 Si se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado es negativo.
EJEMPLOS
1. -2 + (-107) =
A) -109
B) -105
C) 105
D) 109
E) 214
2. -600 : 30 =
A) -200
B) -20
C) -2
D) 20
E) 200

2. 2
3. (-3) · 3 · (-3) · (-3) · 3 =
A) -243
B) -81
C) -3
D) 81
E) 243
4. Dados los números r = -4 + 4, s = 1 – 4 y t = -8 : -2. Entonces, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) r y s son números enteros.
II) r no es un número natural.
III) (t – s) es un número natural.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
5. Si a y b   , a < b y b = -1, entonces ¿cuál(es) de los siguientes números es (son)
siempre positivo(s)?
I) a + b
II) b – a
III) ab
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III

3. 3
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al efectuar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
 Resolver las operaciones entre paréntesis.
 Realizar las potencias.
 Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
 Realizar adiciones y/o sustracciones.
EJEMPLOS
1. -1 · 1 + 1 – 1 : 1 + 1 =
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
2. Al calcular [(-2) – (-1)2
]3
se obtiene
A) 0
B) 1
C) -1
D) 27
E) -27
3. 2[3 – {5 – 2(7 – 10) – 1} + 5] =
A) -4
B) 0
C) 18
D) 21
E) 36

4. 4
4. 42 – 25
: 2 · 5 =
A) -38
B) -1
C) 1
D) 25
E) 38
5. 9{5 – [6 – (-1)]} : 3[1 – 3 – (-3 + 7)] =
A) 18
B) -18
C) 1
D) 36
E) -36

5. 5
NÚMEROS RACIONALES ()
NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son todos aquellos números de la forma
a
b
con a y b números
enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la
letra .
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?
I)
-6
4
II)
5
3 3

III) 9 – 32
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) I, II y III
2. Si a y b son números enteros, ¿para qué valor de b la expresión

a
b 3
no representa
un número racional?
A) b = 0
B) b  3
C) b = 5
D) b = 3
E) b = 4
3. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de fracciones es (son) equivalente(s)?
I)
9 15
y
12 20
II)
28 7
y
12 3
III)
15 8
y
18 10
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

6. 6
OPERATORIA EN 
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a
b
,
c
d
 , entonces:
OBSERVACIÓN
 El inverso aditivo (u opuesto) de
a
b
es -
a
b
, el cual se puede escribir también como
-a
b
o
a
-b
.
 El número mixto A
b
c
se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
EJEMPLOS
1. 2 +
5
6
+ 3 =
A) 5
5
6
B)
10
6
C)
30
6
D) 1
1
6
E)
25
6
2. El valor de la expresión 3 –
1 5
+
5 3
 
 
 
es
A)
67
15
B)
17
15
C)
7
15
D) -
3
15
E)
25
15
a c ad bc
=
b d bd


A
b A · c +b
=
c c
, con A, b, c  lN

7. 7
3. El inverso aditivo de
1
2 1
2
 

 
 
es
A)
3
2
B) 2
C) -
3
2
D)
2
3
E) -2
4. Si T = -2
1
2
y S = -4
3
4
, entonces S – T =
A) -7
1
4
B) -2
1
4
C) -1
1
4
D) 2
1
4
E) 7
1
4

8. 8
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a
b
,
c
d
 , entonces:
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
OBSERVACIÓN
 El inverso multiplicativo (o recíproco) de
a
b
es
-1
a
b
 
 
 
=
b
a
, con a y b  0
EJEMPLOS
1.
12 3
·
15 4
=
A)
3
5
B)
48
45
C)
45
48
D)
2
3
E) Otro valor.
2.
3 9
- :
8 64
   
   
   
=
A)
8
3
B) -
3
8
C) -
8
3
D)
3
8
E) 1
a
b
·
c
d
=
ac
bd
a
b
:
c
d
=
a
b
·
d
c
=
ad
bc

9. 9
3. La tercera parte del doble de
3 1
:
5 2
· 20 es igual a
A)
1
50
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
4.
 

 
 
1 1
3 4
:
 

 
 
1 5 1
·
5 4 3
=
A) -1
B) -
4
5
C) -
1
36
D)
4
5
E) 1
5. ¿Cuál es el recíproco (inverso multiplicativo) de
 

 
 
4
1
2 :
5
5
?
A) -
9
4
B)
9
4
C)
4
9
D) -
4
9
E)
25
81

10. 10
NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un
desarrollo decimal, el cual puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
 DECIMAL FINITO: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número
decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales
tenga dicho número.
 DECIMAL INFINITO PERIÓDICO: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las
cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueve como cifras tenga el
período.
 DECIMAL INFINITO SEMIPERIÓDICO: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que
anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueve como cifras tenga el
período, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el ante período.
EJEMPLOS
1. La fracción equivalente a 0,65 es
A)
13
2
B)
20
13
C)
2
13
D)
13
18
E)
13
20

