Este documento presenta diferentes técnicas de integración, incluyendo integración por partes y varias integrales trigonométricas. Explica la fórmula de integración por partes y cómo escoger u y dv. Luego provee ejemplos detallados de cómo aplicar esta técnica. Finalmente, describe cómo integrar funciones trigonométricas comunes transformándolas en integrales por sustitución usando identidades trigonométricas.

1. Calculo Diferencial e
Integral II
Técnicas de
Integración
Ciclo escolar 2013-2014

2. Integración por Partes
• Sean 𝑢 y 𝑣 funciones derivables de 𝑥. En estas
condiciones
𝑑 𝑢𝑣 = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢𝑣) − 𝑣𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
• Esta es la formula de integración por partes

3. 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
• Para aplicar esta formula en la practica, se separa
el integrando en dos partes:
– Una de ellas se iguala a 𝑢
– y la otra junto con 𝑑𝑥, a 𝑑𝑣.
(por esta razón, este método se llama integración
por partes)
• No existe una regla general para escoger 𝑢, o
escoger 𝑑𝑣. Sin embargo, es conveniente tener
en cuenta los dos criterios siguientes:
– La parte que se iguala a 𝑑𝑣 debe ser fácilmente
integrable.
– 𝑣𝑑𝑢 no debe ser mas difícil de integrar que 𝑢𝑑𝑣.

4. Ejemplos
𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
+ 𝐶
𝑥2
ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥2 𝑑𝑥 𝑣 =
𝑥3
3
𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
ln 𝑥 −
𝑥3
3
1
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑥3
3
ln 𝑥 −
𝑥2
3
𝑑𝑥
=
𝑥3
3
ln 𝑥 −
1
9
𝑥3 + 𝐶

5. 12𝑥2
− 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 12𝑥2
− 4𝑥 + 8 𝑑𝑢 = 24𝑥 − 4 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =
1
2
sen 2𝑥
12𝑥2
− 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= 12𝑥2
− 4𝑥 + 8
1
2
sen 2𝑥 𝑑𝑥
− 24𝑥 − 4
1
2
sen 2𝑥 𝑑𝑥
= 6𝑥2
− 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥
− 12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥
Y volvemos a integrar por partes haciendo:
𝑢 = 12𝑥 − 2 𝑑𝑢 = 12𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sen 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =
−1
2
cos 2𝑥
12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥
= 12𝑥 − 2
−1
2
cos 2𝑥 −
−1
2
cos 2𝑥 12𝑑𝑥
= −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + cos 2𝑥 6𝑑𝑥
= −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + 3 sen 2𝑥 + 𝐶
Finalmente
12𝑥2
− 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= 6𝑥2
− 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥
− 12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥
= 6𝑥2
− 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥
− −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + 3 sen 2𝑥 + 𝐶

6. 𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = sen 𝑥
𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
sen 𝑥 𝑑𝑥 − sen 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
sen 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒 𝑥
sen 𝑥 𝑑𝑥
Y volvemos a integrar por partes haciendo:
𝑢 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sen 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −cos 𝑥
𝑒 𝑥
sen 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
− cos 𝑥 − − cos 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
= −𝑒 𝑥
cos 𝑥 + 𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥
Luego obtenemos
𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
sen 𝑥 − 𝑒 𝑥
sen 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
sen 𝑥
− −𝑒 𝑥
cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
sen 𝑥 + 𝑒 𝑥
cos 𝑥 − 𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥
De esta ultima parte despejamos 𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 que es
la integral que queremos obtener
𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
sen 𝑥 + 𝑒 𝑥
cos 𝑥 − 𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥
𝟐 𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
sen 𝑥 + 𝑒 𝑥
cos 𝑥
𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒 𝑥
sen 𝑥 + 𝑒 𝑥
cos 𝑥
2
+ 𝐶

7. Integrales Trigonométricas
• Consideremos ahora la integral de algunas
diferenciales trigonométricas que se
presentan con frecuencia y que pueden
integrarse fácilmente, transformándose en
integrales por sustitución (o simplemente
completando), mediante el uso de identidades
trigonométricas.

8. sen 𝑛
𝑣 cos 𝑚
(𝑣) 𝑑𝑣
• Si alguno de los exponentes 𝑛 o 𝑚 es impar, a la función que tiene
la potencia positiva impar mas pequeña se le aplica la identidad
trigonométrica 𝐬𝐞𝐧 𝟐
(𝜶) + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
(𝜶) = 𝟏 tantas veces como sea
necesario a fin de llegar a algo de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛
sen(𝑣) cos 𝑣 𝑑𝑣
• O de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛
cos(𝑣) sen 𝑣 𝑑𝑣
• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como
una integral del tipo 𝑣 𝑛
𝑑𝑣

9. sen2
2𝑥 cos3
2𝑥 𝑑𝑥
sen2
2𝑥 cos3
2𝑥 𝑑𝑥 = sen2
2𝑥 cos2
2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= sen2
2𝑥 1 − sen2
2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= sen2
2𝑥 − sen4
2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= sen2
2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 − sen4
2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
=
1
2
⋅
sen3
2𝑥
3
−
1
2
⋅
sen5
2𝑥
5
+ 𝐶
=
sen3
2𝑥
6
−
sen5
2𝑥
10
+ 𝐶