11. 11
2. La fracción equivalente a 1,0 2 es
A)
46
50
B)
101
100
C)
51
50
D)
46
45
E)
101
90
3. (0,6 )2
=
A) 0,3
B) 0,36
C) 0,36
D) 0, 4
E) 2,7
4. Las fracciones equivalentes a los números 2,1 y 0,13 son, respectivamente,
A)
21 13
y
9 90
B)
19 13
y
9 90
C)
20 13
y
9 90
D)
19 12
y
9 90
E)
21 13
y
10 100
5. Si M = 0,354, N = 0,354 , P = 0,354 y Q = 0,354 . ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) M > N
II) P > Q
III) N > P
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III

12. 12
APROXIMACIONES
Las aproximaciones son de tres tipos: redondeos, truncamientos y estimaciones. Solo
consideramos las dos primeras.
 REDONDEO
Para redondear un número decimal finito o infinito es necesario el uso de las siguientes
reglas:
 Identificar la posición a la que se quiere redondear.
 Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente a la que determine la
aproximación.
Si el dígito a la derecha del último requerido es:
1) Menor que 5, se deja el dígito precedente intacto. Ejemplo: 8,123 redondeado a la
centésima es igual a 8,12.
2) Mayor que 5, se aumenta una unidad el dígito precedente. Ejemplo: 6,137
redondeado a la centésima es igual a 6,14.
 TRUNCAMIENTO
Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha
de la última cifra a considerar.
De esta manera, como ejemplo, si se trunca a la centésima el número 5,7398 resulta 5,73.
OBSERVACIÓN:
Cuando se aproxima un número racional por redondeo o por truncamiento, el número
resultante puede ser mayor o menor que el original. Si resulta mayor se dice que la
aproximación es por exceso mientras que si es menor se dice que la aproximación es por
defecto.
 APROXIMACIONES POR EXCESO Y POR DEFECTO
Al realizar la mejor aproximación por exceso, se busca el número, con las cifras decimales
indicadas, inmediatamente mayor que el número dado.
Por otra parte, al realizar la mejor aproximación por defecto, se busca el número, con un
determinado número de cifras decimales, que es inmediatamente menor que el número
dado.
Ejemplo el número   3,141592….. si se desea la mejor aproximación a la centésima,
quedaría:
Por exceso = 3,15 y por defecto = 3,14
EJEMPLOS
1. Al redondear a la décima el número 4,6453, resulta
A) 4
B) 4,7
C) 4,6
D) 4,64
E) 4,65

13. 13
2. Al redondear a la milésima el número 7,5386, resulta
A) 7,5
B) 7,54
C) 7,538
D) 7,539
E) 8
3. Al truncar a la milésima el número 31,56 , resulta
A) 31,56
B) 31,565
C) 31,566
D) 31,560
E) 31,5
4. Respecto del número
70
9
, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Redondeado a la unidad es 8.
II) Truncado a la décima es 7,7.
III) Redondeado a la milésima es 7,778.
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
5. Al redondear el número 6,54 a la cienmilésima resulta
A) 6,54545 y la aproximación es por defecto.
B) 6,54546 y la aproximación es por exceso.
C) 6,5455 y la aproximación es por exceso.
D) 6,545
E) Ninguna de las anteriores.

14. 14
NÚMEROS IRRACIONALES (II, ’)
Son aquellos números decimales infinitos no periódicos.
Los números  = 3,141592 …, 2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales.
OBSERVACIÓN: La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b
números racionales no negativos, son:
DEFINICIÓN: 1) 2)
PROPIEDADES
(1) a · b = ab (2)
a
b
=
a
b
(3) a b = 2
a b (4)
a a b
=
b b
NÚMEROS REALES (lR)
La unión del conjunto de los números racionales y los números irracionales genera el
conjunto de los números reales el cual se expresa como lR.
Es decir,
OPERATORIA EN lR
 El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional
(excluyendo la división por cero).
 La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.
 Por otra parte, la operación entre un número racional y un irracional da como resultado
un número irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.
OBSERVACIÓN
No son números reales las expresiones de la forma n a , con a < 0 y n par.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de los siguientes números no es irracional?
A) 18
B) 36
C) 12
D) 80
E) 2
a = b  b2
= a 2
a = a
lR =   

15. 15
2. El orden de los números a = 3 2 , b = 2 3 y c = 4 2 , está dado en la opción
A) a > c > b
B) a > b > c
C) a < b < c
D) b > a > c
E) c > a > b
3. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes expresiones representa(n) números reales?
I) 2 3 3 2

II) 5 2 4

III) 4 5 9

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
4. Si p = 3 y q = 27, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son)
número(s) irracional(es)?
I) p q