10. tan 𝑛
𝑣 sec 𝑚
(𝑣) 𝑑𝑣
cot 𝑛
𝑣 csc 𝑚
(𝑣) 𝑑𝑣
• Si m es un entero positivo par, se separa una 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝒗) o un 𝐜𝐬𝐜 𝟐(𝒗), según
sea el caso, para que forme parte de la diferencial. Al resto de la función
se le aplica la identidad trigonométrica 𝐭𝐚𝐧 𝟐(𝜶) + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝜶),
o la identidad 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭 𝟐(𝜶) = 𝐜𝐬𝐜 𝟐(𝜶), según sea el caso, tantas veces
como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛
tan(𝑣) sec2 𝑣 𝑑𝑣
• O de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛
cot(𝑣) csc2 𝑣 𝑑𝑣
• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como una
integral del tipo 𝑣 𝑛 𝑑𝑣

11. cot3
3𝑥 csc4
3𝑥 𝑑𝑥
cot3
3𝑥 csc4
3𝑥 𝑑𝑥 = cot3
3𝑥 csc2
3𝑥 csc2
3𝑥 𝑑𝑥
= cot3
3𝑥 1 + cot2
3𝑥 csc2
3𝑥 𝑑𝑥
= cot3
3𝑥 + cot5
3𝑥 csc2
3𝑥 𝑑𝑥
= cot3
3𝑥 csc2
3𝑥 𝑑𝑥 + cot5
3𝑥 csc2
3𝑥 𝑑𝑥
= −
1
3
⋅
cot4
3𝑥
4
−
1
3
⋅
cot6
3𝑥
6
+ 𝐶
=
− cot4
3𝑥
12
−
cot6
3𝑥
18
+ 𝐶

12. tan 𝑛
𝑣 sec 𝑚
(𝑣) 𝑑𝑣
cot 𝑛
𝑣 csc 𝑚
(𝑣) 𝑑𝑣
• Si n es un entero positivo impar, y 𝑚 ≠ 0, se separa una 𝐬𝐞𝐜 𝒗 𝐭𝐚𝐧 𝒗 o
una 𝐜𝐬𝐜 𝒗 𝐜𝐨𝐭 𝒗 , según sea el caso, para que forme parte de la
diferencial. Al resto de la función se le aplica la identidad trigonométrica
𝐭𝐚𝐧 𝟐(𝜶) + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝜶), o la identidad 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭 𝟐(𝜶) = 𝐜𝐬𝐜 𝟐(𝜶), según
sea el caso, tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la
forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛
sec(𝑣) sec 𝑣 tan 𝑣 𝑑𝑣
• O de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛
csc 𝑣 csc 𝑣 cot 𝑣 𝑑𝑣
• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como una
integral del tipo 𝑣 𝑛 𝑑𝑣

13. tan3
2𝑥 sec3
2𝑥 𝑑𝑥
tan3 2𝑥 sec3 2𝑥 𝑑𝑥 = tan3 2𝑥 sec3 2𝑥 𝑑𝑥
= tan2 2𝑥 sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥
= sec2 2𝑥 − 1 sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥
= sec4 2𝑥 − sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥
= sec4 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥 − sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥
=
1
2
⋅
sec5 2𝑥
5
−
1
2
⋅
sec3 2𝑥
3
+ 𝐶 =
sec5 2𝑥
10
−
sec3 2𝑥
6
+ 𝐶

14. sen 𝑛
𝑣 cos 𝑚
(𝑣) 𝑑𝑣
• Si ambas potencias son enteros pares positivas,
se le aplica alguna (o algunas) de las identidades
trigonométricas siguientes a fin de reducir las
potencias de las funciones y luego aplicar el otro
caso que involucra potencias de senos y cosenos.
sen 2𝛼 = 2 sen 𝛼 cos 𝛼
cos 2𝛼 = 2 cos2
𝛼 − 1
cos 2𝛼 = 1 − 2 sen2
𝛼

15. sen2
𝑥 cos4
𝑥 𝑑𝑥
sen2 𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥 = sen2 𝑥 cos2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥
=
sen 2𝑥
2
2
cos 2𝑥 + 1
2
𝑑𝑥
=
sen2 2𝑥 cos 2𝑥 + sen2 2𝑥
8
𝑑𝑥
=
1
8
sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
8
sen2 2𝑥 𝑑𝑥
=
1
8
sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
8
⋅
cos 4𝑥 − 1
2
𝑑𝑥
=
1
8
sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
16
cos 4𝑥 −
1
16
𝑑𝑥
=
1
8
⋅
1
2
⋅
sen3 2𝑥
3
+
1
16
⋅
1
4
sen 4𝑥 −
1
16
𝑥 + 𝐶
=
sen3 2𝑥
48
+
sen 4𝑥
64
−
𝑥
16
+ 𝐶

16. Integración por descomposición en
Fracciones Parciales
• Un polinomio de grado 𝑛 en 𝑥 es una función de la forma
𝒂 𝒏 𝒙 𝒏
+ 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏
+ ⋯ + 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟎, en donde los coeficientes son
constantes, 𝑎 𝑛 ≠ 0 y 𝑛 es un numero entero no negativo cualquiera
incluido el cero.
• Si dos polinomios del mismo grado toman iguales valores
numéricos para todos los valores de la variable, los coeficientes de
los términos de igual grado de esta, en ambos polinomios , son
iguales.
• Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar (al menos
teóricamente) como producto de factores reales lineales, de la
forma 𝒂𝒙 + 𝒃, y de factores cuadráticos reales irreducibles, de la
forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄.

17. Integración por descomposición en
Fracciones Parciales
• Una función 𝐹 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
en la que 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 son polinomios
recibe el nombre de función racional.
• Si el grado de 𝑓 𝑥 es estrictamente menor que el de 𝑔 𝑥 , 𝐹 𝑥
recibe el nombre de función racional propia; en caso contrario,
𝐹 𝑥 se denomina impropia.
• Toda fracción racional impropia se puede expresar como la suma de
un polinomio y una función racional propia, usando el algoritmo de
la división.
• Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de
fracciones simples cuyos denominadores son de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛
y 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛
, siendo 𝑛 un numero entero positivo.
Atendiendo a la naturaleza de los factores del denominador, se
pueden considerar cuatro pasos.

18. Caso I: Factores Lineales Distintos
• A cada factor lineal, 𝑎𝑥 + 𝑏, del denominador
de una función racional propia, le corresponde
una fracción de la forma
𝐴
𝑎𝑥+𝑏
, siendo 𝐴 una
constante a determinar.
 
     kk
k
kk bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxabxabxa
xp







...
... 22
2
11
1
2211

19. 𝑥2
− 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
𝑑𝑥
• Factorizamos el denominador
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
• Por lo que
𝑥2 − 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 1
+
𝐶
𝑥 + 2
• Donde A, B y C son constantes a determinar.
• Multiplicamos primero por el denominador (factorizado) toda la
ecuación a fin de simplificar las expresiones y luego igualar los
polinomios de la izquierda y la derecha
𝑥2 − 3𝑥 − 1 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
=
𝐴𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
𝑥
+
𝐵𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
𝑥 − 1
+
𝐶𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
𝑥 + 2
𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 𝐴 𝑥 − 1 𝑥 + 2 + 𝐵𝑥 𝑥 + 2 + 𝐶𝑥 𝑥 − 1
= 𝐴 𝑥2
+ 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥2
+ 2𝑥 + 𝐶 𝑥2
− 𝑥
= 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑥 − 2𝐴 + 𝐵𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2 − 𝐶𝑥
= 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥2
+ 𝐶𝑥2
+ 𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥 − 𝐶𝑥 − 2𝐴
= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 𝑥 − 2𝐴
• Como dos polinomios son iguales cuando sus
coeficientes son iguales, entonces obtenemos el
siguiente sistema de ecuaciones
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1
𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = −3
−2𝐴 = −1
• Resolvemos el sistema para obtener
𝐴 =
1
2
𝐵 = −1
𝐶 =
3
2
• Por lo que la fracción se transforma en
𝑥2
− 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
=
1/2
𝑥
+
−1
𝑥 − 1
+
3/2
𝑥 + 2
• Y la integral pedida es
𝑥2
− 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
𝑑𝑥
=
1
2
1
𝑥
𝑑𝑥 −
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 +
3
2
1
𝑥 + 2
𝑑𝑥
=
1
2
ln 𝑥 − ln 𝑥 − 1 +
3
2
ln 𝑥 + 2 + 𝐶

20. Caso II: Factores Lineales Repetidos
• A cada factor lineal, 𝑎𝑥 + 𝑏, que figure 𝑛 veces en
el denominador de una función racional propia,
le corresponde una suma de 𝑛 fracciones de la
forma
𝐴1
𝑎𝑥 + 𝑏
+
𝐴2
𝑎𝑥 + 𝑏 2
+ ⋯ +
𝐴 𝑛
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛
siendo los numeradores constantes a determinar.

21. Caso III: Factores Cuadráticos
Irreducibles Distintos
• A cada factor cuadrático irreducible,
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, que figure en el denominador
de una función racional propia, le corresponde
una fracción de la forma
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝐶
siendo 𝐴 y 𝐵 constantes a determinar.

22. Caso IV: Factores Cuadraticos
Irreduciles Repetidos
• A cada factor cuadratico irreducible, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑥, que
figure 𝑛 veces en el denominador de una función racional
propia, le corresponde una suma de 𝑛 fracciones de la
forma
𝐴1 𝑥 + 𝑏1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
+
𝐴2 𝑥 + 𝑏2
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2
+ ⋯ +
𝐴 𝑛 𝑥 + 𝑏 𝑛
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛
Donde los valores de 𝐴𝑖 y 𝐵𝑖 son constantes a determinar.