II)
q
p
III) p · q
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

16. 16
EJERCICIOS
1. [-5 + (-3) · 7] : (-2) =
A) 28
B) 13
C) -13
D) -24
E) -28
2. -2[3 – {5 – 2 (7 – 15)}] =
A) -54
B) -36
C) -20
D) 36
E) 54
3. Si al cuadrado de -3 se le resta el cuádruplo de -2 y al resultado se le agrega el triple
de 3, se obtiene
A) 26
B) 20
C) 11
D) 10
E) 8
4. 9{5 – [6 – (-1)]} : 3[1 – (-3 + 7)] =
A) -18
B) -2
C) 0
D) 2
E) 18

17. 17
5. Si x e y son números enteros con x < 0 e y > 0, ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones resulta(n) siempre un número negativo?
I) x + y2
II) -xy
III) y2
– x2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
6. Al redondear
1
4
a la décima se obtiene A y al truncar
4
3
a la centésima se obtiene B.
¿Cuál es el valor de (A + B)?
A) 1,36
B) 1,33
C) 1,63
D) 1,64
E) 1,59
7.
1 1 1
+
16 8 4
 =
A) -
1
8
B) -
1
16
C)
1
20
D)
1
16
E)
1
8

18. 18
8.
2 5 3 -1
·
3 6 5 5
 
 
 
 
=
A) -
2
15
B) -
1
15
C) -
1
30
D) 0
E)
1
3
9.
5
7
1
3
2


=
A) 6
B) 5
C) 2
D)
4
5
E) -
11
2
10. El inverso aditivo de -4, menos el inverso multiplicativo de
1
6
es
A) -10
B) -
25
6
C) -
23
6
D) -2
E)
23
6

19. 19
11. 87,23 =
A)
8.723
99
B)

8.723 2
90
C)
8.723
90
D)

8.723 872
90
E)

8.723 872
99
12.
1
1
1
1
1
1
5


=
A) -4
B)
3
4
C)
4
5
D)
5
4
E)
4
3
13. Con respecto al número 3,868765 es verdadero que
I) al truncar a la décima, la aproximación resultante es por defecto.
II) al redondear a la milésima la aproximación resultante es por exceso.
III) al truncar el número a la quinta cifra decimal queda en 3,86876.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

20. 20
14. ¿Qué número racional hay que sumarle a
2
3
para obtener su recíproco?
A)
13
-
6
B)
1
-
6
C)
1
6
D)
5
6
E)
13
6
15. Un tambor contiene 20 litros de agua equivalentes a
2
5
de su capacidad. ¿Cuántos
litros de agua falta para llenarlo?
A) 50
B) 45
C) 40
D) 35
E) 30
16. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) números irracionales?
I) 3 · 12
II) 2 + 2 2
III)
5
125
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III

21. 21
17. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Al dividir dos números irracionales el cuociente es irracional.
II) Al multiplicar un número real con un número racional, el producto es
racional.
III) Al sumar dos números irracionales, la suma es un número real.
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
18. Si m = 3 2 , ¿cuál(es) de los siguientes números es (son) irracional(es)?
I) m 2
II) 2m – m2
·
2
3
III)
6
m 3
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Ninguna de ellas
19. Si p < 0 y q > 0, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones siempre representa un
número real?
A) 2p q

B) 2 2
p q

C)
2p
q
D) 2pq
E) -2pq

22. 22
20. ¿Cuál de los siguientes números es un número real?
A) 2 3 3 2

B) 5 3 9

C) 11 122

D) 6 5 5 7

E) 3 5 5 3

21. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número real?
I)
2
2 2

II) 2 2

III) 3
2 2

A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
22. Se puede determinar que la expresión
p · q
r
, con p, q y r números enteros,
r  0, es negativa, si:
(1)
p
r
< 0 y q > 0
(2) q · r < 0 y p > 0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

23. 23
23. Se puede determinar que A es un número irracional, si se sabe que:
(1) [(1 + A) – (1 – A)]2
es un número irracional.
(2) 3(A + 1) es un número irracional.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
24. a es irracional, si:
(1) a es primo.
(2) a es múltiplo de 3.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
25. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Los números r y s son racionales, si:
(1) x es un número irracional negativo.
(2) x es el inverso aditivo de 2 .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

24. 24
MT-01
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RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. 16
1. B 6. C 11. D 16. B 21. C
2. D 7. B 12. C 17. B 22. D
3. A 8. D 13. E 18. E 23. D
4. E 9. B 14. D 19. E 24. A
5. E 10. D 15. E 20. D 25. B
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5
1 y 2 A B A E E
3 y 4 E E A A D
5 D D C
6 y 7 A B C B
8 y 9 A C E A C
10 y 11 E D D D B
12 y 13 C D B E A
14 y 15 B E B A
RESPUESTAS EJEMPLOS